文档内容
9.2.2 用坐标表示平移（四大类型提分练）
类型一、由平移方式确定点的坐标
1．（23-24七年级下·全国·单元测试）将点A(1,−2)向下平移3个单位长度，所得点的坐标是（ ）
A．(1,−1) B．(4,2) C．(−4,−2) D．(1,−5)
【答案】D
【分析】本题主要考查了坐标平移，根据平移规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减进行解答即可．
【详解】解：将点A(1,−2)向下平移 3 个单位长度，所得点的坐标是：(1,−2−3) 即(1,−5)．
故选：D．
2．（23-24七年级下·全国·期中）把点A(−2,1)向上平移2个单位，再向右平移3个单位后得到点B，点B
的坐标是（ ）
A．(−5,3) B．(1,3) C．(1,−3) D．(−5,1)
【答案】B
【分析】此题考查了坐标系中点的平移.根据横坐标左加右减，纵坐标上加下减进行解答即可.
【详解】把点A(−2,1)向上平移2个单位，再向右平移3个单位后得到点B，点B的坐标是(−2+3,1+2)，
即(1,3)，
故选：B
3．（21-22八年级上·广西梧州·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，1)，将点A向左平移3个
单位长度，再向上平移1个单位长度得到点A′，则点A′的坐标为（ ）
A．(−1，2) B．(5，0) C．(−1，0) D．(5，2)
【答案】A
【详解】本题考查了坐标与图形变化——平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标
上移加，下移减．利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．
【解答】解：∵点A的坐标为(2，1)，将点A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点A′，
∴点A′的横坐标是2−3=−1，纵坐标为1+1=2，即(−1，2)．
故选：A．
4．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）若将点A先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到的
B(−3,2)，则点A的坐标为（ ）
A．(−2,6) B．(−4,6) C．(−2,−2) D．(−4,−2)
【答案】C
【分析】本题考查了平移的变坐标换，解题的关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下
移减．设A(x,y)，将点A先向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得(x−1,y+4)，再根据B(−3,2)可得x−1=−3，y+4=2，然后再解方程即可．
【详解】解：设A(x,y)，将点A先向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得(x−1,y+4)，
∵得到的B(−3,2)，
{x−1=−3)
∴ ，
y+4=2
{x=−2)
解得： ，
y=−2
∴A(−2,−2)，
故选：C．
5．（22-23七年级下·广东东莞·期中）如图，在直角坐标系中，已知A(−1,4)，B(−2,1)，C(−4,1)，将
△ABC向右平移3个单位再向下平移2个单位得到△A B C ，点A、B、C的对应点分别是点A 、B 、
1 1 1 1 1
C ．
1
(1)画出△A B C ；
1 1 1
(2)直接写出点A 、B 、C 的坐标；
1 1 1
(3)直接写出△A B C 的面积．
1 1 1
【答案】(1)见详解
(2)A (2,2)，B (1,−1)，C (−1,−1)
1 1 1
(3)3
【分析】本题考查了点的平移、图形与坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据平移的性质，分别找到A ，B ，C ，然后依次连线，即可作答；
1 1 1
（2）由（1）的图，分别表示出A ，B ，C 的坐标，即可作答；
1 1 1
（3）利用三角形的面积公式即可求出△A B C 的面积
1 1 1
【详解】（1）解：如图：；
（2）解：由（1）知：A (2,2)，B (1,−1)，C (−1,−1)；
1 1 1
1
（3）解： ×2×3=3，
2
∴△A B C 的面积为3．
1 1 1
6．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图，三角形ABC在平面直角坐标系中，其中点A(−3,−2)，点
B(−4,1)，点C(−1,3)．将三角形ABC向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到三角形
A B C ，在图中画出三角形A B C ，并写出点A 的坐标．
1 1 1 1 1 1 1
【答案】图见解析，点A 的坐标为(1,−1)
1
【分析】本题考查作图-平移变换，根据平移的性质作图即可．
【详解】解：如图，△A B C 即为所画，点A 的坐标为(1,−1)，
1 1 1 17．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的坐标分别为A(0,1)，
B(2,0)，C(4,3)．
(1)在坐标系中描出各点，画出△ABC；
(2)画出将△ABC向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的△A B C ，并写出A 、B 、
1 1 1 1 1
C 的坐标．
1
【答案】(1)见解析
(2)见解析，A (−3,−4)，B (−1,−5)，C (1,−2)
1 1 1
【分析】本题考查了坐标与图形、作图—平移变换，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）根据A,B,C的坐标进行描点，再顺次连接即可；
（2）根据平移的性质找出点A 、B 、C ，再顺次连接即可，写出A 、B 、C 的坐标即可；
1 1 1 1 1 1
【详解】（1）△ABC如图所示：（2）△A B C 如图所示：
1 1 1
A (−3,−4) B (−1,−5) C (1,−2)
1 1 1
， ，
8．（21-22七年级下·广东中山·期中）如图，△A′B′C′由△ABC平移所得，△ABC三个顶点的坐标分别为
A(−4，−1)，B(−5，−4)，C(−1，−3)，点A的对应点A′的坐标为(2，3)．
(1)请画出平移后的△A′B′C′；
(2)写出点B′，C′的坐标；
(3)写出△ABC中任意一点P(x ，y )平移后的对应点为P′的坐标．
1 1
【答案】(1)作图见详解(2)B′(1,0),C′(5,1)
(3)P′ (x +6,y +4)
1 1
【分析】本题考查作图−平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
（1）根据平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）根据点的位置写出坐标即可；
（3）利用平移变换的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵△A′B′C′由△ABC平移所得，点A(−4,−1)的对应点A′的坐标为(2,3)，
∴2−(−4)=6,3−(−1)=4，
即△ABC向右平移6个单位、向上平移4个单位得到△A′B′C′，
∴△ABC的顶点B(−5,−4)，C(−1,−3)的对应顶点的坐标分别为B′(1,0),C′(5,1)，
如图，△A′B′C′即为所求；
（2）解：由（1）可得B′(1,0),C′(5,1)；
（3）解：由（1）可得平移规律，可得△ABC中任意一点P(x ,y )平移后的对应点为P′的坐标
1 1
P′ (x +6,y +4)．
1 1
类型二、已知平移后的坐标求平移前的坐标
9．（21-22七年级下·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，将点P向上平移3个单位得到点P′(1,2)，则点
P在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】利用平移变换的性质判断出点P的坐标，根据四个象限的符号特点即可得结论．
【详解】解：∵将点P向上平移3个单位得到点P′(1,2)，
∴P(1,−1)，
∴点P在第四象限，
故选：D．【点睛】考查坐标与图形变化一平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，以及记住各象限内点的坐标的
符号．
10．（22-23七年级下·河南安阳·期中）将点P(2m+1,2−m)向左平移3个单位长度得到点Q，且Q在y轴上，
则点P的坐标为（ ）
A．(3,1) B．(1,3) C．(0,1) D．(3,0)
【答案】A
【分析】将点P(2m+1,2−m)向左平移3个单位长度后点Q的坐标为(2m−2,2−m)，根据点Q在y轴上知
2m−2=0，据此知m=1，再代入即可得．
【详解】解：将点P(2m+1,2−m)向左平移3个单位长度后点Q的坐标为(2m−2,2−m)
∵点Q在y轴上，
∴2m−2=0即m=1，
则点P的坐标为(3,1)．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐
标上移加，下移减．掌握点的坐标的变化规律是解题的关键．同时考查了y轴上的点横坐标为0的特征．
11．（21-22七年级下·四川德阳·阶段练习）已知△ABC内任意一点P（a，b）经过平移后对应点P（a＋
1
2，b－6），如果点A在经过此次平移后对应点A（4，－3），则A点坐标为（ ）
1
A．（6，－9） B．（2，－6） C．（－9，6） D．（2，3）
【答案】D
【分析】点A向右平移2个单位，向下平移6个单位得到A（4，3），由此可得结论．
1
【详解】解：由题意，点A向右平移2个单位，向下平移6个单位得到A（4，3），
1
∴点A坐标（4−2，−3＋6），即（2，3），
故选：D．
【点睛】本题考查的是坐标与图形变化——平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加
左减是解题的关键．
12．（23-24七年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的位置如图所
示，点A′的坐标是(−2,2)．现将△ABC平移，使点A与点A′重合，点B、C的对应点分别是点B′、C′．(1)请画出平移后的△A′B′C′，并写出点B′的坐标______________；
(2)点P是△ABC内的一点，当△ABC平移到△A′B′C′后，若点P的对应点P′的坐标为(a,b)，则点P的坐
标为___________________．
(3)求出三角形ABC的面积．
【答案】(1)图见解析，(−4,1)；
(2)(a+5,b+2)
7
(3)
2
【分析】本题主要考查了作图——平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
（1）先根据题意求出平移方向，从而求出，的坐标，画出图形即可；
（2）根据（1）中的平移方向，即可求解；
（3）先求出△ABC所在的长方形的面积，然后减去△ABC四周的三角形的面积即可．
【详解】（1）解：由题意得：△ABC先向左平移5个单位，再向下平移2个单位得到△A′B′C′，
平移后的△A′B′C′，如图所示：
点B′的坐标是(−4,1)；
（2）解：由题意得：△ABC先向左平移5个单位，再向下平移2个单位得到△A′B′C′，∵点P的对应点P′的坐标为(a,b)，
∴点P的坐标为(a+5,b+2)；
1 1 1 7
（3）解：S=3×3− ×2×1− ×3×1− ×3×2=
2 2 2 2
13．（22-23七年级下·江苏南通·期中）如图，先将三角形ABC向左平移3个单位长度，再向下平移2个单
位长度，得到三角形A B C ．
1 1 1
(1)画出三角形A B C
1 1 1
(2)已知三角形ABC内部一点P的坐标为(a,b)，若点P随三角形ABC一起平移，平移后点P的对应点P 的
1
坐标为(−2,1)，请求出a，b的值；
(3)求三角形ABC面积；
(4)设线段A C 与x轴的交点为D，则点D的坐标为 ．
1 1
【答案】(1)作图见解析
(2)a=1，b=3
21
(3)
2
( 13 )
(4) − ，0
4
【分析】（1）根据三角形ABC平移的方向和单位长度分别作出A，B，C的对应点A ，B ，C ，然后顺
1 1 1
次连接即可；
（2）根据点平移的坐标变化规律：左减右加纵不变，上加下减横不变，构建方程组即可解决问题；
（3）利用分割法求出三角形的面积即可；
（4）设点D(m,0)，则B D=2−m，然后利用S =S +S 建立关于m的方程，求解即可．
1 △ABC △C DB △A DB
1 1 1 1
【详解】（1）解：∵将三角形ABC向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，如图，
∴A (−4，−1)，B (2，0)，C (−1，3)，
1 1 1
连接A B 、B C 、A C ，
1 1 1 1 1 1
∴三角形A B C 即为所作；
1 1 1（2）平移后点P的对应点P (a−3,b−2)，
1
∵P (−2,1)，
1
{a−3=−2)
∴ ，
b−2=1
{a=1)
解： ，
b=3
∴a=1，b=3；
1 1 1 21
（3）S =4×6− ×6×1− ×3×3− ×4×3= ，
△ABC 2 2 2 2
21
∴三角形ABC面积为 ；
2
（4）设点D(m,0)，
∴B D=2−m，
1
∵S =S +S ，
△ABC △C DB △A DB
1 1 1 1
1 1 21
∴ ×(2−m)×3+ ×(2−m)×1= ，
2 2 2
13
解得：m=− ，
4
( 13 )
∴点D的坐标为 − ，0 ，
4
( 13 )
故答案为： − ，0 ．
4
【点睛】本题考查作图—平移变换，点坐标平移的规律，两点间距离，三角形的面积等知识，解题的关键
是熟练掌握基本知识，学会用分割法求三角形的面积．
类型三、已知平移前后的坐标判断平移方式
14．（23-24七年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，将三角形各点的横坐标都减去3，纵坐标保
持不变，所得图形与原图形相比（ ）A．向右平移了3个单位 B．向左平移了3个单位
C．向上平移了3个单位 D．向下平移了3个单位
【答案】B
【分析】本题考查了坐标与图形的变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上
移加，下移减．根据向左平移，横坐标减，纵坐标不变解答．
【详解】∵将三角形各点的横坐标都减去3，纵坐标保持不变，
∴所得图形与原图形相比向左平移了3个单位．
故选B．
15．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，点A，B的坐标为(2,0)，(0,1)，若将线段AB平移至A B ，
1 1
则a+b的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移1
个单位长度，向上平移1个单位长度，再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可．
【详解】解：∵将线段AB平移至A B ，A(2,0)，B(0,1)，A (3,b)，B (a,2)，
1 1 1 1
∴平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，
∴a=0+1=1，b=0+1=1，
∴a+b=2，
故选：A．
16．（23-24七年级下·广西南宁·期末）在平面直角坐标系中，将点A(−2,3)平移到点B(−2,−2)处，正确
的移动方法是（ ）
A．向右平移5个单位长度 B．向左平移5个单位长度
C．向下平移5个单位长度 D．向上平移5个单位长度
【答案】C
【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移
加，下移减；根据平移的规律即可求出平移方法．
【详解】解：∵3−5=−2，
∴平移方法为将点A(−2,3)向下平移5个单位长度到点B(−2,−2)处．
故选：C．二、解答题
17．（23-24七年级下·全国·期中）小明家住在湖光小区，如图所示的是小明家附近一片区域的平面示意图，
图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，其中第一小学的坐标为(−4,−4)，康德乐的坐标为(−1,2)．
(1)请在图中画出平面直角坐标系，并写出学管中心的坐标：______________．
(2)若大世界的坐标为(3,−5)，请在坐标系中用点P表示它的位置；
(3)小明家从湖光小区搬到府前官邸，请你用坐标描述平移的过程
【答案】(1)见解析，（8，5）
(2)见解析
(3)先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度（或先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单
位长度）
【分析】本题考查了用平面直角坐标系表示位置，坐标与图形变化—平移，解题关键是根据坐标建立平面
直角坐标系，会利用点的坐标表示不同位置．
（1）以湖光小区为原点，向东和向北为横纵轴的正方向建立坐标系，写出坐标即可；
（2）关键坐标描出点P即可；
（3）根据向右平移两个单位，向下平移3个单位，用坐标描述即可．
【详解】（1）解：因为，第一中学的坐标为(−4,−4)，康德乐的坐标为(−1,2)，
所以以湖光小区为原点，向东和向北为横纵轴的正方向建立坐标系，
学管中心的坐标为(8,5)．（2）解：大世界的坐标为(3,−5)，在平面直角坐标系中位置如图所示：
（3）解：小明家从湖光小区(0,0)搬家到府前官邸(2,−3)，横坐标加2，纵坐标减3．
用坐标描述平移的过程为：先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度（或先向下平移3个单位
长度，再向右平移2个单位长度）．
类型四、坐标与平移综合问题
18．（22-23七年级下·江苏常州·期中）如图，图形在方格（小正方形的边长为1个单位）上沿着网格线平
移，规定：若沿水平方向平移的数量为x（向右为正，向左为负，平移|x)个单位），沿竖直方向平移的数
量为y（向上为正，向下为负，平移|y)个单位），则把有序数对(x,y)叫做这一平移的“平移量”．如图，
已知△ABC，点A按“平移量”(2,3)可平移到点B．
(1)填空：点B可看作点C按“平移量”（______，______）平移得到．
(2)若将△ABC依次按“平移量”(3,−4)、(−1,1)平移得到△A′B′C′，请在图中画出△A′B′C′．
3
(3)将点A按“平移量”(a,b)平移得到点D（点D在直线BC上），使得S = S ，写出此时的平移
△ABD 2 △ABC
量(a,b)．
(4)将点C按“平移量”(a,b)平移得到点P，连接AP、BP．若△ABP的面积与△ABC的面积相等，写出
a、b满足的关系式．
【答案】(1)−2,2
(2)作图见解析部分
(3)(−1,6)或(5,0)a 2 a+4 2
(4)当点P在AB的下方时 = ．点P在AB的上时， =
b 3 b−4 3
【分析】本题考查作图-平移变换，正数与负数，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学
知识解决问题．
（1）根据“平移量”的定义判断即可；
（2）利用平移变换的性质分别作出A,B,C的对应点A′,B′,C′即可；
（3）判断出点D的位置，可得结论；
（4）取格点T，作直线CT，当点P在直线CT上时，满足条件．
【详解】（1）解：点B可看作点C位“平移量”(−2,2)平移得到．
故答案为：−2,2；
（2）解：如图，△A′B′C′即为所求；
（3）解：如图点D或D′即为所求，
S 3
∵
△ABD=
，
S 2
△ABC
BD 3
∴ = ，
BC 2
如图，
∴平移量(−1,6)或(5,0)；
（4）解：取格点T，作直线CT∥AB∥l，且直线CT和l到直线AB的距离相等，
a 2
当点P在直线CT上时，满足条件，此时 = ．
b 3
a+4 2
当点P在AB的上方直线l上时，也满足条件，此时 = ．
b−4 3
19．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(−2，3)，B(−4，−1)，C(2，0)，△ABC中任意一点P(x ，y )经过平移变换后对应点为
0 0
P (x ＋5，y ＋3)，将三角形作同样的平移变换得到△A B C ．
1 0 0 1 1 1
(1)画出平移后的△A B C ，并写出点 A 的坐标为_______；
1 1 1 1
(2)连接A A ，BB ，则四边形ABB A 的面积为_________；
1 1 1 1
(3)请仅用无刻度的直尺在y轴正半轴上找点Q，使△QBC的面积等于△ABC的面积，并直接写出点Q的坐
标为________．
【答案】(1)见解析，点 A 的坐标为(3,6)
1
(2)14
10
(3)见解析，点Q的坐标为(0, )
3
【分析】本题考查作图−复杂作图，点坐标的平移，平行四边形的面积，坐标与图形变化等知识．
（1）根据平移的性质作图即可，然后写出点的坐标；
（2）利用割补法求平行四边形的面积即可；
（3）取格点点D，然后连接AD交y轴于点Q，点Q即为所作．
【详解】（1）解：△A B C 即为所作；
1 1 1
点 A 的坐标为(3,6)；
1
1 1
（2）解：四边形ABB A 的面积为7×7− ×3×5×2− ×2×4×2−3×2×2=14；
1 1 2 2
（3）如图，点Q即为所作；10
点Q的坐标为(0, )．
3
20．（23-24七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(6,0)，点B(8,6)，将线段
AB平移至OC，点D在x轴的正半轴上移动（不与点O，A重合），连接OC，BC，CD，BD，且
OC∥AB．
(1)直接写出点C的坐标；
(2)点D在运动过程中，是否存在点D，满足S =3S ，如果存在，请求出点D的坐标；如果不存在，
△OCD △ABD
请说明理由；
(3)点D在运动过程中，请直接写出∠OCD，∠ABD，∠BDC三者之间存在的数量关系．
【答案】(1)C(2,6)
(9 )
(2)存在点D满足S =3S ，点D的坐标为 ,0 或(9,0)
△OCD △ABD 2
(3)点D在运动过程中，∠OCD+∠ABD=∠BDC或∠OCD=∠ABD+∠BDC．
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图象的变换，掌握图形的平移规律，几何图形面积的计算方法，
平行线的判定和性质等知识是解题的关键．
（1）根据平移的性质可得点A向左边平移了6个单位，由此即可求解；
（2）根据题意，设点D(d,0)，则OD=d，AD=|6−d)，用含d的式子表示S =3S ，根据绝对
△OCD △ABD
值的性质即可求解；
（3）根据题意，图形结合，分类讨论，当点D在OA上时；当点D在点A的右边时；根据平行线的判定和
性质即可求解．
【详解】（1）解：已知点A(6,0)，点B(8,6)，将线段AB平移至OC，
∴点C的纵坐标为6，横坐标为8−6=2，
∴C(2,6)；
（2）解：存在，理由如下，设点D(d,0)，则OD=d，AD=|6−d)，且B(8,6)，C(2,6)，
1 1 1 1
∴S = OD·ℎ = ×6d=3d，S = AD·ℎ = ×6|6−d)=3|6−d)，
△OCD 2 C 2 △ABD 2 B 2
∵S =3S ，
△OCD △ABD
∴3d=3×3|6−d)，整理得，d=3|6−d)，
当d≤6时，d=3(6−d)，
9 (9 )
解得，d= ，则D ,0 ；
2 2
当d>6时，d=3(d−6)，
解得，d=9，则D(9,0)；
(9 )
综上所述，存在点D满足S =3S ，点D的坐标为 ,0 或(9,0)；
△OCD △ABD 2
（3）解：已知点D在x轴的正半轴上移动（不与点O，A重合），
第一种情况，当点D在OA上时，如图所示，作DE∥AB，
∵AB∥OC，
∴OC∥DE∥AB，
∴∠OCD=∠CDE，∠EDB=∠ABD，
∵∠CDE+∠EDB=∠BCD，
∴∠OCD+∠ABD=∠BDC；
第二种情况，当点D在点A的右边时，如图所示，作DF∥AB，
∴OC∥AB∥DF，
∴∠OCD=∠CDF，∠ABD=∠BDF，
∵∠CDF=∠BDC+∠BDF，
∴∠OCD=∠ABD+∠BDC；
综上所述，点D在运动过程中，∠OCD+∠ABD=∠BDC或∠OCD=∠ABD+∠BDC．
21．（23-24七年级下·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标(−3,0)，点B的坐标是
(0,4)，将线段AB向右平移得到线段CD，点D的坐标为(5,4)，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，动点P以
每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒.(1)点C的坐标是______，当点P出发5秒时，则点P的坐标是______；
(2)当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标；
1
(3)当点P在线段AE上运动时，是否存在点P使得三角形BCP的面积是四边形ABDC面积的 ，若存在，
5
求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由.
【答案】(1)(2,0)； (5,2)；
(2)点P在AE上运动时，(2t−3,0)，点P在ED上运动时，(5,2t−8)
(3)存在，P(0,0)或P(4,0).
【分析】本题是平移综合题，考查了三角形的面积，动点问题，解题的关键是分类讨论思想的应用．
（1）根据题意，BD=AC，进而求出点C的坐标；由题意得，AE=3+5=8，ED=4，点P在ED上，且
EP=2，进而表示出点P的坐标；
（2）当点P在AE上运动时，当点P在ED上运动时，分别表示出点P的坐标即可作答；
（3）先求出四边形ABDC的面积,点P在AE上运动时列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点B的坐标是(0,4)，点D的坐标为(5,4)，
由平移的性质得BD=AC=5，
∵点A的坐标(−3,0)，
∴C(2,0)；
由题意得，AE=3+5=8，ED=4，
∵点P的运动速度为每秒2个单位长度，
∴出发5秒时，运动的距离为10个单位长度，
此时点P在ED上，且EP=2，
∴点P的坐标为(5,2)，
故答案为：(2,0)，(5,2)；
（2）解：当点P在AE上运动时，
∵AP=2t，
∴点P的坐标为(−3+2t,0)；
当点P在ED上运动时，
∵EP=2t−8，
∴点P的坐标为(5,2t−8)，{(−3+2t,0)(0≤t≤4))
∴点P的坐标为 ；
(5,2t−8)(41,n<−2 B．m>1,n>−2
C．m<1,n<−2 D．m<1,n>−2
【答案】D
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，第二象限内的点的坐标特点，先根据“上加下减，左减
右加”的平移规律得到A′(m−1,n+2)，再根据第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正进行求解即可．
【详解】解：∵将点A(m+1,n−2)先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点A′，
∴A′(m−1,n+2)，
∵A′(m−1,n+2)在第二象限，
∴m−1<0,n+2>0，
∴m<1，n>−2，故选：D．
3．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知点P(a,b)在图中的位置，则点Q(a+m,a−2m)(m≠0)在图中
的位置可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】A
【分析】本题考查平面直角坐标系，点的平移，根据m的取值分两种情况讨论，利用平移的性质求解即可．
【详解】解：当m>0时，点P(a,b)与点Q(a+m,a−2m)(m≠0)，可看作点P向右平移m个单位，再向
下平移2m个单位得到点Q，
在平面直角坐标系中，点A的位置与点P的位置关系可看作点P向右平移1个单位，再向下平移2个单位
得到点A，此时m=1，符合平移关系；
当m<0时，点P(a,b)与点Q(a+m,a−2m)(m≠0)，可看作点P向左平移m个单位，再向上平移2m个单
位得到点Q，
在平面直角坐标系中，没有符合平移关系的点；
故点Q(a+m,a−2m)(m≠0)在图中的位置可能是点A，
故选：A．
4．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，点A(4,1)，点B(5,4)，将线段AB平移至线段CD，点B
的对应点D的坐标为(2,−1)，则点A的对应点C的坐标为（ ）
A．(1,−4) B．(7,−4) C．(7,6) D．(1,6)
【答案】A
【分析】由于线段CD是由线段AB平移得到的，而点B(5,4)的对应点D的坐标为(2,−1)，比较它们的
坐标发现横坐标减少3，纵坐标减少5，利用此规律即可求出点A的对应点C的坐标．
本题考查点坐标的平移变换，要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移中，对应点的对应坐标的差相等，解决本题的关键是根据已知对应点找到各对应点之间的变化规律．
【详解】解：∵线段CD是由线段AB平移得到的，
而点B(5,4)的对应点D的坐标为(2,−1)，
∴由B平移到D点的横坐标减少3，纵坐标减少5，
则点A(4,1)的对应点C的坐标为(1,−4)．
故选：A．
5．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知在△ABC 内有任意一点P(a，b)经过平移后对应点为
P (c，d)，又已知点Q(−1，2+t)在经过此次平移后的对应点为Q (−2，−3+t)，设m=a+b−c−d，
1 1
则m的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】本题考查的是坐标与图形变化—平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左
减是解题的关键．
【详解】解：∵点Q(−1，2+t)在经过此次平移后的对应点为Q (−2，−3+t)，
1
∴△ABC的平移规律为：向左平移1个单位，向下平移5个单位，
∴c=a−1，d=b−5，
∴m=a+b−(a−1)−(b−5)=a+b−a+1−b+5=6，
故选B．
6．（22-23七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，点A(a,m+2)，B(b,4m+2)，C(c,−2)，
D(b+3,4)，其中b>a且b≠a+3．线段CD由AB平移得到，点A的对应点为点C．则下列结论：①
AC=BD；②AD∥x轴；③BC∥y轴；④若点P(a+❑√7,6−m)，则点P在线段AD上．正确的结论有
（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】本题考查坐标与平移，根据平移的性质，得到c=a+3,m=2，进而表示出A,B,C,D的坐标，逐
一进行判断即可．
【详解】解：∵线段CD由AB平移得到，点A的对应点为点C，
∴AC=BD；故①正确；
∴c=a+3,−2−m−2=4−4m−2，
∴m=2，
∴A(a,4)，B(b,10)，C(a+3,−2)，D(b+3,4)，
∴AD∥x轴；故②正确；
∵b≠a+3，
∴BC与y轴不平行；故③错误；
∵点P(a+❑√7,6−m)，m=2，∴P(a+❑√7,4)，
∵b>a，
∴b+3>a+3>a+❑√7，
∴a+3>a+❑√7>a，
∴点P在线段AD上，故④正确；
故选：B．
7．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，长方形ABCD四个顶点的坐标分别是A(2,2❑√2)，B(5,2❑√2)，
C(5,❑√2)，D(2,❑√2)．将这个长方形向下平移2❑√2个单位长度，得到长方形A′B′C′D′，则平移后的顶
点坐标正确的是（ ）
A．A′ (2,4❑√2) B．B′ (5,0) C．C′ (5,2❑√2) D．D′ (2,−2❑√2)
【答案】B
【分析】本题考查坐标的平移．点的左右平移与点的横坐标有关，左减右加；点的上下平移与点的纵坐标
有关，上加下减．
【详解】解：∵长方形ABCD向下平移2❑√2个单位长度，得到长方形A′B′C′D′，
∴ A' (2,0)，B′ (5,0)，C′ (5,−❑√2)，D′ (2,−❑√2)，
故选：B．
8．（23-24七年级下·山东德州·期末）△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,1)，B(4,3)，C(0,2)，将△ABC
平移到了△A′B′C′，其中A′(−1,m+3)，则C′点的坐标为（ ）
A．(−3,m+5) B．(2,m+5)
C．(−3,m+4) D．(−1,m+4)
【答案】C
【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上
移加，下移减．故本题直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【详解】解：∵从A(2,1)移动到A′(−1,m+3)，横坐标减了3，纵坐标加了m+2，
∴C′的坐标为(0−3,2+m+2)即(−3,m+4)，
故选：C．
二、填空题
9．（23-24七年级下·全国·单元测试）把点A(m,m+2)先向左平移2个单位长度，在向上平移3个单位长度得到点B，点B正好落在x轴上，则点B的坐标为 ．
【答案】(−7，0)
【分析】本题考查由平移方式确定点的坐标，解题的关键是根据平移方式用含m的代数式表示出平移后的
坐标．由平移方式可得平移后的坐标为(m−2,m+5)，再根据x轴上的点的纵坐标为0求出m的值，即可
得出点B的坐标．
【详解】解：点A(m,m+2)先向左平移2个单位长度，对应点的坐标为(m−2,m+2)，
再向上平移3个单位长度得到点B的坐标为(m−2,m+2+3)，即(m−2,m+5)，
∵点B正好落在x轴上，
∴ m+5=0，
∴ m=−5，
∴点B的坐标为(−5−2,0)，即(−7，0)．
故答案为：(−7，0)．
10．（2023·辽宁·模拟预测）如图，△AOB顶点A，B的坐标分别为(−1,1),(1,1)，将△AOB平移后，点A
的对应点D的坐标是(1,2)，则点B的对应点E的坐标是 ．
【答案】(3,2)
【分析】本题主要考查了平移的性质、图形与坐标等知识点，根据已知平移点确定平移方式成为解题的关
键．
根据点A和点D的是平移后的对应点，计算出平移的方向和单位长度，由于图形平移所有点的平移方向和
单位长度一致，即可确定点E的坐标．
【详解】解：由题可知A(−1,1)平移后得到点D(1,2)；
∴是先向右平移2个单位长度，在向上平移1个单位长度；
∴点B(1,1)先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度；
∴点E(3,2)．
故答案为(3,2)．
11．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知A(m−3,n),B(m,n−2)两点，将线段AB平移，平移后对应
线段的一个端点落在y轴上，另一个端点落在经过点(0,−1)，且平行于x轴的直线l上，则点B对应点的坐
标是 ．
【答案】(3,−1)或(0,−3)
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化−平移，根据平移后点A或点B在y轴上，再结合平移的性质即可
解决问题．【详解】解：当平移后点A的对应点在y轴上时，
m−3=0，
解得m=3．
因为点B的对应点落在经过点(0,−1)，且平行于x轴的直线l上，
所以n−2=−1，
所以点B对应点的坐标为(3,−1)．
当平移后点B的对应点在y轴上时，
m=0，
因为点A的对应点落在经过点(0,−1)，且平行于x轴的直线l上，
所以n=−1，
则n−2=−3，
所以点B对应点的坐标为(0,−3)．
故答案为：(3,−1)或(0,−3)
12．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，三角形ABC在平面直角坐标系中，其中点A(0,3)，点
B(−4,−1)，点C(1,0)，将三角形ABC的A，B，C三点中的任意一点平移至点P(4,2)的位置后，那么点
C的对应点的坐标是 ．
【答案】(5,−1)或(9,3)或(4,2)
【分析】本题考查了平移的性质，分点A、B、C分别平移至点P(4,2)的位置三种情况讨论即可求解，得
到平移的方向和距离是解答本题的关键．
【详解】解：当点A(0,3)平移至点P(4,2)的位置时，即点A向右平移4−0=4个单位长度，再向下平移
3−2=1个单位长度，
∴点C(1,0)向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度的对应点的坐标是(1+4,0−1)，即(5,−1)，
当点B(−4,−1)平移至点P(4,2)的位置时，即点B向右平移4−(−4)=8个单位长度，再向上平移
2−(−1)=3个单位长度，
∴点C(1,0)向右平移8个单位长度，再向下平移3个单位长度的对应点的坐标是(1+8,0+3)，即(9,3)，
当点C(1,0)平移至点P(4,2)的位置时，即点C向右平移4−1=3个单位长度，再向上平移2−0=2个单位长
度，
∴点C(1,0)的对应点的坐标是(4,2)，
故答案为：(5,−1)或(9,3)或(4,2)．13．（23-24七年级下·湖北黄冈·期末）如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体
乙均由点A(2,0)同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，
物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2024次相遇地点的坐标为 ．
【答案】(−1,−1)
【分析】此题主要考查了点的变化规律以及行程问题中的相遇问题的应用，找出两物体运动的规律是解题
的关键．利用行程问题中的相遇问题，得出物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出
规律即可解答．
【详解】矩形的边长为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，在相同时间内，物体甲与物体乙的路
程比为1：2，由题意知：
1
（1）一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲运动的路程为12× =4，物体乙运动的路程
3
2
为12× =8，两物体在BC边相遇；
3
1
（2）第二次相遇物体甲与物体乙运动的路程和为12×2，物体甲运动的路程为12×2× =8，物体乙运动
3
2
的路程为12×2× =16，在DE边相遇；
3
1
（3）第三次相遇物体甲与物体乙运动的路程和为12×3，物体甲运动的路程为12×3× =12，物体乙运
3
2
动的路程为12×3× =24，在A点相遇，此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，
3
∵2024=674×3+2，
故两个物体运动后的第2024次相遇地点的是：第二次相遇地点，
1 2
即物体甲运动的路程为12×2× =8，物体乙运动的路程为12×2× =16，
3 3
此时相遇点的坐标为(−1,−1)．
故答案为：(−1,−1)．
14．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，先水平向左平
移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点P (−1,−1)；接着先水平向右平移2个单位长度，
1
再竖直向上平移2个单位长度得到点P ；接着先水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长
2
度得到点P ；接着先水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点P ；…按此作法进
3 4行下去，则点P 的坐标为 ．
2025
【答案】(−1013,−1013)
【分析】本题考查点的坐标规律探究，观察可知：下标为奇数的点在第三象限的角平分线上，进而得到
P (−n,−n)，即可得出结果．
2n−1
【详解】解：观察题图可知，下标为奇数的点在第三象限，
因为P (−1,−1)，P (−2,−2)，P (−3,−3)，…，
1 3 5
∴P (−n,−n)，
2n−1
当2n−1=2025时，n=1013，
所以点P 的坐标为(−1013,−1013)．
2025
故答案为：(−1013,−1013)．
三、解答题
15．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知四边形ABCD四个顶点的坐标分别是A(−2,−1)，
B(1,−3)，C(4,−1)，D(1,1)，将四边形ABCD先向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，
得到四边形A B C D ，画出四边形A B C D ，并写出它的各顶点的坐标．
1 1 1 1 1 1 1 1
【答案】见解析，A (−4,3)，B (−1,1)，C (2,3)，D (−1,5)
1 1 1 1
【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形平移的知识，掌握以上知识是解题的关键；
本题需要先将点A、B、C、D分别先向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到对应点A 、
1
B 、C 、D ，顺次连接，得到四边形A B C D ，即可求解；
1 1 1 1 1 1 1【详解】解：如图：
，
四边形A B C D 即为所求；
1 1 1 1
各顶点的坐标分别为A (−4,3)，B (−1,1)，C (2,3)，D (−1,5)；
1 1 1 1
16．（24-25七年级下·全国·单元测试）三角形△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)分别写出下列各点的坐标：A（___________，___________），B（___________，___________），C
（___________，___________）；
(2)将三角形△ABC向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形△A′B′C′，在图中画出三
角形△A′B′C′；
(3)求三角形△A′B′C′的面积．
【答案】(1)1，3；2，0；3，1
(2)见解析
(3)2
【分析】本题考查平移的知识，解题的关键是掌握图形平移的规律：左减右加，上加下减，写出直角坐标
系点的坐标，以及利用网格求三角形面积，进行解答，即可．
（1）根据平面直角坐标系，直接写出点的坐标，即可；
（2）根据图形平移的规律：左减右加，上加下减，找到平移后的点的坐标，依次连接，即可；
（3）利用割补法计算即可．
【详解】（1）解：由平面直角坐标系可得，点A(1,3)，B(2,0)，C(3,1)，故答案为：1，3；2，0；3，1．
（2）解：∵点A(1,3)，B(2,0)，C(3,1)，
∴△ABC向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形△A′B′C′，
∴A′(−2,0)，B′(−1，−3)，C′(0，−2)依次连接A′B′，A′C′，B′C′，
∴△A′B′C′即为所求．
1 1 1
（3）解：△A′B′C′的面积=2×3− ×1×3− ×1×1− ×2×2=2．
2 2 2
17．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点落在边长为1的正方形
网格的格点上，点C的坐标为(−1,2)，将三角形ABC在水平方向上平移后得到三角形A′B′C′，且A′(1,1)．
(1)求三角形ABC平移的距离；
(2)将三角形A′B′C′向下平移4个单位长度，得到三角形A″B″C″，画出三角形A′B′C′和三角形A″B″C″，
并求线段AB平移至A″B″的过程中扫过的面积．
【答案】(1)5
(2)见解析，14
【分析】本题考查了平移作图，写出坐标系中点的坐标，确定平移距离，利用网格求面积，准确确定平移
方式为解题关键．
（1）先确定出点A的坐标，再求平移距离即可；
（2）由平移方式作图，再利用网格求面积即可．【详解】（1）解：由题意可得A(−4,1)．
∵点A′的坐标为(1,1)，
∴平移的距离为A A′=1−(−4)=5；
（2）三角形A′B′C′和三角形A″B″C″如答图所示．
设线段AB平移至A″B″的过程中扫过的面积为S，
则S=S +S =5×2+1×4=14．
四边形A′B′BA 四边形A′A″B″B′
18．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD的顶点坐标分别为
A(1,3)，B(1,1)，C(4,0)，D(4,4)．
(1)把四边形ABCD经过平移后得到四边形A B C D ，点A的对应点A 的坐标为(−4,−1)．请你画出四
1 1 1 1 1
边形A B C D ，并写出B ，C ，D 的坐标；
1 1 1 1 1 1 1
(2)若四边形ABCD内有一点P(a,b)，则经过平移后的对应点P 的坐标为________；
1
(3)求四边形A B C D 的面积．
1 1 1 1
【答案】(1)见解析，B (−4,−3)，C (−1,−4)，D (−1,0)
1 1 1
(2)(a−5,b−4)
(3)9
【分析】本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．（1）根据平移的性质作图，即可得出答案．
（2）由（1）得平移规律，再进行解答即可；
（3）利用梯形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图，四边形A B C D 即为所求．
1 1 1 1
B (−4,−3) C (−1,−4) D (−1,0)
1 1 1
， ， ．
（2）解：由（1）得平移的规律为：向左平移5个单位，再向下平移4个单位，
∴点P 的坐标为(a−5,b−4)，
1
故答案为：(a−5,b−4)；
1
（3）解：S = ×(2+4)×3=9．
四边形A 1 B 1 C 1 D 1 2
19．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为(3,5),(3,0)，将线段
AB向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD，连接AC,BD．
(1)直接写出点C,D的坐标；
(2)M,N分别是线段AB,CD上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点
D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后MN∥x轴；
(3)若P是x轴上的一个动点，当三角形CDP的面积是三角形BDP面积的2倍时，求点P的坐标．
【答案】(1)C(−1,3),D(−1,−2)
14
(2) 秒
3
(7 )
(3)点P的坐标为(−17,0)或 ,0
9【分析】本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考
问题，属于中考常考题型．
（1）利用平移变换的性质求解；
（2）设运动时间为t秒，由点M与点N的纵坐标相同，构建方程5−t=−2+0.5t，求解即可；
（3）设点P的坐标为(x,0)，由S =2S 进行分类讨论并分别求解即可．
三角形CDP 三角形BDP
【详解】（1）解：由题意点A,B的坐标分别为(3,5),(3,0)，将线段AB向下平移2个单位长度，再向左平
移4个单位长度，得到线段CD，
∴C(−1,3)，D(−1,−2)；
（2）解：设运动时间为t秒，当MN∥x轴时，点M与点N的纵坐标相同，
即5−t=−2+0.5t，
14
解得t= ，
3
14
∴点M,N同时出发， 秒后MN∥x轴；
3
（3）解：设点P的坐标为(x,0)，
∵S =2S ，
三角形CDP 三角形BDP
当x在−1的左侧时，
1 1
∴ ×5×(−1−x)=2× ×2×(3−x)，
2 2
解得x=−17，
此时P(−17,0)；
当x在−1到3之间时，
1 1
∴ ×5×(x+1)=2× ×2×(3−x)，
2 2
7
解得x= ，
9
(7 )
此时P ,0 ；
9
当x在3的右侧时，
1 1
∴ ×5(x+1)=2× ×2×(x−3)，
2 2
解得x=−17（舍）．
(7 )
综上所述，点P的坐标为(−17,0)或 ,0 ．
9
20．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(−2,0)，(4,0)，
现同时将点A，B分别向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，分别得到点A，B的对应点C，
D．连接AC，BD，CD．(1)直接写出点C，D的坐标；
(2)若在y轴上存在点M，连接MA，MB，使S =S ，求点M的坐标；
三角形MAB 四边形ABDC
(3)若点P在直线BD上运动，连接PC，PO．
①当点P在线段BD上时，请写出∠CPO，∠DCP，∠BOP之间的数量关系，并说明理由；
②当点P不在线段BD上时，请直接写出∠CPO，∠DCP，∠BOP之间的数量关系．
【答案】(1)点C的坐标为(0,3)，点D的坐标为(6,3)
(2)点M的坐标为(0,6)或(0,−6)
(3)①∠CPO=∠DCP+∠BOP，理由见解析；②∠BOP=∠CPO+∠DCP或
∠DCP=∠CPO+∠BOP．理由见解析
【分析】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．
也考查三角形面积公式和平行线的性质．
（1）根据点的平移规律易得点C，D的坐标；
（2）设点M的坐标为(0,m)，先求出AB=6，CO=3，MO=|m)，然后根据S =S 列方
三角形MAB 四边形ABDC
程求解即可；
（3）①过点P作PE∥AB交AC于点E，由平行线的性质得∠DCP=∠CPE，∠BOP=∠OPE，进而可
得出∠CPO=∠DCP+∠BOP；
②分类讨论：当点P在线段BD的延长线上时和当点P在线段DB的延长线上时，画出图形，根据平行线的
性质求解．
【详解】（1）解：∵点A，B的坐标分别为(−2,0)，(4,0)，将点A，B分别向上平移3个单位长度，再向
右平移2个单位长度，分别得到点A，B的对应点C，D，
∴点C的坐标为(0,3)，点D的坐标为(6,3)．
（2）解：设点M的坐标为(0,m)，
∵点A，B的坐标分别为(−2,0)，(4,0)，点C的坐标为(0,3)，点D的坐标为(6,3)，
∴AB=6，CO=3，MO=|m)，
1
∴S = AB⋅MO=3|m)，S =AB⋅CO=18．
三角形MAB 2 四边形ABDC
当S =S 时，3|m)=18，解得m=±6，
三角形MAB 四边形ABDC
∴点M的坐标为(0,6)或(0,−6)．
（3）①∠CPO=∠DCP+∠BOP．
理由：过点P作PE∥AB交AC于点E，如图①．图①
由平移，得AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠DCP=∠CPE，∠BOP=∠OPE．
∵∠CPO=∠CPE+∠OPE，
∴∠CPO=∠DCP+∠BOP．
②∠BOP=∠CPO+∠DCP或∠DCP=∠CPO+∠BOP．
理由：分两种情况：
Ⅰ．当点P在线段BD的延长线上时，过点P作PF∥AB交y轴于点F，如图②．
图②
∵AB∥CD，∴PF∥AB∥CD，
∴∠DCP=∠FPC，∠BOP=∠OPF．
∵∠OPF=∠CPO+∠FPC，∴∠BOP=∠CPO+∠DCP；
Ⅱ．当点P在线段DB的延长线上时，过点P作PG∥AB交y轴于点G，如图③．
图③
∵AB∥CD，
∴PG∥AB∥CD，
∴∠BOP=∠GPO，∠DCP=∠GPC．
∵∠GPC=∠CPO+∠GPO，
∴∠DCP=∠CPO+∠BOP．
综上所述，当点P不在线段BD上时，∠BOP=∠CPO+∠DCP或∠DCP=∠CPO+∠BOP．
