文档内容
第1讲 函数的图象与性质（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】...............................................................................................................................17
【考点一】函数的概念与表示.......................................................................................................17
【考点二】函数的图象..................................................................................................................22
【考点三】函数的性质..................................................................................................................27
【专题精练】...............................................................................................................................34
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域与值域、分段函数、函数图象的识
别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上.
2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相
结合命题．
真题自测
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）函数 在区间 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高考真题）已知 是偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2023·全国·高考真题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·高考真题）若 为偶函数，则 （ ）．
A． B．0 C． D．1
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学科网（北京）股份有限公司5．（2022·全国·高考真题）函数 在区间 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·全国·高考真题）设函数 ， ，当 时，曲线
与 恰有一个交点，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
7．（2023·全国·高考真题）已知函数 ．记 ，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·高考真题）已知函数 的定义域为R，且 ，则
（ ）
A． B． C．0 D．1
9．（2022·全国·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是
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学科网（北京）股份有限公司（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·全国·高考真题）设函数 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
11．（2022·全国·高考真题）已知函数 的定义域均为R，且 ．
若 的图像关于直线 对称， ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
12．（2023·全国·高考真题）已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）．
A． B．
C． 是偶函数 D． 为 的极小值点
13．（2024·全国·高考真题）设函数 ，则（ ）
A．当 时， 有三个零点
B．当 时， 是 的极大值点
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学科网（北京）股份有限公司C．存在a，b，使得 为曲线 的对称轴
D．存在a，使得点 为曲线 的对称中心
14．（2022·全国·高考真题）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若
， 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
15．（2022·全国·高考真题）若 是奇函数，则 ， ．
16．（2023·全国·高考真题）若 为偶函数，则 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D B A D A A A C
题号 11 12 13 14
答案 D ABC AD BC
1．B
【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入 可得 ，可排除D.
【详解】 ，
又函数定义域为 ，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又 ，
故可排除D.
故选：B.
2．D
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为 为偶函数，则 ，
又因为 不恒为0，可得 ，即 ，
则 ，即 ，解得 .
故选：D.
3．D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
4．B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出 值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得 ，
当 时， ， ，解得 或 ，
则其定义域为 或 ，关于原点对称.
，
故此时 为偶函数.
故选：B.
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学科网（北京）股份有限公司5．A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令 ，
则 ，
所以 为奇函数，排除BD；
又当 时， ，所以 ，排除C.
故选：A.
6．D
【分析】解法一：令 ，分析可知曲线 与 恰有一个交点，结合
偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得 ，并代入检验即可；解法二：令
，可知h(x)为偶函数，根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，即可得
，并代入检验即可.
【详解】解法一：令 ，即 ，可得 ，
令 ，
原题意等价于当 时，曲线 与 恰有一个交点，
注意到 均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得 ，即 ，解得 ，
若 ，令 ，可得
因为x∈(-1,1)，则 ，当且仅当 时，等号成立，
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学科网（北京）股份有限公司可得 ，当且仅当 时，等号成立，
则方程 有且仅有一个实根0，即曲线 与 恰有一个交点，
所以 符合题意；
综上所述： .
解法二：令 ，
原题意等价于h(x)有且仅有一个零点，
因为 ，
则h(x)为偶函数，
根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，
即 ，解得 ，
若 ，则 ，
又因为 当且仅当 时，等号成立，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
即h(x)有且仅有一个零点0，所以 符合题意；
故选：D.
7．A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令 ，则 开口向下，对称轴为 ，
因为 ，而 ，
所以 ，即
由二次函数性质知 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，而 ，
即 ，所以 ，
综上， ，
又 为增函数，故 ，即 .
故选：A.
8．A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数 的一个周期为 ，求出函数一个周期中的
的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可
得， ，即 ，所以函数 为偶函数，令 得，
，即有 ，从而可知 ，
，故 ，即 ，所以函数 的一个周期为 ．因为
， ， ，
， ，所以
一个周期内的 ．由于22除以6余4，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由 ，联想到余弦函数和差化积公式
，可设 ，则由方法一中 知 ，
解得 ，取 ，
所以 ，则
，所以
符合条件，因此 的周期 ， ，且
，所以 ，
由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，
简单明了，是该题的最优解.
9．A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设 ，则 ，故排除B;
设 ，当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，故排除C;
设 ，则 ，故排除D.
故选：A.
10．C
【分析】解法一：由题意可知： 的定义域为 ，分类讨论 与 的大小关系，结合符号
分析判断，即可得 ，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析 的符号，进而可得
的符号，即可得 ，代入可得最值.
【详解】解法一：由题意可知： 的定义域为 ，
令 解得 ；令 解得 ；
若 ，当 时，可知 ，
此时 ，不合题意；
若 ，当 时，可知 ，
此时 ，不合题意；
若 ，当 时，可知 ，此时 ；
当 时，可知 ，此时 ；
可知若 ，符合题意；
若 ，当 时，可知 ，
此时 ，不合题意；
综上所述： ，即 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 ；
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学科网（北京）股份有限公司解法二：由题意可知： 的定义域为 ，
令 解得 ；令 解得 ；
则当 时， ，故 ，所以 ；
时， ，故 ，所以 ；
故 ， 则 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：分别求 、 的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，
结合符号性分析判断.
11．D
【分析】根据对称性和已知条件得到 ，从而得到 ，
，然后根据条件得到 的值，再由题意得到 从而得到 的值
即可求解.
【详解】因为 的图像关于直线 对称，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，即 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司.
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
因为 ，所以 ，又因为 ，
联立得， ，
所以 的图像关于点 中心对称，因为函数 的定义域为R，
所以
因为 ，所以 .
所以 .
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后
得到所需的一些数值或关系式从而解题.
12．ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例 即可排除选
项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数 进行判断即可.
【详解】方法一：
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
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学科网（北京）股份有限公司对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，不妨令 ，显然符合题设条件，此时 无极值，故 错误.
方法二：
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，当 时，对 两边同时除以 ，得到 ，
故可以设 ，则 ，
当 肘， ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 为偶函数，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
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学科网（北京）股份有限公司显然，此时 是 的极大值，故D错误.
故选： .
13．AD
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为 ，根据零点存在定理和极值的符号判断出 在
上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在
这样的 ，使得 为 的对称轴，则 为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这
样的 ，使得 为 的对称中心，则 ，据此进行计算判断，亦可利用拐点
结论直接求解.
【详解】A选项， ，由于 ，
故 时 ，故 在 上单调递增，
时， ， 单调递减，
则 在 处取到极大值，在 处取到极小值，
由 ， ，则 ，
根据零点存在定理 在 上有一个零点，
又 ， ，则 ，
则 在 上各有一个零点，于是 时， 有三个零点，A选项正确；
B选项， ， 时， ， 单调递减，
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学科网（北京）股份有限公司时 ， 单调递增，
此时 在 处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的 ，使得 为 的对称轴，
即存在这样的 使得 ，
即 ，
根据二项式定理，等式右边 展开式含有 的项为 ，
于是等式左右两边 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的 ，使得 为 的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的 ，使得 为 的对称中心，
则 ，事实上，
，
于是
即 ，解得 ，即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
， ， ，
由 ，于是该三次函数的对称中心为 ，
由题意 也是对称中心，故 ，
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学科网（北京）股份有限公司即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1） 的对称轴为 ；（2） 关于 对称
；（3）任何三次函数 都有对称中心，对称中心是三次函数
的拐点，对称中心的横坐标是 的解，即 是三次函数的对称中心
14．BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项
判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于 ，因为 为偶函数，所以 即 ①，所以
，所以 关于 对称，则 ，故C正确；
对于 ，因为 为偶函数， ， ，所以 关于 对称，由①
求导，和 ，得 ，
所以 ，所以 关于 对称，因为其定义域为R，所以 ，结合 关于
对称，从而周期 ，所以 ， ，故B正确，D
错误；
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学科网（北京）股份有限公司若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知 周期为2，关于 对称，故可设 ，则 ，显然A，D错
误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为 ， 均为偶函数，
所以 即 ， ，
所以 ， ，则 ，故C正确；
函数 ， 的图象分别关于直线 对称，
又 ，且函数 可导，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的
通性通法；
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学科网（北京）股份有限公司方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
15． ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若 ，则 的定义域为 ，不关于原点对称
若奇函数的 有意义，则 且
且 ，
函数 为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得 ，
由 得， ，
，
故答案为： ； ．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数 为奇函数
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学科网（北京）股份有限公司[方法三]：
因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为
，再由 可得， ．即 ，在定义域
内满足 ，符合题意．
故答案为： ； ．
16．2
【分析】利用偶函数的性质得到 ，从而求得 ，再检验即可得解.
【详解】因为 为偶函数，定义域为 ，
所以 ，即 ，
则 ，故 ，
此时 ，
所以 ，
又定义域为 ，故 为偶函数，
所以 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：2.
考点突破
【考点一】函数的概念与表示
核心梳理：
1．复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．
2．分段函数
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．
一、单选题
1．（2024·辽宁辽阳·一模）已知函数 满足 ，则 （
）
A．10000 B．10082 C．10100 D．10302
2．（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数 的定义域是 ，则 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·浙江·模拟预测）对于 ， 满足 ，且对于
，恒有 ．则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知 和 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，且 ，则
（ ）．
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学科网（北京）股份有限公司A． 是增函数 B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·北京大兴·三模）已知 ，若 ，则 .
6．（2024·北京通州·三模）已知函数 的值域是 ，若 ，则m的取
值范围是 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 C D ABD ABC
1．C
【分析】赋值得到 ，利用累加法得到 ，令 得到
，赋值得到 ，从而求出答案.
【详解】 中，令 得，
，
故 ，
故 ，
其中 ，①
，②
，③
……，
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学科网（北京）股份有限公司，
上面99个式子相加得，
，
令 得 ，
中，令 得 ，
故 .
故选：C
2．D
【分析】根据抽象函数的定义域可得 满足 ，结合根式的意义即可求解.
【详解】因为函数 的定义域为 ，
所以 满足 ，即 ，
又 ，即 ，
所以 ，解得 .
所以函数 的定义域为 .
故选：D.
3．ABD
【分析】赋值法求得 ，由 ，求 的值判断选
项A，由 ，求得
，结合
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学科网（北京）股份有限公司恒有 ，对BCD中的函数值进行判断.
【详解】令 代入 及 ，得 ，所以
，
，A选项正确；
令 代入 ，得 ；令 代入 由，得 ，
， ，
， ，
对于 ．恒有 ，
， ，B选项正确；
，C选项错误；
，则有 ，即 ，D选项正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：
抽象函数问题可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值或代数式，经过运算与推理，最后得出结
论，常用的方法有：
(1)令 等特殊值求抽象函数的函数值；
(2)令 或 ，且 ，判断抽象函数的单调性；
(3)令 ，判断抽象函数的奇偶性；
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学科网（北京）股份有限公司(4)换 为 ，确定抽象函数的周期；
(5)用 ，或 换为 等来解答抽象函数的其它一些问题.
4．ABC
【分析】对于A：通过奇偶性得到 ，和原式联立列方程组求出 和 的解析式，观
察可得 的单调性；对于B：先确定 的单调性，然后根据单调性和奇偶性确定大小；对于C：直接
代入解析式计算验证；对于D：直接代入解析式计算验证.
【详解】因为 ①，所以 ，
根据 和 的奇偶性知 ， ，
从而 ②，联立①②，
解得 ， ，显然 是增函数，选项A正确；
因为当 时， ，所以 ，故 在 上单调递增，
又 为偶函数，所以 ，选项B正唃；
，选项C正确；
，
而 ，选项D错误．
故选：ABC．
5． 或
【分析】根据分段函数解析式得到方程（不等式）组，解得即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 且 ，
所以 或 ，
解得 或 .
故答案为： 或
6．
【分析】先判断出 在 上单调递增，在 上单调递减，然后作出 与
在 上的图象，求出 在 上的值域，再结合图象可求得结果.
【详解】当 时， ，此时 单调递减，
当 时， ，此时 单调递增，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取得最大值，为 ，
作出 与 在 上的图象如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司当 ， 时， ，此时 ，
此时 ，
因为 的值域为 ，则 时， 必有解，即 ，解得 ，由图知 ,
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查函数的综合问题，考查分段函数，考查由函数的值域确定参数的范围，解
题的关键是根据题意作出函数图象，结合图象求解，考查数形结合的思想，属于较难题.
规律方法：
(1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．
(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．
【考点二】函数的图象
核心梳理：
1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、
对称变换．
2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．
一、单选题
1．（2023·湖南张家界·二模）函数 的部分图象大致形状是（ ）
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．
2．（2024·北京顺义·二模）若函数 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
3．（2024·江苏苏州·模拟预测）定义 表示 中的最小者，设函数
，则（ ）
A． 有且仅有一个极小值点为 B． 有且仅有一个极大值点为3
C． D． 恒成立
4．（2023·福建厦门·二模）函数f(x)＝b（x-a）2（x-b）的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
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学科网（北京）股份有限公司5．（2024·天津红桥·一模）设函数 ，若 有四个实数根 ， ， ， ，
且 ，则 的取值范围 ．
6．（2024·北京西城·模拟预测）若关于 的方程 恰有三个不同实数解，则实数 的值为
．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 C C ACD BC
1．C
【分析】根据函数的奇偶性、对称性以及函数值的对应性，利用排除法即可得出结果.
【详解】因为 的定义域为R.定义域关于原点对称，
，
所以 是偶函数，图象关于 轴对称，故排除选项B、D，
当 时，令 可得 或 ，
所以 时，两个相邻的零点为 和 ，当 时， ， ，
，故排除选项A，
故选：C.
2．C
【分析】根据题意分析可知 为奇函数且在R上单调递增，分析可知 等价于 ，
即可得结果.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意可知： 的定义域为R，且 ，
若 ，则 ，可知 ，
若 ，同理可得 ，所以 为奇函数，
作出函数 的图象，如图所示，
由图象可知 在R上单调递增，
若 ，等价于 ，等价于 ，等价于 ，
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
3．ACD
【分析】根据函数的新定义得到 分段函数 的解析式，画出函数 的图象，结合函数的图象和
选项，逐项判定，即可求解．
【详解】由题意，函数 作出函数 的图象，如图所示，
由图象知， 有且仅有一个极小值点为 ，所以A正确；
函数有两个极大值点1和3，所以B错误；
令 ，可得 或 或 ，解得 或 ，
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学科网（北京）股份有限公司即当 时， ，所以C正确；
由图象知，当 时，函数 的最大值 ，
所以存在实数 ，使得 恒成立，所以D正确.
故选：ACD．
4．BC
【分析】首先根据解析式确定零点类型，再结合图象，判断选项.
【详解】由函数解析式可知， 是不变号零点， 是变号零点，
A.由图可知，变号零点是0，则 ，则 ，不成立，故A错误；
B.由图可知，变号零点小于0，不变号零点为0，则 ，此时 ，当 ，
，当 ， ，当 时， ，满足图象，故B正确；
C.由图可知， ， ，当 时， ，当 时， ，当
时， ，满足图象，故C正确；
D.由图可知， ， ，当 时， ，与图象不符，所以D错误.
故选：BC
5．
【分析】作出 的图象，根据图象确四个根间的关系，从而得到 ，且
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学科网（北京）股份有限公司，再利用函数的单调性即可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，其图象如图所示，
又 有四个实数根，由图知 ，得到 ，即 ，且
，
由 ，得到 或 ，所以 ，
所以 ，
令 ， ，易知 在区间 上单调递增，所以 ，
所以 的取值范围为 ，
故答案为： .
6．
【分析】根的存在性和个数的判断，转化为函数图象的交点并作图数形结合判断参数范围.
【详解】问题等价于函数 的图象和 恰有三个不同公共点，
的图象可由 的图象 轴上方的不动， 轴下方的对称上去，
如图数形结合可得
故答案为：
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学科网（北京）股份有限公司规律方法：
(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排
除不符合要求的图象．
(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、
最值、交点、方程的根等问题．
【考点三】函数的性质
核心梳理：
1．函数的奇偶性
(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有
f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．
(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)．
2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法．
3．函数的周期性
若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)，则函数y＝f(x)的周期为2|a|.
4．函数图象的对称中心和对称轴
(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．
(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
一、单选题
1．（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）已知函数 ，若 ， 是锐角 的两个内角，则下列结
论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数 ，若 恒成立，则实数 的取
值范围为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·湖南邵阳·一模）已知函数 与其导函数 的定义域均为 ，且 和 都是
奇函数，且 ，则下列说法正确的有（ ）
A． 关于 对称 B． 关于 对称
C． 是周期函数 D．
4．（2023·山东烟台·二模）定义在 上的函数 满足 ， 是偶函数， ，
则（ ）
A． 是奇函数 B．
C． 的图象关于直线 对称 D．
三、填空题
5．（2024·河南·一模）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，记 .且
， ，当 ， ，则 .（用数字
作答）
6．（2024·内蒙古赤峰·一模）定义在 上的函数 满足：对任意 都有
，且当 时， 恒成立.下列结论中可能成立的有 .
① 为奇函数；
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学科网（北京）股份有限公司②对定义域内任意 ，都有 ；
③对 ，都有 ；
④ .
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 D A ACD ABD
1．D
【分析】由已知可得 ，根据余弦函数的单调性，得出 ，由 的单调性即可
判断选项.
【详解】因为 ，所以 ，
当 时， ，所以 ，即 ，
所以 在 上单调递减.
因为 ， 是锐角 的两个内角，所以 ，则 ，
因为 在 上单调递减，
所以 ，
故 ，故D正确.
同理可得 ，C错误；
而 的大小不确定，故 与 ， 与 的大小关系均不确定，
所以 与 ， 与 的大小关系也均不确定，AB不能判断.
故选：D
2．A
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学科网（北京）股份有限公司【分析】参变分离可得 恒成立，结合基本不等式求出 的最小值，即可求出参数的取值范
围.
【详解】因为 恒成立，即 恒成立，
所以 恒成立，又由 （当且仅当 时取等号），
所以 ．
故选：A．
3．ACD
【分析】对于A,根据f (x-1)为奇函数，得到关系式，两边求导即可判断；对于B，利用 的图象可以
由f (x-1)向左平移1个单位即可判断；对于C,根据 是奇函数及 关于 对称得到关系式，
综合分析即可求得周期；对于D,结合已知条件可求得 的值，进一步计算即可.
【详解】因为f (x-1)为奇函数，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 的图象关于直线 对称.故A正确；
因为f (x-1)为奇函数，则其图象关于 对称，
向左平移一个单位后得到 的图象，
则 的图象关于 对称，故B错误；
因为 为奇函数，则 ，
则有 ，
所以 ①,
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学科网（北京）股份有限公司又 ，
则 ②,
由①② ，
则 ，
则 ， ，
则 ，
所以8是函数 的一个周期.，
是周期函数，故C正确；
因为 ， ，
所以 ，
，
所以 ，
故D正确，
故选：ACD.
4．ABD
【分析】利用函数的奇偶性、对称性、周期性求解即可.
【详解】对于选项 ，∵ 是偶函数，∴ ，
∴函数 关于直线 对称，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ 是奇函数，则 正确；
对于选项 ，∵ ，∴ ，∴ ,
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学科网（北京）股份有限公司∴ 的周期为 ，∴ ，则 正确；
对于选项 ，若 的图象关于直线 对称，则 ，
但是 ， ，即 ，这与假设条件矛盾，则选项 错误；
对于选项 ，将 代入 ，得 ，
将 ，代入 ，得 ，
同理可知 ，
又∵ 的周期为 ，∴ 正奇数项的周期为 ，
∴
，则 正确.
故选：ABD.
5．1012
【分析】根据 推出函数 为奇函数，由 还原成
，推理得到 ，得出函数 图象关于直线 对称，两者结合得出
为以4为周期的函数，分别求出 ，计算即得 .
【详解】由 可得 ，即 ①
又由 可得 ，即 ，从而 ，
故 ( 是常数)，因当 时 ，则 ,即得 ②，
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学科网（北京）股份有限公司由② 可得 ，又由① 得 ，即 ，故函数 为周
期函数，周期为4.
由 ， 可知 ，因 是R上的奇函数， ,则由 可得
，
， ，
则 ，于是
故答案为：1012.
6．①③④
【分析】令 ，求得 ，进而推得 ，可判定①正确；结合函数的单调性的判
定方法，进而可判定②不正确；根据 ，结合基本不等式，可判定
③正确；根据 ，结合裂项法求和，可判定④正确.
【详解】对于①中，由对任意 都有 ，
令 ，可得 ，所以 ，
任取x∈(-1,1)，可得 ，可得 ，
所以 ，所以函数 是(-1,1)上的奇函数，所以①正确；
对于②中，设 ，可得 ，则
则有 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为当x∈(0,1)时， 恒成立，且函数为 为奇函数，
所以当 时， 恒成立，可得 ，
即 ，即 ， 在(0,1)为减函数，
又因为 为奇函数，所以函数 在(-1,1)为减函数，
且当 时， ；当x∈(0,1)时， ，
又由 ，
因为 ，不妨设 ，可得 ， ，
所以 ，即 ，
所以②不正确；
对于③中，对于 ，可得 ，则 ，
可得 ，且 ，
因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，所以 ，
即 ，所以③正确；
对于④中，因为函数 为奇函数，
可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，因为 ，
所以 ，
所以 ，所以④正确.
故答案为：①③④.
【点睛】方法点睛：对于抽象函数的求值或函数性质的求解策略：
（1）对于抽象函数的基本性质的求解，通常借助合理赋值，结合函数的单调性、奇偶性的定义，进行推
理，得出函数的基本性质，有时借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转
换，再利用单调性解决相关问题.
（2）解答抽象函数的周期性问题时，通常先利用周期性中为自变量所在区间，结合函数的奇偶性和对称
性进行推理，得到 ，求得函数的周期；
（3）解答抽函数的求值问题时，通常利用合理赋值，再结合函数的对称性和周期性，进行求解.
规律方法：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，其中f(x)≠0，则f(x)的周期为2|a|.
(2)若f(x)的图象关于直线x＝a和x＝b对称，则f(x)的周期为2|a－b|.
(3)若f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则f(x)的周期为4|a－b|.
专题精练
一、单选题
1．（2024·湖南岳阳·三模）已知 为奇函数，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西·一模）已知函数 的定义域为 ，函数 的值域为B，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数 ，则对任意实数x，函数 的值域是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
4．（2024·四川遂宁·模拟预测）下列函数满足 的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）如图，边长为1的正方形 ，其中边 在 轴上，点 与坐标原
点重合，若正方形沿 轴正向滚动，先以 为中心顺时针旋转，当 落在 轴上时，再以 为中心顺时针
旋转，如此继续，当正方形 的某个顶点落在 轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点
滚动时形成的曲线为y=f (x)，则 （ ）
A．0 B． C．1 D．
6．（22-23高一下·山西·阶段练习）若函数 ，在R上单调递增，则实数a的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·湖北武汉·二模）已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知 且 ，若函数 的值域为 ，则 的
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学科网（北京）股份有限公司取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知奇函数 的定义域为 ，若 ，则（ ）
A． B． 的图象关于直线 对称
C． D． 的一个周期为
10．（2023·湖南·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 ，且 为偶函
数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．函数 的周期为2 B．函数 的图象关于 对称
C．函数 为偶函数 D．函数 的图象关于 对称
11．（2024·广东韶关·二模）已知定义在R上的函数 的导函数分别为 ，且
， ，则（ ）
A． 关于直线 对称 B．
C． 的周期为4 D．
三、填空题
12．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）已知 是定义在 ，且满足 ，当
时， ，若函数 在区间 上有10个不同零点，则实数 的取值范围是
．
13．（2024·上海·三模）已知函数 ，若 ， ，且 ，则
的最小值是
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学科网（北京）股份有限公司14．（2024·河南郑州·二模）已知不等式 对任意的实数x恒成立，则 的最大值为 .
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C C A B A A AD BC
题号 11
答案 ACD
1．D
【分析】由函数图象平移的规则，且 为奇函数，得出函数 图象的对称性，进而得出
的值.
【详解】由函数图象平移的规则可知：
函数 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位、向下平移 个单位得到的，
因为函数 为奇函数，所以函数 的图象关于原点对称，
所以函数 的图象关于点 对称，得：
，
即 ，
故选：D.
2．B
【分析】求出函数 的定义域可得集合 ，求出函数 的值域可得集合B，再求 可得答案.
【详解】 ，则 且 ，
可得 的值域 ．
故选：B.
3．C
【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解.
【详解】依题意， ，
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学科网（北京）股份有限公司显然 ，则 ，于是 ，
所以函数 的值域是 .
故选：C
4．C
【分析】令 ，则 ，结合各选项代入验证，即可判断答案．
【详解】令 ， ，则 ，由 可得 ，
对于A， ，故A错误；
对于B， ，不满足 ，B错误；
对于C， ，即 ，即 ，C正确；
对于D， ，即 不成立，D错误．
故选：C．
5．A
【分析】根据已知条件及函数的周期性即可求解．
【详解】由题意可知， 是周期为 的函数，
所以 .
由题意可得，当 时，点 恰好在 轴上，所以f (3)=0，
所以 .
故选：A.
6．B
【分析】首先，对勾函数 和 都是递增函数，当 时，对勾函数取值要大于或
等于指数式的值，再求交集即可实数a的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】当 时，函数 单调递增
所以
当 时， 是单调递增函数，
所以 ，所以
当 时，对勾函数取值要大于或等于指数式的值，
所以 ，
解之得： ，
综上所述：实数a的取值范围是
故选：B
7．A
【分析】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得.
【详解】由 ，故 在 上单调递增，
由 ，有 ，即 .
故选：A.
8．A
【分析】利用对数函数和指数函数的单调性，对 进行分类讨论，可得答案.
【详解】 的值域为 ，
当 时，
则 ， 为增函数， ，
而 时， 为增函数，
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学科网（北京）股份有限公司此时， ，不符题意；
当 时，
则 ， 为减函数， ，
而 时， 为减函数，
此时， ，
因为 的值域为 ，当且仅当 时，满足题意，
此时， ，则 ，整理得， ，解得 ；
综上， 时满足题意.
故选：A
9．AD
【分析】由奇函数可得 ，再根据函数的周期性与对称性分别判断.
【详解】由函数 为奇函数，则 ，A选项正确；
又 ，即 ，则函数 关于直线 对称，B选项错误；
由 可知 ，
即 ，函数 的一个周期为 ，C选项错误，D选项正确；
故选：AD.
10．BC
【分析】根据给定的信息，推理论证周期性、对称性判断AB；借助变量替换的方法，结合偶函数的定义及
对称性意义判断CD作答.
【详解】依题意， 上的函数 ， ，则 ，函数 的周
期为4，A错误；
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学科网（北京）股份有限公司因为函数 是偶函数，则 ，函数 的图象关于 对称，
且 ，即 ，函数 图象关于 对称，B正确；
由 得 ，则函数 为偶函数，C正确；
由 得 ，由 得 ，
因此 ，函数 的图象关于 对称，D错误.
故选：BC
11．ACD
【分析】由题意，根据函数的对称性，合理赋值即可判断A；利用导数求导可得 、
，通过合理赋值即可判断BCD.
【详解】由 ，得 ①，
②，得 ③，
由①②③，得 ，所以函数 图象关于直线 对称，故A正确；
由 ，得 ，令 ，得 ；
由 ，得 ，
令 ，得 ，
∴ ④，
又 ⑤，令 ，得 ，故B错误；
④⑤两式相加，得 ，得 ，
所以 ，即函数 的周期为4，故C正确；
由 ，令 ，得 ，所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的对称性和周期性，结合导数的运算，寻找关系式 、
和 是解题的关键，原函数与导函数的联系，对称性与周期性的联系，都
是解题的思路.
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学科网（北京）股份有限公司12．
【分析】由 可知函数 的周期为4，再数形结合得出结果.
【详解】由 得 ，
所以函数 的周期为4，
先作出 在区间 上图像：
又 ， ，
则实数 的取值范围为 .
故答案为： .
13．8
【分析】由函数奇偶性的定义可知 为奇函数，根据单调性可知 ，然后结合基本不等式即可
求解.
【详解】函数 的定义域为 ，且 ，
所以 为奇函数，又 ，所以函数单调递增，
又 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， ，等号成立，
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学科网（北京）股份有限公司所以 的最小值为 .
故答案为： .
14．
【分析】通过 换元将不等式化成 ,对任意的实数x恒成立，设
，对 的取值分类讨论，得到 时 ，
依题得 ，即 再令 ，分析得到
，从而即得 .
【详解】令 ，则 ，不等式可化为： 对任意的实数x恒成立，
即 对任意的实数x恒成立.
设 ，则 ，
当 时， ， 在R上单调递增， ，不合题意；
当 时，由 可得 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
则当 时， .
因 对任意的实数x恒成立，故 恒成立，
即 ，则 .
令 ，则
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减.
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学科网（北京）股份有限公司故 ，
即 ,故 的最大值为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题主要考查由不等式恒成立求解参数范围问题，属于难题.
解题的关键在于通过设 进行换元，将不等式化成 ，设函数
，分析得到 ，然后分离出
，将问题转化为求函数 的最大值即得.
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