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专题05 数列
一、单选题
1．（全国甲卷数学（文））等差数列
的前
项和为
，若
，
（ ）
A．
B．
C．1
D．
2．（全国甲卷数学（理））等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
3．（新高考北京卷）记水的质量为
，并且d 越大，水质量越好．若S 不变，且
，
，
则
与
的关系为（ ）
A．
B．
C．若
，则
；若
，则
；
D．若
，则
；若
，则
；
二、填空题
4．（新课标全国Ⅱ卷）记
为等差数列
的前n 项和，若
，
，则
.
5．（新高考上海卷）无穷等比数列
满足首项
，记
，若对
任意正整数
集合
是闭区间，则
的取值范围是 ．
三、解答题
1
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6．（新课标全国Ⅰ卷）设m 为正整数，数列
是公差不为0 的等差数列，若从中删去两项
和
后剩余的
项可被平均分为
组，且每组的4 个数都能构成等差数列，则称数列
是
可分数列．
(1)写出所有的
，
，使数列
是
可分数列；
(2)当
时，证明：数列
是
可分数列；
(3)从
中一次任取两个数和
，记数列
是
可分数列的概率为
，证
明：
．
7．（新课标全国Ⅱ卷）已知双曲线
，点
在
上，
为常数，
．按照
如下方式依次构造点
，过
作斜率为
的直线与
的左支交于点
，令
为
关于
轴
的对称点，记
的坐标为
.
(1)若
，求
；
(2)证明：数列
是公比为
的等比数列；
(3)设
为
的面积，证明：对任意的正整数
，
.
8．（全国甲卷数学（文））已知等比数列
的前
项和为
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的通项公式.
9．（全国甲卷数学（理））记
为数列
的前
项和，且
．
2
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(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和为
．
10．（新高考北京卷）设集合
．对于给定
有穷数列
，及序列
，
，定义变换
：将数列
的第
项加1，得到数列
；将数列
的第
列加，得到数列
…；重复上述操作，
得到数列
，记为
．
(1)给定数列
和序列
，写出
；
(2)是否存在序列
，使得
为
，若存在，写出一个符
合条件的
；若不存在，请说明理由；
(3)若数列
的各项均为正整数，且
为偶数，证明：“存在序列
，使得
为常数列”的
充要条件为“
”．
11．（新高考天津卷）已知数列
是公比大于0 的等比数列．其前
项和为
．若
．
(1)求数列
前
项和
；
(2)设
，
，其中
是大于1 的正整数．
（ⅰ）当
时，求证：
；
（ⅱ）求
．
12．（新高考上海卷）若
．
3
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(1)
过
，求
的解集；
(2)存在
使得
成等差数列，求
的取值范围．
一、单选题
1．（2024·重庆·三模）已知数列
的前
项和为
（ ）
A．276
B．272
C．268
D．266
2．（2024·河北张家口·三模）已知数列
的前n 项和为
，且满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·山东日照·三模）设等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．36
C．
D．18
4．（2024·湖北武汉·二模）已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．288
B．144
C．96
D．25
5．（2024·江西赣州·二模）在等差数列
中，
，
是方程
的两根，则
的前6 项和
为（ ）
A．48
B．24
C．12
D．8
6．（2024·湖南永州·三模）已知非零数列
满足
，则
（ ）
A．8
B．16
C．32
D．64
7．（2024·浙江绍兴·二模）汉诺塔（Tower of Hanoi），是一个源于印度古老传说的益智玩具. 如图所示，
有三根相邻的标号分别为A、B、C 的柱子， A 柱子从下到上按金字塔状叠放着
个不同大小的圆盘，要
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把所有盘子一个一个移动到柱子B 上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，
请问至少需要移动多少次？记至少移动次数为
，例如：
，
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．
为等差数列
C．
为等比数列
D．
8．（2024·云南曲靖·二模）已知
是等比数列
的前
项和，若
，则数列
的公比是
（ ）
A．
或1
B．
或1
C．
D．
9．（2024·四川·模拟预测）已知数列
为等差数列，且
，则
（ ）
A．33
B．44
C．66
D．88
10．（2024·北京东城·二模）设无穷正数数列
，如果对任意的正整数
，都存在唯一的正整数
，使
得
，那么称
为内和数列，并令
，称
为
的伴随数列，则（ ）
A．若
为等差数列，则
为内和数列
B．若
为等比数列，则
为内和数列
C．若内和数列
为递增数列，则其伴随数列
为递增数列
D．若内和数列
的伴随数列
为递增数列，则
为递增数列
5
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11．（2024·广东茂名·一模）已知
为正项数列
的前
项的乘积，且
，则
（ ）
A．16
B．32
C．64
D．128
12．（2024·湖南常德·一模）已知等比数列
中，
，
，则公比
为（ ）
A．
B．2
C．
D．4
二、多选题
13．（2024·湖南长沙·三模）设无穷数列
的前
项和为
，且
，若存在
，使
成立，则（ ）
A．
B．
C．不等式
的解集为
D．对任意给定的实数
，总存在
，当
时，
14．（2024·山东泰安·模拟预测）已知数列
的通项公式为
，前
项和为
，则下列
说法正确的是（ ）
A．数列
有最大项
B．使
的项共有
项
C．满足
的
值共有
个
D．使
取得最小值的
值为4
15．（2024·山东临沂·二模）已知
是等差数列，
是其前n 项和，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，则
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C．若
，则
D．若
和
都为递增数列，则
16．（2024·山东泰安·二模）已知等差数列
的前
项和为
，
，
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．
C．
为递减数列
D．
的前5 项和为
17．（2024·江西·三模）已知数列
满足
，则（ ）
A．数列
是等比数列
B．数列
是等差数列
C．数列
的前
项和为
D．
能被3 整除
18．（2024·湖北·二模）无穷等比数列
的首项为
公比为q，下列条件能使
既有最大值，又有最小
值的有（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
三、填空题
19．（2024·山东济南·三模）数列
满足
，若
，
，则数列
的前20 项的和为
．
20．（2024·云南·二模）记数列
的前
项和为
，若
，则
.
21．（2024·上海·三模）数列
满足
（
为正整数），且
与
的等差中项是5，则首项
22．（2024·河南·三模）数列
满足
，
，其中
为函数
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的极值点，则
.
23．（2024·上海·三模）已知两个等差数列2，6，10，…，202 和2，8，14，…，200，将这两个等差数列
的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为 ．
24．（2024·湖南长沙·三模）已知数列
为正项等比数列，且
，则
的最小值为 .
四、解答题
25．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列
的公差
，
与
的等差中项为5，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
求数列
的前20 项和
.
26．（2024·湖南长沙·三模）若各项均为正数的数列
满足
（
为常数），则
称
为“比差等数列”.已知
为“比差等数列”，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
27．（2024·山东潍坊·三模）已知正项等差数列
的公差为2，前
项和为
，且
成等
比数列.
(1)求数列
的通项公式
；
(2)若
求数列
的前
项和.
28．（2024·上海·三模）已知等比数列
的公比
，且
，
．
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(1)求
的通项公式；
(2)若数列
满足
，且
是严格增数列，求实数
的取值范围．
29．（2024·山东泰安·模拟预测）在足球比赛中，有时需通过点球决定胜负．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门
将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正
确也有
的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数
的
分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，
等可能地随机传向另外
人中的 人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外
人中的人，如此不停地
传下去，假设传出的球都能接住．记第
次传球之前球在甲脚下的概率为
，易知
．
① 试证明：
为等比数列；
② 设第
次传球之前球在乙脚下的概率为
，比较
与
的大小．
30．（2024·湖南邵阳·三模）高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数
对应复平面内的点
，
设
，
，则任何一个复数
都可以表示成：
的形式，这种形式
叫做复数三角形式，其中是复数的模，
称为复数的辐角，若
，则
称为复数的辐角主值，
记为
.复数有以下三角形式的运算法则：若
，则：
，特别地，如果
，那么
，这个结论叫做棣莫弗定理.
请运用上述知识和结论解答下面的问题：
(1)求复数
，
的模
和辐角主值
（用
表示）；
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(2)设
，
，若存在
满足
，那么这样的
有多少个？
(3)求和：
31．（2024·湖南长沙·二模）集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合
和
，定义和集
，用符号
表示和集
内的元素个数.
(1)已知集合
，
，
，若
，求
的值；
(2)记集合
，
，
，
为
中所有元素之和，
，求
证：
；
(3)若
与
都是由
个整数构成的集合，且
，证明：若按一定顺序排列，
集合
与
中的元素是两个公差相等的等差数列.
32．（2024·山东泰安·模拟预测）已知数列
是斐波那契数列，其数值为：
.这一
数列以如下递推的方法定义：
.数列
对于确定的正整数
，若存在
正整数
使得
成立，则称数列
为“
阶可分拆数列”.
(1)已知数列
满足
.判断是否对
，总存在确定的正整数
，使得数列
为“
阶可分拆数列”，并说明理由.
(2)设数列
的前
项和为
，
（i）若数列
为“ 阶可分拆数列”，求出符合条件的实数
的值；
（ii）在（i）问的前提下，若数列
满足
，
，其前
项和为
.证明：当
且
时，
成立.
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