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专题08 函数的图象与性质
1．（新课标全国Ⅰ卷）已知函数为
，在R 上单调递增，则a 取值的范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为
在
上单调递增，且
时，
单调递增，
则需满足
，解得
，
即a 的范围是
.
故选：B.
2．（新课标全国Ⅰ卷）已知函数为
的定义域为R，
，且当
时
，
则下列结论中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】代入得到
，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当
时
，所以
，
又因为
，
1
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则
，
，
，
，
，则依次下去可知
，则B 正确；
且无证据表明ACD 一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用
，再利用题目所给的函数性质
，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
3．（新课标全国Ⅱ卷）设函数
，
，当
时，曲线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】解法一：令
，分析可知曲线
与
恰有一个交点，结合
偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得
，并代入检验即可；解法二：令
，可知
为偶函数，根据偶函数的对称性可知
的零点只能为0，即可
得
，并代入检验即可.
【详解】解法一：令
，即
，可得
，
令
，
原题意等价于当
时，曲线
与
恰有一个交点，
注意到
均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，
2
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可得
，即
，解得
，
若
，令
，可得
因为
，则
，当且仅当
时，等号成立，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
则方程
有且仅有一个实根0，即曲线
与
恰有一个交点，
所以
符合题意；
综上所述：
.
解法二：令
，
原题意等价于
有且仅有一个零点，
因为
，
则
为偶函数，
根据偶函数的对称性可知
的零点只能为0，
即
，解得
，
若
，则
，
又因为
当且仅当
时，等号成立，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
即
有且仅有一个零点0，所以
符合题意；
故选：D.
4．（新课标全国Ⅱ卷）设函数
，若
，则
的最小值为（ ）
3
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A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】解法一：由题意可知：
的定义域为
，分类讨论
与
的大小关系，结合符号
分析判断，即可得
，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析
的符号，进而可得
的符号，即可得
，代入可得最值.
【详解】解法一：由题意可知：
的定义域为
，
令
解得
；令
解得
；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
若
，当
时，可知
，此时
；
当
时，可知
，此时
；
可知若
，符合题意；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
综上所述：
，即
，
则
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
；
解法二：由题意可知：
的定义域为
，
令
解得
；令
解得
；
则当
时，
，故
，所以
；
4
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时，
，故
，所以
；
故
， 则
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：分别求
、
的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，
结合符号性分析判断.
5．（全国甲卷数学（理）（文））函数
在区间
的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入
可得
，可排除D.
【详解】
，
又函数定义域为
，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又
，
故可排除D.
5
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故选：B.
6．（新高考北京卷）已知
，
是函数
图象上不同的两点，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD 即可.
【详解】由题意不妨设
，因为函数
是增函数，所以
，即
，
对于选项AB：可得
，即
，
根据函数
是增函数，所以
，故A 正确，B 错误；
对于选项C：例如
，则
，
可得
，即
，故C 错误；
对于选项D：例如
，则
，
可得
，即
，故D 错误，
故选：A.
7．（新高考天津卷）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，
和
都当且仅当
，所以二者互为充要条件.
故选：C.
8．（新高考天津卷）下列函数是偶函数的是（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.
【详解】对A，设
，函数定义域为
，但
，
，则
，故
A 错误；
对B，设
，函数定义域为
，
且
，则
为偶函数，故B 正确；
对C，设
，函数定义域为
，不关于原点对称， 则
不是偶函数，故C 错误；
对D，设
，函数定义域为
，因为
，
，
则
，则
不是偶函数，故D 错误.
故选：B.
9．（新高考天津卷）若
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为
在
上递增，且
，
所以
，
所以
，即
，
因为
在
上递增，且
，
所以
，即
，
7
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所以
，
故选：B
10．（新高考上海卷）已知函数
的定义域为R，定义集合
，
在使得
的所有
中，下列成立的是（ ）
A．存在
是偶函数
B．存在
在
处取最大值
C．存在
是严格增函数
D．存在
在
处取到极小值
【答案】B
【分析】对于ACD 利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数
即可判断.
【详解】对于A，若存在
是偶函数, 取
,
则对于任意
, 而
, 矛盾, 故 A 错误；
对于B，可构造函数
满足集合
，
当
时，则
，当
时，
，当
时，
，
则该函数
的最大值是
，则B 正确；
对C，假设存在
，使得
严格递增，则
，与已知
矛盾，则C 错误；
对D，假设存在
，使得
在
处取极小值，则在
的左侧附近存在
，使得
，
这与已知集合
的定义矛盾，故D 错误；
故选：B.
8
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11．（新高考北京卷）生物丰富度指数
是河流水质的一个评价指标，其中
分别表示河流中的
生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有
变化，生物个体总数由
变为
，生物丰富度指数由
提高到
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意分析可得
，消去即可求解.
【详解】由题意得
，则
，即
，所以
.
故选：D.
12．（全国甲卷数学（理）（文））已知
，
，则
．
【答案】64
【分析】将
利用换底公式转化成
来表示即可求解.
【详解】由题
，整理得
，
或
，又
，
所以
，故
故答案为：64.
13．（新高考天津卷）若函数
有唯一零点，则
的取值范围为 ．
【答案】
9
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【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数
与
，则两函
数图象有唯一交点，分
、
与
进行讨论，当
时，计算函数定义域可得
或
，计
算可得
时，两函数在
轴左侧有一交点，则只需找到当
时，在
轴右侧无交点的情况即
可得；当
时，按同一方式讨论即可得.
【详解】令
，即
，
由题可得
，
当
时，
，有
，则
，不符合要求，舍去；
当
时，则
，
即函数
与函数
有唯一交点，
由
，可得
或
，
当
时，则
，则
，
即
，整理得
，
当
时，即
，即
，
当
，
或
（正值舍去），
当
时，
或
，有两解，舍去，
即当
时，
在
时有唯一解，
则当
时，
在
时需无解，
10
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当
，且
时，
由函数
关于
对称，令
，可得
或
，
且函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
令
，即
，
故
时，
图象为双曲线
右支的
轴上方部分向右平移
所得，
由
的渐近线方程为
，
即
部分的渐近线方程为
，其斜率为
，
又
，即
在
时的斜率
，
令
，可得
或
（舍去），
且函数
在
上单调递增，
故有
，解得
，故
符合要求；
当
时，则
，
11
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即函数
与函数
有唯一交点，
由
，可得
或
，
当
时，则
，则
，
即
，整理得
，
当
时，即
，即
，
当
，
（负值舍去）或
，
当
时，
或
，有两解，舍去，
即当
时，
在
时有唯一解，
则当
时，
在
时需无解，
当
，且
时，
由函数
关于
对称，令
，可得
或
，
且函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
同理可得：
时，
图象为双曲线
左支的
轴上方部分向左平移
所得，
部分的渐近线方程为
，其斜率为
，
又
，即
在
时的斜率
，
12
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令
，可得
或
（舍去），
且函数
在
上单调递减，
故有
，解得
，故
符合要求；
综上所述，
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数
的零点问题转化为函数
与函数
的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.
14．（新高考上海卷）已知
则
．
【答案】
【分析】利用分段函数的形式可求
.
【详解】因为
故
，
故答案为：
.
15．（新高考上海卷）已知
，
，且
是奇函数，则
．
【答案】
【分析】根据奇函数的性质可求参数
.
【详解】因为
是奇函数，故
即
，
故
，
13
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故答案为：.
16．（新高考上海卷）若
．
(1)
过
，求
的解集；
(2)存在
使得
成等差数列，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出底数
，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；
（2）存在
使得
成等差数列等价于
在
上有解，利用换
元法结合二次函数的性质可求
的取值范围．
【详解】（1）因为
的图象过
，故
，故
即
（负的舍去），
而
在
上为增函数，故
，
故
即
，
故
的解集为
.
（2）因为存在
使得
成等差数列，
故
有解，故
，
因为
，故
，故
在
上有解，
由
在
上有解，
令
，而
在
上的值域为
，
故
即
.
14
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一、单选题
1．（2024·北京·三模）下列函数中，是偶函数且在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义和判定方法，结合初等函数的单调性，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A 中，由指数函数的性质，可得函数
为非奇非偶函数，所以A 不符合题意；
对于B 中，函数
的定义域为
关于原点对称，
且
，所以
为奇函数，所以B 不符合题意；
对于C 中，函数
的定义域为
关于原点对称，且满足
，所以
为
偶函数，
当
时，
，在区间
上单调递增，所以C 符合题意；
对于D 中，函数
在期间
上不是单调递增函数，所以D 不符合题意.
故选：C.
2．（2024·河南·三模）设函数
的定义域为
为奇函数，
为偶函数，若
1，则
（ ）
A．1
B．
C．0
D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性可得
的图象关于点
中心对称且关于直线
轴对称，进而得
的周期为4，即可求解.
15
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【详解】因为
为奇函数，所以
，
所以
的图象关于点
中心对称，则
.
因为
为偶函数，所以
，
所以
的图象关于直线
轴对称.
由
，得
，
所以
，则
，
则
的周期为4，
，则
.
故选：D
【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论
（1）
关于
轴对称，
（2）
关于
中心对称，
（3）
的一个周期为
，
（4）
的一个周期为
.
可以类比三角函数的性质记忆以上结论.
3．（2024·山东·模拟预测）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
16
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【答案】C
【分析】求出函数
的定义域及奇偶性，再由奇偶性在
内函数值的正负判断即可.
【详解】依题意，函数
的定义域为
，
，则
是奇函数，其图象关于原点对称，B 不满足；
当
时，
，则
，AD 不满足，C 满足.
故选：C
4．（2024·湖北·模拟预测）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的形式，结合对数和指数运算公式，即可求解.
【详解】
，
故选：A
5．（2024·河北保定·二模）函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
17
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C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性判断即可.
【详解】设
，则
，
所以
为奇函数，
设
，可知
为偶函数，
所以
为奇函数，则B，C 错误，
易知
，所以A 正确，D 错误．
故选：A.
6．（2024·四川内江·三模）已知函数
的定义域为R，对任意实数x 都有
成立，且函数
为偶函数，
，则
（ ）
A．-1
B．0
C．1012
D．2024
【答案】B
【分析】利用抽象函数的奇偶性、周期性、对称性计算即可.
【详解】由
，即
的一个周期为4，
由
为偶函数可知
关于
轴对称，即
，
又
可知
，
所以
，
18
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显然
，
所以
.
故选：B
7．（2024·湖北·模拟预测）已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用排除法，根据选项代特值检验即可.
【详解】设题设函数为
，由选项可知：ABCD 中的函数定义域均为
，
对于选项D：若
，但此时
，矛盾，故可排除D；
对于选项C：若
，但此时
，矛盾，故可排除C；
对于选项B：若
，但此时
，矛盾，故可排除B.
故选：A.
8．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数
若关于
的方程
有5 个不
同的实数根，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
19
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【分析】直线
与函数
的图象有5 个交点，可得
是奇函数，可
得只需直线
与曲线
有2 个交点即可，即方程
有2 个实数根，利用导数即
可求解.
【详解】由题意得
，则直线
与函数
的图象有5 个交点.
显然，直线
与
的图象交于点
.
又当
时，
；
当
时，
；
当
时，
，所以
是奇函数，
则必须且只需直线
与曲线
有2 个交点即可，
所以方程
有2 个实数根.令
，则
，
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增，
所以
.
又当
趋近于0 时，
,所以
；
当
趋近于
时，
，
所以必须且只需
.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：直接法；分离参数法；数
形结合法.
20
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9．（2024·浙江温州·三模）已知函数
，则关于
方程
的根个数不可
能是（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】C
【分析】将原问题转化为直线
与函数
的图象交点的个数，作出
的图象，分
、
、
三种情况，结合图象求解即可．
【详解】作出函数
的图象，如图所示：
将原问题转化为直线
（过定点
）与函数
的图象交点的个数，
由图可知，当
时，直线
与函数
的图象只有一个交点；
当
时，直线
与函数
的图象没有交点；
当
时，直线
与函数
的图象有三个交点；
所以直线
与函数
的图象不可能有两个交点．
故选：C．
10．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知函数
，
，若关于x 的方程
有三个不同实数根，则实数t 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
21
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【分析】令
，作出函数
的图象，结合图象得出关于
的方程
根的情况，再根据一
元二次方程根的分布情况分类讨论即可得解.
【详解】如图，作出函数
的图象，
令
，
由图可知，当
时，关于
的方程
有
个不同的实数根，
当
或
时，关于
的方程
只有个实数根，
因为关于x 的方程
有三个不同实数根，
所以关于
的方程
的一个根在
上，另一个根在
上，
或方程的两个根一个为
，另一个在
上，
若
为方程
的根时，则
，
当
时，方程的另一个根为
，不符题意，
当
时，方程的另一个根为
，不符题意，
若
为方程
的根时，则
或
，
当
时，方程的另一个根为
，不符题意，
当
时，方程只有一个根为
，不符题意，
若关于
的方程
的一个根在
上，另一个在
上时，
令
，
22
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则
，即
，解得
，
综上所述，实数t 的取值范围是
.
故选：B.
【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素：
（1）二次项系数的符号；
（2）判别式；
（3）对称轴的位置；
（4）区间端点函数值的符号.
结合图象得出关于参数的不等式组求解.
11．（2024·江西南昌·三模）若
，
，
，则正数
大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将问题转化为函数与函数的交点的横坐标，再数形结合即可判断.
【详解】由
，则
为
与
交点的横坐标，
由
，则
为
与
交点的横坐标，
由
，即
，则为
与
交点的横坐标，
作出
，
，
，
的图象如下所示，
23
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由图可知，
.
故选：B
12．（2024·安徽·三模）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的性质有
，可比较
，然后
再与2 比较大小，可得结果.
【详解】依题意，
，故
；而
，
故
，
故选：D.
二、多选题
13．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．
是
上的增函数
B．函数
有且仅有一个零点
C．函数
的最小值为
D．
存在唯一个极值点
【答案】BD
【分析】对于A：求导，代特值检验即可；对于B：分
、
和
三种情况，结合函数值的符号
分析判断零点；对于C：分
、
和
三种情况，可得
，即可判断；对于D：根据
的单调性，结合零点存在性定理分析可知
，使
，进而判断
的单调性和极值.
【详解】对于选项A：因为
，则
，
24
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当
时，则
， 可得
，
即
，所以
不是
上的增函数，故A 错误；
对于选项B：因为
，
当
时，
，可知
是
的零点；
当
时，
，可知
在
内无零点；
当
时，
，则
，
可得
，可知
在
内无零点；
综上所述：函数
有且仅有一个零点，故B 正确；
对于选项C：当
时，
；
当
时，
；
当
时，则
，
，可得
，
综上所述：
，所以
不是函数
的最小值，故C 错误；
对于选项D：因为
，
，
所以
的符号决定于
，
显然
是
上的增函数，
又因为当
时，
；
25
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当
时，
，
所以
，使
，
所以
在
上为减函数，在
上为增函数.
所以
有唯一极小值点. 故D 正确.
故选 ：BD.
14．（2024·河南·三模）定义在
上的函数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
为奇函数
D．
单调递增
【答案】BCD
【分析】利用赋值法可求
及
，故可判断各项的正误，也可以由题意得
，结合条件
推出
的解析式，进而即可求解
判断ABCD 四个选项.
【详解】法1：令
，则
，
令
，则
，
若
或
，
若
，则
即
，
由
的任意性可得
不恒成立，故
不成立，故
，
故A 错误，B 正确.
令
，则
，
故
为奇函数，且
，它为
上的增函数，
26
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故CD 正确.
法2：由条件
，得
，
由
的任意性得
为常数，
故代回去
得：
，
所以由
的任意性只能
，即
，为增函数，
所以
，
为奇函数，
故A 错，BCD 对.
故选：BCD.
15．（2024·广西来宾·模拟预测）已知定义在R 上的函数
满足
，且
，则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
不存在零点
D．
【答案】ACD
【分析】根据题意，结合抽象函数的赋值法，列出方程，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A 中，由
，令
，可得
，
因为
，所以
，所以A 正确；
对于B 中，函数
的定义域为全体实数，由
，显然不符合
，
所以函数
不是奇函数，所以B 不正确；
对于C 中，由
，令
，可得
，
27
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即
，解得
或
，
所以函数
没有零点，所以C 正确；
对于D 中，由
，
令
，可得
，所以
，即
，
所以D 正确.
故选：ACD．
16．（2024·重庆·三模）已知实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先依据题目所给条件得
，所以对于A，依据函数
的增减性即可判断；对于
B、D，对
取特殊值为
即可判断；对于C，由
可直接判断.
【详解】因为
，
所以
，又
为增函数，故
，
对于A，因为
为减函数，所以
，故A 错误；
对于B，当
时，
，故B 错误；
对于C，
，故C 正确；
对于D，当
时，且
与
均为增函数，
28
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所以
，此时
，故D 错误.
故选：C.
17．（2024·湖南怀化·二模）已知函数
的零点为
的零点为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】利用函数零点的意义，结合函数
与
互为反函数，确定
的关系，再逐项分析判断
得解.
【详解】依题意，
，
，
则
分别是直线
与函数
，
图象交点的横坐标，
而函数
与
互为反函数，它们的图象关于直线
对称，
又直线
垂直于直线
，则点
与点
关于直线
对称，
则
，于是
，
，
，BC 正确，A 错误；
，即
，D 错误.
故选：BC
18．（2024·河南·三模）已知函数
，则（ ）
29
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A．
的定义域为
B．
的值域为
C．
D．
的单调递增区间为
【答案】ABC
【分析】根据函数的解析式，求出函数的定义域值域即可判断A、B，求出
利用对数运算法
则即可求解C，根据复合函数的单调性即可判断D.
【详解】对AB，由
，得
，则
的定义域为
，值域为
，A，B 均正确；
对C，
，C 正确；
对D，因为
，所以
，外层函数为增函数，
，令
，所以函数定义域为
，
内层函数
，在
上单调递增，
上单调递减，
所以
的单调递增区间为
不是
D 错误.
故选：ABC
19．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
单调递增
B．函数
值域为
C．函数
的图象关于
对称
D．函数
的图象关于
对称
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【答案】ABD
【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A，根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求
解函数的值域，即可判断B，根据对称性的定义，
与
的关系，即可判断CD.
【详解】
，
函数
，
，则
，
又内层函数
在
上单调递增，外层函数
在
上单调递增，
所以根据复合函数单调性的法则可知，函数
单调递增，故A 正确；
因为
，所以
，则
，所以函数
的值域为
，故B 正确；
，
，所以函数
关于点
对称，故C 错误，D
正确.
故选：ABD
20．（2024·广东广州·二模）已知函数
，则（ ）
A．
的定义域为
B．
的图象在
处的切线斜率为
C．
D．
有两个零点
，且
【答案】BCD
【分析】根据题意直接求出
的范围即可判断
；求出导函数，进而求得
即可判断B；求得
即
可判断C；易知
的单调性，结合零点存在定理及C 即可判断D．
【详解】由题意，
，
对于选项A，易知
且
，故选项A 错误，
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对于选项B，因为
，则
，故选项B 正确，
对于选项C，因为
，所以
，故选项C 正确，
对于选项D，由选项
可知
，易知
在
和
上单调递增，
因为
，
，
所以
，使得
，
又因为
，则
，结合选项C，得
，
即
也是
的零点，则
，
，故
，故选项D 正确，
故选：BCD.
21．（2024·山东日照·三模）在平面直角坐标系
中，如图放置的边长为2 的正方形
沿
轴滚动
（无滑动滚动），点
恰好经过坐标原点，设顶点
的轨迹方程是
，则（ ）
A．方程
在
上有三个根
B．
C．
在
上单调递增
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D．对任意
，都有
【答案】AC
【分析】根据正方形的运动，得到点B 的轨迹，然后根据函数的图象和性质分别进行判断即可.
【详解】分析正方形顶点
的运动状态可知，
当
时，
的轨迹是以
为圆心，半径为2 的
圆；
当
时，
的轨迹是以
为圆心，半径为
的
圆；
当
时，
的轨迹是以
为圆心，半径为2 的
圆；
当
时，
的轨迹是以
为圆心，半径为2 的
圆，
作出函数的图象如下图所示：
由图知：函数
的图象与直线
在
上有三个交点，
即方程
在
上有三个根，A 正确；
函数
的图象关于
轴对称，所以函数
是偶函数，B 错误；
函数
在
上单调递增，C 正确；
由图象知：
，
，
，D 错误.
故选：AC.
三、填空题
22．（2024·四川雅安·三模）已知函数
是偶函数，则实数
.
【答案】
【分析】根据偶函数的定义，即可列关系式求解.
33
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【详解】
定义域为
，
，
所以
，
故
，
故答案为：
23．（2024·山东济宁·三模）已知函数
，则
.
【答案】
【分析】利用已知的分段函数，可先求
，再求
即可.
【详解】因为
，所以
.
所以
.
故答案为：
.
24．（2024·宁夏银川·二模）已知函数
的图象关于直线
对称，则
．
【答案】
/0.75
【分析】求出函数
的定义域，利用对称性的特征可得定义域关于数
对称，再利用特值求出
并验证
即得.
【详解】函数
的定义域为
，
由函数
的图象关于直线
对称，得
的定义域关于数
对称，
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则
，此时必有
，即
，解得
，
此时
，
因此函数
的图象关于直线
对称，即
满足题意，
所以
.
故答案为：
25．（2024·广东广州·三模）函数
，其中
且
，若函数是单调函数，则
a 的一个可能取值为 ．
【答案】4（答案不唯一）
【分析】根据题意，
在R 上单调递增，根据分段函数单调性列式求解.
【详解】因为
且
，若函数是单调函数，结合二次函数可知：
在R 上单调递增，
，解得
.
故答案为：4（答案不唯一）.
26．（2024·四川内江·三模）若函数
是奇函数，则
.
【答案】
【分析】利用奇函数定义，结合分段函数分段探讨求解即得.
【详解】函数
是奇函数，
，
当
时，
，
，
而当
时，
，则
，
35
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当
时，
，
，
而当
时，
，则
，
所以
，
.
故答案为：
27．（2024·河北保定·三模）定义在
上的函数
满足
为偶函数，
为奇函数，且当
时，
.当
时，函数
与
图象的交点个数为 .
【答案】4
【分析】根据题意，推出函数
的对称性和周期性，再利用作图即得.
【详解】因为函数
的定义域为
，且
为偶函数，
为奇函数，所以
，
，
则
的图象关于直线
对称，也关于点
对称，所以
，
，
故有
，则
，从而，
，即函数
是周期为
8 的周期函数.
根据函数的对称性和周期性，可以画出函数
和
在
上的图象（如图）.
由图可知
与
的图象在
上有4 个交点.
故答案为：4.
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【点睛】思路点睛：本题主要考查抽象函数的对称性和周期性应用，属于难题.
解题思路在于，根据函数的奇偶性，写出抽象函数满足的等式，据此推出函数的轴对称或中心对称特点，
再利用条件推得函数的周期性，最后利用这些性质作图即得.
28．（2024·上海·三模）设
，若在区间
上，关于x 的不等式
有意义且能恒成立，则t 的
取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据
在
上恒成立，故
，分
时，满足要求，当
时，变形为
在
上恒成立，构造
，
，根据函数单调性得到
，从而得到
，得到答案.
【详解】由题意得
在
上有意义，故
在
上恒成立，
故
，
当
时，
，而
，满足
，符合题意，
当
时，
，
在
上恒成立，
令
，
，
其中
在
上单调递减，
故
，
故
，
综上，t 的取值范围是
，
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故答案为：
29．（2024·湖南长沙·二模）若平面直角坐标系内
两点满足: （1）点
都在
的图象上; （2）点
关于原点对称，则称点对
是函数
的一个“姊妹点对”，且点对
与
记为一个“姊
妹点对”. 已知函数
，则
的“姊妹点对”有 个.
【答案】2
【分析】问题转化为
关于原点对称的函数与
在
交点的个数，先求出
关于原点对称的函数
，利用导数方法求出
在
解的个数，即可得出结论.
【详解】设
是
关于原点对称函数图象上的点，
则点P 关于原点的对称点为
在
上，
，设
，“姊妹点对”的个数即为
与
在
交点的个数，
于是
，即
，令
，
由
，得
，即
，于是只考虑
即可，
求导得
，显然函数
在区间
上单调递增，
而
，
，则存在
使得
，
当
单调递减，
单调递增，
而
，
，
，
因此函数
在区间
，
分别各有一个零点，
所以函数
的“姊妹点对”有2 个.
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故答案为：2
【点睛】思路点睛：函数的新定义，等价转化为函数图象的交点，利用函数导数研究单调性，结合零点存
在性定理是解题的关键.
30．（2024·河北秦皇岛·三模）已知奇函数
的定义域为
，
，且
，则
在
上的零点个数的最小值为 .
【答案】9
【分析】由
结合
是奇函数可求出
的周期为3，即可求出
，再由
的对称性和周期性可得
.
【详解】由
，可得
的图象关于点
对称，
又
是奇函数，所以
，
则
的周期为3，所以
，
，
而
，则
.
故
在
上的零点个数的最小值为9.
故答案为：9.
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