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2025二轮复习专项训练26
直线与圆锥曲线的位置关系
[考情分析] 直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问
题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查，难度
为高档．
【练前疑难讲解】
一、弦长、面积问题
判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断．
弦长公式：|AB|＝|x－x|，
1 2
或|AB|＝|y－y|.
1 2
二、中点弦问题
解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法
1．根与系数的关系法：联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，
由根与系数的关系及中点坐标公式求解．
2．点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x ，y)，B(x ，y)，将这两点坐
1 1 2 2
标代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦 AB的中点和直线AB的斜率有
关的式子，可以大大减少计算量．
三、圆锥曲线中二级结论的应用
1．椭圆焦点三角形面积为b2tan (α为|FF|的对角)．
1 2
2．双曲线焦点三角形面积为(α为|FF|的对角)．
1 2
3．抛物线的有关性质：已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交
于两点A(x，y)，B(x，y)，则
1 1 2 2
(1)|AB|＝x＋x＋p＝(α为直线l的倾斜角)．
1 2
(2)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
(3)＋＝.
一、单选题
1．（22-23高三上·湖北武汉·期末）已知A是椭圆 ： 的上顶点，点
， 是 上异于A的两点， 是以A为直角顶点的等腰直角三角形.若满足条件的
有且仅有1个，则椭圆 离心率的取值范围是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
2．（21-22高二上·天津和平·期末）双曲线 的两个焦点分别是 ，点 是双
曲线上一点且满足 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（21-22高二上·安徽淮北·期中）已知椭圆 的右焦点 与抛物线
的焦点重合，过点 的直线交 于 、 两点， 若 的中点坐标为 ，则
的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点 在抛物线 上，
过点 的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
5．（2023·云南昆明·模拟预测）在直角坐标系 中，已知抛物线 ： 的
焦点为 ，过点 的倾斜角为 的直线 与 相交于 ， 两点，且点 在第一象限，
学科网（北京）股份有限公司的面积是 ，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·广东深圳·二模）设抛物线C： 的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，
B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则（ ）
A． 轴 B． C． D．
三、填空题
7．（2022高三·全国·专题练习）过椭圆 的左焦点作倾斜角60°的直线，直线与椭
圆交于A，B两点，则 ．
8．（22-23高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知 ， 为椭圆 ： 的两个焦点，
P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 ，则四边形 的面积为
．
9．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知椭圆 的一条弦所在的
直线方程是 ，弦的中点坐标是 ，则椭圆的离心率是 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B C D BCD AC AC
1．B
【分析】根据题意联立方程求点 的横坐标，由 结合弦长公式整理可得关于
学科网（北京）股份有限公司的方程 有且仅有一个解，分类讨论运算求解.
【详解】由题意可得： ，
∵直线 的斜率存在且不为0，设为 ，则直线 ，
联立方程 ，消去y得： ，解得 或 （舍
去），
即点B的横坐标为 ，
同理可得：点C的横坐标为 ，
由题意可得： ，即 ，
整理得： ，
由题意结合椭圆的对称性可得：关于 的方程 有且
仅有一个解，则有：
当 是方程 的根，即 ，则 ，
若 ，则 有且仅有一个解 ，即 符合题意；
当 不是方程 的根，则 在 内无零点，
∵ ，则 的对称轴 ，
∴ ，解得 ；
学科网（北京）股份有限公司综上所述： ，故椭圆 离心率 .
故选：B.
【点睛】易错点点睛：
在处理关于 的方程 有且仅有一个解的问题时，注
意到该方程一定有一解 ，则需要讨论 是否为 的根.
2．C
【分析】设 ， ，可得 ， 中再利用余弦定理可得
，由面积公式即可求得答案.
【详解】 ，所以 ， ， ，
在双曲线上，设 ， ，
①，
由 ，在 中由余弦定理可得：
，
故 ②，
由①②可得 ，
直角 的面积 .
故选：C.
3．D
【分析】利用点差法可求得 ，再由 可得出 、 的值，即可得出椭圆的标准
方程.
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：设 、 ，若 轴，则 、 关于 轴对称，不合乎题意，
将 、 的坐标代入椭圆方程得 ，两式相减得 ，
可得 ，
因为线段 的中点坐标为 ，所以， ， ，
因为抛物线 的焦点为 ，所以 ，
又直线 过点 ，因此 ，所以， ，
整理得 ，又 ，解得 ， ，
因此，椭圆 的方程为 ，
故选：D.
4．BCD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公
式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点 的代入抛物线方程得 ，所以抛物线方程为 ，故准线方程为
，A错误；
，所以直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，解得 ，故B正确；
设过 的直线为 ，若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个交点，
所以，直线 的斜率存在，设其方程为 ， ，
学科网（北京）股份有限公司联立 ，得 ，
所以 ，所以 或 ， ，
又 ， ，
所以 ，故C正确；
因为 ， ，
所以 ，而 ，故D正确.
故选：BCD
5．AC
【分析】根据 和点 到直线 的距离公式结合 的面积是 可得
， ；
由公式 ， 可得 ， .
【详解】由题意得 ，设直线 ： 即 ，
则点 到直线 的距离是 ，
所以 ，得 ，所以 ，
， ，所以AC正确，
学科网（北京）股份有限公司故选：AC.
6．AC
【分析】设切线求交点根据两根之和判断A选项；特殊值法判断B,C选项；根据定义数形
结合判断D选项.
【详解】对于A选项：设 ,
, ,
过点A切线为： ①,
过点B切线为: ②,
① ②得
化简可得
轴,A选项正确.
设
过A点的切线为 ,过B点的切线为 ,交点为
AB的中点为 ，所以 不垂直 ,B选项错误；
,所以
,D选项错误;
学科网（北京）股份有限公司作抛物线准线的垂线 ,连接
则
显然 ,所以
又因为由抛物线定义,得 ,故知 是线段 的中垂线,得到 则
同理可证： , ，
所以 ，即 ,
所以 ,即 .
故选:AC.
7． /
【分析】设 ， ，利用“设而不求法”求弦长即可.
【详解】∵椭圆方程为 ，∴焦点分别为 ， ，
∵直线AB过左焦点 的倾斜角为60°，∴直线AB的方程为 ，将AB方程与椭
学科网（北京）股份有限公司圆方程联立消去y，得 ．设 ， ，可得 ，
，
∴ ，因此， ．
故答案为: ．
8．18
【分析】判断满足条件的点 存在，再借助对称的性质确定四边形形状，利用椭圆定义
求解作答.
【详解】椭圆 ： 的长短半轴长 ，半焦距 ，
于是椭圆 上存在点到原点距离等于椭圆半焦距c，
由P，Q为 上关于坐标原点对称的两点，得四边形 为平行四边形，
又 ，则 为矩形，即有 ，
而 ，所以四边形 的面积
.
故答案为：18
9．
【分析】先利用点差法应用弦中点，再求椭圆离心率.
【详解】设直线与椭圆交于 两点，其中 ，
学科网（北京）股份有限公司将 两点代入椭圆可得 ，两式作差可得 ，
即 ，又 中点坐标是 ，
所以 ，所以 ，
令 ，则 ，所以 ，
所以 ，
故答案为：
【基础保分训练】
一、单选题
1．（21-22高二下·海南·期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，过
且斜率为1的直线 交椭圆 于A、 两点，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高三下·海南海口·期中）已知 ， 为椭圆 的两个焦点，P为椭圆上
一点且 ，则 的面积为（ ）
A． B． C．4 D．
3．（2023·浙江宁波·二模）设椭圆 的右焦点为 ，点 在
椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为 ，则
椭圆的离心率为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
二、多选题
4．（2023·云南·二模）已知椭圆 ， 为C的左、右焦点，P为C上一点，
且 ，若 交C点于点Q，则（ ）
A． 周长为8 B．
C． 面积为 D．
5．（2022·全国·模拟预测）双曲线 的左，右焦点分别为 ， ，点P在C上.
若 是直角三角形，则 的面积为（ ）
A． B． C．4 D．2
6．（23-24高二上·江苏·阶段练习）设椭圆的方程为 ，斜率为k的直线不经过原
点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论不正确的是（ ）
A．直线AB与OM垂直
B．若点M坐标为 ，则直线方程为
C．若直线方程为 ，则点M坐标为
D．若直线方程为 ，则
三、填空题
7．（23-24高三上·湖北·开学考试）已知圆 ，直线
学科网（北京）股份有限公司，当圆 被直线 截得的弦长最短时，直线 的方程为
.
8．（2023高三·全国·专题练习）已知 是椭圆 上的点， 分别是椭圆的左、
右焦点，若 ，则 的面积为
9．（22-23高二下·陕西榆林·期末）已知 为双曲线 上两点，且线段 的中点
坐标为 ，则直线 的斜率为 .
四、解答题
10．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知椭圆C： （ ， ）的长轴为
，短轴长为4．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l： 与椭圆C交于不同两点A、B，且 ，求直线 的方程．
11．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知椭圆 长轴长为4，且椭圆
的离心率 ，其左右焦点分别为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设斜率为 且过 的直线 与椭圆 交于 两点，求 的面积．
12．（23-24高二上·安徽滁州·阶段练习）已知圆 的圆心 是抛物线 的焦
点．
(1)求抛物线 的方程；
学科网（北京）股份有限公司(2)若直线 交抛物线 于 两点，且点 是弦 的中点，求直线 的方程．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A B B AD AC ACD
1．A
【分析】利用弦长公式求解即可.
【详解】设直线AB方程为 ，联立椭圆方程
整理可得： ，设 ，
则 ， ，根据弦长公式有：
= ．故B，C，D错误.
故选：A.
2．B
【分析】利用椭圆定义求得 的值，判断 为等腰三角形，即可求得答案.
【详解】由椭圆 可知 ，
故 ，结合 ，
可得 ，而 ，
故 为等腰三角形，其面积为 ，
故选：B
3．B
【分析】利用中点弦问题，结合点差法可得 ，即可求离心率.
学科网（北京）股份有限公司【详解】
如图，取 的中点为 ，连接 ，
则由题意可得， ，
所以 相似，所以 ,
因为直线PQ，PF的斜率之积为 ，
所以 ,
设 ，
则有 ，两式相减可得 ，
即 ，即 ，
即 ，所以椭圆的离心率为 ，
故选:B.
4．AD
【分析】根据椭圆方程，求出对应的 ，利用几何性质即可得出正确的选项
【详解】由题意，在椭圆 中， ，不妨设 在 轴上方，
学科网（北京）股份有限公司则 ， ，
所以 ，故B错；
的周长为 ，A正确；
设 ，
在 中，
得 ，
所以 ，D正确；
，
所以 ，
故C不正确，
故选：AD．
5．AC
【分析】根据双曲线方程求出 ，再根据对称性只需考虑 或 .当
时，将 代入双曲线方程，求出 ，即可求出三角形面积，当 时，
由双曲线的定义可知 ，再由勾股定理求出 ，即可得解；
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：由双曲线 可得 .根据双曲线的对称性只
需考虑 或 .
当 时，将 代入 可得 ，所以 的面积为
.
当 时，由双曲线的定义可知，
，由勾股定理可得 .
因为 ，
所以 ，此时 的面积为
综上所述， 的面积为4或 .
故选： .
6．ACD
【分析】根据椭圆中点弦的性质 ，可以判断ABC，对于D,直线方程与椭圆
方程联立，利用弦长公式即可求得 ，从而判断正误．
【详解】对于A：设A(x ,y ),B(x ,y ),则 ，相减可得 ，
1 1 2 2
所以 ，故 A错误；
对于B：根据 ， ，所以 ，所以直线方程为 ，即
学科网（北京）股份有限公司，故B正确；
对于C：若直线方程为 ，点 ，则 ，所以C错误；
对于D：若直线方程为 ，与椭圆方程 联立，得到 ，
整理得： ，解得 ，
所以 ，故D错误；
故选：ACD．
7．
【分析】直线 过的定点 ，当直线 垂直于 时，圆 被直线 截得的弦长最短，可求
直线 的方程.
【详解】由题意，直线 的方程化为 ，
由 得
∴直线 过定点 ，显然点 在圆 内，
要使直线 被圆 截得弦长最短，只需 与圆心 的连线垂直于直线 ，
，解得 ，
代入到直线 的方程并化简得 .
故答案为： .
8．
【分析】由已知得到 ， ， ，利用余弦定理求出
学科网（北京）股份有限公司，面积公式求 的面积.
【详解】椭圆 中， ，则 ，有 ，
是椭圆 上的点， ， ，
在 中，由余弦定理得： ，
即 ，得 ，
所以 .
故答案为：
9． /2.25
【分析】利用点差法和两点坐标求直线斜率公式化简计算即可.
【详解】设 ，
则
两式相减得 ，
由线段 的中点坐标为 ，
即 ，
.
故答案为：
10．(1)
学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】（1）由长轴长和短轴长可得椭圆方程；
（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式即可求得m的值，则直线 的
方程可求.
【详解】（1）由已知长轴为 ，短轴长为4，
可得 ， ，
则椭圆C的标准方程为： ；
（2）依题意 ，
解得 ，
因为 ，可得 ，
且 ，
因为 ，
解得 ，
所以直线 的方程为l： ．
11．(1)
(2)
【分析】（1）由椭圆的基本性质得到椭圆 的值，写出椭圆方程.
学科网（北京）股份有限公司（2）写出直线方程，联立方程组，由韦达定理得到 和 ，用交点弦长
公式得到线段长，由点到直线距离得到三角形高，从而算出三角形面积.
【详解】（1）由题意可知： ，则 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴椭圆
（2） ，∴直线 ： ，
联立方程组 得 ,
设 ，
则 ，
点 到直线 的距离
∴
学科网（北京）股份有限公司12．(1)
(2)
【分析】（1）由圆心 是抛物线 的焦点，找到抛物线的焦点，从而得到抛物线的方程；
（2）利用点差法，找到直线 的斜率，进而求得直线的方程.
【详解】（1）圆 的方程可化为 ，
故圆心的坐标为 ．
设抛物线 的方程为 ( )，所以 ，所以 ，
所以抛物线 的方程为 ．
（2）设 ， ，则 两式相减，
得 ，即 ，
所以直线 的斜率 ．
因为点 是 的中点，所以 ，所以 ．
所以直线 的方程为 ，即 ．
学科网（北京）股份有限公司【能力提升训练】
一、单选题
1．（2023·山东临沂·一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为
，过 的直线与 的左、右两支分别交于点 ，且 ，则
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山西·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，准线为l，过F且斜
率为 的直线与C交于A，B两点，D为AB的中点，且 于点M，AB的垂直平分
线交x轴于点N，四边形DMFN的面积为 ，则 （ ）
A． B．4 C． D．
3．（21-22高二上·江苏盐城·期末）椭圆 中以点 为中点的弦所在直线斜
率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
学科网（北京）股份有限公司4．（2023·山东临沂·一模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，
沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射
后必过抛物线的焦点．已知抛物线 ， 为坐标原点，一束平行于 轴的光线 从
点 射入，经过 上的点 反射后，再经过 上另一点 反射后，沿直
线 射出，经过点 ，则（）
A．
B．延长 交直线 于点 ，则 ， ， 三点共线
C．
D．若 平分 ，则
5．（2022·湖南永州·二模）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的
两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙
日圆.已知椭圆 的离心率为 ， 、 分别为椭圆的左、右焦点，
点 在椭圆上，直线 ，则（ ）
A．直线 与蒙日圆相切
B． 的蒙日圆的方程为
C．记点 到直线 的距离为 ，则 的最小值为
D．若矩形 的四条边均与 相切，则矩形 的面积的最大值为
6．（23-24高三上·湖北武汉·阶段练习）直线 过抛物线 的焦点
学科网（北京）股份有限公司且与该抛物线交于M，N两点，设O为坐标原点，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．抛物线E的准线方程是
C．以MN为直径的圆与定直线相切 D． 的大小为定值
三、填空题
7．（2024·辽宁大连·一模）已知抛物线 的焦点分别为 ，点
分别在( 上，且线段 平行于x轴.若 是等腰三角形，则 .
8．（2023·湖北·模拟预测）已知 为抛物线 的焦点，直线 与 交于 ， ，
与 的另一个交点为 ， 与 的另一个交点为 .若 与 的面积之比为
，则 .
9．（21-22高二上·上海杨浦·期末）过点 作斜率为 的直线与双曲线
相交于A，B两点，若M是线段 的中点，则双曲线 的离心率为 .
四、解答题
10．（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知椭圆 的离心率为 ，
椭圆上的点到焦点的最小距离是 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)倾斜角为 的直线 交椭圆于 两点，已知 ，求直线 的一般式方程．
11．（22-23高二下·陕西安康·期中）已知椭圆 的一个焦点为 ，
且离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
学科网（北京）股份有限公司(2)不过原点 的直线 与椭圆C交于 两点，求 面积的最大值及此时直
线 的方程.
12．（23-24高二上·河北·期中）已知P是圆C： 上一动点，过P作x轴的垂线，
垂足为Q，点M满足 ，记点M的轨迹为E．
(1)求E的方程；
(2)若A，B是E上两点，且线段AB的中点坐标为 ，求 的值．
13．（2023·广东肇庆·二模）设抛物线方程为 ，过点 的直线 分别与抛物线
相切于 两点，且点 在 轴下方，点 在 轴上方.
(1)当点 的坐标为 时，求 ；
(2)点 在抛物线上，且在 轴下方，直线 交 轴于点 .直线 交 轴于点 ，且
.若 的重心在 轴上，求 的取值范围.
14．（2024·全国·高考真题）已知双曲线 ，点 在 上， 为常
数， ．按照如下方式依次构造点 ：过 作斜率为 的直线与 的左
支交于点 ，令 为 关于 轴的对称点，记 的坐标为 .
(1)若 ，求 ；
(2)证明：数列 是公比为 的等比数列；
(3)设 为 的面积，证明：对任意正整数 ， .
学科网（北京）股份有限公司15．（21-22高三上·河南·阶段练习）已知椭圆 的右焦点为F，直线l与椭圆
C交于A，B两点．
(1)若 ，且直线l的斜率为4，求直线 (点 为坐标原点)的斜率．
(2)若直线 ， 的斜率互为相反数，且直线l不与x轴垂直，探究：直线l是否过定点?
若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D A A AB AC BC
1．D
【分析】由 ，设 ，利用双曲线的定义
得到 ，然后设 ，与双曲线方程联立，利用弦长公式求解.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
由双曲线的定义得 ，
解得 ，
则 ，
设 ， ， ，
联立 ，消去x得 ，
由韦达定理得： ，
由 ，得 ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
，
解得 ，
则 ，
故选：D
2．A
【分析】设出直线AB的方程，联立抛物线方程，表达出 点坐标，作出辅助线，求出
，得到四边形DMFN为平行四边形，利用面积列出方程，求出 .
【详解】由题意知 ，直线AB的方程为 ．
设 ，由 ，得 ，
所以 ，所以 ，
由 ，得 ．
如图所示，作 轴于点E，则 ．
学科网（北京）股份有限公司因为 ，
故 ， ，
又 ，故 ，
又 ，得四边形DMFN为平行四边形．
所以其面积为 ，解得 ．
故选：A
3．A
【分析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在
的直线的斜率．
【详解】设弦的两端点为 ， ，
代入椭圆得
两式相减得 ，
即 ，
即 ，
即 ，
学科网（北京）股份有限公司即 ，
弦所在的直线的斜率为 ，
故选:A ．
4．AB
【分析】根据题设和抛物线的性质得到点 ， ，将点 代入抛物线
的方程得到 ，从而求出直线 的方程，联立直线 和抛物线 得到点 的坐标，即可
判断选项A和C，又结合直线 和直线 得到点 ，即可判断B选项，若 平分
，得到 ，转化为直线 斜率 和直线 的斜率的关系式即可求出
.
【详解】由题意知，点 ， ，如图：
将 代入 ，得 ，所以 ，则直线 的斜率 ，
则直线 的方程为 ，即 ，
联立 ，得 ，解得 ， ，
学科网（北京）股份有限公司又 时， ，则
所以 ，所以A选项正确；
又 ，所以C选项错误；
又知直线 轴，且 ，则直线 的方程为 ，
又 ，所以直线 的方程为 ，
令 ，解得 ，即 ， 在直线 上，
所以 ， ， 三点共线，所以B选项正确；
设直线 的倾斜角为 （ ），斜率为 ，直线 的倾斜角为 ，
若 平分 ，即 ，即 ，
所以 ，则 ，且 ，解得 ，
又 ，解得： ，所以D选项错误；
故选：AB.
5．AC
【分析】分析可得出 ，求出蒙日圆的方程，可判断B选项的正误；利用直线与圆的
位置关系可判断A选项；利用椭圆的定义和点到直线的距离公式可判断C选项的正误；分
析可知矩形 的四个顶点都在蒙日圆上，利用基本不等式可判断D选项的正误.
【详解】当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为 、 ，
所以，点 在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为 ，
学科网（北京）股份有限公司因为 ，可得 .
对于A选项，蒙日圆圆心到直线 的距离为 ，
所以，直线 与蒙日圆相切，A对；
对于B选项， 的蒙日圆的方程为 ，B错；
对于C选项，由椭圆的定义可得 ，则 ，
所以， ，
因为 ，直线 的方程为 ，
点 到直线 的距离为 ，
所以， ，
当且仅当 时，等号成立，C对；
对于D选项，若矩形 的四条边均与 相切，则矩形 的四个顶点都在蒙日圆
上，
所以， ，
所以，矩形 的面积为 ，D错.
故选：AC.
6．BC
【分析】由直线 过定点 ，得到 ，可判定A正确；根据抛物线的几何性质，可
得判定B正确；过 点作准线的垂线，根据抛物线的定义得到
学科网（北京）股份有限公司，可判定C正确；联立方程组，结合韦达定理，得到 ，
求得 ，可判定D错误.
【详解】对于A中，由直线 ，可化为 ，可得直线 过定点 ，
因为抛物线 的焦点 在直线 上，可得 ，则 ，所以A错误；
对于B中，由抛物线 的准线方程为 ，所以B正确；
对于C中，过 点作准线的垂线，垂足分别为 ， 的中点为 点，
过 点作准线的垂线，垂足为 ，可得 ，故以MN为直径的
圆与准线相切，所以C正确；
对于D中，设 ，联立方程组 ，
整理得 ， ， ，
可得 ，则 ，
则 ，但 的大小不是定值，
设 ，而 ，
则 ，则 ，
而 ，并不是定值，所以D错误.
故选：BC.
学科网（北京）股份有限公司7．
【分析】由题意设出点的坐标，不妨设 ，然后分三种情况讨论即可求解.
【详解】设F (1,0)， ， .
2
不妨设 ，然后分三种情况讨论：
若 ，则有 ，解得 ，此时 ；
若 ，则 ，解得 ，这不可能；
若 ，则 ，这同样不可能.
综上， .
故答案为： .
8．
学科网（北京）股份有限公司【分析】由题意可判断得 ，写出点 ， 的坐标，从而得 ，表示出直线
的方程，与抛物线联立方程组，从而求解出点 的横坐标，代入抛物线方程计算，即可得
，从而根据三角形面积公式表示 与 的面积，再根据面积比列式计算
可得 的值.
【详解】如图，抛物线 的焦点为 ，可知 ，
由题意，得 ，即
所以直线 的方程为 ，
联立 ，化简得 ，
，因为 ，可得点 的横坐标为 ，
代入抛物线方程可得， ，所以 ，
，
，又 ，所以 .
故答案为：
学科网（北京）股份有限公司9． /
【分析】利用点差法，结合 是线段 的中点，斜率为 ，即可求出双曲线 的离心率．
【详解】解：设 ， ， ， ，则 ①， ②，
是线段 的中点，
， ，
直线 的方程是 ，
，
过点 作斜率为 的直线与双曲线 相交于 ， 两点， 是
线段 的中点，
√ 2
①②两式相减可得 ，即 ，
．
故答案为： ．
10．(1)
学科网（北京）股份有限公司(2) 或
【分析】（1）根据题意，得到 且 ，求得 的值，即可求解；
（2）设 的方程 ，联立方程组，结合韦达定理和弦长公式，根据题意，列出方程，
求得 ，即可求解.
【详解】（1）由椭圆 的离心率为 ，即 ，可得 ，
由椭圆上的点到焦点的最小距离是 ，可得 ，
解得 ， ， ，
所以椭圆的方程 ．
（2）解：因为直线 的倾斜角为 ，可设 的方程 ，
由方程组 ，整理得 ，
可得 ，解得 ，
设 ， ，则 ， ，
又由 ，
解得 ，满足 ，
所以直线 的一般式方程为 或 ．
11．(1)
(2) ，
【分析】（1）由焦点和离心率即可求出 ，从而可得椭圆方程；
学科网（北京）股份有限公司（2）设出直线 的方程，联立椭圆方程，由点直线的距离公式，结合韦达定理，把
面积表示为 的函数，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】（1）由已知得 ，又离心率 ，得到 ， ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）设 ，
联立 ，消 得 ，
，得到 ，
由韦达定理得， ，
又因为 ，
又原点到直线的距离为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ，满足 ，
所以， 面积的最大值为 ，此时直线 的方程为 .
12．(1)
(2)
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）设 ，利用 ，得出 的坐标，在利用P在圆C：
上，即可求出M的轨迹方程.
（2）利用点差法求出直线AB，再联立直线和椭圆方程，利用弦长公式即可求解.
【详解】（1）设 ，则 ，
因为 ，则 ，
因为P在圆C上，所以 ，
故E的方程为 ．
（2）设 ， ，
若A，B是E上两点，则 ，
两式相减得 ，即 ．
因为线段AB的中点坐标为 ，所以 ，
所以 ，则直线AB的方程为 ．
联立方程组 ，整理得 ，其中 ，
则 ， ，
．
学科网（北京）股份有限公司13．(1) ；
(2) .
【分析】（1）设 ，根据导数的几何意义可得切线方程，利用切线方程
与抛物线方程可得 ， ，进而即得；或利用条件可得切点所在直线，
利用韦达定理法即得；
（2）设 ，根据三角形面积公式结合条件可表示 ，然后根据二次函数的性质
结合条件即得.
【详解】（1）解法一：设 ， ， ，
由 ，可得 ，
所以 ，直线PA的斜率 ，
直线PA： ，又 在 上，
，
所以 ，又 ，
所以 ，
同理可得 ，
，
学科网（北京）股份有限公司；
解法二：设 ， ， ，
由 ，可得 ，
所以 ，直线PA的斜率 ，
直线PA： ，又 在 上，
故 ，即 ，
因为 ，所以 ，同理可得 ，
故直线 的方程为 ，
联立 消去 ，得 ，
故 ，
故 ；
（2）设 ，由条件知 ，
学科网（北京）股份有限公司，
，
∴ ，
，当 时， ，AC重合，不合题意，
或 ，
的取值范围为 .
14．(1) ，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出 的坐标即可；
（2）思路一：根据等比数列的定义即可验证结论；思路二：利用点差法和合比性质即可证
明；
（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明 的取值为与 无关的定值即可.
思路二：使用等差数列工具，证明 的取值为与 无关的定值即可.思路三：利用点差法得
到 ， ，再结合（2）中的结论得
，最后证明出 即可.
【详解】（1）
学科网（北京）股份有限公司由已知有 ，故 的方程为 .
当 时，过 且斜率为 的直线为 ，与 联立得到
.
解得 或 ，所以该直线与 的不同于 的交点为 ，该点显然在 的左支
上.
故 ，从而 ， .
（2）方法一：由于过 且斜率为 的直线为 ，与 联立，
得到方程 .
展开即得 ，由于 已经是直线
和 的公共点，故方程必有一根 .
从而根据韦达定理，另一根 ，相应的
.
学科网（北京）股份有限公司所以该直线与 的不同于 的交点为 ，而注意到 的
横坐标亦可通过韦达定理表示为 ，故 一定在 的左支上.
所以 .
这就得到 ， .
所以
.
再由 ，就知道 ，所以数列 是公比为 的等比数列.
方法二：因为 ， ， ，则 ，
由于 ，作差得 ，
，利用合比性质知 ，
因此 是公比为 的等比数列.
（3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点 ，若 ， ，
则 .（若 在同一条直线上，约定 ）
证明：
学科网（北京）股份有限公司.
证毕，回到原题.
由于上一小问已经得到 ， ，
故 .
再由 ，就知道 ，所以数列 是公比为 的等比数列.
所以对任意的正整数 ，都有
.
而又有 ， ，
故利用前面已经证明的结论即得
学科网（北京）股份有限公司.
这就表明 的取值是与 无关的定值，所以 .
方法二：由于上一小问已经得到 ， ，
故 .
再由 ，就知道 ，所以数列 是公比为 的等比数列.
所以对任意的正整数 ，都有
.
这就得到 ，
学科网（北京）股份有限公司以及 .
两式相减，即得 .
移项得到 .
故 .
而 ， .
所以 和 平行，这就得到 ，即 .
方法三：由于 ，作差得 ，
变形得 ①，
同理可得 ，
由（2）知 是公比为 的等比数列，令 则 ②，
同时 是公比为 的等比数列，则 ③，
将②③代入①，
即 ，从而 ，即 .
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方
面知识方可得解.
15．(1) ；
学科网（北京）股份有限公司(2)过定点， ﹒
【分析】(1)由 值M为AB中点，由点差法即可得OM的斜率；
(2)根据椭圆对称性，结合已知条件可知l过定点时，定点应该在x轴上，设定点为(t，0)，
写出直线方程，联立直线与椭圆方程根据韦达定理得到根与系数的关系，再由直线 ，
的斜率互为相反数列出方程，即可求得定点坐标﹒
【详解】（1）设 ， ，依题意，M为线段 的中点，
∵A，B在椭圆C上，故
两式相减可得 ，
则 ，
故 ，解得 ．
（2）假设定点存在，根据椭圆对称性，可知该直线所过定点在x轴上，设定点坐标为 ，
则直线l的方程为 ，
联立 ，消去y整理得 ，
则 ， ．
设直线 ， 的斜率分别为 ， ，由题可知 ，
则
学科网（北京）股份有限公司．
即 ，
∴ ， ，
即直线l过定点 ．
【点睛】解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二
次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
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