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2025二轮复习专项训练28
定点、定值问题
[考情分析] 解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识模块，定点和定值问题
是高考考查的重点知识，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等，试题难度较
大，多次以压轴题出现．
【练前疑难讲解】
一、定点问题
求解定点问题常用的方法
(1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一
般性证明．
(2)“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到
定点坐标．
(3)求证直线过定点(x，y)，常利用直线的点斜式方程y－y＝k(x－x)来证明．
0 0 0 0
二、定值问题
求圆锥曲线中定值问题常用的方法
(1)引出变量法：其解题流程为
→
↓
→
↓
→
(2)特例法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
一、单选题
1．（22-23高三下·河北衡水·阶段练习）已知抛物线 过点 ，动点
M，N为C上的两点，且直线AM与AN的斜率之和为0，直线l的斜率为 ，且过C的焦
点F，l把 分成面积相等的两部分，则直线MN的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23高二上·山东济宁·期末）已知双曲线 ，抛物线
学科网（北京）股份有限公司的焦点为 ，抛物线 的准线与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ，若
为正三角形，则双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（22-23高三上·山东东营·期末）已知椭圆 与直线
交于 两点，记直线 与 轴的交点为 ，点 关于原点对称，若 ，则
（ ）
A． B．椭圆 过 个定点
C．存在实数 ，使得 D．
4．（2023·江苏·二模）已知椭圆 ，点 为右焦点，直线 与椭圆交
于 两点，直线 与椭圆交于另一点 ，则（ ）
A． 周长为定值 B．直线 与 的斜率乘积为定值
C．线段 的长度存在最小值 D．该椭圆离心率为
三、填空题
5．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角的正切值
为 .若直线 （ 且 ）与双曲线交于A，B两点，直线 ， 的
学科网（北京）股份有限公司斜率的倒数和为 ，则直线 恒经过的定点为 .
6．（2023·福建漳州·三模）已知椭圆 的长轴长为 ，离心率为 ，
为 上的两个动点，且直线 与 斜率之积为 （ 为坐标原点），则椭圆 的
短轴长为 ， .
四、解答题
7．（2024·北京·高考真题）已知椭圆 ： ，以椭圆 的焦点和短轴端
点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点 且斜率存在的直线与椭圆 交于
不同的两点 ，过点 和 的直线 与椭圆 的另一个交点为 ．
(1)求椭圆 的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
8．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知双曲线 ： 的离心率为 ，
点 在双曲线 上．过 的左焦点F作直线 交 的左支于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若 ，试问：是否存在直线 ，使得点M在以 为直径的圆上?请说明理由．
(3)点 ，直线 交直线 于点 ．设直线 、 的斜率分别 、 ，求证：
为定值．
【基础保分训练】
一、单选题
1．（22-23高二上·北京丰台·期末）设圆 ，直线 ， 为 上的动
学科网（北京）股份有限公司点．过点 作圆 的两条切线 ，切点为 ，给出下列四个结论：
①当四边形 为正方形时，点 的坐标为
② 的取值范围为
③当 为等边三角形时，点 坐标为
④直线 恒过定点
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（21-22高二上·安徽蚌埠·期末）已知直线l与抛物线 交于不同的两点A，B，O
为坐标原点，若直线 的斜率之积为 ，则直线l恒过定点（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高三下·湖南·阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上（异
于顶点）， （点 为坐标原点），过点 作直线 的垂线与 轴交于点 ，
则 （ ）
A．6 B． C．4 D．
4．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知双曲线 ： ，点P为曲线 在第三象
限一个动点，以下两个命题，则（ ）
①点P到双曲线两条渐近线的距离为 ， ，则 为定值.
②已知A、B是双曲线上关于原点对称不同于P的两个点，若PA、PB的斜率存在且分别为
， ，则 为定值.
学科网（北京）股份有限公司A．①真②真 B．①假②真
C．①真②假 D．①假②假
二、多选题
5．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知 是抛物线 的焦点，
是 上的两点， 为原点，则（ ）
A．若 垂直 的准线于点 ，且 ，则四边形 的周长为
B．若 ，则 的面积为
C．若直线 过点 ，则 的最小值为
D．若 ，则直线 恒过定点
6．（22-23高二下·浙江·开学考试）设 为双曲线 ： 上一动点， ， 为上、
下焦点， 为原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若点 ，则 最小值为7
B．若过点 的直线交 于 两点（ 与 均不重合），则
C．若点 ， 在双曲线 的上支，则 最小值为
D．过 的直线 交 于 、 不同两点，若 ，则 有4条
7．（22-23高二上·湖南衡阳·期中）圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫
做“阿基米德三角形”.如图 是抛物线 的阿基米德三角形，弦AB
经过焦点F，又BC，AD均垂直于准线l，且C，D为垂足，则下列说法正确的有（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．以AB为直径的圆必与准线l相切于M点
B． 为定值4
C． 为定值
D． 有最小值
8．（22-23高三上·广东云浮·阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点分别是 ，
左、右顶点分别是 ，点 是椭圆 上异于 的任意一点，则下列说法正确的是
（ ）
A． B．若 的面积为 ，则点 的横坐
标为
C．存在点 满足 D．直线 与直线 的斜率之积为
三、填空题
9．（2023·湖南长沙·一模）如图，已知抛物线C： ，圆E： ，直线
OA，OB分别交抛物线于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积等于 ，则直线
AB被圆E所截的弦长最小值为 ．
学科网（北京）股份有限公司10．（22-23高二上·山东枣庄·期末）设椭圆 的上顶点为 ，且长轴长为 ，过
任作两条互相垂直的直线分别交椭圆 于 ， 两点，则直线 过定点 ．
11．（2022高三·全国·专题练习）已知椭圆 左顶点为 ， 为椭圆 上两动
点，直线 交 于 ，直线 交 于 ，直线 的斜率分别为 且
， （ 是非零实数），求 .
12．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知 为双曲线 上一点，以 为切点的切线为
，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ，则 （ 为坐标原点）的面积为
．
四、解答题
13．（2024·浙江杭州·二模）已知 是椭圆 的左，右顶点，点
与椭圆上的点的距离的最小值为1.
(1)求点 的坐标.
(2)过点 作直线 交椭圆 于 两点（与 不重合），连接 ， 交于点 .
（ⅰ）证明：点 在定直线上；
（ⅱ）是否存在点 使得 ，若存在，求出直线 的斜率；若不存在，请说明理由.
14．（2023·江苏南通·一模）已知双曲线 的左顶点为 ，过左焦
学科网（北京）股份有限公司点 的直线与 交于 两点.当 轴时， ， 的面积为3.
(1)求 的方程；
(2)证明：以 为直径的圆经过定点.
15．（2023·四川南充·三模）已知椭圆 的左、右焦点为 ， ，离
心率为 ．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线 、 分别与椭圆C交于点
A、B， 的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若 ， ，求证： 为定值．
16．（23-24高二上·浙江·期中）已知双曲线 的右焦点 ，离心
率为 .
(1)求双曲线的方程；
(2)过点 直线与双曲线交于 两点，设直线 的斜率分别为 ，
求证： 为定值.
【能力提升训练】
一、单选题
1．（21-22高二下·四川遂宁·阶段练习）点 ， 是曲线C： 的左右焦点，过
作互相垂直的两条直线分别与曲线交于A，B和C，D；线段AB，CD的中点分别为M，
学科网（北京）股份有限公司N，直线 与x轴垂直且点G在C上.若以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，则圆面积
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（21-22高二下·贵州贵阳·期末）抛物线 的焦点为 ，其准线与 轴的交点为 ，
过点 作直线与此抛物线交于 ， 两点，若 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、多选题
3．（2023·安徽·三模）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 、 是 上异于点
的两点（ 为坐标原点）则下列说法正确的是（ ）
A．若 、 、 三点共线，则 的最小值为
B．若 ，则 的面积为
C．若 ，则直线 过定点
D．若 ，过 的中点 作 于点 ，则 的最小值为
4．（22-23高三下·广东清远·阶段练习）已知 是抛物线 的焦点，点
在抛物线 上，过点 的两条互相垂直的直线 ， 分别与抛物线 交于 ， 和
， ，过点 分别作 ， 的垂线，垂足分别为 ， ，则（ ）
A．四边形 面积的最大值为2
B．四边形 周长的最大值为
学科网（北京）股份有限公司C． 为定值
D．四边形 面积的最小值为32
三、填空题
5．（2023·辽宁大连·三模）已知 为坐标原点， 是双曲线
的左､右焦点，双曲线 上一点 满足 ，且 ，则双曲线
的渐近线方程为 .点A是双曲线 上一定点，过点 的动直线 与双曲线
交于 两点， 为定值 ，则当 时实数 的值为 .
6．（2023·黑龙江哈尔滨·一模）如图，椭圆 与双曲线
有公共焦点 ， ，椭圆的离心率为 ，双曲
线的离心率为 ，点 为两曲线的一个公共点，且 ，则 ； 为
的内心， 三点共线，且 ， 轴上点 满足 ，
，则 的最小值为 ．
四、解答题
学科网（北京）股份有限公司7．（2022·辽宁沈阳·二模）已知椭圆 的焦距为2，且经过点
．
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过椭圆右焦点F且斜率为 的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否
存在异于点F的定点T，使 恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存
在，说明理由．
8．（2023·重庆·一模）已知双曲线E： 的离心率为2，左、右焦点分
别为 ，点 为双曲线E右支上异于其顶点的动点，过点A作圆C：
的一条切线AM，切点为M，且 ．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)设直线 与双曲线左支交于点B，双曲线的右顶点为 ，直线 AD， BD分别与
圆C相交，交点分别为异于点D的点P，Q．判断弦PQ是否过定点，如果过定点，求出定
点，如果不过定点，说明理由．
9．（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）椭圆 与椭圆 ： 有相同的焦点，且经
学科网（北京）股份有限公司过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)椭圆 的右焦点为 ，设动直线 与坐标轴不垂直， 与椭圆 交于不同的 ， 两点，
且直线 和 的斜率互为相反数.
①证明：动直线 恒过 轴上的某个定点，并求出该定点的坐标；
②求 面积的最大值.
10．（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）已知 ，M为平面上一动点，
且满足 ，记动点M的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)若 ，过点 的动直线 交曲线E于P，Q（不同于A，B）两点，直线
AP与直线BQ的斜率分别记为 ， ，求证： 为定值，并求出定值.
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