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专题10 圆锥曲线
1．（新课标全国Ⅱ卷）已知曲线C：
（
），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段
，
为垂足，则线段
的中点M 的轨迹方程为（ ）
A．
（
）
B．
（
）
C．
（
）
D．
（
）
【答案】A
【分析】设点
，由题意，根据中点的坐标表示可得
，代入圆的方程即可求解.
【详解】设点
，则
，
因为
为
的中点，所以
，即
，
又
在圆
上，
所以
，即
，
即点
的轨迹方程为
.
故选：A
2．（全国甲卷数学（理））已知双曲线
的上、下焦点分别为
，
点
在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．
【答案】C
1
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【分析】由焦点坐标可得焦距
，结合双曲线定义计算可得
，即可得离心率.
【详解】由题意，
、
、
，
则
，
，
，
则
，则
.
故选：C.
3．（新高考天津卷）双曲线
的左、右焦点分别为
是双曲线右支上一点，
且直线
的斜率为2．
是面积为8 的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】可利用
三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设
，由面积公式求出
，
由勾股定理得出，结合第一定义再求出
.
【详解】如下图：由题可知，点
必落在第四象限，
，设
，
，由
，求得
，
因为
，所以
，求得
，即
，
，由正弦定理可得：
，
2
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则由
得
，
由
得
，
则
，
由双曲线第一定义可得：
，
，
所以双曲线的方程为
.
故选：C
4．（新课标全国Ⅰ卷）（多选）造型
可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐
标原点O.且C 上的点满足横坐标大于
，到点
的距离与到定直线
的距离之积为4，则
（ ）
A．
B．点
在C 上
C．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D．当点
在C 上时，
【答案】ABD
【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求
，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利
用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.
【详解】对于A：设曲线上的动点
，则
且
，
因为曲线过坐标原点，故
，解得
，故A 正确.
对于B：又曲线方程为
，而
，
3
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故
.
当
时，
，
故
在曲线上，故B 正确.
对于C：由曲线的方程可得
，取
，
则
，而
，故此时
，
故
在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.
对于D：当点
在曲线上时，由C 的分析可得
，
故
，故D 正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等
来处理.
5．（新课标全国Ⅱ卷）（多选）抛物线C：
的准线为l，P 为C 上的动点，过P 作
的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l 与
相切
B．当P，A，B 三点共线时，
C．当
时，
D．满足
的点
有且仅有2 个
【答案】ABD
【分析】A 选项，抛物线准线为
，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，
三点共线时，先
4
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求出
的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据
先算出
的坐标，然后验证
是否成立；
D 选项，根据抛物线的定义，
，于是问题转化成
的
点的存在性问题，此时考察
的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设
点坐标进行求解.
【详解】A 选项，抛物线
的准线为
，
的圆心
到直线
的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和
相切，A 选项正确；
B 选项，
三点共线时，即
，则
的纵坐标
，
由
，得到
，故
，
此时切线长
，B 选项正确；
C 选项，当
时，
，此时
，故
或
，
当
时，
，
，
，
不满足
；
当
时，
，
，
，
不满足
；
于是
不成立，C 选项错误；
D 选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，
，这里
，
于是
时
点的存在性问题转化成
时
点的存在性问题，
，
中点
，
中垂线的斜率为
，
于是
的中垂线方程为：
，与抛物线
联立可得
，
5
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，即
的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个
点，使得
，D 选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设
，由
可得
，又
，又
，
根据两点间的距离公式，
，整理得
，
，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的
点，D 选项正确.
故选：ABD
6．（新课标全国Ⅰ卷）设双曲线
的左右焦点分别为
，过
作平行于
轴的直
线交C 于A，B 两点，若
，则C 的离心率为 ．
【答案】
【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出
，结合双曲线第一定义求出
，即可得到
的值，
从而求出离心率.
【详解】由题可知
三点横坐标相等，设
在第一象限，将
代入
得
，即
，故
，
，
6
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又
，得
，解得
，代入
得
，
故
，即
，所以
.
故答案为：
7．（新高考北京卷）已知抛物线
，则焦点坐标为 ．
【答案】
【分析】形如
的抛物线的焦点坐标为
，由此即可得解.
【详解】由题意抛物线的标准方程为
，所以其焦点坐标为
.
故答案为：
.
8．（新高考北京卷）已知双曲线
，则过
且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为
．
【答案】
【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即
可求解.
【详解】联立
与
，解得
，这表明满足题意的直线斜率一定存在，
设所求直线斜率为
，则过点
且斜率为
的直线方程为
，
7
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联立
，化简并整理得：
，
由题意得
或
，
解得
或无解，即
，经检验，符合题意.
故答案为：
.
9．（新高考天津卷）
的圆心与抛物线
的焦点
重合，
为两曲线的交点，
则原点到直线
的距离为 ．
【答案】
/
【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求
及
的方程，从而可求原点
到直线
的距离.
【详解】圆
的圆心为
，故
即
，
由
可得
，故
或
（舍），
故
，故直线
即
或
，
故原点到直线
的距离为
，
故答案为：
10．（新高考上海卷）已知抛物线
上有一点
到准线的距离为9，那么点
到
轴的距离为 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的定义知
，将其再代入抛物线方程即可.
【详解】由
知抛物线的准线方程为
，设点
，由题意得
，解得
，
8
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代入抛物线方程
，得
，解得
，
则点
到
轴的距离为
．
故答案为：
．
11．（新课标全国Ⅰ卷）已知
和
为椭圆
上两点.
(1)求C 的离心率;
(2)若过P 的直线交C 于另一点B，且
的面积为9，求的方程．
【答案】(1)
(2)直线的方程为
或
.
【分析】（1）代入两点得到关于
的方程，解出即可；
（2）方法一：以
为底，求出三角形的高，即点
到直线
的距离，再利用平行线距离公式得到平移
后的直线方程，联立椭圆方程得到
点坐标，则得到直线的方程；方法二：同法一得到点
到直线
的
距离，再设
，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点
到
直线
的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线
斜率不存在的情况，再设直线
，联立椭圆方程，得到点
坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线
斜率
不存在的情况，再设
，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线
法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘
表达面积即可.
【详解】（1）由题意得
，解得
，
9
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所以
.
（2）法一：
，则直线
的方程为
，即
，
，由（1）知
，
设点
到直线
的距离为
，则
，
则将直线
沿着与
垂直的方向平移
单位即可，
此时该平行线与椭圆的交点即为点
，
设该平行线的方程为：
，
则
，解得
或
，
当
时，联立
，解得
或
，
即
或
，
当
时，此时
，直线的方程为
，即
，
当
时，此时
，直线的方程为
，即
，
当
时，联立
得
，
，此时该直线与椭圆无交点.
综上直线的方程为
或
.
10
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法二：同法一得到直线
的方程为
，
点
到直线
的距离
，
设
，则
，解得
或
，
即
或
，以下同法一.
法三：同法一得到直线
的方程为
，
点
到直线
的距离
，
设
，其中
，则有
，
联立
，解得
或
，
即
或
，以下同法一；
法四：当直线
的斜率不存在时，此时
，
，符合题意，此时
，直线的方程为
，即
，
当线
的斜率存在时，设直线
的方程为
，
联立椭圆方程有
，则
，其中
，即
，
解得
或
，
，
，
11
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令
，则
，则
同法一得到直线
的方程为
，
点
到直线
的距离
，
则
，解得
，
此时
，则得到此时
，直线的方程为
，即
，
综上直线的方程为
或
.
法五：当的斜率不存在时，
到
距离
，
此时
不满足条件.
当的斜率存在时，设
，令
，
，消
可得
，
，且
，即
，
，
到直线
距离
，
或
，均满足题意，
或
，即
或
.
12
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法六：当的斜率不存在时，
到
距离
，
此时
不满足条件.
当直线斜率存在时，设
，
设与
轴的交点为
，令
，则
，
联立
，则有
，
，
其中
，且
，
则
，
则
，解的
或
，经代入判别式验证均满足题意.
则直线为
或
，即
或
.
12．（新课标全国Ⅱ卷）已知双曲线
，点
在
上，
为常数，
．按照
如下方式依次构造点
，过
作斜率为
的直线与
的左支交于点
，令
为
关于
轴
的对称点，记
的坐标为
.
13
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(1)若
，求
；
(2)证明：数列
是公比为
的等比数列；
(3)设
为
的面积，证明：对任意的正整数
，
.
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出
的坐标即可；
（2）根据等比数列的定义即可验证结论；
（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明
的取值为与
无关的定值即可.思路二：使用
等差数列工具，证明
的取值为与
无关的定值即可.
【详解】（1）
由已知有
，故
的方程为
.
当
时，过
且斜率为
的直线为
，与
联立得到
.
解得
或
，所以该直线与
的不同于
的交点为
，该点显然在
的左支上.
故
，从而
，
.
14
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（2）由于过
且斜率为
的直线为
，与
联立，得到方程
.
展开即得
，由于
已经是直线
和
的公共点，故方程必有一根
.
从而根据韦达定理，另一根
，相应的
.
所以该直线与
的不同于
的交点为
，而注意到
的横坐标亦可通过
韦达定理表示为
，故
一定在
的左支上.
所以
.
这就得到
，
.
所以
.
再由
，就知道
，所以数列
是公比为
的等比数列.
（3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点
，若
，
，则
15
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.（若
在同一条直线上，约定
）
证明：
.
证毕，回到原题.
由于上一小问已经得到
，
，
故
.
再由
，就知道
，所以数列
是公比为
的等比数列.
所以对任意的正整数
，都有
.
16
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而又有
，
，
故利用前面已经证明的结论即得
.
这就表明
的取值是与
无关的定值，所以
.
方法二：由于上一小问已经得到
，
，
故
.
再由
，就知道
，所以数列
是公比为
的等比数列.
所以对任意的正整数
，都有
.
17
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这就得到
，
以及
.
两式相减，即得
.
移项得到
.
故
.
而
，
.
所以
和
平行，这就得到
，即
.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.
13．（全国甲卷数学（理）（文））设椭圆
的右焦点为
，点
在
上，且
轴．
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线与
交于
两点，
为线段
的中点，直线
交直线
于点
，证明：
轴．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设
，根据
的坐标及
轴可求基本量，故可求椭圆方程.
（2）设
，
，
，联立直线方程和椭圆方程，用
的坐标表示
，
结合韦达定理化简前者可得
，故可证
轴.
18
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【详解】（1）设
，由题设有
且
，故
，故
，故
，
故椭圆方程为
.
（2）直线
的斜率必定存在，设
，
，
，
由
可得
，
故
，故
，
又
，
而
，故直线
，故
，
所以
，
故
，即
轴.
19
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【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为
；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于
（或
）的一元二次方程，注意
的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为
、
（或
、
）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
14．（新高考北京卷）已知椭圆方程C：
，焦点和短轴端点构成边长为2 的正方形，
过
的直线l 与椭圆交于A，B，
，连接AC 交椭圆于D．
(1)求椭圆方程和离心率；
(2)若直线BD 的斜率为0，求t．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得
，进一步得
，由此即可得解；
（2）说明直线
斜率存在，设
，
，联立椭圆方程，由韦达定理
有
，而
，令
，即可得解.
【详解】（1）由题意
，从而
，
所以椭圆方程为
，离心率为
；
（2）显然直线
斜率存在，否则
重合，直线
斜率不存在与题意不符，
同样直线
斜率不为0，否则直线
与椭圆无交点，矛盾，
20
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从而设
，
，
联立
，化简并整理得
，
由题意
，即
应满足
，
所以
，
若直线
斜率为0，由椭圆的对称性可设
，
所以
，在直线
方程中令
，
得
，
所以
，
此时
应满足
，即
应满足
或
，
综上所述，
满足题意，此时
或
.
15．（新高考天津卷）已知椭圆
椭圆的离心率
．左顶点为
，下顶点为
是
线段
的中点，其中
．
(1)求椭圆方程．
21
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(2)过点
的动直线与椭圆有两个交点
．在
轴上是否存在点
使得
恒成立．若存在
求出这个
点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在
，使得
恒成立.
【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.
（2）设该直线方程为：
，
， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合
韦达定理和向量数量积的坐标运算可用
表示
，再根据
可求的范围.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为
，故
，
，其中为半焦距，
所以
，故
，
故
，所以
，
，故椭圆方程为：
.
（2）
若过点
的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：
，
设
，
22
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由
可得
，
故
且
而
，
故
，
因为
恒成立，故
，解得
.
若过点
的动直线的斜率不存在，则
或
，
此时需
，两者结合可得
.
综上，存在
，使得
恒成立.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借
助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.
16．（新高考上海卷）已知双曲线
左右顶点分别为
，过点
的直线交双
23
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曲线
于
两点.
(1)若离心率
时，求
的值．
(2)若
为等腰三角形时，且点
在第一象限，求点
的坐标．
(3)连接
并延长，交双曲线
于点
，若
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据离心率公式计算即可；
（2）分三角形三边分别为底讨论即可；
（3）设直线
，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可.
【详解】（1）由题意得
，则
，
．
（2）当
时，双曲线
，其中
，
，
因为
为等腰三角形，则
①当以
为底时，显然点
在直线
上，这与点
在第一象限矛盾，故舍去；
②当以
为底时，
，
设
，则
, 联立解得
或
或
，
因为点
在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；
24
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（或者由双曲线性质知
，矛盾，舍去）；
③当以
为底时，
，设
，其中
，
则有
，解得
，即
．
综上所述：
.
（3）由题知
，
当直线的斜率为0 时，此时
，不合题意，则
，
则设直线
，
设点
，根据
延长线交双曲线
于点
，
根据双曲线对称性知
，
联立有
，
显然二次项系数
，
其中
，
①，
②，
，
则
，因为
在直线上，
25
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则
，
，
即
，即
，
将①②代入有
，
即
化简得
，
所以
, 代入到
, 得
, 所以
,
且
，解得
，又因为
，则
，
综上知，
，
．
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设
，将其与双曲线方
程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.
一、单选题
1．（2024·福建泉州·二模）若椭圆
的离心率为
，则该椭圆的焦距为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】D
【分析】分焦点在
轴或
轴两种情况，求椭圆的离心率，求解参数
，再求椭圆的焦距.
【详解】若椭圆的焦点在
轴，则离心率
，得
，此时焦距
，
若椭圆的焦点在
轴，则离心率
，得
，此时焦距
，
26
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所以该椭圆的焦距为
或
.
故选：D
2．（2024·河北衡水·三模）已知双曲线
：
，圆
与圆
的公共弦所在的直线是
的一条渐近线，则
的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】C
【分析】两圆的方程相减可得双曲线的一条渐近线方程，据此可求双曲线的离心率.
【详解】因为
，
，所以两圆方程相减可得
，
由题意知
的一条渐近线为
，即
，
双曲线
的离心率
．
故选：C．
3．（2024·北京·三模）已知双曲线
的一个焦点坐标是
，则
的值及
的离心率分别
为（ ）
A．
B．
C．1，2
D．
【答案】A
【分析】化双曲线方程为标准形式，再求出
的值及离心率.
【详解】依题意，双曲线
化为：
，
则
，解得
，双曲线
的离心率
.
故选：A
27
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4．（2024·贵州贵阳·三模）过点
的直线与圆
相交于不同的两点M，N，则线
段MN 的中点
的轨迹是（ ）
A．一个半径为10 的圆的一部分
B．一个焦距为10 的椭圆的一部分
C．一条过原点的线段
D．一个半径为5 的圆的一部分
【答案】D
【分析】设
, 根据垂径定理得到
，再转化为
，写出相关向量，代入化简即可.
【详解】设
，根据线段
的中点为
，则
，即
，
所以
，又
，
所以
，即
，
所以点
的轨迹是以
为圆心，半径为5 的圆在圆
内的一部分，
故选：D.
5．（2024·湖南·模拟预测）已知点
，点
，动点M 满足直线AM，BM 的斜率之积为4，则动
点M 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据两点斜率公式即可列等量关系化简求解即可.
【详解】设动点
28
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由于
，
，根据直线
与
的斜率之积为
．
整理得
，化简得：
．
故选：D
6．（2024·陕西榆林·三模）在平面直角坐标系
中，把到定点
距离之积等于
的点的轨迹称为双纽线.若
，点
为双纽线
上任意一点，则下列结论正确的个数是（ ）
①
关于
轴不对称
②
关于
轴对称
③直线
与
只有一个交点
④
上存在点
，使得
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】用定义法把动点的轨迹方程求出来
，利用
代换，方程没有变化，可
知双纽线关于
轴，
轴，原点对称，再利用它与
联立方程组，解得只有一组解，可知③正确，再利
用原点到
的距离正好是
,可知满足题意，所以④正确，从而可以做出所有选项的判断.
【详解】①设
到定点
的距离之积为4，
可得
.
，整理得
，
即曲线
的方程为
，
由
用
代换，方程没变，可知曲线
关于
轴对称，
由
用
代换，方程没变，可知曲线
关于
轴对称，
由
用
代换，
用
同时代换，方程没变，可知曲线
关于原点对称，
图象如图所示：
29
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所以①不正确，②正确；
③联立方程组
，可得
，即
，所以
，
所以直线
与曲线
只有一个交点
，所以③正确.
④原点
满足曲线
的方程，即原点
在曲线
上，则
，
即曲线
上存在点
与原点
重合时，满足
，所以④正确.
故选:C.
7．（2024·福建泉州·二模）双曲线
，左、右顶点分别为A，B，O 为坐标原点，如图，
已知动直线l 与双曲线C 左、右两支分别交于P，Q 两点，与其两条渐近线分别交于R，S 两点，则下列命
题正确的是（ ）
A．存在直线l，使得
B．当且仅当直线l 平行于x 轴时，
C．存在过
的直线l，使得
取到最大值
D．若直线l 的方程为
，则双曲线C 的离心率为
【答案】D
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【分析】根据与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点可对A 项判断；设直线
分别与双
曲线联立，渐近线联立，分别求出和坐标，从而可对B、C 项判断；根据
，求出
，从而
可对D 项判断.
【详解】解：对于A 项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A 项错误；
对于B 项：设直线
，与双曲线联立
，得：
，其中
，
设
，由根与系数关系得：
，
所以线段PQ 中点
，
将直线
，与渐近线
联立得点S 坐标为
，
将直线
与渐近线
联立得点R 坐标为
，
所以线段RS 中点
，
所以线段PQ 与线段RS 的中点重合．所以，对任意的直线l，都有
，故B 项不正
确；
对于C 项：因为
为定值，当k 越来越接近渐近线
的斜率
时，
趋向于无穷，
所以
会趋向于无穷，不可能有最大值，故C 项错误；
对于D 项：联立直线l 与渐近线
，解得
，
31
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联立直线l 与渐近线
，解得
由题可知，
，
，解得
，所以
，故D 项正确．
故选：D．
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
①定义法：通过已知条件列出方程组，求得
得值，根据离心率的定义求解离心率；
②齐次式法：由已知条件得出关于
的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
8．（2024·河南·二模）已知双曲线
的左，右焦点分别为
为坐标原点，焦距
为
，点
在双曲线
上，
，且
的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．4
【答案】C
【分析】依题意可得
为直角三角形，且
，设
，
，利用双曲线的定义及
勾股定理求出
，再由
的面积为
求出
，最后由焦距求出
，即可求出离心率.
【详解】因为
的面积为，所以
的面积为
.
又
，所以
，所以
为直角三角形，且
.
设
，
，所以
，
所以
，
所以
，又
，所以
.
焦距为
，所以
，则
，
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所以
，则离心率
.
故选：C.
9．（2024·重庆·三模）已知抛物线
的焦点为
，过点
的直线交抛物线于A，B 两点，点
在第
一象限，点
为坐标原点，且
，则直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．1
D．-1
【答案】A
【分析】设直线
的倾斜角为
，利用抛物线的焦半径公式
，
表示出
、
，再根据
，求出
，利用同角三角函数的基本关系求
，就是直线的斜率.
【详解】如图：
设直线倾斜角为
，抛物线的准线：
作
于
，根据抛物线的定义，
，
所以
，类似的
.
33
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由
知
，得
，故
.
故选：A
10．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）设
为抛物线
的焦点，若点
在
上，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用点
在抛物线上，得到抛物线的标准方程，确定准线方程，利用抛物线的定义，
.
【详解】依题意，
，解得
，所以
的准线为
，所以
，
故选:D．
11．（2024·山东泰安·二模）设抛物线
的焦点为
，过抛物线上点
作准线的垂线，设垂足为
，
若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意得
，结合正切定义以及
可得
，进一步即可求解.
【详解】如图所示：
设
为准线与
轴的交点，
因为
，且
，所以
，
因为
，所以
，
34
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而在
中，
，
所以
.
故选：A.
二、多选题
12．（2024·江西·模拟预测）已知
，
，
，动点
满足
与
的斜率之积为
，
动点
的轨迹记为
，过点
的直线交
于
，
两点，且
，
的中点为
，则（ ）
A．
的轨迹方程为
B．
的最小值为1
C．若
为坐标原点，则
面积的最大值为
D．若线段
的垂直平分线交
轴于点
，则
点的横坐标是
点的横坐标的
倍
【答案】BCD
【分析】根据求轨迹方程的方法即可求得选项A，结合椭圆的性质即可判断选项B，联立直线
与椭圆方
程，结合韦达定理，即可求出
的面积，利用导数可判断选项C，利用中点坐标公式及直线
与直
线
的关系，即可求出
点和
点的横坐标，从而判断选项D.
【详解】对于选项A，设
，因为
，
，所以
，化简得
，故A 错误；
对于选项B，因为
，则
，
，则
，
35
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所以
为椭圆的右焦点，则
，故B 正确；
对于选项C，设
的方程
，代入椭圆方程，得
，
设
，则
，
，
所以
，
令
，则
，
令
，则
，
在
为增函数，
，
，
所以
，当且仅当
时即
等号成立，故C 正确；
对于选项D，因为
，
，
，
所以
，则
，
设
，则
，则
，
所以
，则
点的横坐标是
点的横坐标的
倍，故D 正确.
故选：BCD.
36
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【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用面积公式得出面积表达式，结合导数得出最值；
二是根据垂直平分得出点之间的关系.
13．（2024·江苏常州·二模）双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，
其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线
的左、右焦点分别为
，从
发出的两条光线经过
的右支上的
两点反射后，分别经过点
和
，其中
共线，
则（ ）
A．若直线
的斜率
存在，则
的取值范围为
B．当点
的坐标为
时，光线由
经过点
到达点
所经过的路程为6
C．当
时，
的面积为12
D．当
时，
【答案】ABD
【分析】根据双曲线的渐近线的斜率，可得判定A 正确；根据双曲线的定义，求得由
经过点
到达点
37
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所经过的路程，可判定B 正确；根据向量的数量积的运算，得到
，得到
，设
，
列出方程，求得
，进而可判定C 错误；在直角
中，结合
，可判定D
正确．
【详解】如图所示，过点
分别作
的两条渐近线的平行线
，则
的斜率分别为
和
，
对于A 中，由图可知，当点
均在
的右支时，
或
，所以A 正确；
对于B 中，光线由
经过点
到达点
所经过的路程为
，所以B 正确；
对于C 中，由
，得
，即
，所以
，
设
，则
，
因为
，所以
，整理得
，
解得
或
（舍去），所以
，
，
所以
的面积
，所以C 错误；
对于D 项，在直角
中，
，
所以
，所以D 正确．
故选：ABD．
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14．（2024·重庆·三模）已知双曲线
的左，右焦点分别为
为双曲线
上点，且
的内切圆圆心为
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线PF1的斜率为
C．
的周长为
D．
的外接圆半径为
【答案】ACD
【分析】对于A，根据三角形与其内切圆性质结合双曲线定义即可求解；根据已知条件
、
、
以
及与各个所需量的关系即可求出
、
和
，进而可依次求出直线PF1
的斜率、结合焦三角形面积公式
得
的周长、结合正弦定理得
的
外接圆半径.
【详解】如图1，由条件，点
应在双曲线
的右支上，
设圆
分别与
的三边切于点
，则由题
，
且
，
，
又
，A 选项正确；
39
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由选项A 得
，连接
、
、
，则
，
所以
，B 选项错误；
同理，
，
，
，
所以由焦三角面积公式得
，
又
，故得
，
的周长为
，
选项正确；
由
，
由正弦定理
得
，D 选项正确.
40
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故选：ACD.
【点睛】关键点睛：求直线PF1的斜率、
的周长、
的外接圆半径的关键是根据已知条件
、
、
以及与各个所需量的关系即可求出
、
和
.
15．（2024·湖北襄阳·二模）抛物线
的焦点为
，
为其上一动点，当
运动到
时，
，直线与抛物线相交于
两点，下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为：
B．抛物线的准线方程为：
C．当直线过焦点
时，以AF 为直径的圆与
轴相切
D．
【答案】BC
【分析】根据焦半径即可求解A，根据准线方程即可求解B，求解圆心和半径即可判断C，设出直线方程，
与抛物线方程联立，韦达定理，利用焦半径公式求出
，即可判断D.
【详解】对于A：当
运动到
时，
，故
，即抛物线为
，故A 错误；
对于B：由
，故抛物线的准线方程为：
，故B 正确；
对于C：当直线过焦点
时，设
为
，则
，
故以
为直径的圆的半径为
，又
，故以
为直径的圆的圆心坐标为
，
圆心到
轴的距离与该圆半径相等，即该圆与
轴相切，故C 正确；
对于D：由题意直线斜率存在，设的方程为
，联立
，
整理得
，
，即
，
41
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所以
，
所以
，
，
所以
，
不能确定什么时候最小，则D 错误.
故选：BC
16．（2024·浙江杭州·三模）如图，平面直角坐标系上的一条动直线l 和x，y 轴的非负半轴交于A，B 两点，
若
恒成立，则l 始终和曲线C：
相切，关于曲线C 的说法正确的有（ ）
A．曲线C 关于直线
和
都对称
B．曲线C 上的点到
和到直线
的距离相等
C．曲线C 上任意一点到原点距离的取值范围是
D．曲线C 和坐标轴围成的曲边三角形面积小于
【答案】BCD
【分析】根据方程与图形，进行距离和面积的相关计算，逐项判断即可.
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【详解】对于A，曲线C：
中，
，所以不关于直线
对称，故错误；
对于B，设C 上一点
，则
，而
，故正确；
对于C，
，
，
所以
，所以曲线C 上任意一点到原点距离的取值范围是
，故正确；
对于D，
到点
的距离
，
故曲线C 位于圆
的左下部分四分之一圆弧的下方，故围成面积小于
．
故选：BCD.
17．（2024·河南·三模）已知椭圆
经过点
，且离心率为
．记
在
处的
切线为，平行于OP 的直线
与
交于A，B 两点，则（ ）
A．C 的方程
B．直线OP 与的斜率之积为-1
C．直线OP，l 与坐标轴围成的三角形是等腰三角形
D．直线PA，PB 与坐标轴围成的三角形是等腰三角形
【答案】ACD
【分析】根据题干列出方程组，解方程组可判断A；根据直线与椭圆相切的可求出直线的方程即可判断
B，C；通过计算
可判断D.
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【详解】
椭圆方程为：
，故A 正确；
如图，因为点
在第一象限，取椭圆方程的右半部分得：
，则
，
所以
，所以
，故B 错误；
，则
为等腰三角形，故C 正确；
，消
可得
，
与坐标轴围成的三角形是等腰三角形，故D 正确.
故选：D
44
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18．（2024·辽宁·模拟预测）已知抛物线
的焦点为F，过F 的直线l 与C 交于A，B 两点，点P
在C 的准线上，那么（ ）
A．若PA 与C 相切，则PB 也与C 相切
B．
C．若点P 在x 轴上，则
为定值
D．若点P 在x 轴上，且满足
，则直线l 的斜率绝对值为
【答案】ABD
【分析】通过证明过焦点弦两个端点的切线的交点在抛物线的准线上判断A，根据以
为直径的圆与抛
物线的准线相切判断B，设直线
的方程为：
，
，
，联立直线与抛物线
方程，消元，列出韦达定理，计算出
判断C，推导出
，可得
轴为
的平分线，即
可得到
，设直线的倾斜角为
，利用焦半径公式求出
，从而判断D.
【详解】依题意，不妨设点
在第一象限，
抛物线
的焦点为
，准线方程为
，
对于A：设
，
，
依题意可得过
，
两点的抛物线的切线不与坐标轴垂直，
不妨设过
的抛物线的切线方程为：
，
即
，
由
，有
，
所以
，
45
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又
，整理得
，解得
，
所以过
的抛物线的切线方程为：
，整理得
，
同理可得过
的抛物线的切线方程为：
，
设两切线的交点为
，由
，
可得
，
设直线
的方程为：
，由
有
，
所以
，
，则
，
所以
，
即两切线的交点
在抛物线的准线上，
所以若
与
相切，则
也与
相切，故A 正确；
对于B：设
的中点为
，由
，则
，则
，
又
，所以
到准线的距离
，
所以以
为直径的圆与抛物线的准线相切，
又点
在
的准线上，所以
，故B 正确；
46
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对于C：依题意可得
，所以
，
，
所以
，显然
不是定值，故C 错误；
对于D：因为
，
所以
轴为
的平分线，
根据角平分线定理可得
，
设直线的倾斜角为
，
47
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则
，
，
所以
，解得
，所以
，
则直线的斜率为
，故D 正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为
、
；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于
（或
）的一元二次方程，必要时计算
；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为
、
的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19．（2024·广东汕头·二模）用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，
可以得到不同的截口曲线，也即圆锥曲线.探究发现：当圆锥轴截面的顶角为
时，若截面与轴所成的角
为
，则截口曲线的离心率
.例如，当
时，
，由此知截口曲线是抛物线.如图，圆锥
中，
、
分别为
、
的中点，
、
为底面的两条直径，且
、
，
.现用平
面
（不过圆锥顶点）截该圆锥，则（ ）
A．若
，则截口曲线为圆
B．若
与
所成的角为
，则截口曲线为椭圆或椭圆的一部分
C．若
，则截口曲线为抛物线的一部分
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D．若截口曲线是离心率为
的双曲线的一部分，则
【答案】BCD
【分析】根据情境，由题可知
，再对每个选项，求出过点
的平面与旋转轴
所成角的余
弦，即
的值，代入
求值，从而利用离心率的范围判断截口曲线类型即可．
【详解】对于A，由题意知过MN 的平面与底面不平行，则截口曲线不为圆，故A 错误；
对于B，
与
所成的角为
，所以
，
因为
，所以
，即
，
所以
，所以平面
截该圆锥得的截口曲线为椭圆或椭圆的一部分，
故B 正确；
对于C，因为
平面
，
平面
，所以
，
因为
，
，
SOD，
所以
平面SOD，又因为
平面SOD，所以
又
为
、
的中点，所以
，
平面MAB，
所以
平面MAB，所以
与SO 所成的角为
，
所以
，
，故C 正确；
对于D， 截口曲线是离心率为
的双曲线的一部分，
则
，
49
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所以平面
，故平面
不经过原点O，故D 正确．
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解截口曲线（圆锥曲线）的离心率的定义，根据情境，由题可知
，再对每个选项，求出过点
的平面与旋转轴
所成角的余弦，即
的值，代入
求值，从而利用离心率的范围判断截口曲线类型即可．
三、填空题
20．（2024·北京·三模）已知双曲线
．则
的离心率是 ；若
的一条渐近线与圆
交于
，
两点，则
．
【答案】
【分析】根据双曲线的标准方程，得到
的值，结合双曲线的几何性质，求得双曲线的离心率和渐近
线方程，再利用圆的弦长公式，即可求解.
【详解】由双曲线
，可得
，则
，
所以双曲线
的离心率为
；
又由双曲线
的其中一条渐近线方程为
，即
，
因为圆
的圆心为
，半径
，
50
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所以圆心
到渐近线的距离为
，
由圆的弦长公式，可得
.
故答案为：
；
.
21．（2024·河北衡水·三模）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，焦距为6，点
，直线
与
交于A，B 两点，且
为AB 中点，则
的周长为 ．
【答案】
【分析】设A，B 两点坐标分别为
，利用点差法可得
，结合
，即可求
得a 的值，再结合
的周长为4a，即得答案.
【详解】由题意知
，
设A，B 两点坐标分别为
，
两式相减得
，
由题意
为AB 中点，
则
，代入整理得
．
51
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即由题意知
，
因此
，所以
，由焦距为6，解得
．
由椭圆定义知
的周长为
．
故答案为：
22．（2024·山东聊城·三模）已知双曲线
的一个焦点为
为坐标原点，点
在
双曲线上运动，以
为直径的圆过点
，且
恒成立，则
的离心率的取值范围为
．
【答案】
/
【分析】先根据题意得到
，即
，再联立直线方程和双曲线方程利用韦达定理化简得
到
，再结合等面积法和向量运算，即可求解离心率.
【详解】设
，直线
:
，
因为以
为直径的圆过点
，所以
，即
，
联立
，整理得
，
且
，
，
，
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则
，
所以
整理得
，
即由
到直线
:
的距离
，
又
，
即
，
而
，
因为
，即
，
所以
，
又
，
所以
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的离心率，难点是联立方程后的化简过程，对计算的要求较高，其
53
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中利用等面积法转化
为关键.
23．（2024·湖南衡阳·三模）如图所示，已知双曲线
的右焦点F，过点F 作直线l
交双曲线C 于
两点，过点F 作直线l 的垂线交双曲线C 于点G，
，且三点
共线
（其中O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为 ．
【答案】
【分析】利用双曲线的几何定义，设
就可以来研究各焦半径的长度，再利用两个勾股定理就可以
求出离心率.
【详解】
设另一个焦点
，连接
，设
则
再根据双曲线的定义可知：
由双曲线的对称性可知，
是
的中点，
也是
的中点，
所以四边形
是平行四边形，又因为
，所以可得
，
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所以由勾股定理得：
，
化简得：
，
再由勾股定理得：
，
代入
得：
，
故答案为：
.
24．（2024·北京·三模）已知抛物线
的焦点为
，则
的坐标为 ；过点
的直线交抛物
线
于
两点，若
，则
的面积为 ．
【答案】
【分析】由给定的抛物线方程直接求出焦点坐标；利用抛物线定义求出点
的纵坐标，再求出三角形面积.
【详解】抛物线
的焦点为
，准线方程为
，
设
，则
，解得
，于是
，
，
所以
的面积为
.
故答案为：
；
25．（2024·湖南长沙·三模）已知椭圆
的离心率为
，过
的左焦点且斜率为1 的
直线与
交于
两点.若
，则
的焦距为 .
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【答案】
【分析】根据题意，得到椭圆
的方程为
，由
的方程为
，联立方程组，求得
，结合弦长公式，列出方程求得的值，即可求解.
【详解】由椭圆
的离心率为
，可得
，则
，
所以椭圆
的方程为
，即
，
由直线
过椭圆
的右焦点
且斜率为，可得
的方程为
，
联立方程组
，整理得
，
则
，
设
，则
，
所以
，
解得
，所以椭圆
的焦距为
.
故答案为：.
26．（2024·河北保定·三模）若双曲线C：
的左、右焦点为
，
，P 是其右支上的动点.若存
在P，使得
，
，
依次成等比数列，则t 的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意，设
，由双曲线定义可得
，则问题转化为
在
上有解，求出二次函数
的值域得解.
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【详解】由题意可知，
，
，
，且
，
，
设
，则
，所以
在
上有解，
又
在
上单调递增，所以
，
所以
，且
，解得
.
故答案为：
.
四、解答题
27．（2024·北京·三模）已知椭圆
的离心率为
．
(1)求椭圆
的方程和短轴长；
(2)设直线
与椭圆
相切于第一象限内的点
，不过原点
且平行于的直线
与椭圆
交于不
同的两点A，B，点
关于原点
的对称点为
．记直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，求
的值．
【答案】(1)椭圆
的方程为
，短轴长为
(2)
【分析】（1）根据椭圆的离心率求出
，即可得解；
（2）根据直线与椭圆相切，求出切点
的坐标，再求出直线
的斜率
；根据
，设出
的方程，
表示出
的坐标，得到
的斜率
，再探索
的值.
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【详解】（1）由题意可得
，解得
，
所以椭圆
的方程为
，短轴长为
；
（2）由
消
得
①，
由
，得
，
此时方程①可化：
，
解得：
（由条件可知：
异号），
设
，则
，
，
即
，所以
，
因为
，所以可设直线
：
（
，
），
由
消
得
，
当
时，方程有两个不相等的实根，
设
，
，
则
，
，
因为
两点关于原点对称，所以
，
所以
，
58
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所以
.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
28．（2024·江西·模拟预测）已知双曲线
的离心率为2，顶点到渐近线的距离为
．
(1)求
的方程；
(2)若直线
交
于
两点，
为坐标原点，且
的面积为
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）由离心率及顶点到渐近线的距离列方程即可求；
（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式，点到直线距离公式求解面积即可.
【详解】（1）记
的半焦距为，由题得
的离心率
，①
由对称性不妨设
的顶点为
，渐近线方程为
，则
，②
又
，③
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联立①②③解得
，
，
，
所以
的方程为
．
（2）设
，
由
得
，
所以
，
解得
，且
，
所以
，
，
所以
．
又点
到直线的距离
，
所以
的面积
，
解得
或
，符合
式，
所以
或
．
29．（2024·山东·模拟预测）已知抛物线
：
经过点
.
(1)求抛物线
的方程；
(2)设直线
与
的交点为
，
，直线
与
倾斜角互补.
（i）求
的值；
（ii）若
，求
面积的最大值.
【答案】(1)
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(2)（i）
；（ii）
.
【分析】（1）把
点坐标代入抛物线方程，可求
的值.
（2）（i）把直线方程代入抛物线方程，消去
，得到关于
的一元二次方程，利用一元二次方程根与系
数的关系，得到
和
，把直线
与
倾斜角互补，转化成
,可求
的值；（ii）先求弦
长
，再求
到直线
的距离，可表示出
的面积，再结合基本不等式可求面积的最大值.
【详解】（1）由题意可知，
，所以
，
所以 抛物线
的方程为
.
（2）（i）如图：
设
，将直线
的方程代入
得：
，所以
，
因为直线
与
倾斜角互补，
所以
，
即
，
所以
，
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即
，所以
.
（ii）由（i）可知
，所以
，
则
，
因为
，所以
，即
，
又点
到直线
的距离为
，
所以
，
因为
，
所以
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
面积最大值为
.
30．（2024·山东济宁·三模）已知椭圆
的左焦点为
，上顶点为
，离心率
，
直线FB 过点
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)过点
的直线与椭圆
相交于M，N 两点（M、N 都不在坐标轴上），若
，求直线的
方程.
【答案】(1)
；
(2)
.
62
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【分析】（1）根据给定条件，求出
即得椭圆
的标准方程.
（2）根据给定条件，借助倾斜角的关系可得
，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达
定理结合斜率的坐标公式求解即得.
【详解】（1）令
，由
，得
，则直线
的斜率
，
由直线
过点
，得直线
的方程为
，因此
，
所以椭圆
的标准方程为
.
（2）设
，直线
的倾斜角为
，
直线
的倾斜角为
，由直线
的斜率
知直线
的倾斜角为
，
于是
，即有
，显然
均不等于
，
则
，即直线
的斜率满足
，
由题设知，直线的斜率不为0，设直线的方程为
，
由
，消去x 并整理得，
，显然
，
设
，则
，
由
，得
，即
，
则
，整理得
，
即
，于是
，而
，解得，
，
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所以直线的方程为
，即
.
【点睛】关键点点睛：本题第2 问，由
，结合直线倾斜角及斜率的意义求得
是
解题之关键.
31．（2024·重庆·三模）已知
为圆
上一个动点，MN 垂直
轴，垂足为N，O 为坐标原点，
的重心为
.
(1)求点
的轨迹方程;
(2)记（1）中的轨迹为曲线
，直线与曲线
相交于A、B 两点，点
，若点
恰好是
的垂心，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设
，根据
为
的重心，得
，代入
，化简即可求
解.
（2）根据垂心的概念求得
，设直线方程，与椭圆联立韦达定理，利用
得
，将韦达定理代入化简即可求解.
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【详解】（1）设
，则
，因
为
的重心，
故有：
，解得
，代入
，化简得
，
又
，故
，所以
的轨迹方程为
.
（2）因
为
的垂心，故有
，
又
，所以
，故设直线的方程为
，
与
联立消去
得：
，
由
得
，
设
，则
，
由
，得
，所以
，
所以
，
所以
，化简得
，
解得
（舍去）或
（满足
），故直线的方程为
.
32．（2024·云南曲靖·模拟预测）已知抛物线
，焦点为
，点
为曲线
的准线与对称轴的交点，
过
的直线与抛物线
交于
两点.
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(1)证明：当
时，
与抛物线相切；
(2)当
时，求
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意设直线为
，
，将直线方程代入抛物线方程化简，利
用根与系数的关系，再结合
可求出
，从而可求出
的坐标，则可求出直线
方
程，分别与抛物线方程联立可证得结论；
（2）由（1）可得
平分
，则
，利用三角函数恒等变换公式可求出
，从而得
，
，两式相乘化简可求得
，再利用弦长公式可求得结果.
【详解】（1）由题意得
，设直线为
，
，
由
，得
，
，
所以
，
，
，
因为
，所以
，
66
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所以
，
所以
，
所以
，
，得
，
所以直线为
，则
，
此时直线
关于
对称，
，
，
所以
为
，直线
为
，
由
，得
，
，
所以方程组只有一组解，所以直线
与抛物线相切，
由
，得
，
，
所以方程组只有一组解，所以直线
与抛物线相切，
综上，当
时，
与抛物线相切；
（2）由（1）可知
，
，
，
67
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所以
，
所以
平分
，
因为
，所以
，
因为
，
所以
，
，
所以
，
，
，
所以
，
，得
，
所以
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【点睛】关键点点睛：此题考查抛物线与直线的位置关系，考查根与系数的关系的应用，考查弦长公式的
应用，考查抛物线的焦点弦问题，解题的关键是将直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，
再结合斜率公式得到
平分
，考查数形结合思想和计算能力，属于较难题.
33．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线
：
（
）的焦点为
，
为抛物线上一点，
，若
的最小值为2．
(1)求抛物线
的方程；
(2)直线过点
且交抛物线
于
，
两点，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设
，根据
可求
的值，得到抛物线方程.
（2）设直线的点斜式方程（注意讨论），与抛物线方程联立，设
，
，由一元二次方
程根与系数的关系，得到
，
，再根据抛物线的概念，用
，
表示出
，利用二
次函数求它的范围.
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【详解】（1）设
，则
，等号成立当且仅当
，
所以
，
所以抛物线
的方程为
．
（2）设
，
，当直线的斜率存在时，由题易知直线的斜率不为0，
设直线的方程为
（
），
与抛物线
的方程联立
消去
得
，
由
在抛物线内部，故
，所以
，
．
由（1）知，
为抛物线
的焦点，由抛物线定义得，
，
所以当
，
时，
的最小值为
；
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当直线的斜率不存在时，
．
由抛物线定义知
．
综上，
的最小值为
．
34．（2024·湖南长沙·二模）已知椭圆
中心在原点，左焦点为
，其四个顶点的连线围成的四边形
面积为
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)过椭圆
的左焦点
作斜率存在的两直线
、
分别交椭圆于
、
、
、
，且
，线段
、
的中点分别为
、
.求四边形
面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题可知椭圆的焦点在
轴上，标准方程可设为
，由椭圆的性质可得
四边形面积为
，由焦点坐标可知
，联立方程即可求出
、
（2）由点斜式设出直线
、
的方程，联立直线
与椭圆
的方程，写出判别式和韦达定理，由弦
长公式得到
，同理可得
，四边形
面积为
，而
、
，利
用
和
进行转化，即可求出面积的最小值.
【详解】（1）根据题意可知椭圆的焦点在
轴上，设椭圆
的标准方程为
，
椭圆四个顶点的连线围成的四边形是菱形，两条对角线互相垂直，而两条对角线长分别为
，
，
由已知得
，即
，
71
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因为左焦点为
，所以
，可得
，
联立
，解得
，
故椭圆
的标准方程为
.
（2）作出椭圆
的图象，如下图所示：
根据题意可知直线
、
的斜率存在，且
，
所以两直线
、
的斜率存在且不为0，
因此设直线AB、CD 的斜率分别为
、
，
又
，设直线
方程为
，直线
方程为
，
设
、
、
、
的坐标分别为
、
、
、
，
设四边形
面积为.
联立
，得
，
，
因为
、
是该方程两根，由韦达定理可得
，
由弦长公式可得
，
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则
，
同理可得，
.
因为
、
分别是线段
、
的中点，且
，
所以
，
，
，
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
故四边形
面积的最小值为
.
35．（2024·福建厦门·三模）平面直角坐标系
中，动点
在圆
上，动点
（异于原点）在
轴上，且
，记
的中点
的轨迹为
.
(1)求
的方程；
(2)过点
的动直线与
交于A，B 两点.问：是否存在定点
，使得
为定值，其中
分别为直线
NA，NB 的斜率.若存在，求出
的坐标，若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
或
或
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【分析】（1）设点
，
，由题意可得
代入
即可得结果；
（2）方法一： 设l 的方程：
，联立方程，结合韦达定理可得
，由题意可得
，分析求解即可；方法二：
设的方程：
，联立方程，结合二次式的零点式分析可得
，
由题意可得
，分析求解即可.
【详解】（1）设点
，
，
因为
，则
，
由M 为PO 中点得
，则
，
代入
，得
.
所以动点M 的轨迹
的方程为
.
（2）方法一：存在N 满足题意，证明如下：
依题意直线l 的斜率存在且不为0，
设l 的方程：
，
，
，
，
联立方程
，消去y 得
，
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则
，
，
直线方程化为
，
联立方程
，消去x 得
，
则
，
可得
.
，
依题意直线NA，NB 与坐标轴不平行，且
为定值，
可得
，
由
，整理得
，
由
，整理得
，
解得得
或
，
代入
，解得
或
或
，
所以
或
或
满足题意；
方法二：存在
满足题意，证明如下：
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依题意直线的斜率存在且不为0，
设的方程：
，
，
，
，
联立方程
，消去y 得
.
因为
为上式的两根，
则
，
直线方程化为
.
联立方程
，消去x 得
，
因为
为上式的两根，
则
.（2）
由题意可得：
，
依题意直线NA，NB 与坐标轴不平行，且
为定值，
可得
，
由
，整理得
，
由
，整理得
，
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解得得
或
，
代入
，解得
或
或
，
所以
或
或
满足题意.
【点睛】方法点睛：存在性问题求解的思路及策略
（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．
（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；
②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．
77
