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【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题24 导数的综合问题多选题（新高考通用）
1．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知函数 及其导函数 的定义城
均为 ，记 ，若 关于直线 对称， 为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据已知条件和导数的运算性质，以及函数的对称行与周期逐项进行检验即
可求解.
【详解】因为 关于直线 对称，所以 ，
则 ，令 ，得 ，故选项A正确；
由 可得到 ，所以 ，
则 ，则函数 的图象关于点 对称，令 ，
则 ，故选项B错误；
又因为 为奇函数，所以 ，即 ，
所以函数 的图象关于点 对称，所以 ，故选项D正确；
由 得 ，又 ，所以 ，
所以函数 的周期为 ，
所以 ，故选项D正确；
故选：ACD.
2．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数 ， ，则下列说法正
确的是（ ）
A．若 ，则B．若 ，则
C．若 ，则
D．方程 有唯一实根
【答案】AC
【分析】根据导数的运算法则，复合函数求导，基本初等函数的导数判断ABC，由数
形结合判断D.
【详解】 ，故 ，故A正确；
因为 ，所以 ，故B错误；
因为 ，故C正确；
，即 ，作出 与 图象，如图
由图象可知， 与 图象有两个不同的交点，故方程 有两
个实根，故D错误.
故选：AC
3．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）设定义在 上的函数 与 的导函数
分别为 和 ．若 ， ，且 为奇函数，
则下列说法中一定正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称 B．C． D．
【答案】BC
【分析】由 得 ，结合 得
，即可令 求得 .
对A，由 可判断其对称性；
对C，由 为奇函数可得 的周期、对称性及特殊值，从而化简；
对BD，由 ，结合C即可判断.
【详解】对A，∵ ，则 ，则 ，
又 ，所以 ，令 ，可得 ，即
.
所以 ，所以函数 的图象关于 对称，A错；
对C，∵ 为奇函数，则 图像关于 对称，且
，
∴ ， ， ， ，∴ .
又 ，∴ ，∴ 的周期
，
∴ ，C对；
对B， ，则 是周期 的函数，
，B对；
对D，，D
错.
故选：BC.
4．（2023·山东济宁·统考一模）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，若
为奇函数， 的图象关于y轴对称，则下列结论中一定正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据 为奇函数可得 ，根据 的图象关于y
轴对称可得 ，两个等式两边同时取导数，可得 、
，对x赋值，结合选项即可求解.
【详解】因为 为奇函数，定义域为R，所以 ，
故 ，
等式两边同时取导数，得 ，即 ①，
因为 的图象关于y轴对称，则 ，故
，
等式两边同时取导数，得 ②.
由 ，令 ，得 ，解得 ，
由 ，令 ，得 ，由②，令 ，得 ，
令 ，得 ，解得 ，
故选：ABD.
5．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知函数 ，则下列结论正确的
是（ ）
A．函数 只有两个极值点
B．方程 有且只有两个实根，则 的取值范围为
C．方程 共有4个根
D．若 ， ，则 的最大值为2
【答案】ACD
【分析】对函数求导，利用导数研究函数的极值判断 ；分析函数 的性质，借助
图象判断 ；结合图象和函数的零点判断 ；由 结合取最大值的x值区间判
断D作答.
【详解】对于 ，对 求导得： ，当 或
时， ，当 时， ，即函数 在 ， 上单
调递减，在 上单调递增，因此，函数 在 处取得极小值 ，在
处取得极大值 ，故选项 正确；
对于 ，由选项 知，作出曲线 及直线 ，如图，要使方程 有且
只有两个实根，观察图象得当 时，直线 与曲线 有2个交点，所以方程 有且只有两个实根，则 的取值范围为 ，故选项 错误；
对于 ，由 得： ，解得 ，
令 ，则 ，结合图象方程 有两解， ， ，
所以 或 ，
因为 ，所以 ，所以方程 有两解；
又因为 ，结合图象可知： 也有两解，
综上：方程 共有4个根，故选项 正确；
对于 ，因为 ，而函数 在 上单调递减，
因此当 时， ，当且仅当 ，
所以t的最大值为2，故选项 正确.
故选：CD
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图
象法：作出函数f(x)的图象，观察
与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，
观察它们的公共点个数.
6．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）已知函数 ，且存在唯一的
整数 ，使得 ，则实数a的可能取值为（ ）A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】将不等式转化为 ，分别作出 与 的图象，转
动直线 使得满足 的整数解是唯一的，观察直线的斜率满足的条
件即可.
【详解】令 ，得 .
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
如图，分别作出函数 与 的图象，
其中直线 恒过定点 .
由图可知， ， ，
存在唯一的整数 ，使得 ，则需 ，
故实数a的取值范围是 ，
其中 ， ，
而 ， ，
故选：AC.
【点睛】参数分离法解不等式恒成立问题:
(1) 参数完全分离法:将参数完全分离到不等式的一端，只需求另一端函数的最值即可，
这种方法的好处是分离后函数不含参数，易求最值.(2) 参数半分离法:将原不等式分成两个函数，其中一个函数为含参的简单函数，如一
次函数，可以通过图象的变化寻求满足的条件.
7．（2023·浙江·校联考三模）已知函数 ，则（ ）
A． 有一个零点 B． 在 上单调递减
C． 有两个极值点 D．若 ，则
【答案】BD
【分析】 ， ，求出 时， ，并证明此解
为 的唯一解，则可判断A,B,C，对D选项，通过构造函数
，利用导数证明其大于0,即可
证明D选项正确.
【详解】对A, B,C选项，
令 ，因为 ，
， ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，即
所以当 时， ，且为唯一解，
所以 单调递减； 单调递增，
所以 ，即 在 上无零点，
同时表明 在 上有唯一极值点，故A,C错误，B正确；对D，若 ，设 ，则 ，
要证 ，即证 ，
因为 在 上单调递增，所以即证 ，
因为 ，所以即证 ，
令 ，
，其中 在 上单调递增，
所以 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，即 ，
所以 成立，即 成立，故D正确.
故选：BD．
8．（2023·吉林·东北师大附中校考二模）已知函数 ， ，
其中 且 ．若函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．当 时， 有且只有一个零点
B．当 时， 有两个零点
C．当 时，曲线 与曲线 有且只有两条公切线
D．若 为单调函数，则
【答案】BCD
【分析】A. 通过举特例说明该选项错误；B. 考虑 ，求出函数的单调性，分析图象得到 有两个零点；C．求出两曲线的切
线方程，再建立方程组，转化为零点个数问题分析得解；D. 分 单调递增和单调递
减讨论，从而求出 得解.
【详解】对A， 令
，
令 或 都成立， 有两个零点，故
A错误；
对B， 令
，（ ）.考虑
所以函数 在 单调递减，在 单调递增，
.
考虑
所以函数 在 单调递增，在 单调递减， 当
时， ,所以当 时，有两个零点.
此时 ，故B正确；
对C，设 ， .
设切点
所以 .①
②
,
,
设 ，
所以 ，
所以函数 在 单调递减，因为 ，
所以
所以 有两解，所以当 时，曲线 与曲线 有且只有两条公
切线，所以该选项正确；
对D，若 单调递增，则 .
.考虑 不满足.
若 单调递减，则
.
所以 考虑 不满足.
当 时， 不满足.
当 时，
，∴ .故D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点睛：本题主要有四个关键，其一，是逻辑思维，证明命题是错误的，只要举出反例即可；其二，要熟练掌握利用导数讨论函数的零点个数；其三，是理解
掌握曲线公切线的研究方法；其四，要会根据函数的单调性求参数的范围.
9．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）已知函数 ，则下列说法
正确的是（ ）
A．若 在R上单调递增，则
B．若 ，设 的解集为 ，则
C．若 若两个极值点 ， ，且 ，则
D．若 ，则过 仅能做曲线 的一条切线
【答案】ACD
【分析】对函数求导，利用导数研究函数的最值判断 ；化简不等式，利用符号法解
不等式，从而求解区间长度范围判断 ；结合图象和函数的零点判断 ；利用导数的
几何意义建立方程，判断方程根的个数即可判断D.
【详解】对于A，对 求导得： ，因为函数 在R上单调递增，
所以 恒成立，即 恒成立，
记 ，则 ，
因为 ，当 时， ，当 时， ，
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
因此，函数 在 处取得最大值 ，所以 ，即 ，故选项 正确；
对于B，由 得 ，等价于 ，即
，
当 时， ， ，又 ，故
所以 ，当 时， ， 无解，故 的解集为 ，此时 ，当
时， ， ，故B不正确；
对于C，因为函数 有两个极值点 ， ，所以 有两个零点点 ，
，
即方程 有两个解为 ， ，记 ，
因为 ，当 时， ，
当 时， ，即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
因此，函数 在 处取得最大值 ，
令 ，则 ，解得 ，
此时 ，即 ，
方程 有两个解为 ， 等价于 与 交于两点，
所以 ，
所以 ，
C选项正确；
对于D， 时， ， ，设 图象上一点 ，
则 ，故过点 的切线方程为 ，
将 代入上式得 ，
整理得 ，构造函数 ，则 ，
构造函数 ，则 ，
令 得 ，令 得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，所以函数 单
调递增，
又 ，即方程 在区间 有一解，
所以存在唯一一条过 的切线，D选项正确.
故选：ACD
10．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数
分别与直线 交于点 ，则下列说法正确的（ ）
A． 的最小值为
B． ，使得曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行
C．函数 的最小值小于2
D．若 ，则
【答案】ABD
【分析】对于A项，设 ， ，把 用 表示，则 看成关于 的函
数，求导判断单调性求最值即可.对于B项, 根据 整理成关于 的方程，
分析方程有没有解即可.对于C项，给函数 求导判断单调性，极值点用
隐零点解决，求最小值.对于D项，分 和 两种情况判断判断不等式
是否成立.【详解】对于A项，设 ， ，
则 ， ，
又因为 ， ，
所以 ，
设 ，
所以 ，
又因为 在 单调递增，且 ，
当 ，当
所以 在 上单调递减，在 单调递增，
所以 ，
所以 的最小值为 ，故A正确.
对于B项，函数 在点 处切线的斜率为 ，
又因为 ，所以函数 在点 处切线的斜率为
，
函数 在点 处切线的斜率为 ，
又因为 ，所以函数 在点 处切线的斜率为
，要使曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行，
即 ，所以 有解，即方程 有根.
即函数 有零点，
又因为当 ， ，故B正确.
对于C项， ，
因为 在 上单调递增，
当 时， ，
当 时， ，
则存在 ，使得 ，即 ，
当 时， ； 时， ，
所以
，（由于 ，故等号取不到），
又因为 ，函数 的最小值大于2，故C错误；
对于D项，不等式 化简后变为： ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
所以 ，则 ，故D正确.
故选：ABD【点睛】方法点睛：隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏
锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越
函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
11．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知 且 ，
，则下列说法中错误的是（ ）
A．
B．若关于b的方程 有且仅有一个解，则
C．若关于b的方程 有两个解 ， ，则
D．当 时，
【答案】BC
【分析】对于A，构造 ，然后得到其单调性即可判断；对于B，转
化为 与 的交点问题；对于C，结合前面结论得到 ，代入
计算即可判断；对于D，转化为即 ，即可判断.
【详解】
因为 ，化简可得令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 时， ，函数 在 上递增；
时， ，函数 在 上递减；
所以
即 ，所以函数 单调递减，
所以 ，
且令 ，则 ，令 ，得 ，则 递增；
令 ，得 ，则 递减；
所以 ，即 ，所以 成立，故A正确；
由 转化为 与 的交点问题，
则 ，
如图所示，
当 时， ，则 递减，当 时， ，
当 时， ，则 递增，
当 时， ，则 递减，
即当 时，函数有极小值 ，
所以只有一个解时 或 ，故B错误；
由 ，由图易知，不妨设 ，则 ，则有所以 ，所以 ，代入可得 ，
取对数可得 ，即
所以 是否成立，
即 ，
令 ，
取 时， 不成立，故C错误；
因为 ，
即
所以
令 ，只需证明 成立即可，
，所以 成立
故D正确；
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系
中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
12．（2023·安徽·统考一模）已知函数 和 及其导函数 和 的定义
域均为 ，若 ， ，且 为偶函数，则
（ ）A． B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 的图象关于直线 对称 D．
【答案】ABC
【分析】根据 为偶函数，可得 ，两边求导即可判断A；由
关于直线 对称得 ，结合 ，即可判断B；
根据 两边同时求导得 ，从而可判断C；先求出
函数 和 的周期，再结合函数的对称性即可判断D.
【详解】对于A，由 为偶函数得 ，
则 关于直线 对称，即 ，
两边同时求导得 ，
令 得 ，故A正确；
对于B，由 关于直线 对称得 ，
由 得 ，
所以 ，即 关于直线 对称，故B正确；
对于C，对 两边同时求导得 ，
由 得 ，则 ，
所以 关于直线 对称，故C正确；
对于D，由 得 ，
结合 选项可知， ，即 ，所以 ，
所以4是函数 的一个周期，
由 得，4也是函数 的一个周期，
由 得 ，所以 ，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：此题通过函数的奇偶性和对称性，结合导数的运算，寻找函数
图像的对称轴是解题关键，原函数与导函数图像的联系，奇偶性的联系，都是解
题的思路.
13．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）已知函数
，下列说法正确的是（ ）
A． 定义域为 B．
C． 是偶函数 D． 在区间 上有唯一极大值点
【答案】ACD
【分析】根据函数解析式结合三角函数性质求得定义域，判断A；由于函数的定义域
不关于原点对称，故可判断B；根据函数奇偶性的定义可判断C；求出函数的导数，
根据其结构特点，构造函数，再次求导，判断导数正负，进而判断函数单调性，进而
判断极大值点，即可判断D.
【详解】A. 的定义域为 ，解得 的定义域为
正确
B.由于 的定义域不关于原点对称，故函数不可能是偶函数，B错误；
C.设 ，则定义域为 ，
，即 是偶函数， 正确
D.
，
令 ，
令 ，由 ，
当 时， ，即当 时， 单调递增，
当 时， 在 单调递减，
且 ， ，
,
结合 时， ； 时， ，
故存在 使得 ，即有 在 单调递减，在 单调
递增，在 单调递减，
注意到 ，且 时， 时， ，从而对于 ，当 时 ，
在区间 单调递减，当 时 ， ，
在区间 单调递增， 为 在区间 上的唯一极大值点，
故D正确，
故选：
【点睛】难点点睛：利用导数解决 在区间 上有唯一极大值点的问题时，求
出函数的导数，由于导数形式比较复杂，故而难点就在于要根据导数的结构形式构造
函数，进而再次求导结合零点存在定理判断导数正负，从而判断函数的单调性，解决
极大值点问题.
14．（2023秋·辽宁营口·高三统考期末）已知函数 的零点为 ，函数
的零点为 ，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用导数分析函数 的单调性，分析可知 ，由
可得出 ，即 ，可得出 ， ，利用二次函
数的基本性质可判断A选项；求出 的值，可判断B选项；可知
，其中 ，分析函数 的单调性可判断C选项；构造函
数 ，其中 ，利用导数分析函数 在 上的单调性，结合放缩法可判断D选项.
【详解】因为函数 的定义域为 ，函数 、 在 上均为增函数，
所以，函数 在 上为增函数，
因为 ，且 ，
即 ， ，即 ，
因为 ， ，由零点存在定理可知， ，
且 ，所以， .
对于A选项， ，A对；
对于B选项， ，B错；
对于C选项， ，令 ，其中 ，
，则函数 在 上单调递增，
所以， ，C对；
对于D选项，令 ，其中 ，
则 ，
当 时， ， ，则 ，
则 在 上单调递增，因为 ，
，
又因为 ，所以 ，D对.
故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点相关的不等式相关的问题，解本题的关键在
于分析得出 ，通过指对同构得出 ，即 ，再结合函数的单调
性来进行判断.
15．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）若 ，若 恒
成立，则 的值不可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据题意可得：故原题意即为 恒成立，构
建 ，结合 的单调性可得： 恒成立，构建
，则 ，求导，利用导数求最值，运算求解即可.
【详解】∵ ，等价于 ，等价于
，
故原题意即为 恒成立，
构建 ，则 在定义域内单调递增，
由 ，可得 ，即
，
故 恒成立，
构建 ，则 ，
令 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，解得 ，
若 恒成立，则 .
故A、B、D错误，C正确.
故选：ABD.
【点睛】结论点睛：指对同构的常见形式：
积型： ，
① ，构建 ；
② ，构建 ；
③ ，构建 .
商型： ，
① ，构建 ；
② ，构建 ；
③ ，构建 .
和型： ，
① ，构建 ；
② ，构建 .
16．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）若函数 有两个极
值点 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】对于选项A、B， 有两个极值点，则 在 上有2个不同的根，分离参数画图可得a的范围及 、 的范围.
对于选项C，将 代入 可得关于 的二次函数，求其范围即可.
对于选项D，运用比值代换法构造函数求导研究其范围.
【详解】由题意知， 在 上有2个不同的根，
又∵ ，
∴ ，即： ，
∴ 在 上有2个不同的交点，
令 ，
∴ ，
， ，
∴ 在 上单增，在 上单减，
又∵ ， ，当 时， ，当 时， ，
∴ 的图象如图所示，
∴当 时， 与 在 上有2个不同的交点， .
故选项A项正确，选项B项错误；
对于C项，由题意知， ，
∴ ，又∵ ，∴ ，
令 ，则 ，则 在 上单调递增，
∴ ，即： .故选项C项正确；
对于D项，设 ，
∴ ，解得：
∴ ，
∴ ， ，
令 ，
则 ，
令 ，则 ， ，
∵ ，
∴
∴ 在 上单调递增，
∴ ，
∴ 在 上单调递增，
∴ ，
∴ ，
∴ 在 上单调递增，
∴
∴ ，即： ，故选项D正确.
故选：ACD.【点睛】极值点偏移问题的解法
(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论 型，构造函数
；对结论 型，构造函数 ，通过
研究F(x)的单调性获得不等式．
(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换 化为单变量的函数
不等式，利用函数单调性证明.
17．（2023秋·河北邢台·高三统考期末）已知 ，函数 ，下列结论
正确的是（ ）
A． 一定存在最小值
B． 可能不存在最小值
C．若 恒成立，则
D．若 恒成立，则
【答案】AC
【分析】利用导数研究函数的单调性，判断最值的存在性，通过构造函数，利用单调
性处理恒成立问题.
【详解】 ，则 为增函数.
因为 ，所以 存在唯一的零点 .
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调
递增，
所以 ， A选项正确，B选项错误；
由 ，可得 ，则 .恒成立，即 恒成立，
令函数 ，则 ，
易知 在 上单调递增，则 ，
故 ，即 ，C选项正确，D选项错误.
故选：AC.
【点睛】1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调
性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零
点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许
多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
18．（2023·山东威海·统考一模）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，
记 ，若 为偶函数， 为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】对于ABD，利用已知条件与复合函数的求导法则，结合 与 的奇
偶性，逐一分析判断即可；对于C，举反例排除即可.
【详解】对于A，因为 为偶函数，所以 ，
所以 ，故A正确；
对于B，因为 ，左右两侧分别取导数可得， ，
所以 ，故B正确；
对于D，因为 ，又 为奇函数，则 ，
所以 ，即 ，则 ，故D正确；对于C，令 ，则 为偶函数，
为奇函数，满足题干，
当 时， ， ，
所以 ，即存在 ，使得 不成立，故C错误.
故选：ABD.
19．（2023·山东泰安·统考一模）已知函数 有两个极值点 ，
，则（ ）
A． B． C． D． ，
【答案】ACD
【分析】求出 ，根据已知得 有两个变号零点，令 ，求出 ，
分类讨论根据其正负得出 单调性，令其满足有两个变号零点，当 时，不满
足题意，当 时，则 ，即可解出 的范围，判断A；
根据已知可得 有两个变号零点 ， ，而函数 在 上单调递
增，在 上单调递减，则 ，即可判断B；
，则 ，根据不等式的性质即可得出 范围，判断
C；
根据 得出函数 单调性，结合 ，且 ，列不等式，即可判断
D.【详解】对于A： ，定义域 ，
，
函数 有两个极值点 ， ，
则 有两个变号零点，
设 ，
则 ，
当 时， ，则函数 单调递增，则函数 最多只有一个变号零点，
不符合题意，故舍去；
当 时， 时， ， 时， ，
则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
若 有两个变号零点，则 ，解得： ，
此时 由正趋向于 时， 趋向于 ， 趋向于 时， 趋向于 ，
则 有两个变号零点，满足题意，
故 的范围为： ，故A正确；
对于B：函数 有两个极值点 ， ，
即 有两个变号零点 ， ，
则 ，故B错误；
对于C：当 时， ，
则 ，即 ， ，
则 ，故C正确；对于D： 有两个变号零点 ， ，且函数 先增后减，
则函数 在 与 上单调递减，在 上单调递增，
，且 ，
，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常转化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与
数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理；
再利用导数研究函数单调性、极值或最值时，如果一次求导无法求解，可考虑多次求
导来进行求解，求解过程要注意原函数和对于的导函数的关系，不能混淆.
20．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】通过多次构造函数，结合函数的性质、选项及 进行求
解.
【详解】设 ， ，当 时， ， 为减函数；当
时， ， 为增函数；所以 的最大值为 ，即
.
因为 ，所以 .
设 ， ，所以当 时， 为减函数；因为 ， ，所以 .
由 可得 ，所以 ，故B正确.
设 ， ，当 时， ， 为减函数；当
时， ， 为增函数；所以 的最大值为 ，所以
，即 .
.
设 ，易知 为增函数，由 可得 ，故C正确.
因为 为单调递减函数， 在 上是增函数，在
上是减函数，且 的图象经过 图象的最高点，所以当 时，
的大小无法得出，故A不正确.
令 ，则 ，得 ，易知 在 为增函数，所以 ，
所以 不成立，故D不正确.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的常用方法：
（1）作差比较法：作差，构造函数，结合函数最值进行比较；
（2）作商比较法：作商，构造函数，结合函数最值进行比较；
（3）数形结合法：构造函数，结合函数图象，进行比较；
（4）放缩法：结合常见不等式进行放缩比较大小，比如， 等.
21．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）设定义在 上的函数 与 的导函数分
别为 和 ，若 ，且 与 均为偶函数，则下列
说法中一定正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】对于选项A：根据已知结合偶函数性质得出 ，两边求导结
合函数中心对称得出 图像关于 点对称，即可得出 ，根据已知结合
函数求导得出 ，令 得出 来判断；
对于选项B：根据已知结合偶函数性质得出 ，两边求导结合函数中心对
称得出 图像关于 点对称，根据函数图像变化结合已知得出 图像关于
点对称，函数关于两点对称，根据中心对称的性质即可得出
，即可得出 ，根据 得出
，即可得出答案来判断；
对于选项C：根据 图像关于 点对称，得出 ，即可结合函数求导得
出 ，令 得出 来判断；
对于选项D：根据 图像关于 点对称，结合中心对称的性质得出
，即可得出 来判断.
【详解】对于选项A： 为偶函数，
，，即 ，
图像关于 点对称，
，
，
，
令 ，得 ，解得 ，故A正确；
对于选项B：
为偶函数，
，
，即 ，
图像关于 点对称，
图像关于 点对称，
图像关于 点对称，
图像关于 点与 点对称，
自变量每增加1，函数值增加4，即 ，
，令 ，得 ，
，
则 ，故B正确；
对于选项C： 图像关于 点对称，，
，
令 ，得 ，故C错误；
对于选项D： 图像关于 点对称，
则 两自变量相加等于1时，函数值之和为 ，即 ，
，
，故D正确；
故选：ABD.
22．（2023·湖南·模拟预测）函数 （e为自然对数的底数），则下
列选项正确的有（ ）
A．函数 的极大值为1
B．函数 的图象在点 处的切线方程为
C．当 时，方程 恰有2个不等实根
D．当 时，方程 恰有3个不等实根
【答案】BD
【分析】求出函数 的导数，利用导数探讨极大值判断A；利用导数的几何意义求
出切线方程判断B；分析函数性质并结合函数图象判断CD作答.
【详解】对于A： ，
在区间 ， 上， ， 单调递增，在区间 上， ，
单调递减，所以 的极大值为 ，A错误；
对于B： ， ，则函数 图象在点 处的切线方程为
，即 ，B正确；
对于C、D：因为 在 上递增，在 上递减， ， ，
在 上递增，且 在 上的取值集合为 ， 在
上的取值集合为 ，
因此函数 在 上的取值集合为 ， 的极大值为 ，
的极小值为 ，
作出函数 的部分图象，如图，
观察图象知，当 或 时， 有1个实数根；当 或 时
有2个实数根；
当 时，有3个实数根，C错误，D正确.
故选：BD
【点睛】思路点睛：研究方程根的情况，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、
最值等，借助数形结合思想分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.
23．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知函数 ， 是 的导数，
则（ ）A．函数 在 上单调递增
B．函数 有唯一极小值
C．函数 在 上有且只有一个零点 ，且
D．对于任意的 ， ， 恒成立
【答案】ABD
【分析】对函数求导，利用二次导函数的正负判断导函数函数的单调性，进而判断选
项 ；构造函数，利用导数求解函数的单调性并证明不等式，进而判断选项 .
【详解】 ，
，则 ，
设 ，
，
则函数 在 上单调递增， ，因此 对任意的
恒成立，所以 在 上单调递增，故选项 正确；
又 ，所以 ，则存在 ，使得 ．
在 时， ； 时， ；
所以函数 在 单调递减，在 单调递增，
故 有唯一极小值，故选项 正确；
令 ， ，则 ，
所以函数 在 单调递减，在 单调递增，
且 ，则有 ．
又 ，
因此存在 ，使得 ，
当 时， ，当 时， ，
于是得函数 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ．
又 ，
从而存在唯一 ，使得 ．
显然当 时， ，当 时， ．
又 ，令 ，
，
因此函数 在 上单调递减， ，
有 ， ，则
，
即 ，从而函数 在 上有唯一零点 ，
函数 在 上有且只有一个零点 ，且 ，故选项C错误；
， ，，
设 ， ，
则
由选项 知， 在 上单调递增，而 ，则 ，
即有 ，因此函数 在 上单调递增，
，即有 ，
所以对任意的 ， ，总满足 ，故选项 正确．
故选： .
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明
（或 ），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结论构造
辅助函数.
24．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）已知O为坐标原点，曲线 在点
处的切线与曲线 相切于点 ，则（ ）
A． B．
C． 的最大值为0 D．当 时，
【答案】AB
【分析】先利用导数几何意义求出切线方程，利用切线斜率和截距相等建立方程，然后利用指对互化判断A、B，由数量积坐标运算化简 ，判断函数
值符号即可判断C，构造函数，利用导数法研究函数的单调性，判断D
【详解】因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
切线： ，即 ，
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
切线： ，即 ，
由题意切线重合，所以 ，所以 ，即 ，A正确；
当 时，两切线不重合，不合题意，
所以 ， ， ，
所以 ， ，B正确；
，
当 时， ， ，则 ，当 时， ，
，
则 ， ，所以 ，C错误；
设 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，所以 ，所以 ，
所以 ，∴ ，
记 ，则 ，所以函数 在 上单调递增，则 ，所以
，D错误.
故选：AB
【点睛】关键点点睛：本题需要表示出两条切线方程，然后比较系数，再进行代换，
在代换过程中要尽量去消去指数或对数，朝目标化简.
25．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知函数 ，数列
按照如下方式取定： ，曲线 在点 处的切线与经过点
与点 的直线平行，则（ ）
A． B． 恒成立 C． D．数列 为单
调数列
【答案】ABD
【分析】根据导数的几何意义，利用放缩法和构造函数利用导数证明单调性即可得解.
【详解】因为 ，
所以 ，
，
， ，
曲线 在点 处的切线与 与 连线平行，
所以斜率相等，
所以 ，
所以 ，
所以所以 ，
而 ，
所以 ，
记 ，
所以 ，
所以 单调递减，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以
所以 ，故选项A正确；
设 ，则 ，
设 ，
，
所以 ，
，
所以若 ，则 ，则 ，
因为 ，
所以 恒成立，故选项B正确；
要证 ，
令 ，
即证明 ，
令 ，
所以t>0时，
，
(t>0)
所以 ，
所以选项C错误；
，
若数列 为单调，则 必为单调递减，
则 ，
即 ，
即 ，
即 ( ),
即 ，即 ，
令 ，
则 ，
所以 ，
所以 单调递增 ，
所以 ，
所以 ，
所以得证；
所以选项D正确;
故选：ABD.
【点睛】通过构造单变量函数，求导后证明不等式，从而可以帮助解题.
26．（2023春·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考开学考试）已知直线
分别与函数 和 的图象交于点 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】A选项，看出 与 互为反函数，确定 也关于
对称，求出 ， 两点关于 对称， ， ， ，
A选项，利用基本不等式进行证明；B选项，得到 ， ，
，构造 ， ，求导得到其单调性，从而求出 ；C选项，由基本不等式得到 ，构造 ，求导得到其单
调性，得到 ，得到 ；D选项，先根据 得到
，再用作差法比较大小.
【详解】 与 互为反函数，即两函数关于 对称，
而 与 垂直，故 也关于 对称，
联立 ，解得： ，
故 ， 两点关于 对称，
即 ， 且 ，
不妨设 ， ，
画出图象如下：
A选项， ，当且仅当 ，即 时等号成立，
又 ，故等号取不到，A正确；
因为 ，所以 ，所以 ，
因此 ，故 ，又 为 与 的交点，故 ，
所以 ，令 ， ，
其中 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，
所以 ，B正确；
因为 ， ，
所以 ，因此有 ，
设 ， ，
因为 ，所以 ，因此 在 上单调递增，
当 时，有 ，即 ，
因此 ，C错误；
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ，D正确.
故选：ABD
【点睛】互为反函数的两个函数的性质：①反函数的定义域和值域分别为原函数的值
域与定义域；
②严格单调的函数存在反函数，但有反函数的函数不一定是单调的（比如反比例函数）；
③互为反函数的两个函数关于 对称，
④奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也时奇函数；
⑤如果一个函数图象关于 对称，那么这个函数一定存在反函数，并且其反函数就
是它本身.
27．（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）已知函数 有三个不同的极值
点 ， ， ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． 为函数 的极大值点 D．
【答案】ACD
【分析】由已知可知方程 有三个根，然后利用导数讨论 的单
调性，结合图象可判断A、B选项；结合图象分析在 处 的正负，即可得出函数
在 附近的单调性，即可判断C选项；将 代入 ，然后利用导数讨
论其单调性，由单调性可判断D选项.
【详解】由函数 有三个不同的极值点 ， ， ，
只需 有三个零点，即方程 有三个根，
设函数 ，则 ，
令 ，即 ，；令 ，即 或 ，
所以函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 的极小值为 ，且当 时， ，如图，当 ，即 时，函数 与 有三个交点，即函数 有三个不
同的极值点，故A正确；
对于B，观察图象可知 ，故B不正确；
对于C，由图象可知，当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 为函数 的极大值点，故C正确；
对于D，由 ，即 ，
令 ， ，
则 ，故函数 在 上单调递减，
故 ，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：将函数 极值问题转化方程 的根的问题，再转化为函
数与函数交点问题，结合图象求解即可.
28．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）若当实数a变化时，直线 恒与定曲线 相切，且 ，则（ ）
A． 有一个极大值点 B．
C． D．
【答案】AD
【分析】求出 的解析式再利用导数可求探究其性质，再判断后可得正确的选项.
【详解】因为直线 恒与定曲线 相切，
则曲线 为坐标平面上挖去诸切线上的点后余下的所有点形成的边界（边界为
虚边界），而余下的 不在切线上，故 无解，
设 ，则 ，
若 ，则 ，当 时， 无解，此时边界点为
若 ，则 ，故 在 上为增函数，
而当 时， ， 时， ，
故无论 取何值，从而 总有解.
若 ，则 时， ， ， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
故 ，
若 ，则 无解，故 即 ，
边界对应的函数为 ， .
若 ，因此 时， ，故此时 总有解.
综上， ，故C错误.当 时， ，
当 时， ；当 时， ，
故 在 上为增函数，在 为减函数，
故 有唯一的极大值点 ，且极大值为 ，故A正确.
又 的图象如图所示：
当 时，由 可得 或 ，即 或 ，
有两个不同的解，故B错误.
若 ，则由图象可得 ，不妨设 ，
当 时， ，此时 成立；
当 时，令 ，其中 ，
则 ，
因为 ，故 ，故 ，
所以 在 上为减函数，故 ，所以 ，故 ，
故 ，而 ，
由 的单调性可得 即 ，
综上，D成立，
故选：AD.
【点睛】思路点睛：对于曲线的切线族问题，往往与曲线的包络线有关，注意从曲线
的切线族结合方程无解可求曲线的方程，再结合导数的方法可研究函数的性质.
29．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知 ，函数 ，则
（ ）
A．对任意 ， ， 存在唯一极值点
B．对任意 ， ，曲线 过原点的切线有两条
C．当 时， 存在零点
D．当 时， 的最小值为1
【答案】ABD
【分析】对于A，求出函数导数，数形结合，判断导数正负，从而判断函数单调性，
确定函数极值点；对于B，设切点为 ，利用导数的几何意义可
得方程，结合方程的根的个数，判断切线的条数；对于C，利用导数判断函数单调性，
求函数最值，根据最值情况判断函数的零点情况；对于D，由于 为偶函数，故
先判断 时函数的单调性，结合偶函数性质，即可判断 的单调性，进而求得
函数最值.
【详解】对于A，由已知 ，函数 ，可得 ，
令 ，
则 即 在R上单调递增，令 ，则 ，
当 时，作出函数 的大致图象如图：
当 时，作出函数 的大致图象如图：
可知 的图象总有一个交点，即 总有一个根 ，
当 时， ；当 时， ，
此时 存在唯一极小值点，A正确；
对于B，由于 ，故原点不在曲线 上，且 ，
设切点为 ，则 ，
即 ，即 ，
令 ， ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
故 ，当 时， 的值趋近于0， 趋近于无穷大，故 趋近于正无穷大，
当 时， 的值趋近于正无穷大， 趋近于无穷大，故 趋近于正
无穷大，
故 在 和 上各有一个零点，即 有两个解，
故对任意 ， ，曲线 过原点的切线有两条，B正确；
对于C，当 时， ， ，
故 ，该函数为R上单调增函数，
，
故 ，使得 ，即 ，
结合A的分析可知， 的极小值也即最小值为
，
令 ，则 ，且为增函数，
当 时， ，当且仅当 时取等号，
故当 时， ，则 在 上单调递增，
故 ，令 ，则 ，
此时 的最小值为 ， 无零点，C错误；
对于D，当 时， 为偶函数，考虑 视情况；
此时 ， ，
结合A的分析可知 在R上单调递增， ，
故 时， ，则 在 上单调递增，
故 在 上单调递减， 为偶函数，故 ，D正确，
故选：ABD
【点睛】难点点睛：本题综合新较强，综合考查了导数的几何意义以及极值点、零点、
最值问题，计算量较大；难点在于利用导数解决函数的零点问题时，要能构造恰当的
函数，结合零点存在定理判断导数值的情况，从而判断函数的单调性，求得最值，解
决零点问题.
30．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数 ，将 的所有极
值点按照由小到大的顺序排列，得到数列 ，对于正整数n，则下列说法中正确的
有（ ）
A． B．
C． 为递减数列 D．
【答案】AC
【分析】 的极值点为 的变号零点，即为函数 与函数 图像在
交点的横坐标.将两函数图像画在同一坐标系下.
A选项，利用零点存在性定理及图像可判断选项；
BC选项，由图像可判断选项；
D选项，注意到 ，由图像可得 单调性，后可判断选
项.
【详解】 的极值点为 在 上的变号零点.
即为函数 与函数 图像在 交点的横坐标.
又注意到 时， ， 时， ，
， 时， .据此可将两函数图像画在同一坐标系中，如下图所示.
A选项，注意到 时， ，
， .
结合图像可知当 ， .
当 ， .故A正确；
B选项，由图像可知 ，则 ，故B错误；
C选项， 表示两点 与 间距离，由图像可知，
随着n的增大，两点间距离越来越近，即 为递减数列.故C正确；
D选项，由A选项分析可知， ，
又结合图像可知，当 时， ，即此时 ，
得 在 上单调递增，
则 ，故D错误.
故选：AC【点睛】关键点点睛：本题涉及函数的极值点，因函数本身通过求导难以求得单调性，
故将两相关函数画在同一坐标系下，利用图像解决问题.
