文档内容
2025二轮复习专项训练29
证明、探究性问题
[考情分析] 解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识模块，证明问题和探究
性问题是高考考查的重点知识，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等，试题
难度较大，多次以压轴题出现．
【练前疑难讲解】
一、证明问题
圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系
二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系．
二、探究性问题
存在性问题的求解策略
解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确
则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．
一、单选题
1．（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）椭圆 ，若椭圆上存在不同的两点
关于直线 对称，则实数 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·四川凉山·三模）已知曲线C：y2＝2px（p＞0），过它的焦点F作直线交曲线C
于M、N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点P，可证明 是一个定值m，则m＝（
）
A． B．1 C．2 D．
二、多选题
学科网（北京）股份有限公司3．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆 ， 分别为椭圆左右焦点，点
， 为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点 使得
B． 的最大值为5
C．若直线 与椭圆交于 两点（均不同于点 ），则直线 和直线 的斜率
之积为
D．△ 内切圆面积的最大值为
4．（23-24高二上·湖北·期末）设抛物线E： 的焦点为F，从点F发出的光
线经过E上的点(不同于E的顶点)反射，可证明反射光线平行于E的对称轴，这种特点称
为抛物线的光学性质．过E上的动点A向准线l作垂线，垂足为B，过点A的直线m与E
相切，设m交l于点C，连接CF，FB，FB交AC于点D，则以下结论正确的是（ ）
A．m平分 B．
C． 与 的面积之比为定值 D．点D在定直线上
三、填空题
5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆 上存在关于直线 对
称的点，则 的取值范围是 .
6．（21-22高三上·北京·期末）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界
光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地，他证明过
这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 （ 且 ）的点的轨迹是圆，后人
将之称为阿波罗尼斯圆，现有椭圆 ， 、 为椭圆 长轴的端点，
学科网（北京）股份有限公司、 为椭圆 短轴的端点，动点 满足 ， 的面积的最大值为 ，
的面积的最小值为 ，则椭圆 的离心率为 .
四、解答题
7．（24-25高二上·河北唐山·期中）已知双曲线 的离心率为❑√2，
实轴长为2.
(1)求双曲线C 的标准方程
(2)设直线l:y= kx+1与双曲线C交于A，B两点，是否存在k满足 （其中O为坐
标原点） 若存在，求出k的值； 若不存在，说明理由.
8．（24-25高二上·安徽黄山·期中）若椭圆： 上的两个点
满足 ，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，
点M，N互为共轭点.显然，对于椭圆上任意一点 ，总有两个共轭点 .已知椭圆
，点 是椭圆 上一动点，点 的两个共轭点分别记为
.
(1)当点 坐标为 时，求 ；
(2)当直线 斜率存在时，记其斜率分别为 ，其中 ，求 的最小值；
(3)证明： 的面积为定值.
【基础保分训练】
一、单选题
1．（24-25高二上·山东德州·期中）已知椭圆 上存在两点 、
学科网（北京）股份有限公司关于直线 对称.若椭圆离心率为 ，则 的中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高三上·北京·阶段练习）十七世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中
证明，方程 表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质.若从
椭圆上任意一点 （异于 两点）向长轴 引垂线，垂足为 ，记 ，则
（ ）
A．方程 表示的椭圆的焦点落在 轴上
B．
C． 的值与 点在椭圆上的位置有关
D．M越来越小，椭圆越来越扁
二、多选题
3．（23-24高二下·湖南·期末）已知抛物线 ，直线 过 的焦点 ，且与 交于
两点，则（ ）
A． 的准线方程为
B．线段 的长度的最小值为4
C．存在唯一直线 ，使得 为线段 的中点
D．以线段 为直径的圆与 的准线相切
三、填空题
4．（23-24高三上·山东聊城·期末）椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ， 为坐
标原点，给出以下四个命题：
①过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，则 的周长为12；
学科网（北京）股份有限公司②椭圆 上存在点 ，使得 ；
③椭圆 的离心率为 ；
④ 为椭圆 ： 上一点， 为圆 上一点，则点 ， 的最大距离为4.
其中正确的序号有 .
四、解答题
5．（24-25高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系 中，已知直线 过抛物线
的焦点 ，与 交于 两点.
(1)若线段 中点的横坐标为2，线段 的长为6，求抛物线的方程；
(2)在 轴上是否存在一定点 ，使得直线 和直线 的斜率之积为定值？若存在，求点
的坐标；若不存在，说明理由.
6．（24-25高二上·吉林·期中）已知 分别为椭圆 的左､右焦点，
分别为椭圆 的左､右顶点，P(x ,y )为椭圆 上的动点，过动点P(x ,y )作椭圆
0 0 0 0
的切线.分别与直线 和 相交于 两点，四边形 的对角线 相交于
点 ，记动点 的轨迹为 .
(1)证明：椭圆 在 点处的切线方程为 .
(2)求动点 的轨迹 的方程.
(3)过点 作斜率不为 的直线 与 相交于点 ，直线 与 的交点为 ，判断
点 是否在定直线上.
7．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，已知抛物线C： （ ）的焦点F，
且经过点 ， ．
学科网（北京）股份有限公司(1)求A点的坐标；
(2)直线l交抛物线C于M，N两点，过点A作 于D，且 ，证明：存在定
点Q，使得DQ为定值．
8．（24-25高二上·河北沧州·期中）已知椭圆 经过点A(-2,0)与点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与椭圆 交于异于 的 ， 两点，且 .
①证明：直线 过定点；
②求 的面积的最大值.
【能力提升训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·上海·期中）如图所示，由椭圆 和椭圆
组合而成的曲线 ，由图形特点，这里称曲线 为“猫眼曲线”.
特别地，若两个椭圆的离心率相等，则称其为“优美猫眼曲线”.
(1)已知猫眼曲线 满足a，b，t成等比数列，试判断该曲线是否为“优美猫眼曲线”；
学科网（北京）股份有限公司(2)在曲线 中，若 ， ， ，斜率为 的直线l不经过坐标原点，且l与
椭圆 相交所得弦的中点为M，与椭圆 相交所得弦的中点为N，证明：直线OM，ON
的斜率之比 为定值；
(3)在（2）的条件下，若直线l的斜率 ，且l与椭圆 相切，与椭圆 相交于A，B
两点，Q为椭圆 上异于A，B的任意一点，求 面积的最大值.
2．（24-25高二上·吉林延边·阶段练习）已知椭圆C： 经过点 ，
且焦距与长半轴相等，
(1)求椭圆C的标准方程
(2)点 （ ）与 上的点之间的距离的最大值为6．过点 且斜率不为0的直线
交 于 ， 两点（点 在点 的右侧），点 关于 轴的对称点为 ．
①证明：直线 过定点；
②已知 为坐标原点，求 面积的取值范围．
3．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）如图，已知抛物线 的焦点为 ，斜率为
的直线 经过 且交 于 两点（ 在第一象限）.
学科网（北京）股份有限公司(1)求 的坐标与 的长；
(2)设 ，如下构造 ：直线 分别与 交于 ，证
明：
（ⅰ） 的纵坐标 是等差数列 ；
（ⅱ） .
4．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知椭圆 的两个焦点是 、 ，点 在椭
圆 上，且 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知 为坐标原点，直线 与椭圆 交于 、 两点，且 ，证明：直线 与圆
相切．
5．（24-25高三上·上海杨浦·开学考试）中国古典园林洞门、洞窗具有增添园林意境，丰富
园林文化内涵的作用，门、窗装饰图案成为园林建筑中具有文化价值以及文化内涵的装饰.
如图1所示的一种椭圆洞窗，由椭圆 和圆 组成， ， 是椭圆的两个焦点，圆 以
线段 为直径，
(1)设计如图所示的洞窗，椭圆 的离心率应满足怎样的范围？
(2)经测量椭圆的长轴为4分米，焦距为2分米.
学科网（北京）股份有限公司（i）从 射出的任意一束光线 照在左侧距椭圆中心4分米的竖直墙壁上，如图2所示.
建模小组的同学用长绳拉出椭圆洞窗的切线AB，B为切点，然后用量角器探究猜测
是定值，请帮他们证明上述猜想.
（ ii ） 建模小组的同学想设计一个如图3的四边形装饰，满足：点 是 上的一个动点，
P，Q关于原点对称，过 和 分别做圆的切线，交于R，S，求四边形装饰 面积 的
取值范围.
6．（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知平面内一动点 到点 的距离与点 到
定直线 的距离之比为 ，记动点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程.
(2)在直线 上有一点 ，过点 的直线 与曲线 相交于 两点.设
，证明： 只与 有关.
7．（24-25高三上·云南德宏·阶段练习）在平面直角坐标系 中， ， ，
是平面内的动点，且 内切圆的圆心在直线 上.
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)过点 作三条不同的直线 ， ， ，且 轴， 与 交于 ， 两点， 与 交于
， 两点， ， 都在第一象限，直线 ， 与 分别交于点 ， ，证明：
为定值.
学科网（北京）股份有限公司x2 y2
8．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知椭圆C: + =1(a>b>0)经过点
a2 b2
， ， 为C的左、右顶点，M，N为C上不同于 ， 的两动点，若直线
的斜率与直线 的斜率的比值恒为常数 ，按下面方法构造数列{b }：C的短半轴
n
长为 时，直线MN与x轴交于点 .
(1)求椭圆C的离心率；
(2)证明：数列{b }是等比数列；
n
(3)设顶点 到直线MN的最大距离为d，证明 .
9．（24-25高二上·江苏·期中）已知双曲线 的左、右焦点分别为 .
(1)若直线 与双曲线 交于P，Q两点，求线段 的长；
(2)若双曲线 上存在两点 ， ，满足 ，求直线 的斜率.
10．（24-25高三上·广西·阶段练习）若一个椭圆的焦距为质数，且离心率的倒数也为质数，
则称这样的椭圆为“质朴椭圆”.
(1)证明：椭圆 为“质朴椭圆”.
(2)是否存在实数 ，使得椭圆 为“质朴椭圆”？若存在，求 的值；
若不存在，说明理由.
(3)设斜率为 的直线 经过椭圆 的右焦点，且与 交于 ， 两点，
，试问 是否为“质朴椭圆”，说明你的理由.
学科网（北京）股份有限公司x2 y2
11．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知点 在椭圆C: + =1(a>b>0)上，右
a2 b2
准线方程为 ，过右焦点 作垂直于 轴的直线交椭圆 于 ， 两点.
(1)求以 为直径圆的方程；
(2)以椭圆 上 、 两点为直径端点作圆 ，圆心 恰好在直线 上，再过点 作 的
垂线 ，试问直线 是否经过某定点，若存在，求此定点；若不存在，请说明理由.
12．（2024·广东·三模）已知抛物线 ： ，过点 的直线l交C于P，Q
两点，当PQ与x轴平行时， 的面积为16，其中O为坐标原点.
(1)求 的方程；
(2)已知点 ， ， （ ）为抛物线 上任意三点，记
面积为 ，分别在点A、B、C处作抛物线 的切线 、 、 ， 与 的交点为D，
与 的交点为E， 与 的交点为F，记 面积为 ，是否存在实数 ，使得 ？
若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.
学科网（北京）股份有限公司
