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微专题07 函数压轴小题
【秒杀总结】
一、对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数
后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.
二、对于双变量问题，首先变形后引入新变量把问题变为单变量，再引入新函数，利用导
数求得函数值的范围，然后再解相应的不等式可得所求参数范围．
三、函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且
f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的
横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
四、已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画
出函数的图像，利用数形结合的方法求解.
【典型例题】
例1．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知函数 及其导函数 的定义域
均R，若 为偶函数，且满足 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】由 为偶函数，则 ，即 关于原点对称，为奇函数，
由 ，则 ，故 关于 对称，
所以 ，则有 .
故选：C
例2．（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）已知定义在 上的函数 满足 ，对
， ，有 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】令 ，由已知可得 .
令 ，由已知可得 ，
设 ，则 ，整理可得 .
又 ，所以 ，所以 .
则 ，
所以 .
故选：A.
例3．（2023·全国·模拟预测）下列大小关系正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于选项 ，因为 ，所以 ，则 ，
又因为 ，则有 ，
所以 ，故选项 错误；
对于选项 ，构造函数 ，则 ，所以函数 在 上
单调递减，则 ，所以 ，即 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，则
，即 ，所以 ，
故 ，故选项 正确；
对于选项 ，构造函数 ，则 ，
由选项 可知：当 时， ，所以 ，
则有 ，因为函数 在 上恒大零，
所以 ，则函数 在 上单调递增，所以 ，即
，故选项 错误；对于选项 ，因为 ，
令 ，则 ，令 ，
则 ，令 ，解得： ，
因为 ，所以 在 上单调递减，故 ，
即 ，所以 ，
故选项 错误，
故选： .
例4．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）若函数 的定义域为R，且
偶函数， 关于点 成中心对称，则下列说法正确的个数为（ ）
① 的一个周期为2；
② ；
③ 的一个对称中心为 ；
④ .
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由题意得： ，将 替换为 得：
，
即 ，②正确；
中将 替换为 得： ，
因为 向左平移 个单位得到 ，
而 关于点 成中心对称，所以 关于 中心对称，故 关于
中心对称，
所以 ，
故 ，
所以 ，所以 的一个周期为4，①错误；
关于 中心对称，又 的一个周期为4，故 的一个对称中心为 ，③
正确；
中，令 得： ，
中，令 得： ，故 ，
中，令 得： ，
又因为 ，故 ，所以 ，
所以 ，
其中 ， ，
，
故
，④正确.
故选：C
例5．（多选题）（2023秋·河北石家庄·高三校联考期末）已知函数 的定义域均
为R，且 .若 的图像关于直线 对称，且
，则（ ）
A． B． 的图像关于点 对称
C． 是周期函数，且最小正周期为8 D．
【答案】ABD
【解析】令 ，则 ，又 ，故 ，故A正确；
因为
则 ，即 ①
又 ，②
①+②得： ，则 的图像关于点 对称，且
故B正确；
的图像关于直线 对称，则 ，则 ，
则 ，又 ，两式相减得 ，故 ，故 最小正周期为4，
故C错误；
最小正周期为4，且图像关于点 对称，
， ，
因为 ，故
，
故D正确；
故选：ABD.
例6．（2023秋·山东滨州·高三统考期末）已知函数 （ 为自然对
数的底数），若关于 的方程 有且仅有四个不同的解，则实数 的取值范围
是_________．
【答案】
【解析】令 ，可得 ，
所以函数 为偶函数，
因为 ，则 ，所以，当 时，函数 有两个零点，
且当 时， ，可得 ，
令 ，可得 ，
令 ，其中 ，则 ，故函数 在 上为增函数，
下面考查直线 与函数 的图象相切的情形：
设直线 与函数 的图象相切于点 ，其中 ，
函数 的图象在 处的切线斜率为 ，
故曲线 在点 的切线的方程为 ，
即 ，
由题意可得 ，解得 ， ，结合图形可知，当 时，直线 与曲线 在 上的图象有两个交点，
即此时函数 在 上有两个零点，
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若关于 的方程
有3个不同的实数根，则 的取值范围为______．
【答案】
【解析】当 ， ，则 ，
令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递减，在 上递增， ，
作出函数 的大致图象，
设 ，则 有两个不同的实数根 ，由 可知， 与 异
号，
不妨设 ，要使方程 有3个不同的实数根，则 或 ，
①当 时， ，得 ；
②当 时，设 ，则 ，得 ，
综上， 的取值范围为 ．
故答案为： ．
例8．（2023·广西梧州·统考一模）已知函数 ，若关于x的方程
有5个不同的实数根，则a的取值范围为_______.
【答案】
【解析】由函数 可知，其函数图象如下图所示：
若关于x的方程 有5个不同的实数根，
即方程 有5个不同的实数根，
即 和 共有5个不同的实数根，
所以 和 与函数 共有5个不同的交点；
由图可知， 与函数 最多有三个交点，且 ；
所以，当 ， 与函数 有2个不同的交点，
需满足 与函数 有3个不同的交点，所以 ，
解得 ；当 时， 与函数 有3个不同的交点，
需满足 与函数 有2个不同的交点，所以
解得 ；
综上可知，
所以，a的取值范围为 .
故答案为：
例9．（2023·浙江省杭州第二中学高三开学考试）已知函数 ，
有三个不同的零点，（其中 ），则 的值为
A． B． C．-1 D．1
【答案】D
【解析】
令f（x）=0，分离参数得a= 令h（x）= 由h′（x）=
得x=1或x=e．
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0；当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′
（x）＜0．
即h（x）在（0，1），（e，+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．
∴0＜x＜1＜x＜e＜x，a= 令μ= 则a= 即μ2+（a-1）μ+1-a=0，
1 2 3
μ+μ =1-a＜0，μμ=1-a＜0，
1 2 1 2
对于μ= ， 则当0＜x＜e时，μ′＞0；当x＞e时，μ′＜0．而当x＞e时，μ恒
大于0．不妨设μ＜μ，则μ= ， =
1 2 1
（1-μ ）2（1-μ ）（1-μ ）
1 2 3=[（1-μ ）（1-μ ）]2=[1-（1-a）+（1-a）]2=1．
1 2
故选D．
例10．（2023·全国·高二）若存在两个正实数 、 ，使得等式
成立，其中 为自然对数的底数，则实数 的取值范围是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由 得 ，设 ， ，
则 ，则 有解，设 ，
为增函数， ，
当 时 ， 递增，当 时 ， 递减，
所以当 时函数 取极小值， ，即 ，
若 有解，则 ，即 ，
所以 或 ，
故选：B．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）设
，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 周期为 的偶函数，且 是 的一条对称轴，
且 在 单调递增，则 ，
因为 ，则 故 ，
，
令 ，在 有 ，
则 在 单调递减，故 ，
即 ，则 ，故 ；
综上 ，
故选：C.
2．（2023·陕西渭南·统考一模）已知函数 ， ， 的定义域均为 ， 为
的导函数.若 为偶函数，且 ， .则以下四个命题：
① ；② 关于直线 对称；③ ；④ 中一定
成立的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【解析】对②：由 ，可得 ，则
（ 与 为常数），
令 ，则 ，所以 ，则 ，
故 关于直线 对称，②正确；
对①：∵ 为偶函数，则 ，
∴ ，则 为奇函数，
故 ，即 ，则 是以4为周期的周期函数，
由 ，令 ，则 ，可得 ，
故 ，①正确；
由 ，令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，故 ，则
，
对③：由 ，即 ，则
，
由于无法得出 的值，③错误；
对④： ，④
正确；
故选：D.
3．（2023·河南信阳·高三统考期末）已知m、n为实数， ，若
对 恒成立，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．－1 D．3
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
若 时，则 恒成立，所以 在 上单调递增，
时， ，显然不符合题意；
若 时，分式 无意义，不符合题意；
当 时，令 ，解得 ，当 时， ，当 时，
，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，则 ，则 ，
令 ，则 ，
易知当 时， ，当 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
所以 ，即 的最小值为 .
故选：C.4．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）若 ， ， ，则
、 、 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 ， ，
当 时， ，
令 ，则 ，
所以函数 在区间 上单调递减，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以函数 在区间 上单调递减，
所以 ，
故 .
故选：B.
5．（2023·江西吉安·高三统考期末）已知函数 及其导函数 的定义域均为 且都
为连续函数，记 ，若 ， 均为奇函数， ，则
（ ）
A． B．0 C．2 D．2023
【答案】A
【解析】∵ 为奇函数，即 ， 在纵轴两边斜率相反，
故 的图像关于 对称，
∵ 均为奇函数，
∴函数 的图像分别关于 ， 中心对称，
即
又 的图像关于 对称， 的图像关于 对称，
即 ，，
，
则
∴ 与 都是周期为4的周期函数，
∴ ．
故选：A．
6．（2023·江苏南通·高三统考期末）两条曲线 与 存在两个公共点，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知 有两个不等正根，
即 有两个不等正根，
令 ，则 ，
又 ， 在 上单调递增，
所以 有两个不等正根，
设 ，则 ，
由 可得 单调递增，由 可得 单调递减，
且 ，
作出函数 和 的大致图象，
由图象可知当 时， 有两个正根，即 时，两条曲线 与 存在两个公共点.
故选：C.
7．（2023·江西新余·高三统考期末）已知函数 ， ，若 与
图像的公共点个数为 ，且这些公共点的横坐标从小到大依次为 ， ，…， ，则
下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】B
【解析】对于A：当 时，令 ，则 ，即函数 在定
义域上单调递减，
又当 时 ，所以函数 有且仅有一个零点为 ，
同理易知函数 有且仅有一个零点为 ，即 与 也恰有一个公共点，故
A错误；
对于B：当 时，如下图：
易知在 ，且 ， 与 图象相切，
由当 时， ，则 ， ，
故 ，从而 ，
所以 ，故B正确；
对于C：当 时，如下图：则 ， ，所以 ，又 图象关于 对称，
结合图象有 ，即有 ，故C错误；
对于D：当 时，由 ，
与 的图象在 轴右侧的前 个周期中，每个周期均有 个公共点，共有 个
公共点，故D错误.
故选：B.
8．（2023·全国·高三专题练习）设 是定义在 上且周期为4的奇函数，当 时，
，令 ，则函数 的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】依题意， 是定义在 上且周期为4的奇函数，
所以 ，
所以 是周期为 的周期函数.
当 时， ， .
当 时， ， .
所以 ，
所以
，当 时， ， ，
，
所以 ，
所以 ，
画出 在区间 上的图象如下图所示，
结合 的周期性可知 的最大值为 .
故选：A
9．（2023·全国·高三校联考阶段练习）定义在 上的奇函数 满足 ，
当 时， ，若 在 有2023个零点，则 的取值范围
可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 是 上的奇函数，
所以 ，故 在 有2022个零点.
又满足 ，
所以 是周期为2的周期函数.
故 在每个周期上均有 个零点.
又因为 在 上图像关于原点对称，
所以 在 和 上有相同个数的零点，也即 在 和 上有相同个数的零点，
又 在 上有4个零点，且 ，
故 在 上有1个零点，且 .
当 时，有
当 时，
则若要满足以上条件，需使 时， ，
即 .
满足 的取值范围条件的选项只有C.
故选：C.
10．（2023·全国·高三专题练习）函数 满足 ，令 ，
对任意的 ，都有 ，若 ，则 （ ）
A． B．3 C．1 D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
即 ， ，
故 ，所以 是奇函数，
令 ，解得： ，
故 ，解得： ，则 ，
令 ，解得： ，
故 ，解得： ，则 ，
依次可得：
，解得： ，则 ，
则 ，故 ，
中，令 得： ，
所以 ,
故选：A二、多选题
11．（2023·山东枣庄·高三统考期末）设定义在R上的函数 与 的导函数分别为
和 ，且 ， ，且 为奇函数，则
（ ）
A．函数 的图象关于直线 对称
B．函数 的图象关于点 对称
C．
D．
【答案】ABD
【解析】因为 为奇函数，所以 ，取 可得 ，
因为 ，所以 ；
所以 ，又 ， ，
故 ，所以函数 的图象关于点 对称，故B正确；
因为 ，所以 ，所以 ， 为常数，
因为 ，所以 ，
所以 ，取 可得 ，所以 ，
故 关于 对称，故A正确；
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，故函数 为周期为 的周期函数，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，
所以
，
所以 ，
由已知无法确定 的值，故 的值不一定为 ，故C错误．因为 ，所以 ， ，
所以 ，故函数 为周期为 的函数，
所以 ，所以函数 为周期为4的函数，
又 ， ， ， ，
所以 ， ，
所以
，故D正确；
故选：ABD．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 和 ，存在直线
与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标
分别为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】 ， ， ， ，
令 得 ，令 得 ，
令 得 ，令 得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
在 上单调递减，在 上单调递增，且
① 时，此时 ，显然 与两条曲线 和
共有0个交点，不符合题意；
② 时，此时 ，
故 与两条曲线 和 共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1,不符合
题意；
③ 时，首先，证明 与曲线 有2个交点，
即证明 有2个零点， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 ， ， ，
令 ，则 ，所以 在 上存在且只存在1个零点设为 在 上存在且只存在1
个零点设为
其次，证明 与曲线和 有2个交点，
即证明 有2个零点， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 ， ， ，
令 ，则 ，
所以 在 上存在且只存在1个零点设为 ，在 上存在且只存在1个
零点设为
再次，证明存在 ，使得
因为 ，所以 ，
若 ，则 ，即 ，
所以只需证明 在 上有解即可，
即 在 上有零点，
因为 ， ，
所以 在 上存在零点，取一零点为 ，令 即可，
此时取
则此时存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，
最后证明 ，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，
因为
所以 ，
又因为 在 上单调递减， ， 即 ，所以 ， ,
不成立
故 ,故 选项正确,故 选项错误.
同理，因为 ，
又因为 在 上单调递增， 即 ， ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
即直线 与两条曲线 和 从左到右的三个交点的横坐标分别为 ,.故 正确
故选: .
13．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知函数 、 的定义域均为 ．且满足
， ， ，则（ ）
A． B．
C． 的图象关于点 对称 D．
【答案】BC
【解析】对于A选项，因为 ，所以，函数 的图象关于点 对称，
所以， ，
因为 ，所以， ，即 ，
因为 ，所以， ，
则 ，所以， ，A错；
对于B选项，因为定义域为 的函数 的图象关于点 对称，则 ，B对；
对于C选项，因为 ，所以， ，
联立 ，可得 ，
所以，函数 的图象关于点 对称，C对；
对于D选项，因为 ，令 可得 ，
所以， ，故 ，
因为 ，所以， ，可得 ，
所以， ，可得 ，则 ，
记 ， ，其中 ，且 ， ，则 ， ，
所以，数列 是以 为首项，公差为 的等差数列，则 ，
数列 是首项为 ，公差为 的等差数列， ，
所以， ，D错.
故选：BC.
14．（2023·江苏南通·高三统考期末）设定义在 上的函数 与 的导数分别为
与 ，已知 ， ，且 关于直线 对称，
则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】因为 ，
所以
所以 ，
所以 ，
故D正确，
令 时， ，
所以 ，
由 ，
所以 ，
所以B选项正确，
因为 ，
所以 ，
所以函数 图象关于点 对称，
则函数 的图象关于点 对称，即 为奇函数，
所以函数 （ 为常数）为偶函数，图象关于直线 对称，
所以函数 的图象关于直线 对称，
所以 ，故C选项正确，
函数 ，则函数 图象关于直线 对称，符合题意，
所以 ，
故选项A不正确，
故选：BCD.
15．（2023·广东清远·高三统考期末）设 ， ， ， ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】 ， ， ， ，
对于A，设 ，则 ，令
，则 恒成立，
所以 在 上单调递增，则 恒成立，所以 在
上单调递增，
则 ，即 ，所以 ，故A正确；
对于B，设 ，则 ，故 在 上单调递增，
则 ，整理得 ，所以 ，故B不正
确；
对于D，设 ，则
，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以有 ，即 ，所以
，则 ，故D正确；
由前面可知 ，所以 ，故C正确.
故选：ACD.
16．（2023·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考期末）已知函数 与 的定义域均为 ，且， ，若 为偶函数，则（ ）
A．函数 的图象关于直线 对称 B．
C．函数 的图象关于点 对称 D．
【答案】BCD
【解析】A选项， 是偶函数，图象关于 对称，
的图象，横坐标放大为原来的两倍，得到 的图象，
则 是偶函数，图象关于 对称；
的图象，向左平移 个单位，得到 的图象，
则 的图象关于 对称，A选项错误.
B选项，由 ，以 替换 得 ，
由 得 ，
令 得 ，
由于 的图象关于 对称，所以 ，B选项正确.
C选项，由 ，以 替换 得 ，
由 得 ，
令 得 ，所以 的图象关于点 对称，C选项正确.
D选项， 的图象关于 对称，所以 ，
由 ，得 ，
以 替换 得 ，
所以 ， ， 的周期为4，
又 ， ，
所以
，
D选项正确.
故选：BCD三、填空题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若关于x的方程
恰有两个不相等的实数根 ，且 ，则 的取值范围是______．
【答案】
【解析】函数 在 上单调递增， ，在 上单调递
增， ，
当 ，即 时， ，且 ，
当 ，即 时， ，且 ，
当 ，即 时， ，且 ，
因此 ，在坐标系内作出函数 的图象，如图，
再作出直线 ，则方程 有两个不等实根，当且仅当直线 与函数
的图象有两个不同交点，
观察图象知方程 有两个不等实根 ，当且仅当 ，
此时 ，且 ，即 ，且 ，则有 ，
令 ，求导得 ，令 ，
当 时， ，即函数 在 上单调递增，
当 时， ，即 ，因此函数 在
上单调递增，
，而 ，于是当 时， ，有 ，
所以 的取值范围是 .故答案为：
18．（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知定义在 上的单调递增函数
，对于任意的 ，都有 ，且 恒成立，则
______.
【答案】3882
【解析】令 ，则有 ，若 ，则有 ，显然矛盾；
若 ，则有 ，显然与已知矛盾，当 为大于3的整数时，与已
知函数单调递增相矛盾，故 ，所以有 ；
令 时， ；令 时， ，
根据函数 递增且 可得： ， ；
令 时， ；令 时， ；
根据函数 递增且 可得： ， ，…， ；
同理 ， ， ， ， ， ，
， ，
根据函数 递增且 可得： ， ，…，
；
所以 ，所以 .
故答案为：3882
19．（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知函数 ， 的定义域均为 ，且
， ．若 的图象关于直线 对称，且
，则 ______．
【答案】90
【解析】因为 的图象关于直线 对称，则 ，
又 ，即有 ，则 ，
因为 ，得 ，
因此 ，则 ，显然 ，则 ，
即 ，所以 是周期为4的周期函数，
， ，由 得 ，
，又 ， ，则 ，
所以 ，
所以
.
故答案为：90.
20．（2023·全国·高三专题练习）函数 的定义域为D，若存在闭区间 ，使得
函数 满足：① 在 内是单调函数；② 在 上的值域为 ，则称
区间 为 的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有__________．
① ； ② ；
③ ； ④ ．
【答案】①③．
【解析】①函数 为增函数，若函数 存在“倍值区间”
，则有 ，解得 ，所以函数 存在“倍值区
间” ，故正确；
②函数 为增函数，若函数 存在“倍值区间” ，
则 ，
当 时， ， ，此时 无解；
当 时，设 ， ，
令 ，解得 ，
故当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
所以 ，所以 时， ，
所以此时 无解，综上所述， 无解，故函数 不存在“倍值区间”，
③当 时， ；
当 时， ，由于对勾函数 在 上单调递减，
由复合函数可得函数 在区间 上单调递增，
若函数 在区间 存在“倍值区间” ，则有 ，
解得 ，
所以函数 存在“倍值区间” ，故正确；
④若函数 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
若 在 存在“倍值区间” ，
所以则 ，解得 ，与区间 矛盾，故舍去，
若 在 存在“倍值区间” ，
所以则 ，解得 ，与区间 矛盾，故舍去，
故 没有“倍值区间”；
故答案为：①③．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， 的定义域为 ，若对 ，
， ， 成立，且 ，则
__________.
【答案】
【解析】因为 ①，且 ②，
即 ，结合②可得 ③，①③相
减有 ，故 ④，即 ，故 周期
为4.
在①中令 ，有 ，又 ，可得 .由④，令 ， 有 ，结合 周期为4，则
故答案为：
