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2025二轮复习专项训练28
定点、定值问题
[考情分析] 解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识模块，定点和定值问题
是高考考查的重点知识，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等，试题难度较
大，多次以压轴题出现．
【练前疑难讲解】
一、定点问题
求解定点问题常用的方法
(1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一
般性证明．
(2)“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到
定点坐标．
(3)求证直线过定点(x，y)，常利用直线的点斜式方程y－y＝k(x－x)来证明．
0 0 0 0
二、定值问题
求圆锥曲线中定值问题常用的方法
(1)引出变量法：其解题流程为
→
↓
→
↓
→
(2)特例法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
一、单选题
1．（22-23高三下·河北衡水·阶段练习）已知抛物线 过点 ，动点
M，N为C上的两点，且直线AM与AN的斜率之和为0，直线l的斜率为 ，且过C的焦
点F，l把 分成面积相等的两部分，则直线MN的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23高二上·山东济宁·期末）已知双曲线 ，抛物线
学科网（北京）股份有限公司的焦点为 ，抛物线 的准线与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ，若
为正三角形，则双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（22-23高三上·山东东营·期末）已知椭圆 与直线
交于 两点，记直线 与 轴的交点为 ，点 关于原点对称，若 ，则
（ ）
A． B．椭圆 过 个定点
C．存在实数 ，使得 D．
4．（2023·江苏·二模）已知椭圆 ，点 为右焦点，直线 与椭圆交
于 两点，直线 与椭圆交于另一点 ，则（ ）
A． 周长为定值 B．直线 与 的斜率乘积为定值
C．线段 的长度存在最小值 D．该椭圆离心率为
三、填空题
5．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角的正切值
为 .若直线 （ 且 ）与双曲线交于A，B两点，直线 ， 的
学科网（北京）股份有限公司斜率的倒数和为 ，则直线 恒经过的定点为 .
6．（2023·福建漳州·三模）已知椭圆 的长轴长为 ，离心率为 ，
为 上的两个动点，且直线 与 斜率之积为 （ 为坐标原点），则椭圆 的
短轴长为 ， .
四、解答题
7．（2024·北京·高考真题）已知椭圆 ： ，以椭圆 的焦点和短轴端
点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点 且斜率存在的直线与椭圆 交于
不同的两点 ，过点 和 的直线 与椭圆 的另一个交点为 ．
(1)求椭圆 的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
8．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知双曲线 ： 的离心率为 ，
点 在双曲线 上．过 的左焦点F作直线 交 的左支于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若 ，试问：是否存在直线 ，使得点M在以 为直径的圆上?请说明理由．
(3)点 ，直线 交直线 于点 ．设直线 、 的斜率分别 、 ，求证：
为定值．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 D C AB BCD
学科网（北京）股份有限公司1．D
【分析】由题意求出抛物线方程为 ，设 ，直线 ，
联立直线和抛物线的方程结合韦达定理由 ，可求出 ，再求出直线l的方
程，由题意可转化为 到直线 的距离为 到直线 距
离的 ，代入求解即可得出答案.
【详解】因为抛物线 过点 ，
所以 ，解得： ，所以 ，
设 ，
直线 ，代入 中整理得 ，
所以 , ，
所以
，即 ，
则 ，解得： ，
所以直线 ，
直线l的斜率为 ，且过C的焦点 ，
所以 ，则 到直线 的距离为 ，
所以l把 分成面积相等的两部分，因为直线 与直线 平行，
所以 到直线 的距离为 到直线 距离的 ，
学科网（北京）股份有限公司，解得： 或 （舍去）.
所以直线MN的方程为 .
故选：D.
2．C
【分析】根据双曲线方程，把渐近线表示出来，推出 两点坐标，利用 为正三角
形，列方程解系数既可.
【详解】双曲线 的两条渐近线方程为 ，
抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，不妨取 ， ，
为正三角形，由对称性可知，直线 的倾斜角为 ，则 ，解得
，
所以双曲线 的两条渐近线方程为 .
故选：C
3．AB
【分析】将椭圆方程与直线方程联立可得韦达定理的结论，利用垂直关系的向量表示，结
合向量数量积坐标运算和韦达定理可整理得到A正确；由A中结论变形可得 ，
由此可得椭圆所过四个定点坐标，知B正确；利用弦长公式表示并化简得到
，根据 可求得 的范围，由此可知C错误；令
学科网（北京）股份有限公司，可解得 ，知D错误.
【详解】设 ， ，
由 得： ，
则 ， ，
， ；
对于A，由题意知： ， ，
， ，
即 ，
， ，A正确；
对于B，由 知： ，则当 时，椭圆方程恒成立，
椭圆 过定点 ， ， ， ，共 个，B正确；
对于C， ，
即
学科网（北京）股份有限公司；
又 ， ，
，即 ，
不存在实数 ，使得 ，C错误；
对于D，令 ，解得： ， 存在实数 使得 ，D错误.
故选：AB.
4．BCD
【分析】通过 取不同值求出周长即可判断A，设出点的坐标利用斜率公式化简即可判断
B，确定线段 取最小值的条件即可判断C，确定 、 的值即可求出离心率从而判断
D．
【详解】该椭圆中 ，则 ，
所以离心率为 ，故D正确；
设 ， ， ，
则在 、 斜率都存在的前提下有 ， ，
于是
为定值，故B正确；
学科网（北京）股份有限公司由题意可设 的方程为 ，
联立 ，消 得 ，
则 ，
所以
，
则当 时， ，
所以线段 的长度存在最小值，故C正确.
当 时，直线 与椭圆 交于点 和 ，
不妨取点 为 ，得直线 方程为 ，
求得交点 为 ，
则 ， ， ，此时 的周长为 ，
当 时，联立 ，解得 ，不妨取 ，
则 垂直于 轴，此时 ， ， ，
此时 的周长为 ，
显然 周长不为定值，故A错误；
学科网（北京）股份有限公司故选：BCD．
5．
【分析】先根据渐近线的倾斜角算出 ，然后联立直线和双曲线，结合题目条件和韦达定
理找到 的关系，从而得到定点.
【详解】因为双曲线方程为 一条渐近线的倾斜角的正切值为 .所以
，解得 ，所以双曲线方程为 .
设 ， ，联立 得 ，
.
由韦达定理得 ， .
因为 ，所以
.
所以 ，由题意知 ，此时 .
所以直线方程为 ，恒经过的定点为 .
学科网（北京）股份有限公司故答案为：
6．
【分析】根据椭圆长轴长、离心率可求得 ，由此可得短轴长及椭圆方程；设
， ，根据斜率关系，结合两角和差公式可整理得到
，利用两点间距离公式，结合诱导公式和同角三角函数关系可求得结
果.
【详解】 椭圆 的长轴长为 ， ，又离心率 ，
， 椭圆 的短轴长为 ， 椭圆 ；
设 ， ，
， ，
.
故答案为： ； .
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的几何性质，求解距离平方和的关键是能够通过三角
换元的方式，结合斜率关系得到 所满足的关系式，进而结合诱导公式来进行求解.
7．(1)
(2)
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）由题意得 ，进一步得 ，由此即可得解；
（2）设 ， ，联立椭圆方程，由韦达定理有
，而 ，令 ，即可得解.
【详解】（1）由题意 ，从而 ，
所以椭圆方程为 ，离心率为 ；
（2）直线 斜率不为0，否则直线 与椭圆无交点，矛盾，
从而设 ， ，
联立 ，化简并整理得 ，
由题意 ，即 应满足 ，
所以 ，
若直线 斜率为0，由椭圆的对称性可设 ，
所以 ，在直线 方程中令 ，
得 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司此时 应满足 ，即 应满足 或 ，
综上所述， 满足题意，此时 或 .
8．(1) ；
(2)不存在，理由见解析；
(3)证明见解析
【分析】(1)根据题意列式求 ，进而可得双曲线方程；
(2)设 ，联立方程，利用韦达定理判断 是否为零即可；
(3)用 两点坐标表示出直线 ，得点 坐标，表示出 ，结合韦达定理，证明
为定值．
【详解】（1）由双曲线 的离心率为 ，且 在双曲线 上，
可得 ，解得 ，∴双曲线的方程为 ．
（2）双曲线 的左焦点为 ，
当直线 的斜率为0时，此时直线为 ，与双曲线 左支只有一个交点，舍去；
当直线 的斜率不为0时，设 ，
联立方程组 ，消 得 ，易得 ，
学科网（北京）股份有限公司设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，可得 ，
1 1 2 2
∵ ，
则
，
即 ，可得 与 不垂直，
∴不存在直线 ，使得点 在以 为直径的圆上．
（3）由直线 ，得 ，
∴ ，又 ，
∴
，
∵ ，∴ ，且 ，
∴ ，即 为定值．
【基础保分训练】
一、单选题
学科网（北京）股份有限公司1．（22-23高二上·北京丰台·期末）设圆 ，直线 ， 为 上的动
点．过点 作圆 的两条切线 ，切点为 ，给出下列四个结论：
①当四边形 为正方形时，点 的坐标为
② 的取值范围为
③当 为等边三角形时，点 坐标为
④直线 恒过定点
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（21-22高二上·安徽蚌埠·期末）已知直线l与抛物线 交于不同的两点A，B，O
为坐标原点，若直线 的斜率之积为 ，则直线l恒过定点（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高三下·湖南·阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上（异
于顶点）， （点 为坐标原点），过点 作直线 的垂线与 轴交于点 ，
则 （ ）
A．6 B． C．4 D．
4．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知双曲线 ： ，点P为曲线 在第三象
限一个动点，以下两个命题，则（ ）
①点P到双曲线两条渐近线的距离为 ， ，则 为定值.
②已知A、B是双曲线上关于原点对称不同于P的两个点，若PA、PB的斜率存在且分别为
学科网（北京）股份有限公司， ，则 为定值.
A．①真②真 B．①假②真
C．①真②假 D．①假②假
二、多选题
5．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知 是抛物线 的焦点，
是 上的两点， 为原点，则（ ）
A．若 垂直 的准线于点 ，且 ，则四边形 的周长为
B．若 ，则 的面积为
C．若直线 过点 ，则 的最小值为
D．若 ，则直线 恒过定点
6．（22-23高二下·浙江·开学考试）设 为双曲线 ： 上一动点， ， 为上、
下焦点， 为原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若点 ，则 最小值为7
B．若过点 的直线交 于 两点（ 与 均不重合），则
C．若点 ， 在双曲线 的上支，则 最小值为
D．过 的直线 交 于 、 不同两点，若 ，则 有4条
7．（22-23高二上·湖南衡阳·期中）圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫
做“阿基米德三角形”.如图 是抛物线 的阿基米德三角形，弦AB
经过焦点F，又BC，AD均垂直于准线l，且C，D为垂足，则下列说法正确的有（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．以AB为直径的圆必与准线l相切于M点
B． 为定值4
C． 为定值
D． 有最小值
8．（22-23高三上·广东云浮·阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点分别是 ，
左、右顶点分别是 ，点 是椭圆 上异于 的任意一点，则下列说法正确的是
（ ）
A． B．若 的面积为 ，则点 的横坐
标为
C．存在点 满足 D．直线 与直线 的斜率之积为
三、填空题
9．（2023·湖南长沙·一模）如图，已知抛物线C： ，圆E： ，直线
OA，OB分别交抛物线于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积等于 ，则直线
AB被圆E所截的弦长最小值为 ．
学科网（北京）股份有限公司10．（22-23高二上·山东枣庄·期末）设椭圆 的上顶点为 ，且长轴长为 ，过
任作两条互相垂直的直线分别交椭圆 于 ， 两点，则直线 过定点 ．
11．（2022高三·全国·专题练习）已知椭圆 左顶点为 ， 为椭圆 上两动
点，直线 交 于 ，直线 交 于 ，直线 的斜率分别为 且
， （ 是非零实数），求 .
12．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知 为双曲线 上一点，以 为切点的切线为
，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ，则 （ 为坐标原点）的面积为
．
四、解答题
13．（2024·浙江杭州·二模）已知 是椭圆 的左，右顶点，点
与椭圆上的点的距离的最小值为1.
(1)求点 的坐标.
(2)过点 作直线 交椭圆 于 两点（与 不重合），连接 ， 交于点 .
（ⅰ）证明：点 在定直线上；
（ⅱ）是否存在点 使得 ，若存在，求出直线 的斜率；若不存在，请说明理由.
14．（2023·江苏南通·一模）已知双曲线 的左顶点为 ，过左焦
学科网（北京）股份有限公司点 的直线与 交于 两点.当 轴时， ， 的面积为3.
(1)求 的方程；
(2)证明：以 为直径的圆经过定点.
15．（2023·四川南充·三模）已知椭圆 的左、右焦点为 ， ，离
心率为 ．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线 、 分别与椭圆C交于点
A、B， 的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若 ， ，求证： 为定值．
16．（23-24高二上·浙江·期中）已知双曲线 的右焦点 ，离心
率为 .
(1)求双曲线的方程；
(2)过点 直线与双曲线交于 两点，设直线 的斜率分别为 ，
求证： 为定值.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A A A BCD CD ABC BD
1．B
【分析】对于①，当四边形 为正方形时，利用 ，求出 ，
学科网（北京）股份有限公司再设 ，利用 ，解方程 ，可知①不正确；
对于②，设 ，利用 ， 以及二次函数
知识可得 ；故②正确
对于③，根据 为等边三角形，可得 ， ，设出点 的
坐标，利用 可求出结果；
对于④，设出点 的坐标，求出以 为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共
弦 的方程，将 代入直线 的方程恒成立，可得答案.
【详解】对于①，当四边形 为正方形时， ，
又圆 的圆心 ，半径 ，
所以 ，
设点 ，则 ，
所以 ，
化简得 ，该方程的判别式 ，该方程无解，
所以不存在点 使得四边形 为正方形，故①不正确；
对于②，由①可知，
，即 的取值范围为 ，故②正确；
对于③，设点 ，则 ，
当 为等边三角形时，可知 ，
又 平分 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司在直角三角形 中，由于 ,
所以 ，即 ，所以 ，
又点 ，所以 ，
化简得 ，解得 ，所以 ，则 ，故③不正确；
对于④，设点 ，则 ， ，
以 为直径的圆的圆心为 ，半径为 ，
所以以 为直径的圆的方程为 ，
化简得 ，
联立 ，得 ，
所以直线 的方程为： ，
将 代入直线 的方程恒成立，
故直线 恒过定点 ，故④正确.
所以正确的答案有2个，
故选：B.
2．A
【分析】设出直线方程 ，联立抛物线方程，得到 ，进而得
到 的值，将直线 的斜率之积为 ，用A,B点坐标表示出来，结合 的值即可
求得答案.
学科网（北京）股份有限公司【详解】设直线方程为 ，
联立 ，整理得： ，
需满足 ，即 ，
则 ，
由 ，得： ，
所以 ，即 ，
故 ，
所以直线l为： ，当 时， ，
即直线l恒过定点 ，
故选：A.
3．A
【分析】设 ，由 ，得 为 的中点, 表示 的方程，求出点 的
坐标，结合抛物线的定义求得结果.
【详解】法一：依题意，设 ，由 ，得 为 的中点且 ，
则 ，易得直线 的垂线 的方程为 .
令 ，得 ，故 ，由抛物线的定义易知 ，
故 ，
故选:A.
学科网（北京）股份有限公司法二：特殊值法.不妨设 ，则 ，则 ，易得直线 的垂线 的方程
为 .令 ，得 ，故 ，又 ，故 .
故选:A.
4．A
【分析】
根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，借助点到直线距离计算 判断①，利用斜率
坐标公式计算判断②作答.
【详解】依题意，设 ，且有 ，双曲线 的渐近线为
，
因此 为定值，①真；
设 ，则 ，且 ，显然 ，
否则， 之一垂直于y轴，由双曲线对称性知另一条必垂直于x轴，其斜率不存在，
不符合题意，
则 为定值，
②真，
所以①真②真.
故选：A
5．BCD
【分析】对于A，由条件可得 垂直于 轴，然后可得四边形 的周长，对于B，由
条件可得点 的横纵坐标，即可得 的面积，对于C，设直线 ，然后联
学科网（北京）股份有限公司立抛物线的方程消元，然后得到 ，然后结合基本不等式可得 的最小值，对
于D，设直线 ，然后联立抛物线方程消元，然后由 可求出 的值.
【详解】
对于选项 ，由题意知 ，且 垂直于 轴，根据抛物线的定义可知 .
设 与 轴的交点为 ，易知 ，
故 ，
所以四边形 的周长为 ，选项 错误；
对于选项 ，由题意得 ，解得 ，所以 ，
从而 ，选项 正确；
对于选项 ，若直线 过点 ，设直线 ，
联立直线 与抛物线方程得 ，易得 ，
则 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，选项C正确；
对于选项D，设直线 ，联立直线 与抛物线方程得 ，
学科网（北京）股份有限公司则 ，即 ， ，所以 ，
由 可得 ，
即 ，解得 ，
故直线 的方程为 ，即直线 恒过定点 ，选项D正确.
故选：BCD.
6．CD
【分析】结合双曲线的图象与性质，逐项判断，即可确定本题答案.
【详解】由双曲线 ： ，得 ，设 ，
则 ，当且仅当 时取等号，所以 最
小值为 ，故A错误；
设 两点坐标分别为 ， ，
当 时，有 ，
又因为 ，所以 ；
当 时， 有一个不存在； 故B错误；
，故C正确；
由双曲线 ： ，可得通径长为 ，且实轴长 ，所以这样的直
线 有4条，故D正确.
学科网（北京）股份有限公司故选：CD
7．ABC
【分析】根据抛物线的切线方程，相似关系，联立直线与抛物线方程后根与系数的关系，
两角和的正切公式代入即可求解.
【详解】
先证明出抛物线 在其上一点 处的切线方程为
证明如下：
由于点 在抛物线 上，
则 ，
联立
即 ， ，
所以抛物线 在其上一点
处的切线方程为
学科网（北京）股份有限公司设 ， ，设直线AB的方程为 ，
联立 消去x得 ，
根据根与系数的关系可得 ，
又抛物线 在点A处的切线方程为 ，即
同理可知，抛物线 在点B处的切线方程为 ，
由题意知 ， ，
直线MA的斜率为 ，直线MB的斜率为 ，
，
所以， ，即点M在以AB为直径的圆上，
联立 ，
解得 ，
所以点M的横坐标为 ，
所以点M在抛物线的准线上，即以AB为直径的圆必与准线l相切于M点，
故A正确;
当AB垂直于x轴时，由抛物线的对称性可知，点 M为抛物线的准线与x轴的交点，
学科网（北京）股份有限公司此时 ，则 ， ，
又此时 ，则 为定值4，
当AB不与x轴垂直时，直线AB的斜率为 ，
直线MF的斜率为 ，
，
则 ，在 中， ，
又以AB为直径的圆与准线l相切于M点，
设以AB为直径的圆的圆心为 ，即得 ，
则点M坐标为 ，
则 ，
故B正确;
，
故C正确;
由题意知 ， ，
则
又根据题意知 ，则 无最小值.
学科网（北京）股份有限公司故D错误.
故选：ABC.
8．BD
【分析】结合椭圆的定义、直线斜率、椭圆中三角形的面积等知识对选项进行分析，从而
确定正确选项.
【详解】依题意 ，
所以 ，A选项错误.
， ，
，B选项正确.
，“ ” 中的等号成立的条件是 ，
所以不存在 满足 ，C选项错误.
设 ， ，
，
，D选项正确.
学科网（北京）股份有限公司故选：BD.
9．
【分析】先由两直线斜率之积构造齐次化方程，得出直线AB过定点 ，再利用直线与
圆的位置关系计算弦长确定最值即可.
【详解】设 ， ，设 ： ，又 ，∴ ，
∴ ，∴ ．
∴ ，∴ ，
∴直线AB恒过点 ，
由图结合圆的弦长公式可知，当圆心E到动直线AB的距离最大时，即
当直线 时，弦长最短，此时弦 最小为 ．
故答案为：
10．
【分析】根据题意求出椭圆C的方程，设直线AB的方程为 ，与椭圆方程联立，
结合韦达定理与 ，求得 的值，进而可得答案．
【详解】根据题意椭圆的焦点在 轴上，设椭圆的方程为
学科网（北京）股份有限公司∵上顶点为 ，∴ ，
又长轴长为 ，∴ ，
则椭圆C的方程为 ，
易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为 ，
由 可得 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，解得 或 ．
当 时，直线AB经过点D，不满足题意，
学科网（北京）股份有限公司则直线AB的方程为 ，故直线AB过定点 ．
故答案为： ．
11．1
【分析】设 ，由 以及 解出
，代入椭圆方程求出 ；同理可得 ；进而求出
的值．
【详解】解法1：可得点 ，设 ，则 ，
由 可得 ，即有 ，
， ，两边同乘以 ，可得
，解得 ，将 代
入椭圆方程可得 ，由 可得 ，可得 ；
故答案为： ．
解法2：作变换 之后椭圆变为圆，方程为 ，
，
设 ，则 ，
，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
，
∴ .
故答案为： ．
12．
【分析】根据给定条件，求出双曲线渐近线方程，设出直线 的方程，联立求出点 的
纵坐标，再利用直线 与双曲线相切借助判别式求出三角形面积作答.
【详解】双曲线 的渐近线为 ，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于点
，
显然直线 不垂直于y轴，设直线 ， ，
由 得点 的纵坐标 ，由 得点 的纵坐标 ，
由 消去x得 ，
于是 ，化简得 ，
直线 与x轴交点的横坐标为 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 的面积 .
故答案为：
13．(1) ；
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）存在，
【分析】（1）设P(x ,y )，利用两点间距离公式得 ，然后
0 0
根据 分类讨论求解即可；
（2）（ⅰ）设直线 ，与椭圆方程联立方程，结合韦达定理
得 ，写出直线 ， 的方程，进而求解即可；
（ⅱ）由题意点 在以 为直径的圆上，代入圆的方程求得 ，写出直线
的方程，与椭圆联立，求得点C的坐标，进而可得答案.
【详解】（1）设P(x ,y )是椭圆上一点，则 ，
0 0
因为 ，
①若 ，解得 （舍去），
②若 ，解得 （舍去）或 ，
所以 点的坐标位 .
（2）（ⅰ）设直线 ，
学科网（北京）股份有限公司由 ，得 ，所以 ，
所以 ，①
由 ，得 或 ，
y
易知直线 的方程为y= 1 (x+2)，②
x +2
1
直线 的方程为 ，③
联立②③，消去 ，得 ，④
联立①④，消去 ，则 ，
解得 ，即点 在直线 上；
（ⅱ）由图可知， ，即 ，所以点 在以 为直径的圆上，
设 ，则 ，所以 ，即 .
故直线 的方程为 ，
直线 的方程与椭圆方程联立，得 ，因为 ,
所以 ，所以 ,故 .
学科网（北京）股份有限公司14．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，可得 ， ，进而求解；
（2）设 方程为 ， ，联立直线和双曲线方程组，可得
，以 为直径的圆的方程为 ，
由对称性知以 为直径的圆必过 轴上的定点，进而得到 ，
进而求解.
【详解】（1）当 轴时， 两点的横坐标均为 ，
代入双曲线方程，可得 ， ，即 ，
由题意，可得 ，解得 ， ， ，
双曲线 的方程为： ；
学科网（北京）股份有限公司（2）方法一：设 方程为 ， ，
以 为直径的圆的方程为 ，
由对称性知以 为直径的圆必过 轴上的定点，令 ，可得
，
而 ，
，
对 恒成立， ，
以 为直径的圆经过定点 ；
方法二：设 方程为 ，
由对称性知以 为直径的圆必过 轴上的定点.
学科网（北京）股份有限公司设以 为直径的圆过 ，
，
而
，
，
，即 对 恒成立，
，即以 为直径的圆经过定点 .
15．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用椭圆的定义及性质计算即可；
（2）设直线PA的方程为 ，设 ， ，联立椭圆方程结合
韦达定理可得 的关系，再由易知向量线性关系转化 ，计算即
可.
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
由离心率为 得 ，从而 ，
所以椭圆C的标准方程为 ．
学科网（北京）股份有限公司（2）
设 ， ，则 ，
可设直线PA的方程为 ，其中 ，
联立 ，化简得 ，
则 ，同理可得， ．
因为 ， ．
所以
，
所以 是定值 .
16．【小题1】 ； 【小题2】证明见解析
【分析】
学科网（北京）股份有限公司（1）根据焦点坐标，离心率列出方程组，求出 ，即可写出双曲线方程.
（2）先根据题意可判断直线AB的斜率存在且不为0,结合过点 设出直线方程；再与双曲
线方程联立得到两根之和、两根之积；最后表示出 ，结合韦达定理化简即可证明结果.
【详解】（1）由题意得 ，解得 ，所以双曲线的方程为 .
（2）由题意得直线AB的斜率存在且不为0.设直线 方程为 ， ，
.
联立 ，消去 得 ，
所以 .
，
又 ，
.
【能力提升训练】
一、单选题
1．（21-22高二下·四川遂宁·阶段练习）点 ， 是曲线C： 的左右焦点，过
学科网（北京）股份有限公司作互相垂直的两条直线分别与曲线交于A，B和C，D；线段AB，CD的中点分别为M，
N，直线 与x轴垂直且点G在C上.若以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，则圆面积
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（21-22高二下·贵州贵阳·期末）抛物线 的焦点为 ，其准线与 轴的交点为 ，
过点 作直线与此抛物线交于 ， 两点，若 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、多选题
3．（2023·安徽·三模）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 、 是 上异于点
的两点（ 为坐标原点）则下列说法正确的是（ ）
A．若 、 、 三点共线，则 的最小值为
B．若 ，则 的面积为
C．若 ，则直线 过定点
D．若 ，过 的中点 作 于点 ，则 的最小值为
4．（22-23高三下·广东清远·阶段练习）已知 是抛物线 的焦点，点
在抛物线 上，过点 的两条互相垂直的直线 ， 分别与抛物线 交于 ， 和
， ，过点 分别作 ， 的垂线，垂足分别为 ， ，则（ ）
A．四边形 面积的最大值为2
B．四边形 周长的最大值为
学科网（北京）股份有限公司C． 为定值
D．四边形 面积的最小值为32
三、填空题
5．（2023·辽宁大连·三模）已知 为坐标原点， 是双曲线
的左､右焦点，双曲线 上一点 满足 ，且 ，则双曲线
的渐近线方程为 .点A是双曲线 上一定点，过点 的动直线 与双曲线
交于 两点， 为定值 ，则当 时实数 的值为 .
6．（2023·黑龙江哈尔滨·一模）如图，椭圆 与双曲线
有公共焦点 ， ，椭圆的离心率为 ，双曲
线的离心率为 ，点 为两曲线的一个公共点，且 ，则 ； 为
的内心， 三点共线，且 ， 轴上点 满足 ，
，则 的最小值为 ．
四、解答题
学科网（北京）股份有限公司7．（2022·辽宁沈阳·二模）已知椭圆 的焦距为2，且经过点
．
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过椭圆右焦点F且斜率为 的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否
存在异于点F的定点T，使 恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存
在，说明理由．
8．（2023·重庆·一模）已知双曲线E： 的离心率为2，左、右焦点分
别为 ，点 为双曲线E右支上异于其顶点的动点，过点A作圆C：
的一条切线AM，切点为M，且 ．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)设直线 与双曲线左支交于点B，双曲线的右顶点为 ，直线 AD， BD分别与
圆C相交，交点分别为异于点D的点P，Q．判断弦PQ是否过定点，如果过定点，求出定
点，如果不过定点，说明理由．
9．（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）椭圆 与椭圆 ： 有相同的焦点，且经
学科网（北京）股份有限公司过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)椭圆 的右焦点为 ，设动直线 与坐标轴不垂直， 与椭圆 交于不同的 ， 两点，
且直线 和 的斜率互为相反数.
①证明：动直线 恒过 轴上的某个定点，并求出该定点的坐标；
②求 面积的最大值.
10．（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）已知 ，M为平面上一动点，
且满足 ，记动点M的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)若 ，过点 的动直线 交曲线E于P，Q（不同于A，B）两点，直线
AP与直线BQ的斜率分别记为 ， ，求证： 为定值，并求出定值.
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 B B ABD ABD
1．B
【分析】讨论 斜率，斜率存在时设 、 联立曲线C，应
用韦达定理求线段AB，CD的中点坐标，进而确定 的方程，可得 过定点 ，
若以G为圆心的圆半径为 ，只需保证 可满足圆与直线恒有公共点，即得面积最
小值.
【详解】当直线 斜率均存在时，令 且 ，则
学科网（北京）股份有限公司，
联立 与曲线C并整理得： ，
且 ，则 ，
所以 ，故 ，
联立 与曲线C并整理得： ，
同理， ， ，可得 ，
直线 ，故 过定点 ，
当直线 中一条的斜率不存在时，令 ，则 ，
所以 ， ，故 过 ，
而 ，要使以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，且圆面积最小，
若圆的半径为 ，只需 恒成立，故圆最小面积为 .
故选：B
【点睛】关键点点睛：讨论直线 斜率，设直线方程联立曲线方程，结合韦达定理求
线段中点坐标，进而确定 的方程，得到 过定点 ，根据恒有公共点有圆半径
为 ，只需保证 恒成立即可.
学科网（北京）股份有限公司2．B
【分析】根据抛物线标准方程，得到焦点坐标和准线方程，设出直线方程，联立抛物线方
程，整理得到关于 的一元二次方程，根据垂直，得到点 的横坐标，根据韦达定理，得
到 的横坐标，在由抛物线的定义，可得答案.
【详解】由 ，则焦点 ，且准线方程为直线 ，即 ，
设过点 的直线方程为 ，联立抛物线可得： ，
消去 可得： ，化简得： ，
因为 ，且直线 过点 ，所以 ，
即点 位于以线段 为直径的圆上，
易知以线段 为直径的圆的方程为 ，
将 代入上式，可得 ，解得 ， （舍去），
则点 的横坐标 ，设点 的横坐标 ，
由韦达定理可得： ，则 ，
根据抛物线的定义，可得 ， ，
则 ，
故选：B.
3．ABD
【分析】设出直线 的方程，将直线 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理、焦
半径公式以及基本不等式可求得 的最小值，可判断A选项；求出点 的横坐标的绝对
值，利用三角形的面积公式可判断B选项；设直线 的方程为 ，将直线 的方
程与抛物线的方程联立，利用韦达定理以及 求出 的值，求出直线 所过定点
的坐标，可判断C选项；利用抛物线的定义以及基本不等式可判断D选项.
学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A选项，易知抛物线 的焦点为 ，
当直线 与 轴重合时，直线 与抛物线 只有一个公共点，不合乎题意，
设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ， ，
由韦达定理可得 ， ，则 ，
易知 ， ，所以， ，
当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 ，A对；
对于B选项，设点 ， ，可得 ，所以， ，
则 ，所以， ，B对；
对于C选项，易知 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
设点 、 ，由于直线 不过原点，所以， ，
联立 可得 ， ，
由韦达定理可得 ，所以， ，
因为 ，则 ，解得 ，
所以，直线 的方程为 ，故直线 过定点 ，C错；
对于D选项，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
设 ， ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司因为
，
所以 ，则 的最小值为 ，当且仅当 时，等号成立，D对．
故选：ABD．
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的
一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线
系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的
解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式
来证明.
4．ABD
【分析】根据给定条件，求出抛物线 的方程，确定四边形 形状，利用勾股定理及
均值不等式计算判断A，B；设出直线 的方程，与抛物线方程联立，求出弦 长即
可计算推理判断C，D作答.
【详解】依题意， ，解得 ，即抛物线 ： ，焦点 ，准线方程为：
学科网（北京）股份有限公司x=-1，直线 ， 与坐标轴不垂直，
因为 ， ，则四边形 为矩形，有
，
当且仅当 时取等号， ，即四边形 面积的最大
值为2，A正确；
因为 ，则 ，
当且仅当 时取等号，因此四边形 周长 的最大值为
，B正确；
{x=ty+1
设直线 方程为： ， ，由 消去y得：
y2=4x
，则 ，
，同理 ，
因此 ，C错误；
学科网（北京）股份有限公司四边形 面积 ，
当且仅当 时取等号，所以四边形 面积的最小值为32，D正确.
故选：ABD
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横
(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.
5．
【分析】第一空，先判定△ 为直角三角形.再由勾股定理求得 即可；
第二空，设直线 ，根据韦达定理表示
，由于 为定值 ，用待定系数法计
算即可.
【详解】（1）根据 ，取 的中点 ，易知 ，
可知 ， ，即△ 为直角三角形.
设 ，依题意有 ，解得 ，
根据勾股定理得 ，解得 ，
故双曲线为等轴双曲线，渐近线为 .
学科网（北京）股份有限公司（2）当 时，双曲线 ，
设直线 ，
联立方程组 ，化简得 ，
，
，
因为 为定值 ，所以
法一： ，
，
，解得 ，
法二： ，解得 .
故答案为： ，
6． 4
学科网（北京）股份有限公司【分析】第一空：利用椭圆与双曲线的定义及性质，结合图形建立方程，求出 ，
在利用余弦定理建立关于离心率的齐次方程解出即可；
第二空：由 为 的内心，得出角平分线，利用角平分线的性质结合平面向量得出
及 ，代入 中利用基本不等式求最值即可.
【详解】①由题意得椭圆与双曲线的焦距为 ，
椭圆的长轴长为 ，双曲线的实轴长为 ，
不妨设点 在双曲线的右支上，
由双曲线的定义： ，
由椭圆的定义： ，
可得： ，
又 ，由余弦定理得：
，
即 ，
整理得： ，
所以： ；
② 为 的内心，
所以 为 的角平分线，则有 ，同理： ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ，故 ，
为 的内心， 三点共线，
即 为 的角平分线，则有 ，又 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ，故 ，
所以
，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 ，
故答案为：4， .
【点睛】方法点睛：离心率的求解方法，
（1）直接法：由题意知道 利用公式求解即可；
（2）一般间接法：由题意知道 或 利用 的关系式求出 ，在利用公式计算即
学科网（北京）股份有限公司可；
（3）齐次式方程法：建立关于离心率 的方程求解.
7．(1)
(2)存在；点
【分析】（1）根据题意，得到 ，再由椭圆 经过点 ，联立方程组，求得
，即可求解.
（2）设直线l的方程为 ，联立方程组，得到 ，设
点坐标为 ，由 ，得到 ，得到
，得到 ，列出方程，求得 ，即可求解．
【详解】（1）解：由椭圆 的焦距为2，故 ，则 ，
又由椭圆 经过点 ，代入 得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ．
（2）解：根据题意，直线l的斜率显然不为零，令 ，
由椭圆右焦点 ，故可设直线l的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
则 ，
学科网（北京）股份有限公司设 ， ，且 ，
设存在点 ，设 点坐标为 ，由 ，可得 ，
又因为 ，
所以 ，所以 ，
所以直线 和 关于 轴对称，其倾斜角互补，即有 ，
则 ，所以 ，
所以 ，整理得 ，
即 ，即 ，
解得 ，符合题意，即存在点 满足题意．
【点睛】方法技巧：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：
1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，
即确定题目中核心变量（通常为变量 ）；②利用条件找到 过定点的曲线 之间
的关系，得到关于 与 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探
索出定点，再证明该定点与变量无关.
8．(1)
(2)是，定点为
【分析】（1）由切线有 ，结合条件等式、离心率即可求；
（2）直线 为 与双曲线联立，结合韦达定理可得B点坐标，则由
学科网（北京）股份有限公司可判断 ，即可得弦PQ恒过圆心.
【详解】（1）双曲线的离心率为 ，因为双曲线上点 切圆C：
于M，且 ，
则 ，即 ，即
，
故双曲线E的标准方程为 .
（2）弦PQ过定点，理由如下：
由（1）得 ，则 ， .
则直线 为 ，联立 得 ，
则 ， ，
，
，
，由 得 ，
学科网（北京）股份有限公司.
∴ ，∴ 为圆C的直径，故弦PQ恒过圆心
【点睛】直线与圆锥曲线定点问题，一般通过联立直线与圆锥曲线，结合韦达定理将可能
过定点的直线表示出来，进而判断是否过定点.
本题可能过定点的线段为圆上的弦，直径恒过圆心，故先通过分析 判断是否该弦
为直径.
9．(1)
(2)①证明见解析，定点 ；②
【分析】（1）根据椭圆的焦点及椭圆过的点列方程求解即可；
（2）①先联立方程组得出韦达定理再计算斜率和即可 ；②结合定点 列
出面积再换元得出面积的最大值.
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）椭圆 ： 的焦点坐标为 ，
所以椭圆 的焦点坐标也为 ，即得焦距为 ，
∵椭圆 过点 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴椭圆的标准方程为 .
（2）设直线 ： （ ），
由 ，得 ，
设M(x ,y )，N(x ,y )，所以 ， ，
1 1 2 2
所以
，
因为直线 和 的斜率互为相反数，
所以 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以 .
即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以动直线 恒过 轴上的定点
②由①知， ，
且 ，即 ，
又
令 ，则 ，
∴
（当且仅当 时取“＝”）
∴ .
【点睛】关键点点睛：求面积最值的关键点是令 换元得出
再结合基本不等式计算即可得出最值.
10．(1)
(2)证明见解析；
【分析】（1）利用圆锥曲线的定义即可得曲线方程，但要注意只有双曲线右支；
（2）设直线方程，联立方程组，根据韦达定理进行运算可证 为定值，之后求出定值即
可.
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）由题可知 ，则 的轨迹是实轴长为 ，
焦点为 即 的双曲线的右支，则 ，
所以曲线 的方程为： (或 ).
（2）由题可知过点 的动直线 斜率存在且不为 ，则设斜率为 ，
所以直线 的方程为： ，设 ， ，
联立 ，可得 ，
则 ，可得 ，即 或 ，
则
学科网（北京）股份有限公司，
所以 为定值，定值为 .
学科网（北京）股份有限公司
