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2025二轮复习专项训练27
最值、范围问题
[考情分析] 解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识模块，最值、范围问题
是高考考查的重点知识，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等，试题难度较
大，多次以压轴题出现．
【练前疑难讲解】
一、最值问题
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法
一是几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求
解；
二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为关于某个(些)变量的函数，然
后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
二、范围问题
范围问题的求解策略
解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，其方法有：
(1)利用判别式来构造不等式；
(2)利用已知参数的取值范围；
(3)利用隐含的不等关系；
(4)利用已知不等关系构造不等式；
(5)利用函数值域的求法．
一、单选题
1．（22-23高三上·广西桂林·阶段练习）已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，
点 在双曲线的右半支上，点 ，则 的最小值为（ ）
A． B．4 C．6 D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知直线 与椭圆 交于 两点，
是椭圆上异于 的一点．若椭圆 的离心率的取值范围是 ，则直线 ，
斜率之积的取值范围是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2023·山东烟台·二模）已知双曲线C经过点 ，且与椭圆 有公共的
焦点 ，点M为椭圆 的上顶点，点P为C上一动点，则（ ）
A．双曲线C的离心率为 B．
C．当P为C与 的交点时， D． 的最小值为1
4．（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）已知点 是左、右焦点为 ， 的椭圆 ：
上的动点，则（ ）
A．若 ，则 的面积为
B．使 为直角三角形的点 有6个
C． 的最大值为
D．若 ，则 的最大、最小值分别为 和
三、填空题
5．（23-24高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）过椭圆 上一动点 分别向圆 ：
学科网（北京）股份有限公司和圆 ： 作切线，切点分别为 ， ，则 的
取值范围为 .
6．（22-23高三上·安徽阜阳·期末）已知椭圆 C的焦点为 为 C 上一点满足
，则C 的离心率取值范围是 ．
四、解答题
1
7．（2024·天津·高考真题）已知椭圆 的离心率为 ．左顶点为 ，下
2
顶点为 是线段 的中点（O为原点）， 的面积为 ．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点C的动直线与椭圆相交于 两点．在 轴上是否存在点 ，使得 恒成
立．若存在，求出点 纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
8．（22-23高二下·浙江杭州·期末）设抛物线 ，过焦点 的直线与抛物
线 交于点 ， .当直线 垂直于 轴时， .
(1)求抛物线 的标准方程.
(2)已知点 ，直线 ， 分别与抛物线 交于点 ， .
①求证：直线 过定点；
②求 与 面积之和的最小值.
学科网（北京）股份有限公司参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 D D ACD BCD
1．D
【分析】首先利用双曲线的定义转化 ，再结合图象，求
的最小值，再联立方程求交点坐标.
【详解】由题意并结合双曲线的定义可得
，
当且仅当 ， ， 三点共线时等号成立.
而直线 的方程为 ，由 可得 ，所以 ，
(3 1)
所以点 的坐标为 , .
2 2
(3 1)
所以当且仅当点 的坐标为 , 时， 的最小值为 .
2 2
故选：D.
2．D
【分析】先设点 的坐标，然后将 的坐标代入方程中，相减，构造出直线 ，
的斜率，相乘转化只含有 的表达式，再根据 的关系以及椭圆 的离心率的取
学科网（北京）股份有限公司值范围是 建立不等式，求出直线 ， 斜率之积的取值范围即可.
【详解】设 ，
由直线 与椭圆 交于 两点可知 两点关于原点对称，
所以 且 ，
由题意知： ，两式相减得：
，
即 ，
又 ，
由椭圆的离心率的取值范围是 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
故选：D.
3．ACD
【分析】根据题意中的点求出双曲线方程，结合离心率的定义即可判断A；根据双曲线的
渐近线，结合图形即可判断B；根据椭圆与双曲线的定义，结合余弦定理计算即可判断C；
由两点距离公式，结合二次函数的性质即可判断D.
学科网（北京）股份有限公司【详解】A：由题意， ，设双曲线的标准方程为 ，
将点 代入得 ，所以双曲线方程为 ，
得其离心率为 ，故A正确；
B：由A选项的分析知，双曲线的渐近线方程为 ，如图，
，所以 ，得 ，故B错误；
C：当P为双曲线和椭圆在第一象限的交点时，由椭圆和双曲线的定义知，
，解得 ，
又 ，在 中，由余弦定理得 ，故C正确；
D：设 ，则 ，
所以 ，
当 时， ，故D正确.
故选：ACD.
学科网（北京）股份有限公司4．BCD
【分析】根据焦点三角形面积的相关结论即可判断A；结合椭圆性质可判断B；结合椭圆定
义可求线段和差的最值，判断CD.
【详解】A选项：由椭圆方程 ，所以 ， ，所以 ，
所以 的面积为 ，故A错误；
B选项：当 或 时 为直角三角形，这样的点 有4个，
设椭圆的上下顶点分别为 ， ，则 ,同理 ，
知 ，所以当 位于椭圆的上、下顶点时 也为直角三角形，
其他位置不满足，满足条件的点 有6个，故B正确；
C选项：由于 ，
所以当 最小即 时， 取得最大值 ，故C正确；
D选项：因为 ，
又 ，则 的最大、最小值分别为 和 ，
当点 位于直线 与椭圆的交点时取等号，故D正确.
故选：BCD
5．
学科网（北京）股份有限公司【分析】易知两圆的圆心为椭圆的两焦点，由勾股定理可得 ，
，由椭圆的定义可得 ，设 ，利用二次函数的
基本性质可求得 的取值范围.
【详解】 ， ， ，易知 、 为椭圆的两个焦点，
，
根据椭圆定义 ，
设 ，则 ，即 ，
则 ，
当 时， 取到最小值 ．
当 时， 取到最大值 ．
故 的取值范围为： .
故答案为： .
6．
学科网（北京）股份有限公司【分析】设 ， ，利用余弦定理可得 ，再结合基本不等式
推出 ，即可求得答案.
【详解】设椭圆C的方程为 ，
设 ， ，则 ，
在 中， ，有 ,
得 ，即 ，
故 ，因为 ，即 ，当且仅当 时取等号，
故 ，即 ，故 ，
解得 ，由 ，所以C的离心率取值范围是 ，
故答案为：
7．(1)
(2)存在 ，使得 恒成立.
【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.
（2）设该直线方程为： ， ， 联立直线方程和椭圆方
程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用 表示 ，再根据
可求 的范围.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为 ，故 ， ，其中 为半焦距，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，故 ，
故 ，所以 ， ，故椭圆方程为： .
（2）
若过点 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为： ，
设 ，
由 可得 ，
故 且
而 ，
故
学科网（北京）股份有限公司，
因为 恒成立，故 ，解得 .
若过点 的动直线的斜率不存在，则 或 ，
此时需 ，两者结合可得 .
综上，存在 ，使得 恒成立.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表
示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.
8．(1)
(2)①证明见解析；② .
【分析】（1）利用弦长求解p，即可求解抛物线方程；
（2）（i）设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可
求出定点；
（ii）利用面积分割法求出两个三角形面积表达式，然后利用二次函数求最值即可.
【详解】（1）由题意，当直线 垂直于 轴时， ，代入抛物线方程得 ，则
，所以 ，即 ，所以抛物线 .
（2）（i）设 ， ，直线 ，
与抛物线 联立，得 ，因此 ， .
设直线 ，与抛物线 联立，得 ，
学科网（北京）股份有限公司因此 ， ，则 .同理可得 .
所以 .
因此直线 ，由对称性知，定点在 轴上，
令 得，
，
所以直线 过定点 .
（ii）因为 ，
，
所以 ，
当且仅当 时取到最小值 .
【基础保分训练】
一、单选题
1．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知F为椭圆 的右焦点，P为C上一点，Q
为圆 上一点，则 的最大值为（ ）
A．5 B． C． D．6
2．（21-22高二上·陕西西安·期末）已知 是双曲线 的左焦点， ， 是双
学科网（北京）股份有限公司曲线右支上的动点，则 的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
3．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 交
于 两点， 为坐标原点，记 与 的面积分别为 和 ，则 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知椭圆 的左焦点为 ，点 是 上任
意一点，则 的值可能是（ ）
A． B．3 C．6 D．8
5．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）设抛物线 的准线与x轴交于点Q，若
过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以是（ ）
A． B．
C．1 D．2
6．（21-22高二·江苏·假期作业）已知双曲线 ： ，下列结论正确的是（ ）
A．双曲线 的渐近线方程为
B．双曲线 的焦点到渐近线的距离为
C．与双曲线 的渐近线平行的直线与双曲线 一定没有交点
D．若直线 与双曲线 没有交点，则 的取值范围为
三、填空题
学科网（北京）股份有限公司7．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若P是椭圆 上一动点， ，则 的
最大值为 ．
8．（2024·全国·模拟预测）已知点 是抛物线 ： 上的动点，过点 作圆 ：
的切线，切点为 ，则 的最小值为 .
9．（2023·浙江·一模）已知 ， 分别是双曲线 的左右焦点，且C上
存在点P使得 ，则a的取值范围是 ．
四、解答题
10．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知 ， 是过点 的两条互相垂直的直线，且 与椭
圆 相交于A，B两点， 与椭圆 相交于C，D两点．
(1)求直线 的斜率k的取值范围；
(2)若线段 ， 的中点分别为M，N，证明直线 经过一个定点，并求出此定点的坐
标．
11．（2022·江苏盐城·三模）已知双曲线 ： 过点 ，渐近线
方程为 ，直线 是双曲线 右支的一条切线，且与 的渐近线交于A，B两点．
(1)求双曲线 的方程；
(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．
12．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，直线
与 交于 两点，且当 ， 时， ．
(1)求抛物线 的方程；
学科网（北京）股份有限公司(2)若 ，求 面积的最小值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B A B BC BC ABD
1．B
【分析】由题意设椭圆的左焦点为 ，作出图形，结合图形和椭圆的定义可知当
三点共线时 取到最大值.
【详解】由题意知， ，设椭圆的左焦点为 ，
如图，P为C上一点，Q为圆 上一点， ，半径为1，
，
当且仅当 三点共线时，等号成立，
所以 的最大值为 .
故选：B
2．A
【分析】由双曲线方程求出 ，再根据点 在双曲线的两支之间，结合
可求得答案
【详解】由 ，得 ，则 ，
所以左焦点为 ，右焦点 ，
学科网（北京）股份有限公司则由双曲线的定义得 ，
因为点 在双曲线的两支之间，
所以 ，
所以 ，当且仅当 三点共线时取等号，
所以 的最小值为9，
故选：A
3．B
【分析】设出直线 ，联立 ，得到两根之和，两根之积，得
， ， ，利用基本不等式即可求出最值.
【详解】由题意得： ，设直线 ，联立 得：
，设 ，不妨令 ，
则 ，
故 ，
，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故选：B
4．BC
【分析】根据到焦点距离的范围求解即可.
学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意可知 ，所以 ，即 .
故选：BC.
5．BC
【分析】设直线方程，并与抛物线联立方程，再用根的判别式来处理，即可求得斜率范围.
【详解】 抛物线 的准线与x轴交于点Q，
准线为 ，Q点的坐标 ，
又直线l过点Q，且斜率必存在，
可设l： ，
联立 ，可得 ，
当 时，得 ，即交点为 ，
当 时，由 得，即 ，
解得， 或 ，
综上，k的取值范围是 ．
故选：BC.
6．ABD
【分析】A选项，利用焦点在 轴上的双曲线方程为 进行求解；B选项，利用点到
直线距离公式进行求解；C选项，与渐近线平行的直线与双曲线有一个焦点；D选项，直线
的斜率与渐近线斜率相比较，得到 的取值范围．
【详解】解：对于 ，由双曲线 ： ，则 ， ，所以其渐近线方程为
，故A正确；
对于B，由双曲线 ： ，则 ， ， ，其焦点坐标为 ，其渐近
学科网（北京）股份有限公司线方程为 ，所以一个焦点到渐近线的距离为 ，故B正确；
对于C，与渐近线平行的直线与双曲线 有且仅有一个交点，故C不正确；
对于D，若直线 与双曲线 没有交点，则 的斜率应该和双曲线渐近线斜率比较，
则 或 ，故D正确．
故选：ABD．
7．4
【分析】令 ，应用两点距离公式有 ，结合椭圆的有界性求最
大值.
【详解】令 ，则 ，又 ，
所以 ，又 ，
当 时， 的最大值为4.
故答案为：4
8．
【分析】设 ，求出 到圆的圆心 的距离的最小值，然后根据勾股定理
求解|MA|的最小值．
【详解】设 ，则 ，
故当 时， 取最小值 .
又由圆的切线性质可得此时 .
学科网（北京）股份有限公司故答案为：
9．
【分析】根据双曲线的定义结合条件可得 ， ，进而可得 ，
即得.
【详解】因为 ，双曲线 ，
又 ，
所以 ， ，
又 ，
解得 ，
即a的取值范围是 .
故答案为： .
10．(1) ；
(2)证明见解析；定点 .
【分析】（1）根据直线 ， 均与椭圆 相交，联立方程利用 求解；（2）利用韦达定理
学科网（北京）股份有限公司分别求M，N的坐标，进而求出直线 的方程判断定点．
【详解】（1）根据题意直线 ， 的斜率均存在且不为0
直线 ， 分别为 ， ，
联立 得 ，
由 得 ，则 或 ，
同理 ，则 ，
所以k的取值范围为 ．
（2）设 ， ，由（1）得 ，
所以 ，则 ，
所以 ，则 ，
同理 ，
则直线 的方程为 ，
化简整理得
因此直线 经过一个定点 ．
11．(1)
学科网（北京）股份有限公司(2)2
【分析】（1）由渐近线可得 ，再把点代入方程即可解得 ；
（2）点M到y轴的距离的即为点M的横坐标为 ，联立方程利用韦达定理可求 ，分
析求解即可，但要注意讨论直线 的斜率是否存在．
【详解】（1）由题设可知 ，解得
则 ： ．
（2）设点M的横坐标为
当直线 斜率不存在时，则直线 ：
易知点 到 轴的距离为 ﹔
当直线 斜率存在时，设 ： ， ， ，
联立 ，整理得 ，
，
整理得
联立 ，整理得 ，
则 ，则 ，即
则 ，即
∴此时点 到 轴的距离大于2；
综上所述，点 到 轴的最小距离为2．
学科网（北京）股份有限公司12．(1)
(2)
【分析】（1）已知条件直线 的解析式为 ，设A(x ,y )，B(x ,y )，联立抛
1 1 2 2
物线方程，利用韦达定理结合弦长公式可得拋物线 的方程；
（2）利用 得到m，n的关系，利用面积公式将 的面积表示为关于n的函
数，结合二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）当 ， 时，直线 的解析式为 ．
设A(x ,y )，B(x ,y )，联立 消去 并整理得 ，
1 1 2 2
， ，
，解得 ．
，
，
整理得 ，解得 （舍负），
抛物线 的方程为 ．
（2）由（1）知， ，设A(x ,y )，B(x ,y )，联立
1 1 2 2
学科网（北京）股份有限公司消去 并整理得 ， ， ，
， ．
， ，
即 ，
整理得 ．
将 ， ，代入上式得 ．
又 ， ，且 ，
解得 或 ．
点 到直线 的距离 ，
，
的面积 ．
又 或 ，
当 时， 的面积最小，且最小面积为 ．
【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法
学科网（北京）股份有限公司（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解；
（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不
等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）．
【能力提升训练】
一、单选题
1．（22-23高三上·山西·阶段练习）已知点F为抛物线C： 的焦点，过点F作两条
互相垂直的直线 ， ，直线 与C交于A，B两点，直线 与C交于D，E两点，则
的最小值为（ ）
A．64 B．54 C．50 D．48
2．（2023·河北邯郸·三模）在平面直角坐标系内，已知 ， ，动点 满
足 ，则 （ ）的最小值是（ ）
A． B．2 C．4 D．16
3．（2023·安徽蚌埠·一模）若椭圆 上存在两点
到点 的距离相等，则椭圆的离心率的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2022·河北唐山·二模）双曲线具有如下光学性质：如图 ， 是双曲线的左、右焦点，
从右焦点 发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长
学科网（北京）股份有限公司线过左焦点 ．若双曲线C的方程为 ，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．当n过 时，光由 所经过的路程为13
C．射线n所在直线的斜率为k，则
D．若 ，直线PT与C相切，则
5．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知椭圆 ， 、 分别为它的左右焦点，
、 分别为它的左、右顶点，点 是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．点 到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1
B． 的最小值为
C．若 为直角三角形，则 的面积为
D． 的范围为
6．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，
点 是双曲线 的右支上一点，过点 的直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ，
则（ ）
A． 的最小值为8
学科网（北京）股份有限公司B． 为定值
C．若直线 与双曲线 相切，则点 的纵坐标之积为 ；
D．若直线 经过 ，且与双曲线 交于另一点 ，则 的最小值为 .
三、填空题
7．（2023·辽宁·一模）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 、 ，点
、 在椭圆C上，满足 ， ，若椭圆C的离心率 ，则
实数λ取值范围为 .
8．（21-22高二上·江西抚州·阶段练习）椭圆 与双曲线
有公共焦点 ，设椭圆 与双曲线 在第一象限内交于点
，椭圆 与双曲线 的离心率分别为 为坐标原点， ，则 的
取值范围是 .
9．（2022高二上·全国·专题练习）设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过
的直线 交双曲线左支于 ， 两点，则 的最小值为 ．
四、解答题
1
10．（2024·天津·高考真题）已知椭圆 的离心率为 ．左顶点为 ，
2
学科网（北京）股份有限公司下顶点为 是线段 的中点（O为原点）， 的面积为 ．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点C的动直线与椭圆相交于 两点．在 轴上是否存在点 ，使得 恒成
立．若存在，求出点 纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
11．（2023·广西柳州·二模）已知抛物线 经过点 ，过点 的直线
与抛物线 有两个不同交点 ，且直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 .
(1)求直线 斜率的取值范围；
(2)证明：存在定点 ，使得 ， 且 .
12．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）在平面直角坐标系 中，已知双曲线
经过点 ，点 与点 关于原点对称， 为 上一动点，且 异于
两点.
(1)求 的离心率；
(2)若△ 的重心为 ，点 ，求 的最小值；
(3)若△ 的垂心为 ，求动点 的轨迹方程.
13．（2022·全国·高考真题）设抛物线 的焦点为F，点 ，过F的
直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．
(1)求C的方程；
(2)设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．
当 取得最大值时，求直线AB的方程．
学科网（北京）股份有限公司14．（2024·山东济宁·一模）已知椭圆 ，直线 与椭圆 交于A、B两点，
为坐标原点，且 ， ，垂足为点 ．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)求 面积的取值范围．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C C B CD ACD AB
1．C
【分析】利用韦达定理表示出弦长 和 ，利用基本不等式可求最小
值.
【详解】抛物线 ： 的焦点 ，
因为 ，所以直线 ， 斜率存在，且均不为0.
设直线 的方程为 ， ， ，
由 得 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以将 中的 替换为 可得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号.
故 的最小值是50.
故选:C.
学科网（北京）股份有限公司2．C
【分析】由题意求出点P的轨迹方程，则 可以看成圆 上
动点 与定直线 上动点 的距离，求得其最小值，即可求得答案.
【详解】因为 ， ，动点 满足 ，
则 ，整理得 ，
可以看成圆 上动点 与定直线 上动点 的
距离，
其最小值为圆心 到直线 的距离减去圆的半径2，即 ，
因此， 的最小值是 ，
故选：C.
3．B
【分析】利用点差法可得直线AB的斜率，从而可得AB垂直平分线直线方程，由点P在
AB垂直平分线上，结合AB的中点在椭圆内可解.
【详解】记 中点为 ，则 ，
由题意点 在线段 的中垂线上，
将 坐标代入椭圆方程得
两式相减可得 ，
所以 ，得 ，
所以 的中垂线的方程为 ，令 得 ，
由题意， ，故 ，所以
学科网（北京）股份有限公司所以
故选：B.
4．CD
【分析】对于A：判断出 ，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于B：
利用双曲线的定义直接求得；对于C：先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，
即可得到n所在直线的斜率的范围；对于D：设直线PT的方程为 .利用
相切解得 ，进而求出 .即可求出 .
【详解】对于A：若 ，则 .
因为P在双曲线右支上，所以 .由勾股定理得：
二者联立解得： .故A错误；
对于B：光由 所经过的路程为
.
学科网（北京）股份有限公司故B错误；
对于C：双曲线 的方程为 .设左、右顶点分别为A、B.如图示：
当 与 同向共线时， 的方向为 ，此时k=0，最小.
因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为 .即 .
故C正确.
对于D：设直线PT的方程为 .
，消去y可得： .
其中 ，即 ，解得
代入 ，有 ，解得：x=9.
由P在双曲线右支上，即 ，解得： （ 舍去），所以 .
学科网（北京）股份有限公司所以 .
故D正确
故选：CD
5．ACD
【分析】对于A,利用焦半径的范围求解即可；对于B，利用 位于椭圆上顶点时 最
大求解即可；对于C，利用 点坐标求 的面积即可；对于D，设 利用二次函
数求 的范围即可.
【详解】对A，易知 ，则 ，故A正确；
对B， 位于椭圆上顶点时 最大，
此时 最小，且
故此时 为等边三角形， ，故B错误；
对C，若 为直角三角形，由B知， ，
所以 或 ，不妨设 ，
则此时 点横坐标 ，代入 ，得 ，
故 的面积为： ，故C正确；
对D， ,设
则 ，
由 得： ，
故 ，
学科网（北京）股份有限公司故 ，故D正确.
故选：ACD
6．AB
【分析】设 ，由 ，可判定A正确；化简 ，可
判定B正确；设直线 的方程为 ，联立方程组，结合 ，得到 ，在
化简 ，可判定C不正确；根据通经长和实轴长，可判定D错误.
【详解】由题意，双曲线 ，可得 ，则 ，
所以焦点 ，且 ，
设 ，则 ，且 ，即 ，
双曲线 的两条渐近线的方程为 ，
对于A中，由 ，
所以A正确；
对于B中，
（定值），所以B正确；
对于C中，不妨设 ，直线 的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
若直线 与双曲线 相切，则 ，
整理得 ，
学科网（北京）股份有限公司联立方程组 ，解得 ，即点 的纵坐标为 ，
联立方程组 ，解得 ，即点 的纵坐标为 ，
则点 的纵坐标之积为
所以C不正确；
对于D中，若点 在双曲线的右支上，则通经最短，其中通经长为 ，
若点 在双曲线的左支上，则实轴最短，实轴长为 ，所以D错误.
故选：AB.
7．
【分析】先写出点 、 的坐标，再利用 求得点 的坐标，将点 的坐标代入
椭圆C方程即可化简出实数λ与离心率 的关系，从而得到实数λ取值范围.
【详解】根据题意知 ，由 得 ，
不妨设点 在第一象限，则点 的坐标为 .
由 知 ，且 ，
学科网（北京）股份有限公司从而得到点 的坐标为 .
将点 的坐标代入椭圆C方程得 ，
整理得 ，即 ，
所以 .
又因为 ，所以 ，即实数λ取值范围为 .
故答案为： .
8．
【分析】根据椭圆和双曲线得定义求得 ，再根据 ，可得
，从而有 ，求出 的范围，根据
，结合基本不等式即可
得出答案.
【详解】解：设 ，
则有 ，
所以 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司又因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，则 ，
由 ，得 ，所以 ，所以 ，
则 ，
由 ，得 ，
因为 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
因为 ，所以 ，所以 ，
即 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
学科网（北京）股份有限公司9．22
【分析】由双曲线的定义可得 ， ，据此
，再由 两点的位置特征可得 是双曲线的通径时，
最小，从而可得答案.
【详解】根据双曲线 ，得 ， ，
由双曲线的定义可得： ①，
②，
①+②可得： ，
由于过双曲线的左焦点 的直线交双曲线的左支于 ， 两点，
可得 ，即有 ．
则 ，当 是双曲线的通径时 最小，
故 .
故答案为：22
学科网（北京）股份有限公司10．(1)
(2)存在 ，使得 恒成立.
【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.
（2）设该直线方程为： ， ， 联立直线方程和椭圆方
程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用 表示 ，再根据
可求 的范围.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为 ，故 ， ，其中 为半焦距，
所以 ，故 ，
故 ，所以 ， ，故椭圆方程为： .
（2）
若过点 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为： ，
设 ，
由 可得 ，
故 且
学科网（北京）股份有限公司而 ，
故
，
因为 恒成立，故 ，解得 .
若过点 的动直线的斜率不存在，则 或 ，
此时需 ，两者结合可得 .
综上，存在 ，使得 恒成立.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表
示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.
11．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由抛物线过 可求得抛物线方程，设 ，与抛物线方程联
立，由 可得 的范围，并确定韦达定理结论；根据 可求得 且 ，
学科网（北京）股份有限公司由此可确定 的范围；
（2）易知 在 轴上，设 ，利用向量数乘的坐标运算可得 ， ，
求得 方程后，令 可推导得到 ，同理得到 ，代入 中，整理后代入
韦达定理的结论可构造方程求得 的值，从而确定定点.
【详解】（1） 抛物线 经过点 ， ，解得： ， 抛物线 ；
由题意知：直线 斜率存在，设 ， ， ，
{y=k(x+1)
由 得： ，
x2=4 y
，解得： 或 ；
，x x =-4k， ， ，
1 2
又直线 与 轴相交于 两点，
，
即 ，解得： 且 ；
综上所述：直线 斜率的取值范围为 .
（2）设点 ， ，
由 ， ， 知： 共线，即 在 轴上，
则可设 ， ， ，
， ， ，同理可得： ，
学科网（北京）股份有限公司， 直线 ，
令 得： ，同理可得： ，
， ，
由（1）知： ，x x =-4k，
1 2
，
解得： ，
存在定点 满足题意.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中存在定点满足某条件的问题，求解
此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于 或 的一元二次方程的形式；
②利用 求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式或构造方程；
④化简所得函数式或方程，整理可得定点坐标.
12．(1)
(2)
(3) （去除点 ）.
【分析】（1）将点 代入双曲线的方程求出 值，即可求得 的离心率；
（2）根据三角形的重心公式求得动点 的轨迹方程，根据两点间距离公式求出 的最小
值；
（3）根据 求动点 的轨迹方程.
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）因为双曲线 经过点 ，所以 ，解得 ，
所以 的离心率 ，
（2）易知 .设 .
因为△ 的重心为 ，所以 ,解得 ,
因为 ，所以 ，即 .
因为 不共线，所以 且 ，
所以 的轨迹不含 两点.
故 ，当且仅当 时，等号成立，
即 的最小值为 .
（3）因为 为△ 的垂心，所以 ，
设 ，
当直线 或 的斜率为0时，点 的坐标为 或 ，
此时点 与点 重合，不合题意，舍.
当直线 或 的斜率不为0时，直线 与 的斜率存在，
则 ，
由（2）知 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司则 .
因为 ，所以 ，
，则 ，得 ，
则 ，因为 构成三角形，故 不能在轨迹上，
综上，动点 的轨迹方程为 （去除点 ）.
13．(1) ；
(2) .
【分析】（1）由抛物线的定义可得 ，即可得解；
（2）法一：设点的坐标及直线 ，由韦达定理及斜率公式可得 ，
再由差角的正切公式及基本不等式可得 ，设直线 ，结合韦达定理
可解.
【详解】（1）抛物线的准线为 ，当 与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时 ，所以 ，
所以抛物线C的方程为 ；
学科网（北京）股份有限公司（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式
设 ，直线 ，
由 可得 ， ，
由斜率公式可得 ， ，
直线 ，代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，同理可得 ，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为 ，所以 ，
若要使 最大，则 ，设 ，则
，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 最大时， ，设直线 ，
代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所以直线 .
[方法二]：直线方程点斜式
由题可知，直线MN的斜率存在.
设 ,直线
由 得： ， ,同理， .
直线MD: ,代入抛物线方程可得： ，同理， .
代入抛物线方程可得: ,所以 ，同理可得 ，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使 最大，则 ，
设 ，则 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 最大时， ，设直线 ，
代入抛物线方程可得 ， ，所以 ，所以
直线 .
[方法三]：三点共线
学科网（北京）股份有限公司设 ，
设 ,若 P、M、N三点共线，由
所以 ，化简得 ，
反之，若 ,可得MN过定点
因此，由M、N、F三点共线，得 ，
由M、D、A三点共线，得 ，
由N、D、B三点共线，得 ，
则 ，AB过定点（4,0）
（下同方法一）若要使 最大，则 ，
设 ，则 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 最大时， ，所以直线 .
【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线
的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方
程，是该题的最优解，也是通性通法；
法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；
学科网（北京）股份有限公司法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线 过定点，省去联立过程，
也不失为一种简化运算的好方法．
14．(1)
(2)
【分析】（1）分直线l斜率不存在和存在两种情况进行讨论，结合韦达定理以及向量垂直
的坐标表示即可求得P的轨迹方程；
（2）分直线l斜率不存在和存在两种情况进行讨论，求出弦长|AB|的取值范围，结合面积
公式 即可求得答案.
【详解】（1）①当直线l斜率不存在时，由椭圆的对称性，不妨设直线l在y轴右侧，
直线OA的方程为 ，
由 ，解得 ， ，所以， ，
所以，直线AB的方程为 ，此时 ．
同理，当直线l在y轴左侧时， ．
②当直线l斜率存在时，设直线l的方程为 ，A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
由 消去y整理得， ，
∴ ，且 ， ，
又∵ ，∴ 即： ，
所以， ，
学科网（北京）股份有限公司则 ，
故 ，
所以 满足 ，
所以， ．
综上， ，所以，点P的轨迹方程为 ．
（2）①由（1）可知，当直线l斜率不存在或斜率为0时， ．
②当直线l斜率存在且不为0时，
，
∵ ，∴ ，当且仅当 ，即 等号成立．
∴ ，∴ ，
∴ ，
综上， ．
学科网（北京）股份有限公司【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，注意 的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
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