文档内容
专题 17 圆锥曲线常考压轴小题全归类
【目录】
..............................................................................................................................................2
...............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................4
..............................................................................................................................................5
............................................................................................................................................12
考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线.......................................................................................................................12
考点二：蒙日圆.....................................................................................................................................................15
考点三：阿基米德三角形......................................................................................................................................17
考点四：仿射变换问题..........................................................................................................................................22
考点五：圆锥曲线第二定义..................................................................................................................................24
考点六：焦半径问题..............................................................................................................................................26
考点七：圆锥曲线第三定义..................................................................................................................................28
考点八：定比点差法与点差法..............................................................................................................................29
考点九：切线问题.................................................................................................................................................33
考点十：焦点三角形问题......................................................................................................................................37
考点十一：焦点弦问题..........................................................................................................................................38
考点十二：圆锥曲线与张角问题...........................................................................................................................40
考点十三：圆锥曲线与角平分线问题...................................................................................................................42
考点十四：圆锥曲线与通径问题...........................................................................................................................44
考点十五：圆锥曲线的光学性质问题...................................................................................................................46
考点十六：圆锥曲线与四心问题...........................................................................................................................49圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容．一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆
或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质及应用问题．多以选择、填空题的
形式考查，难度中等．
考点要求 考题统计 考情分析
2023年北京卷第6题，4分 【命题预测】
圆锥曲线的定义 2022年I卷第11题，5分 预测2024年高考，多以小题
2021年I卷第5题，5分 形式出现，也有可能会将其
渗透在解答题的表达之中，
2023年I卷第6题，5分
相对独立．具体估计为：
圆问题 2023年乙卷第12题，5分
（1）以选择题或填空题形式
2023年乙卷第11题，5分
出现，考查数学抽象、数学
2023年甲卷第12题，5分 建模、逻辑推理与数学运算
四大核心素养．
焦点三角形 2023年甲卷第7题，5分
（2）热点是圆锥曲线的三定
2021年I卷第5题，5分
义与性质.
1、在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据定义判定轨迹
曲线并写出方程．有时还要注意轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量 或
进行限制．
2、应用圆锥曲线的定义时，要注意定义中的限制条件．在椭圆的定义中，要求 ；在双曲线的定
义中，要求 ；在抛物线的定义中，定直线不经过定点．此外，通过到定点和到定直线的距离之
比为定值可将三种曲线统一在一起，称为圆锥曲线．
3、圆锥曲线定义的应用主要有：求标准方程，将定义和余弦定理等结合使用，研究焦点三角形的周长、面积，求弦长、最值和离心率等．
4、用解析法研究圆锥曲线的几何性质是通过方程进行讨论的，再通过方程来研究圆锥曲线的几何性质．
不仅要能由方程研究曲线的几何性质，还要能运用儿何性质解决有关问题，如利用坐标范围构造函数或不
等关系等．
x2 y2
+ =1(a>b>0)
5、椭圆a2 b2
焦点为
F
1，
F
2，P为椭圆上的点，
∠F
1
PF
2
=θ
，则
sinθ θ
S =b2 ¿ =b2tan
ΔF 1 PF 2 1+cosθ 2
x2 y2
− =1(a>0，b>0)
a2 b2 的焦点为F、F，B为双曲线上的点， ∠F 1 BF 2 =α ，则
1 2
6、双曲线
sinα b2
S =b2 ¿ =
△F 1 BF 2 1−cosa tan α
2 ．
7、椭圆焦半径
椭圆上的点到焦点的距离；设 为椭圆上的一点，
①焦点在 轴：焦半径 (左加右减)；② 焦点在 轴：焦半径 (上加下减)．
8、双曲线焦半径
设 为双曲线上的一点，
①焦点在 轴： 在左支 ， 在右支 ；
②焦点在 轴： 在下支 ， 在上支 ．
9、设 、 是椭圆 的两个焦点，O 是椭圆的中心，P 是椭圆上任意一点，
∠F PF =θ
1 2 ，则 ．
10、设 、 是双曲线 的两个焦点，O是双曲线的中心，P是双曲线上任意一点，
∠F PF =θ
1 2 ，则 ．
11、等轴双曲线满足： ；
12、若椭圆（双曲线）与直线 交于 两点，其中 ， ， ，为 中点，
（椭圆）； （双曲线）1．（2023•北京）已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，若 到直线 的距离为5，则
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】
【解析】如图所示，因为点 到直线 的距离 ，
点 到直线 的距离 ．
由方程 可知， 是抛物线的准线，
又抛物线上点 到准线 的距离和到焦点 的距离相等，
故 ．
故选： ．
【点评】本题考查了抛物线定义的应用，属简单题．
2．（2023•新高考Ⅰ）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则
A．1 B． C． D．
【答案】
【解析】圆 可化为 ，则圆心 ，半径为 ；
设 ，切线为 、 ，则 ，
中， ，所以 ，
所以 ．
故选： ．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，也考查了三角函数求值问题，是基础题．
3．（2023•甲卷）已知椭圆 ， ， 为两个焦点， 为原点， 为椭圆上一点，
，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】椭圆 ， ， 为两个焦点， ，
为原点， 为椭圆上一点， ，
设 ， ，不妨 ，
可得 ， ，即 ，可得 ， ，
，
可得
．
可得 ．故选： ．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，向量的数量积以及余弦定理的应用，是中档题．
4．（2023•乙卷）已知 的半径为1，直线 与 相切于点 ，直线 与 交于 ， 两点，
为 的中点，若 ，则 的最大值为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图，设 ，则 ，
根据题意可得： ，
，又 ，
当 ， ， 时，
取得最大值 ．
故选： ．
【点评】本题考查向量数量积的最值的求解，函数思想，属中档题．
5．（2023•乙卷）已知实数 ， 满足 ，则 的最大值是
A． B．4 C． D．7
【答案】
【解析】根据题意， ，即 ，其几何意义是以 为圆心，半径为3的圆，
设 ，变形可得 ，其几何意义为直线 ，
直线 与圆 有公共点，则有 ，解可得 ，
故 的最大值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的一般方程，属于基础题．
6．（2023•新高考Ⅱ）已知椭圆 的左焦点和右焦点分别为 和 ，直线 与 交于
点 ， 两点，若△ 面积是△ 面积的两倍，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】记直线 与 轴交于 ，
椭圆 的左，右焦点分别为 ， ， ， ，
由△ 面积是△ 的2倍，可得 ，
，解得 或 ，
或 ， 或 ，
联立 可得， ，
直线 与 相交，所以△ ，解得 ，
不符合题意，
故 ．
故选： ．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
7．（2023•甲卷）设 ， 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若 ，则
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】【解析】根据题意，点 在椭圆上，满足 ，可得 ，
又由椭圆 ，其中 ，
则有 ， ，
可得 ，
故选： ．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及勾股定理与三角形的面积，关键是掌握椭圆的几何性质．
8．（2021•新高考Ⅰ）已知 ， 是椭圆 的两个焦点，点 在 上，则 的最
大值为
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】
【解析】 ， 是椭圆 的两个焦点，点 在 上， ，
所以 ，当且仅当 时，取等号，
所以 的最大值为9．
故选： ．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题．
9．（多选题）（2022•新高考Ⅰ）已知 为坐标原点，点 在抛物线 上，过点
的直线交 于 ， 两点，则
A． 的准线为 B．直线 与 相切
C． D．
【答案】
【解析】 点 在抛物线 上，
，解得 ，
抛物线 的方程为 ，准线方程为 ，选项 错误；
由于 ， ，则 ，直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，解得 ，故直线 与抛物线 相切，选项 正确；
根据对称性及选项 的分析，不妨设过点 的直线方程为 ，与抛物线在第一象限交于 ，， ， ，
联 立 ， 消 去 并 整 理 可 得 ， 则 ， ，
，
，由于等号在
时才能取到，故等号不成立，选项 正确；
，选项 正
确．
故选： ．
【点评】本题考查抛物线方程的求解，直线与抛物线位置关系的综合运用，同时还涉及了两点间的距离公
式以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
10．（2022•全国）已知 为坐标原点，点 在圆 上，则 的最小值为 ．
【答案】2．
【解析】如图，
令 ， ，得 ， ，即 ，
，
则当 时， 有最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查圆的应用，考查圆的参数方程，考查运算求解能力，是基础题．
11．（2021•新高考Ⅰ）已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ， 为 上一点，
与 轴垂直， 为 轴上一点，且 ．若 ，则 的准线方程为 ．
【答案】 ．
【解析】法一：由题意，不妨设 在第一象限，则 ， ， ， ．所以 ，所以 的方程为： ，
时， ，
，所以 ，解得 ，
所以抛物线的准线方程为： ．
法二：根据射影定理，可得 ，可得 ，解得 ，
因此，抛物线的准线方程为： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线
【例1】（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知平面上两定点A，B，则所有满足 （
且 ）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为 的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿
波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知动点P在棱长为6的正方体 的一个侧面 上运动，
且满足 ，则点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在图1中，以B为原点建立平面直角坐标系 ，如图2所示，
设阿氏圆圆心为 ，半径为r.因为 ，所以 ，
所以 .设圆O与AB交于点M.由阿氏圆性质，知 .
又 ，所以 .又 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以点P在空间内的轨迹为以O为球心，半径为4的球.
当点P在侧面 内部时，如图2所示，截面圆与 ， 分别交于点M，R，
所以点P在侧面 内的轨迹为 .
因为在 中， ， ，所以 ，
所以 ，所以点P在侧面 内部的轨迹长为 .
故选：B.
【变式1-1】（2024·新疆乌鲁木齐·统考）希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“平面内到两个定点 的距离
之比为定值 的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿
氏圆.已知在平面直角坐标系 中，点 ， ，若点 是满足 的阿氏圆上的任意一
点，点 为抛物线 上的动点， 在直线 上的射影为 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 ，
化简整理得 ，所以点 的轨迹为以 为圆心1为半径的圆，
抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
则
，
当且仅当 （ 两点在 两点中间）四点共线时取等号，
所以 的最小值为 .
故选：B.
【变式1-2】（2024·陕西·统考模拟预测）阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平
面内到两定点距离之比为常数 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点
A，B间的距离为2，动点P满足 ，则 面积的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】设经过点A，B的直线为x轴， 的方向为x轴正方向，线段AB的垂直平分线为y轴，线段AB
的中点O为原点，建立平面直角坐标系.则 ， ．设 ，∵ ，∴ ，
两边平方并整理得 ，即 ．
要使 的面积最大，只需点P到AB（x轴）的距离最大时，
此时面积为 ．
故选：C.
【变式1-3】（2024·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为
亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲
线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点 与两定点 ， 的距离之比为
，那么点 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点 与两定点 ， 的距离之比为
时的阿波罗尼斯圆为 ．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆 上的动
点 和定点 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，点M在圆 上，取点 ，连接 ，有 ，
当点 不共线时， ，又 ，因此 ∽ ，
则有 ，当点 共线时，有 ，则 ，
因此 ，当且仅当点M是线段BN与圆O的交点时取
等号，
所以 的最小值为 .
故选：C考点二：蒙日圆
【例2】（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，离心
率为 ，其蒙日圆方程为 ，M为蒙日圆上的一个动点，过点 作椭圆 的两条切线，与蒙
日圆分别交于P，Q两点，若 面积的最大值为36，则椭圆 的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令椭圆 的半焦距为c，
由椭圆 的离心率 ，得 ， ，
因此椭圆 的蒙日圆方程为 ，由蒙日圆的性质得 ，
于是线段PQ是圆 的直径，即 ，
则 面积的最大值为 ，即 ， ，
所以椭圆 的长轴长为 .
故选：B
【变式2-1】（2024·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考）19世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，
创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，
则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆 的蒙日圆方程为
.若圆 与椭圆 的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，椭圆 的蒙日圆的半径 ，
所以椭圆 的蒙日圆的方程为： ，
因为圆 与椭圆 的蒙日圆有且仅有一个公共点，可得两圆外切，所以 ，解得 .
故选：B.
【变式2-2】（2024·贵州毕节·校考模拟预测）加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他
在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，
这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形 的四边均与椭圆 相切，则下列说法错误的是（ ）
A．椭圆 的离心率为 B．椭圆 的蒙日圆方程为
C．若 为正方形，则 的边长为 D．长方形 的面积的最大值为18
【答案】D
【解析】由椭圆方程知 ， ，则 ，离心率为 ，A正确；
当长方形 的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为 和4，其对角线长为 ，因此
蒙日圆半径为 ，圆方程为 ，B正确；
设矩形的边长分别为 ，因此 ，即 ，当且仅当 时取等号，所以长方形
的面积的最大值是20，此时该长方形 为正方形，边长为 ，C正确，D错误．
故选：D．
考点三：阿基米德三角形
【例3】（多选题）（2024·湖南长沙·高三周南中学校考阶段练习） 为抛物线 的弦，
， 分别过 作的抛物线的切线交于点 ，称 为阿基米德三角形，弦
为阿基米德三角形的底边.若弦 过焦点 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．底边 的直线方程为 ；
C． 是直角三角形；
D． 面积的最小值为 .【答案】ABC
【解析】依题意设 ， ，由方程 ，可得 ，则 ，
由导数的几何意义知，直线 的斜率为 ，同理直线 的斜率为 ，
可得A处的切线方程为： ，即 ，
化简可得 ，所以直线 的方程为 ，
同理可得：直线BM的方程为 ，所以 ，
则 ，
因为 ，解得 ，即 ，所以A正确；
因点 在直线 上，
可得 ， ，
即 在 上， 在 上，
所以底边 的直线方程为 ，所以B正确；
设直线 ，联立方程组 ，整理得 ，
则 且 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 是直角三角形，所以C正确；
取 的中点 ，连接 ，根据抛物线的定义，可得 平行 轴，
所以
因为 ， ，所以 ，，
代入可得 ，
当 时， ，所以D不正确.
故选：ABC.
【变式3-1】（多选题）（2024·湖南长沙·长沙市实验中学校考）过抛物线C： （ ）的焦点F
的直线与抛物线C相交于A，B两点，以A，B为切点作抛物线C的两条切线 ， ，设 ， 的交点为
M，称 AMB为阿基米德三角形.则关于阿基米德三角形AMB，下列说法正确的有（ ）
A． AMB是直角三角形
△
B．顶点M的轨迹是抛物线C的准线
△
C．MF是 AMB的高线
D． AMB△面积的最小值为
【答案】△ABC
【解析】设 ， ， ， ，由 可得： ， ，
由导数的几何意义知，直线 的斜率为 ，同理直线 的斜率为 ，
设直线 ，联立 ，化为 ，
得到 ， ．
对于A， ，
，所以 AMB是直角三角形，故A正确；
△
对于B，由导数的几何意义可得 处的切线方程为： ，
则 ，化简可得： ，
所以直线 的方程为： ，
同理可得：直线 的方程为： ，
所以 ，则 ，
因为 ，解得： ，
所以 ，
所以 ，因为抛物线C： 的准线为 ，
所以顶点M的轨迹是抛物线C的准线，且取 的中点 ，
连接 ， 平行 轴，故B正确；
对于C， ， ，所以
所以MF是 AMB的高线，故C正确；
对于D，因为 平行 轴，所以
△
因为 ， ．
所以 ，
，
代入可得： ，当 时， ，故D不正确.
故选：ABC.
【变式3-2】（多选题）（2024·山东·模拟预测）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为
阿基米德三角形.设抛物线 ，弦 过焦点 为其阿基米德三角形，则下列结论一定
成立的是（ ）
A．存在点 ，使得
B．
C．对于任意的点 ，必有向量 与向量 共线
D． 面积的最小值为
【答案】BCD
【解析】
设 ， ，设直线 ，
联立 ，化为 ，而 ，
所以 .
设过点 的切线为 ，
联立 ，整理可得 ，由 ，可得 .
同理可得过点 的切线斜率为 .
对于A， ， ， ，故A错；
对于B，可得点A ，B处的切线方程分别为： ，
可得 ,
又因为直线AB的斜率为 ， ，
又由A选项可知 ，所以 ，所以 ，
，故B正确；
对于C，设AB的中点为 ，则由 轴，
而向量 ， 向量 与向量 共线，故C正确；
对于D，如图，设准线与 轴的交点为 ，
面积的 ，可知当 最短时（最短为 ）， 也最短，
最短为 ，所以 面积的最小值为 ，故D正确.
故选：BCD.
考点四：仿射变换问题
【例4】（2024·全国·高三专题练习）过椭圆 的右焦点F的直线与椭圆交于A，B两点，则
面积最大值为 .
【答案】 /
【解析】作变换 之后椭圆变为圆，方程为 ， ，由于 ，因此 时面积最大，
此时 ，
那么 ，
故答案为：
【变式4-1】（2024·全国·高三专题练习）已知直线l与椭圆 交于M，N两点，当
， 面积最大，并且最大值为 .记 ，当 面积最大时， ﹐
.Р是椭圆上一点， ，当 面积最大时， .
【答案】 4 2 1
【解析】作变换 此时椭圆变为圆，方程为 ，
当 时， 最大，并且最大为 ，
此时 ， .
由于 ， ，
∴ ，
，
因为 ，所以
.
故答案为： ； ；4；2；1.
【变式4-2】（2024·全国·高三专题练习）已知A，B，C分别是椭圆 上的三个动点，则 面
积最大值为 .
【答案】 /4.5【解析】作变换 之后椭圆变为圆，方程为 ，
是圆的内接三角形，设 的半径为 ，
设 所对应边长为 ，所以
，当且仅当 时取等，
因为 在 上为凸函数，则 ，
，当且仅当
时取等，
所以圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，因此 ，又因为 ，
∴ .
故答案为： .
考点五：圆锥曲线第二定义
【例5】（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考）已知椭圆 ： 的短轴长为2，上顶点为 ，左
顶点为 ， ， 分别是 的左、右焦点，且 的面积为 ，点 为 上的任意一点，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知的 ，故 .∵ 的面积为 ，∴ ，∴ .又∵ ，
∴ ， ，∴ ，
又 ，∴ ，
∴ .∴ 的取值范围为 .
故选：D.
【变式5-1】（2024·广东广州·统考）已知F为抛物线C： 的焦点，过点F的直线l与C相交于A，
B两点，且 ，则
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为
设 ， ，则
， ，
， ， ， ，
．
故选B．
【变式5-2】（2024·福建漳州·高二福建省华安县第一中学校考阶段练习）过椭圆 的左焦点F
作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，得 ， ， ，左焦点为 ．
则过左焦点F，倾斜角为60°直线l的方程为 ．代入 ，得 ，
设 ， ，则 ， ，又 ，
根据弦长公式得： ，
且 ，
∴ ，
故选：A．
考点六：焦半径问题
【例6】（2024·全国·高三专题练习）已知点 是双曲线 上的动点， ， 为该双曲线的左右焦
点， 为坐标原点，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】由双曲线的对称性，假设 在右支上，即 ，
由 到 的距离为 ，而 ，
所以 ，
综上， ，同理 ，则 ，
对于双曲线 ，有 且 ，
所以 ，而 ，即 .
故选：D
【变式6-1】（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线 的右支上的点 ， 满足， 分别是双曲线的左右焦点），则 为双曲线 的半焦距）的取值范围是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】B
【解析】由双曲线的第二定义可知 ， ，
右支上的点 ， 满足 ，
由 ，解得 ，
在右支上，可得 ，可得 ，即 ，则 ，
令 ， ，可得
而 在 ， 单调递减， ， ， ，
故选：B
【变式6-2】（2024·江苏·高二专题练习）已知 为抛物线 的焦点，过 作两条互相垂直的直线
， ，直线 与 交于 ， 两点，直线 与 交于 ， 两点，则当 取得最小值时，四边
形 的面积为（ ）
A．32 B．16 C．24 D．8
【答案】A
【解析】因为 ，要使 最小，而 ，
由抛物线的对称性可得 与 ， 与 关于 轴对称，所以可得直线 的斜率为1，又过抛物线的焦点
，
所以直线 的方程为： ，
，整理可得 ， ， ，
所以可得 ，
所以 ．
故选： ．考点七：圆锥曲线第三定义
【例7】（江苏省南京市中华中学2023-2024学年高二下学期初数学试题）椭圆 ： 的左、右顶
点分别为 ， ，点 在 上且直线 的斜率的取值范围是 ，那么直线 斜率的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，椭圆 ： 的左、右顶点分别为 ，
设 ，则 ，
又由 ，可得 ，
因为 ，即 ，可得 ，
所以直线 斜率的取值范围 .
故选：A.
【变式7-1】（2024·全国·高三专题练习）椭圆 的左、右顶点分别为 、 ，点 在 上，
且直线 的斜率为 ，则直线 斜率为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B【解析】 椭圆 的左、右顶点分别为 、 ，
点坐标为 ， 点坐标为 ，
又 直线 的斜率为 ，
直线 的方程为： ，
代入椭圆 方程可得： ，
设 点坐标为 ，则 ，解得 ， ，
故直线 斜率 ，
故选:B．
【变式7-2】（2024·安徽六安·高三六安一中阶段练习）已知 为双曲线 上不同三点，且满
足 （ 为坐标原点），直线 的斜率记为 ，则 的最小值为
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【解析】由 有点 为线段 的中点,设 ,则 ,所以
,故 ,由于点A,B,P在双曲线上,所以
,代入上式中,有 ,所以 ,故最小值为
4.选B.
考点八：定比点差法与点差法
【例8】已知点P(0，1)，椭圆 (m>1)上两点A，B满足 ，则当m= 时，点
B横坐标的绝对值最大．
【答案】5
【解析】［方法一］：点差法＋二次函数性质
设 ，由 得因为A,B在椭圆上,所以 ，即 ，与
相减得： ，所以，
，当且仅当 时取最等号，即 时，点B横坐标的绝对值
最大.
故答案为：5．
［方法二］：【通性通法】设线＋韦达定理
由条件知直线 的斜率存在，设 ，直线 的方程为 ，联立
得 ，根据韦达定理得 ，由 知 ，
代入上式解得 ，所以 ．此时 ，又
，解得 ．
［方法三］：直线的参数方程+基本不等式
设直线 的参数方程为 其中t为参数， 为直线 的倾斜角，将其代入椭圆方程中化简得
，设点A，B对应的参数分别为 ，则 ．由韦达定理知
，解得 ，所以
，此时
，即 ，代入 ，解得 ．
［方法四］：直接硬算求解+二次函数性质
设 ，因为 ，所以 ．
即 ①， ②，
又因为 ，所以 ．
不妨设 ，因此 ，代入②式可得 ．化简整理得．
由此可知，当 时，上式有最大值16，即点B横坐标的绝对值有最大值2．
所以 ．
［方法五］：【最优解】仿射变换
如图1，作如下仿射变换 ，则 为一个圆．
根据仿射变换的性质，点B的横坐标的绝对值最大，等价于点 的横坐标的绝对值最大，则
．
当 时等号成立，根据 易得 ，此时 ．
［方法六］：中点弦性质的应用
设 ，由 可知 ，则 中点 ．因为 ，所以
，整理得 ，由于 ，则 时， ，所以 ．
【整体点评】方法一：由题意中点 的坐标关系，以及点差法可求出点 的横、纵坐标，从而可以根据
二次函数的性质解出；
方法二：常规设线，通过联立，根据韦达定理以及题目条件求出点 的横坐标，然后利用基本不等式求出
最值，由取等条件得解，是该题的通性通法；
方法三：利用直线的参数方程与椭圆方程联立，根据参数的几何意义，解得点 的横坐标，再利用基本不
等式求出最值，由取等条件得解；
方法四：利用题目条件硬算求出点 的横坐标，再根据二次函数的性质解出；
方法五：根据仿射变换，利用圆的几何性质结合平面几何知识转化，求出对应点的横坐标的绝对值最大，
从而解出，计算难度小，是该题的最优解；
方法六：利用中点弦的性质找出点 的横、纵坐标关系，再根据关系式自身特征求出点 的横坐标的绝对
值的最大值，从而解出，计算量小，也是不错的方法．【变式8-1】（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知椭圆 ，点 为椭圆外一点，
斜率为 的直线与椭圆交于 ， 两点，过点 作直线 ， 分别交椭圆于 ， 两点．当直线 的
斜率为 时，此椭圆的离心率为 ．
【答案】
【解析】如图所示：
设直线AB过原点O，由题意得 ，
设 ，CD的中点为 ，则 ，
因为C，D在椭圆上，
所以 ，两式相减得 ，
所以 ，
因为O，M，P三点共线，
所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，
故答案为：【变式8-2】（2024·浙江·校联考）过点 的直线 与椭圆 交于点 和 ，且 .点
满足 ，若 为坐标原点，则 的最小值为 ．
【答案】 .
【解析】设 ， ， 则
于是 ，同理 ，
于是我们可以得到
.
即 ，所以Q点的轨迹是直线， 即为原点到直线的距离，
所以
考点九：切线问题
【例9】（2024·山东济南·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知椭圆 ，过C中
心的直线交C于M，N两点，点P在x轴上其横坐标是点M横坐标的3倍，直线NP交C于点Q，若直线
QM恰好是以MN为直径的圆的切线，则C的离心率为 ．
【答案】
【解析】
设 ， ，则 ， ，
设 、 、 ，分别为直线 、 、 的斜率，
则 ， ， ，
因直线 是以 为直径的圆的切线所以 ， ，
所以 ，
又 在直线 上，所以 ，
因 、 在 上，
所以 ， ，
两式相减得 ，
整理得 ，
故 ，即 ，
，
故 .
故答案为：
【变式9-1】（2024·浙江台州·统考）抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反
射后，反射光线平行于抛物线的轴．过抛物线 ： 上的点 （不为原点）作 的切线 ，过坐标原
点 作 ，垂足为 ，直线 （ 为抛物线的焦点）与直线 交于点 ，点 ，则 的取
值范围是 ．
【答案】
【解析】因为点 为抛物线 ： 上的点（不为原点），
所以可设点 ，且
当切线 的斜率不存在时，切点 为原点不合题意；
当切线 的斜率存在时，可设为 ，
联立 ，消去 可得 ，化简可得 ，
令 ，可得 ，
化简可得 ，即 ，
又 ，所以 的斜率 ，
所以 的方程 ，
因为点 ，
所以 的斜率为 ，
则 的方程为 ，
联立 ，解得 ，
即 ，
当 时， 的方程为 ， 的方程
则 或 ，满足
由 两式相除可得 ，即
由 ，可得
再代入 ，可得 ，
化简可得 ，可得 ，
可知点 轨迹为半径为 的圆，圆心为 ,结合图形可知 ，
又 ， ，
则 .
故答案为：
【变式9-2】（2024·全国·高三专题练习）设抛物线 ，M为直线 上任意一点，过M
引抛物线的切线，切点分别为A，B，记A，B，M的横坐标分别为 ，则下列关系：①
；② ；③ .其中正确的是 (填序号)．
【答案】①
【解析】由 ，得 ，求导得 ，则切线 的斜率分别为 ，而 ，
于是直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
因此 ，则 ，而 ，从而 ，①正确；
，即 ，②错误；
当 时，③无意义，
当 时， ，③错误，
所以正确命题的序号是①.
故答案为：①考点十：焦点三角形问题
【例10】（2024·全国·高三专题练习）已知 、 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆
上的一点，若 ，且 的面积为 ，则
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】B
【解析】设 ， ，
则由椭圆的定义可得： ①
在△ 中 ，
所以 ②，
由① ②得
即
所以 ，
．
故选： B．
【变式10-1】（2024·云南·高二云南省下关第一中学校考期末）已知 ， 是椭圆
的两个焦点，P为椭圆C上一点，且 ，若 的面积为 ，则 （ ）
A．9 B．3 C．4 D．8
【答案】B
【解析】法一：设 ， ，则 ，
，∴ ．
又 ，∴ ，解得 ．
法二：由焦点三角形面积公式得
故选：B
【变式10-2】（2024·江西赣州·高二校联考期末）已知椭圆 上一动点P到两个焦点F，F 的距离
1 2之积为q，则q取最大值时， 的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】根据椭圆定义， ，则 ，当且
仅当 时取“=”，
此时三角形是等腰三角形，易知 ，所以 的面积为
故选：B.
考点十一：焦点弦问题
【例11】（2024·安徽安庆·高三校联考阶段练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为
， ，过 的直线与双曲线的左、右两支分别交于 ， 两点，若 为边长为4的等边三角形，
则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
因为 ，所以 ， ，
∴ .
故选：A【变式11-1】（2024·高二课时练习）已知双曲线 的右焦点为 ， 是双曲线 的左支上一点，
，则 的周长的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设双曲线 的左焦点为 ，则 ．由题可知 ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， 的周长为 ．
∵当 ， ， 三点共线时， 最小，最小值为 ，
∴ 的周长的最小值为 ．
故选：A
【变式11-2】（2024·四川遂宁·统考）过抛物线 的焦点 作直线交抛物线于 ， 两点（
， 的横坐标不相等），弦 的垂直平分线交 轴于点 ，若 ，则 （ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】D
【解析】设 ， ，弦 的中点为 ， ，
则 ，
所以 ，所以 ，
则 ，
所以弦 的垂直平分线为 ．
令 ，则 ，所以 ．
又 ，
所以 ．
故选：D．考点十二：圆锥曲线与张角问题
【例12】（2024·湖南·高三校联考期末）设 是椭圆 的两个焦点，若 上存在点 满足
，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】① 时， 上存在点 满足 ，
设 为椭圆短轴端点，
当 位于短轴的端点时， 取最大值，
要使椭圆 上存在点 满足 则 ， ，
，解得 ；
②当椭圆的焦点在 轴上时， ，同理可得 ；
的取值范围是 .
故选：A.
【变式12-1】（2024·河北衡水·河北衡水中学校考）已知 ， 为椭圆 ： 的两个焦点，
若 上存在点 满足 ，则实数 取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当焦点在 轴上时， ， ， ，
当 为上下顶点时， 最大，
因为 坐标， ， ，所以 ，
即 ，解得 ；
当焦点在 轴上时， ， ， ，
当 为左右顶点时， 最大，因为 ， ， ，所以 ，即 ，解得 ，
故选：C.
【变式12-2】（2024·湖南常德·统考）定义：点 为曲线 外的一点， 为 上的两个动点，则
取最大值时， 叫点 对曲线 的张角.已知点 为抛物线 上的动点，设 对圆
的张角为 ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】如图， ，
要使 最小，则 最大，即需 最小.
设 ，则 ，
∴当 ，即 时， ， ，
此时 或 ， .
故答案为： .
考点十三：圆锥曲线与角平分线问题
【例13】（2024·河北·石家庄一中校联考模拟预测）已知双曲线 ： 的左、右焦点
分别为 ， ，其右支上有一点 满足 ，过点 向 的平分线引垂线交于点 ，若
，则双曲线 的离心率 .【答案】
【解析】
延长 交 于点 ，
因为 ，则 ，
因为 ，
所以 ，则 ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 .
故答案为：
【变式13-1】（2024·江苏苏州·校联考模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，
是 上异于顶点的一点， 为坐标原点， 为线段 的中点， 的平分线与直线 交于点 ，当
四边形 的面积为 时， ．
【答案】
【解析】
由题可知 ， ．因为 平分 ，所以 到 ， 的距离相等，
设为 ，则 ．
易知 是 的中位线，延长 ， 交于点 ，则 为 的中点，
过 作 于 ，
易得 ，则 ，从而 ．
故答案为：
【变式13-2】（2024·福建龙岩·统考）已知抛物线 ，直线 过点 且与 相交于 ， 两
点，若 的平分线过点 ，则直线 的斜率为 ．
【答案】
【解析】设直线 的方程为 ，即 ，
设直线 ， 的方程分别为 ， ，即 ， ，
设 ， ，
的平分线过点 ， ，
整理得： ， ，
，则 ，即 ，
由 ，得 ，
， ．
又 ， ，解得： 或 （舍去）.
故答案为： .考点十四：圆锥曲线与通径问题
【例14】（2024·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）过抛物线 的焦点 的直线与 交
于 两点，且 ， 的准线 与 轴交于 ， 的面积为 ，则 的通径长为 .
【答案】
【解析】设直线方程为 ，与抛物线方程 联立，根据 ，即 ，结合韦达
定理求得 ，再根据 的面积为 ，由 求解.设
过抛物线的焦点 的直线方程为 ，
与抛物线方程 联立得： ，
设 ，
由根与系数的关系得： ，
又因为 ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
即 ，
解得 ，
所以 ，
所以 的通径长为8
故答案为：8
【变式14-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点
分别为 过 的通径 （过焦点垂直于长轴的弦叫做通径），则 的内切圆方程为
.
【答案】
【解析】先求出 ， ， ，求出 ， ，进而可以求出 的周长 和面积 ，设 的内切圆半径为 ，由 即可求出 ，利用 坐标和半径即可以求出圆心坐标，
从而得出圆的方程.
设 的内切圆半径为 ，由椭圆的方程知： ， ，
则 ，因为 垂直于 轴，
所以 ， ，
解得： ， ，
的周长为 ，
其面积为： ，
由内切圆的性质得： ，即 ，解得： ，
圆心横坐标为： ，所以圆心坐标为 ，
所以所求圆的方程为： ，
故答案为：
【变式14-2】已知 ， 是椭圆C的焦点，过F 且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，
2
且 ，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】由题意，设椭圆方程为 ，
将 代入椭圆方程得 ，由此求得 ，
所以 ，
又 ， ，可解得 ， ，
所以椭圆C的方程为 .
故选：C.
考点十五：圆锥曲线的光学性质问题
【例15】（2024·河南郑州·高三河南省新郑市第一中学校考阶段练习）双曲线的光学性质为：从双曲线的
一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．如图： 为双
曲线 的左，右焦点，若从右焦点 发出的光线在 上的点 处反射后射出（
共线），且 ，则 的离心率为 .
【答案】
【解析】由题意可知 在双曲线的右支上，
因为 ，则 关于x轴对称，
所以 轴，
又 ，所以 ， ，
由双曲线定义可得 ，即 ，
故 ，
故答案为：【变式15-1】（2024·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，
经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C： ， 为其
左、右焦点．M是C上的动点，点 ，若 的最大值为6.动直线l为此椭圆C的切线，右
焦点 关于直线l的对称点 ， ，则椭圆C的离心率为 ；S的取值范围为
．
【答案】
【解析】根据椭圆定义得： ，
所以 ，
因为 的最大值为6， ，所以 ，即 ，
解得 ，所以离心率为 ；
右焦点 关于直线l的对称点 ，
设切点为A，由椭圆的光学性质可得： 三点共线，
所以 ，
即点 的轨迹是以 为圆心，半径为4的圆，
圆心 到直线 的距离为 ，
则圆上的点到直线3x＋4y－24＝0的距离最小值为 ，最大值为 ，
所以点 到直线 的距离为 ，
所以 表示点 到直线 的距离的5倍，
则 ，即 .
故答案为：① # ；② .
【变式15-2】（2024·广西玉林·高三校联考开学考试）双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点
发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点 . 我国首先研制成功的“双曲线新闻
灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为
， 为其左右焦点，若从右焦点 发出的光线经双曲线上的点A和点 反射后，满足， ，则该双曲线的离心率为 .
【答案】
【解析】
由题可知 共线， 共线，
如图，设 ，则 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，所以 ，
又因为 ， ，所以 ，
所以 ，得 ，则 ，
又 ，且 ，所以 ，
化简得 ，所以 .
故答案为： .
考点十六：圆锥曲线与四心问题
【例16】（2024·四川成都·模拟预测）已知 、 分别为双曲线 的左、右焦点，且，点 为双曲线右支上一点， 为 内心，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示：
由题意 为 内心，
设 ， ， ， 内切圆半径为 ，
所以 ，又因为 ，
即 ，
化简得 ，
由双曲线定义可知 ，因此有 ；
注意到 ，且 以及 ，
联立并化简得 ，即 ，
解得 或 （舍去，因为 ）
故选：C
【变式16-1】（2024·广西·统考）已知点A，B在抛物线 上，O为坐标原点，若 ，且
的垂心恰好是此抛物线的焦点F，则直线AB的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示， 为 的垂心， 为焦点，
， 垂直平分线段 ， 直线 垂直于 轴．
设 ， ，其中 ，为垂心， ， ，
即 ，解得 ，
直线 的方程为 ，即 ．
故选：D．
【变式16-2】（2024·浙江台州·高三台州一中校考开学考试）已知 是双曲线 的左､
右焦点，过点 且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于A，B两点，则坐标原点O可能为
的（ ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
【答案】A
【解析】根据三角形四种心的性质，即可得答案；对B，若O为 的内心，则 到直线 的距离等于
，显然不可能， 到直线 的距离恒小于 ，故B错误；
对C，若O为 的外心，则 ， ，和已知矛盾，故B错误；
对D，若O为 的重心，则 ，这也显然错误，故C错误；
根据排除法，O可能为 的垂心，
故选：A.
