文档内容
专题 09 导数及其应用
1． （全国甲卷数学（文））曲线 在 处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.
【详解】 ，所以 ，故切线方程为 ，
故切线的横截距为 ，纵截距为 ，故切线与坐标轴围成的面积为
故选：A.
2．（全国甲卷数学（理））设函数 ，则曲线 在 处的切线与两坐标轴围成
的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点 处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其
面积.
【详解】 ，
则 ，
即该切线方程为 ，即 ，令 ，则 ，令 ，则 ，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积 .
故选：A.
3．（新课标全国Ⅰ卷）（多选）设函数 ，则（ ）
A． 是 的极小值点 B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】ACD
【分析】求出函数 的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数
在 上的值域即可判断C；直接作差可判断D.
【详解】对A，因为函数 的定义域为R，而 ，
易知当 时， ，当 或 时，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故 是函数 的极小
值点，正确；
对B，当 时， ，所以 ，
而由上可知，函数 在 上单调递增，所以 ，错误；
对C，当 时， ，而由上可知，函数 在 上单调递减，
所以 ，即 ，正确；
对D，当 时， ，
所以 ，正确；
故选：ACD.4．（新课标全国Ⅱ卷）（多选）设函数 ，则（ ）
A．当 时， 有三个零点
B．当 时， 是 的极大值点
C．存在a，b，使得 为曲线 的对称轴
D．存在a，使得点 为曲线 的对称中心
【答案】AD
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为 ，根据零点存在定理和极值的符号判断出 在
上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在
这样的 ，使得 为 的对称轴，则 为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这
样的 ，使得 为 的对称中心，则 ，据此进行计算判断，亦可利用拐点
结论直接求解.
【详解】A选项， ，由于 ，
故 时 ，故 在 上单调递增，
时， ， 单调递减，
则 在 处取到极大值，在 处取到极小值，
由 ， ，则 ，
根据零点存在定理 在 上有一个零点，
又 ， ，则 ，
则 在 上各有一个零点，于是 时， 有三个零点，A选项正确；
B选项， ， 时， ， 单调递减，
时 ， 单调递增，此时 在 处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的 ，使得 为 的对称轴，
即存在这样的 使得 ，
即 ，
根据二项式定理，等式右边 展开式含有 的项为 ，
于是等式左右两边 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的 ，使得 为 的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的 ，使得 为 的对称中心，
则 ，事实上，
，
于是
即 ，解得 ，即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
， ， ，
由 ，于是该三次函数的对称中心为 ，
由题意 也是对称中心，故 ，
即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.
故选：AD【点睛】结论点睛：（1） 的对称轴为 ；（2） 关于 对称
；（3）任何三次函数 都有对称中心，对称中心是三次函数
的拐点，对称中心的横坐标是 的解，即 是三次函数的对称中心
5．（新课标全国Ⅰ卷）若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则
.
【答案】
【分析】先求出曲线 在 的切线方程，再设曲线 的切点为 ，
求出 ，利用公切线斜率相等求出 ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.
【详解】由 得 ， ，
故曲线 在 处的切线方程为 ；
由 得 ，
设切线与曲线 相切的切点为 ，
由两曲线有公切线得 ，解得 ，则切点为 ，
切线方程为 ，
根据两切线重合,所以 ，解得 .
故答案为：
6．（全国甲卷数学（文））曲线 与 在 上有两个不同的交点，则 的取值
范围为 ．
【答案】【分析】将函数转化为方程，令 ，分离参数 ，构造新函数 结合
导数求得 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.
【详解】令 ，即 ，令
则 ，令 得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增， ，
因为曲线 与 在 上有两个不同的交点，
所以等价于 与 有两个交点，所以 .
故答案为：
7．（新课标全国Ⅰ卷）已知函数
(1)若 ，且 ，求 的最小值；
(2)证明：曲线 是中心对称图形；
(3)若 当且仅当 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析(3)
【分析】（1）求出 后根据 可求 的最小值；
（2）设 为 图象上任意一点，可证 关于 的对称点为 也在函数
的图像上，从而可证对称性；
（3）根据题设可判断 即 ，再根据 在 上恒成立可求得 .
【详解】（1） 时， ，其中 ，
则 ，
因为 ，当且仅当 时等号成立，
故 ，而 成立，故 即 ，
所以 的最小值为 .，
（2） 的定义域为 ，
设 为 图象上任意一点，
关于 的对称点为 ，
因为 在 图象上，故 ，
而 ，
，
所以 也在 图象上，
由 的任意性可得 图象为中心对称图形，且对称中心为 .（3）因为 当且仅当 ，故 为 的一个解，
所以 即 ，
先考虑 时， 恒成立.
此时 即为 在 上恒成立，
设 ，则 在 上恒成立，
设 ，
则 ，
当 ， ，
故 恒成立，故 在 上为增函数，
故 即 在 上恒成立.
当 时， ，
故 恒成立，故 在 上为增函数，
故 即 在 上恒成立.
当 ，则当 时，
故在 上 为减函数，故 ，不合题意，舍；
综上， 在 上恒成立时 .
而当 时，
而 时，由上述过程可得 在 递增，故 的解为 ，即 的解为 .
综上， .
【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对
一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范
围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.
8．（新课标全国Ⅱ卷）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）解法一：求导，分析 和 两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得 ，
构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知 有零点，可得 ，进而利用导数求 的
单调性和极值，分析可得 ，构建函数解不等式即可.
【详解】（1）当 时，则 ， ，
可得 ， ，
即切点坐标为 ，切线斜率 ，
所以切线方程为 ，即 .
（2）解法一：因为 的定义域为 ，且 ，
若 ，则 对任意 恒成立，可知 在 上单调递增，无极值，不合题意；
若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 有极小值 ，无极大值，
由题意可得： ，即 ，
构建 ，则 ，
可知 在 内单调递增，且 ，
不等式 等价于 ，解得 ，
所以a的取值范围为 ；
解法二：因为 的定义域为 ，且 ，
若 有极小值，则 有零点，
令 ，可得 ，
可知 与 有交点，则 ，
若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 有极小值 ，无极大值，符合题意，
由题意可得： ，即 ，
构建 ，
因为则 在 内单调递增，可知 在 内单调递增，且 ，
不等式 等价于 ，解得 ，
所以a的取值范围为 .
9．（全国甲卷数学（文））已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若 时，证明：当 时， 恒成立．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；
（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当 时， 即可.
【详解】（1） 定义域为 ，
当 时， ，故 在 上单调递减；
当 时， 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减.
综上所述，当 时， 的单调递减区间为 ；
时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2） ，且 时， ，
令 ，下证 即可.，再令 ，则 ，
显然 在 上递增，则 ，
即 在 上递增，
故 ，即 在 上单调递增，
故 ，问题得证
10．（全国甲卷数学（理））已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1)极小值为 ，无极大值.
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.
（2）求出函数的二阶导数，就 、 、 分类讨论后可得参数的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，
故 ，
因为 在 上为增函数，
故 在 上为增函数，而 ，
故当 时， ，当 时， ，
故 在 处取极小值且极小值为 ，无极大值.
（2） ，设 ，
则 ，
当 时， ，故 在 上为增函数，
故 ，即 ，
所以 在 上为增函数，故 .
当 时，当 时， ，
故 在 上为减函数，故在 上 ，
即在 上 即 为减函数，
故在 上 ，不合题意，舍.
当 ，此时 在 上恒成立，
同理可得在 上 恒成立，不合题意，舍；
综上， .
【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导
数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.
11．（新高考北京卷）已知 在 处切线为l．
(1)若 ，求 单调区间；
(2)证明：切线l不经过 ；
(3)已知 ， ， ， ，其中 ，切线l与y轴交于点B时．当，符合条件的A的个数为？
（参考数据： ， ， ）
【答案】(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
(2)证明见解析
(3)2
【分析】（1）直接代入 ，再利用导数研究其单调性即可；
（2）写出切线方程 ，将 代入再设新函数 ，利用导
数研究其零点即可；
（3）分别写出面积表达式，代入 得到 ，再设新函数
研究其零点即可.
【详解】（1） ，
当 时， ；当 ， ；
在 上单调递减，在 上单调递增.
则 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（2） ，切线 的斜率为 ，
则切线方程为 ，
将 代入则 ，
即 ，则 ， ，
令 ，假设 过 ，则 在 存在零点.
， 在 上单调递增， ，
在 无零点， 与假设矛盾，故直线 不过 .
（3） 时， .
，设 与 轴交点 为 ，
时，若 ，则此时 与 必有交点，与切线定义矛盾.
由（2）知 .所以 ，
则切线 的方程为 ，
令 ，则 .
，则 ，
，记 ，
满足条件的 有几个即 有几个零点.
，
当 时， ，此时 单调递减；
当 时， ，此时 单调递增；
当 时， ，此时 单调递减；
因为 ，
，所以由零点存在性定理及 的单调性， 在 上必有一个零点，在 上必有一个零点，
综上所述， 有两个零点，即满足 的 有两个.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题.
12．（新高考天津卷）设函数 ．
(1)求 图象上点 处的切线方程；
(2)若 在 时恒成立，求 的取值范围；
(3)若 ，证明 ．
【答案】(1)
(2)
(3)证明过程见解析
【分析】（1）直接使用导数的几何意义；
（2）先由题设条件得到 ，再证明 时条件满足；
（3）先确定 的单调性，再对 分类讨论.
【详解】（1）由于 ，故 .
所以 ， ，所以所求的切线经过 ，且斜率为 ，故其方程为 .
（2）设 ，则 ，从而当 时 ，当 时 .所以 在 上递减，在 上递增，这就说明 ，即 ，且等号成立当且仅当 .
设 ，则
.
当 时， 的取值范围是 ，所以命题等价于对任意 ，都有 .
一方面，若对任意 ，都有 ，则对 有
，
取 ，得 ，故 .
再取 ，得 ，所以 .
另一方面，若 ，则对任意 都有 ，满足条件.
综合以上两个方面，知 的取值范围是 .
（3）先证明一个结论：对 ，有 .
证明：前面已经证明不等式 ，故 ，
且 ，
所以 ，即 .
由 ，可知当 时 ，当 时 .所以 在 上递减，在 上递增.
不妨设 ，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.
情况一：当 时，有 ，结论
成立；
情况二：当 时，有 .
对任意的 ，设 ，则 .
由于 单调递增，且有
，
且当 ， 时，由 可知
.
所以 在 上存在零点 ，再结合 单调递增，即知 时 ， 时
.
故 在 上递减，在 上递增.
①当 时，有 ；
②当 时，由于 ，故我们可以取 .从而当 时，由 ，可得
.
再根据 在 上递减，即知对 都有 ；
综合①②可知对任意 ，都有 ，即 .
根据 和 的任意性，取 ， ，就得到 .
所以 .
情况三：当 时，根据情况一和情况二的讨论，可得 ，
.
而根据 的单调性，知 或 .
故一定有 成立.
综上，结论成立.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合 的单调性进行分类讨论.
13．（新高考上海卷）对于一个函数 和一个点 ，令 ，若
是 取到最小值的点，则称 是 在 的“最近点”．
(1)对于 ，求证：对于点 ，存在点 ，使得点 是 在 的“最近点”；
(2)对于 ，请判断是否存在一个点 ，它是 在 的“最近点”，且直线 与在点 处的切线垂直；
(3)已知 在定义域R上存在导函数 ，且函数 在定义域R上恒正，设点
， ．若对任意的 ，存在点 同时是 在 的“最近
点”，试判断 的单调性．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
(3)严格单调递减
【分析】（1）代入 ，利用基本不等式即可；
（2）由题得 ，利用导函数得到其最小值，则得到 ，再证明直线 与切线垂直即可；
（3）根据题意得到 ，对两等式化简得 ，再利用“最近点”的定义得到不
等式组，即可证明 ，最后得到函数单调性.
【详解】（1）当 时， ，
当且仅当 即 时取等号，
故对于点 ，存在点 ，使得该点是 在 的“最近点”．
（2）由题设可得 ，
则 ，因为 均为 上单调递增函数，
则 在 上为严格增函数，而 ，故当 时， ，当 时， ，
故 ，此时 ，
而 ，故 在点 处的切线方程为 .
而 ，故 ，故直线 与 在点 处的切线垂直．
（3）设 ，
，
而 ，
，
若对任意的 ，存在点 同时是 在 的“最近点”，
设 ，则 既是 的最小值点，也是 的最小值点，
因为两函数的定义域均为 ，则 也是两函数的极小值点，
则存在 ,使得 ，
即 ①
②
由①②相等得 ，即 ，
即 ，又因为函数 在定义域R上恒正，
则 恒成立，
接下来证明 ，因为 既是 的最小值点，也是 的最小值点，
则 ，
即 ，③
，④
③ ④得
即 ，因为
则 ，解得 ，
则 恒成立，因为 的任意性，则 严格单调递减.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到 ，再利用最值
点定义得到 即可.
一、单选题
1．（2024·湖南长沙·三模）斜率为1的直线 与曲线 和圆 都相切，则实数 的值为
（ ）
A．0或2 B． 或2 C． 或0 D．0或1
【答案】A
【分析】设直线 的方程为 ，先根据直线和圆相切算出 ，再由导数的几何意义算出 .
【详解】依题意得，设直线 的方程为 ，即 ，由直线和圆 相切可得， ，解得 ，
当 时， 和 相切，
，设切点为 ，根据导数的几何意义， ，
又切点同时在直线和曲线上，即 ，解得 .
即 时， ；
当 时， 和 相切，
，设切点为 ，根据导数的几何意义， ，
又切点同时在直线和曲线上，即 ，解得 .
即 时， .
综上所述， 或 .
故选：A.
2．（2024·海南海口·二模）已知函数 的定义域为 ， 是偶函数，当 时，
，则曲线 在点 处的切线斜率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据函数对称性求出 时的 解析式，利用导数的几何意义求解.
【详解】因为 是偶函数，所以函数 的图象关于 对称，则 ，
当 时， ，，
，则 ，
，即曲线 在点 处切线的斜率为2.
故选：C.
3．（2024·浙江金华·三模）若存在直线与曲线 ， 都相切，则a的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数分别求得与 相切的切线方程，可得 ，进而可得
有解，从而利用导数可求 的范围.
【详解】设直线与 相切与点 ，因为 ，
所以切线方程 ，即 ，
设直线与 相切与点 ，
因为 ，所以切线方程 ，即 ，
，
所以 有解，
令 ， ，
所以函数 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，因为 ， ，所以 ，所以 ，
的范围为 .
故选：A.
【点睛】思路点睛：本题考查曲线公切线相关问题的求解，求解曲线公切线的基本思路是假设切点坐标，
利用导数的几何意义分别求得两曲线的切线方程，根据切线方程的唯一性构造方程组来进行求解.
4．（2024·河北保定·三模）曲线 在点 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义求得曲线的切线方程，结合三角形面积公式计算即可.
【详解】由 ，得 ，则 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
令 ，得 ，令 ，得 ，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 .
故选：C
5．（2024·广西来宾·模拟预测）曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，对于曲线 ，其在点
处的曲率 ，其中 是 的导函数， 是 的导函数．则抛物线
上的各点处的曲率最大值为（ ）
A． B．p C． D．
【答案】C【分析】先求出函数的导函数 及导函数的导函数 ，再根据公式求出各点处的曲率 ，并解出
最大值即可.
【详解】由题可知抛物线方程为： ，则 ， ，
则该抛物线在各点处的曲率 ，
当 时， 取最大值 .
故选：C.
6．（2024·浙江·模拟预测）函数 的极小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二次导数研究 的单调性，并通过观察得其零点，进而判断 的单调性，然后可得极
小值.
【详解】 ，
记 ，则 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时， ，函数 在 上单调递减.
所以，当 时， ，
因为 ，且当 时， ，
所以，当 时， ，即 ， 在 上单调递减；
当 时， ，即 ， 在 上单调递增.所以，当 时， 取得极小值 .
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用二次导数研究导函数的单调性，需要结合变化趋势，并观察出导
函数零点，进而可知 的单调性，然后可解.
7．（2024·江西南昌·三模）已知函数 的定义域为 ，且 ，对任意 ， ，
则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，由 恒成立， 在 上单调递减，由
可得 ，由单调性解不等式即可.
【详解】设 ，则 ，
对任意 ， ， 恒成立，即 在 上单调递减，
由 可得 ， ，解得 ，即解集为 .
故选：A
8．（2024·湖南长沙·二模）已知 ， ，直线 与曲线 相切，则
的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】利用已知条件求出切点横坐标，从而得到 。利用基本不等式即可求解.
【详解】由于直线 与曲线 相切，设切点为 ，且 ，所以 ，
则切点横坐标 ，则 ，即 .
所以 ，即 ，
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为1.
故选：D
9．（2024·河北秦皇岛·三模）已知0是函数 的极大值点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分类讨论 、 与 三种情况，结合导数与极值点的定义即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
令 ，可得 或 ，
当 ，即 时，
令 ，得 或 ；令 ，得 ；
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以 是函数 的极大值点，满足题意；
当 ，即 时， 恒成立，
则 在 上单调递增，没有极值点，不满足题意；
当 ，即 时，令 ，得 或 ；令 ，得 ；
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以 是函数 的极小值点，不满足题意；
综上， ，即 的取值范围为 .
故选：A.
10．（2023·江西萍乡·二模）已知 ，则这三个数的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】令 ，利用导数可知 在 上单调递增，在 上单调递减，结合 ，
可得答案.
【详解】令 ，令 得 ，令 得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ，
且 ，
则 ，即 .
故选：C.
11．（2024·广东广州·模拟预测）已知直线 恒在曲线 的上方，则 的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设直线 与曲线切于点 ，根据题意由 在直线 上方，由
求解.
【详解】解：设直线 与曲线切于点 ，
则 ，
所以切线方程为 ，
所以 ， ，
所以 ，
设 ， ，
当 时， ，当 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 .
故选：A.
二、多选题
12．（2024·河北衡水·三模）已知函数 ， 是函数 的一个极值点，则下列说法正确的
是（ ）
A． B．函数 在区间 上单调递减
C．过点 能作两条不同直线与 相切 D．函数 有5个零点【答案】AD
【分析】求得 ，根据 ，可判定A正确；由 ，利用导数的符号求
得函数 的单调区间，可判定B错误；设过点 且与函数 相切的切点为 ，求得切线
方程，列出方程求得 的值，可判定C错误；令 ，作出函数的图象，得到 ，进而
的函数零点的个数，可判定以D正确．
【详解】对于A中，由函数 ，可得 ，
因为 是函数 的一个极值点，可得 ，
解得 ，经检验适合题意，所以A正确；
对于B中，由 ，令 ，解得 或 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ，
故 在区间 上递增，在区间 上递减，在区间 上递增，所以B错误；
对于C中，设过点 且与函数 相切的切点为 ，
则该切线方程为 ，
由于切点 满足直线方程，则 ，
整理得 ，解得 ，所以只能作一条切线，所以C错误；
对于D中，令 ，则 的根有三个，如图所示， ，
所以方程 有3个不同根，方程 和 均有1个根，
故 有5个零点，所以D正确．
故选：AD．13．（2024·湖北·二模）已知 ，则下列不等式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A，构造函数 ，利用导数判断函数单调性，即可比较；对于B，举反例判断即
可；对于C，构造函数 ，利用导数研究函数最值即可判断；对于D，构造函数
，利用导数判断函数单调性，即可比较.
【详解】设 ，则 ， 在 单调递增，
所以 ，即 ，即 ，A正确；
令 ， ，则 ，而 ，所以 ，B不正确；
设 ，则 ，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增；
则 在 时取得最小值 ，即 ，C正确；设 ，则 ，所以 在 上是增函数，
所以由 得 ，即 ，D正确.
故选：ACD
14．（2024·重庆·三模）已知 ，则（ ）
A． B． 在 上单调递增
C． ，使 D． ，使
【答案】AC
【分析】求解函数 的定义域判断B，代入求值判断A，求导研究函数 的单调性，求出函数 的
极值并画出图象即可判断CD.
【详解】要使函数 有意义，则有 ， 且 ，
即 定义域 ，B错误；
， ， ，A正确；
，
记 ， ，则 ，
时， ， 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增， ，即 ，
又 时， ，
令 ，则 单调递增，又 ，
存在唯一 ，使得 ，此时 ，时， ， 时， ， 时， ，
时， ，故 在 上单调递增，在 上单调递减，
在 上单调递减，在 上单调递增，
， .
作出函数 的图象，如图：
所以C正确，D错误.
故选：AC
15．（2024·广东广州·二模）已知函数 ，则（ ）
A． 的定义域为 B． 的图像在 处的切线斜率为
C． D． 有两个零点 ，且
【答案】BCD
【分析】根据题意直接求出 的范围即可判断 ；求出导函数，进而求得 即可判断B；求得 即
可判断C；易知 的单调性，结合零点存在定理及C即可判断D．
【详解】由题意， ，
对于选项A，易知 且 ，故选项A错误，对于选项B，因为 ，则 ，故选项B正确，
对于选项C，因为 ，所以 ，故选项C正确，
对于选项D，由选项 可知 ，易知 在 和 上单调递增，
因为 ，
，
所以 ，使得 ，
又因为 ，则 ，结合选项C，得 ，
即 也是 的零点，则 ， ，故 ，故选项D正确，
故选：BCD.
16．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 是 上的增函数 B．函数 有且仅有一个零点
C．函数 的最小值为 D． 存在唯一个极值点
【答案】BD
【分析】对于A：求导，代特值检验即可；对于B：分 、 和 三种情况，结合函数值的符号
分析判断零点；对于C：分 、 和 三种情况，可得 ，即可判断；对于D：根据
的单调性，结合零点存在性定理分析可知 ，使 ，进而判断 的单调性和极值.
【详解】对于选项A：因为 ，则 ，当 时，则 ， 可得 ，
即 ，所以 不是 上的增函数，故A错误；
对于选项B：因为 ，
当 时， ，可知 是 的零点；
当 时， ，可知 在 内无零点；
当 时， ，则 ，
可得 ，可知 在 内无零点；
综上所述：函数 有且仅有一个零点，故B正确；
对于选项C：当 时， ；
当 时， ；
当 时，则 ， ，可得 ，
综上所述： ，所以 不是函数 的最小值，故C错误；
对于选项D：因为 ， ，
所以 的符号决定于 ，
显然 是 上的增函数，
又因为当 时， ；当 时， ，
所以 ，使 ，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数.
所以 有唯一极小值点. 故D正确.
故选 ：BD.
17．（2024·河北·三模）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若
为偶函数， 为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A． 的图象关于直线 对称． B． 的图象关于点 对称．
C． D．
【答案】BD
【分析】对于A，直接得到 即可判断；对于B，由 为偶函数，所以
，求导可得 即可判断；对于D，求出 的周期为 ，再根
据 即可判断；对于C，由题意举出反例即可淘汰.
【详解】对于A，因为 为奇函数，所以 ，即 ，
所以 的图象关于 中心对称，故A错误；
对于B，由 为偶函数，所以 ，
所以 ，即 ，
即 ，则 ，所以 的图象关于 中心对称，故B正确；
对于D，由 ， ，知 ，
又 ， ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 为周期是 的函数，即 ，故D正确.
对于C，由题意及上述分析知 是以 为周期的函数，且 ，
不妨设 ，所以 ，周期均为 且 ，
所以 ，所以C错误；
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：对于选项C，通过举反例的形式淘汰答案，不妨设 ，所以
，所以周期为 ，且 ，所以
.
三、填空题
18．（2024·江西·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知曲线 的一条切线 与 轴、
轴分别交于 ， 两点，则 的面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】设切点 ，求导 ，切线方程 ，求出 , ,得到,构造函数求解最值.
【详解】设切点 ， ，求导得 ，则切线方程 ，
由切线 与 轴、 轴分别交于 两点，
则 , ,
得到 ,
构造函数 , ，
求导 ，
令 ， ，
所以 ， 单调递增， ， 单调递减，
所以 .
故答案为： .
19．（2024·四川遂宁·三模）曲线 在点 处切线的斜率为3，则实数 ．
【答案】1
【分析】根据导数几何意义，求出在 处的导数即可得解.
【详解】 的导数为 ，
可得曲线 在点 处切线的斜率为 ，
解得 .
故答案为：1.
20．（2024·重庆·模拟预测）已知 ，若实数m，n满足 ，则 的
最小值为
【答案】4【分析】利用导数求解函数单调性，由 得 ，即可利用不等式求解最值.
【详解】由 可得 ，故 在 单调递增，
而 ，
故 得 ，
，当且仅当 ，即 时取等号，
故答案为：4
21．（2024·贵州贵阳·三模）已知函数 ，若函数 的最小值恰好为0，则实数
的最小值是 .
【答案】
【分析】换元构造新函数，再利用导数求得函数单调性与最值，从而求得 的最值.
【详解】令 ，则 ，所以 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
故当 时， 取得最小值 ，
故当 ，即 时，函数 的最小值恰好为0，
令 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，所以 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解参数范围问题.关键点是通过换元 ，将 转化
为 ，并利用导数研究 的单调性与最值，得到 ，再利用导数求解 的单调性，
即可求得 的最值.
22．（2024·山东临沂·二模）若直线 与曲线 相切，则 的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得 ，则 ，构造
并研究单调性，进而求值域即可.
【详解】函数 的导数为 ，
设切点为 ，所以 ，则 ，即
又因为 在 上，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，
令 ， ，
令 ，可得 ，令 ，可得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 .
当 趋近正无穷时， 趋近正无穷.
所以 的取值范围为： .
故答案为： .
23．（2024·河北·三模）已知 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是
．
【答案】
【分析】将原不等式变形为 ，设 ，通过求导求 的最小值，然后解不等式
即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，即 ，
设 ， ，
令 ， ，即 在 上单调递增，
令 ， ，即 在 上单调递减，
则 ，
所以 ，解得 .
故答案为： .
四、解答题
24．（2024·北京·三模）已知 ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 存在两个不同的极值点 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程；
（2）由已知结合导数与单调性及极值关系先表示 ，然后结合二次方程根的存在条件即可证
明.
【详解】（1）当 时， ，
，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2） ，
令 ，得 ，令 ，则 ，
原方程可化为 ①，则 是方程①的两个不同的根，所以 ，解得 ，
由韦达定理得 ，则 ，
所以
，
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递减，
所以 ，
所以 .
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
25．（2024·江西·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 ，求 的极值；
(2)若 ，求 的最大值．
【答案】(1)极小值 ，无极大值；(2)
【分析】（1）先对 求导，根据单调性求出 的极值；
（2）由函数单调性和 得出关于 的不等关系式，再通过求导得出最大值.
【详解】（1） 时， ，
函数 的定义域 ，
，
时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
所以 时， 取得极小值，极小值为 ，无极大值.
（2）函数 的定义域 ， ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
趋向于 时， 趋向于 ，与 矛盾.
当 时，则 时， ， 在 上单调递减，
则 时， ， 在 上单调递增，
时， 取得最小值，
最小值为 ，
即 ，
则 ，令 ，
，
时， ， 在 上单调递增，
时， ， 在 上单调递减，
时， 取得最大值，最大值为 ，
即当 ， ， 的最大值为 .
26．（2024·江西赣州·二模）给出以下三个材料：
①若函数 的导数为 ， 的导数叫做 的二阶导数，记作 .类似地，二阶导数
的导数叫做 的三阶导数，记作 ，三阶导数 的导数叫做 的四阶导数…，一般地，n
－1阶导数的导数叫做 的n阶导数，即 ， ；
②若 ，定义 ；③若函数 在包含 的某个开区间 上具有n
阶的导数，那么对于 有
，我们将 称为
函数 在点 处的n阶泰勒展开式.例如， 在点 处的n阶泰勒展开式为
.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)若 ， 在点 处的3阶泰勒展开式分别为 ， ，求出 ， ；(2)比较（1）中 与 的大小；
(3)证明： .
【答案】(1) ，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用n阶泰勒展开式的定义，求解 ， ；
（2）两函数作差，通过构造函数，利用导数求最值的方法比较大小；
（3）借助泰勒展开式，利用导数得到函数单调性，证明不等式.
【详解】（1） ，则有 ， ，
∴ ， ， ，
∴
同理可得： .
（2）由（1）知： ， ，
令 ，则 ，
∴ ，∴ 在R上单调递增，
又 ，∴在 上 ， 单调递减；在 上 ， 单调递增，
∴ ，即 ，
故
（3）令 ，则由（2）知， ，所以 在R上单调递增，又 ，
所以当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ，
∴ 在点 处的4阶泰勒展开式为： ，
∴ ，当且仅当x＝0时取等号，
①当 时， ，当且仅当x＝0时取等号，
所以
②当 时，设 ， ，
， ，
若 ，由于 ，所以，
，
，从而
若 ， ，
所以， 时， 单调递减，从而 ，即 .
综上： .
【点睛】方法点睛：
“新定义运算”指的是使用新定义的运算方法求解数学问题，这些新定义的运算可以是像“阶乘”、“斐波那契数列”这样的经典运算，也可以是一些比较新奇的概念，要透彻理解新定义的本质，严格按照
新定义运算规则进行计算，与相关基础数学知识联系去解决问题.
27．（2024·山东威海·二模）已知函数 ．
(1)求 的极值；
(2)证明： ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数与函数单调性以及极值的关系，即可求得答案；
（2）根据要证明的不等式的结构特点，设 ，求出其导数，利用导数判断其单调
性，结合其最值，即可证明结论.
【详解】（1）由题意得 的定义域为 ，
则 ，
当 时， ， 在 上单调递增，无极值；
当 时，令 ，则 ，令 ，则 ，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 为函数的极大值点，函数极大值为 ，无极小值；
（2）证明：设 ，
，令 ，
则 ，即 在 上单调递增，，
故 ，使得 ，即 ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
故
即 ，即 ，则 .
28．（2024·江西·二模）已知函数
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)设函数 有两个极值点 ，且 ，若 恒成立，求 最小值．
【答案】(1)极大值 ；极小值
(2)
【分析】（1）将 代入函数解析式，对函数求导，利用导数即可判断函数的单调性，求得极值.
（2）对函数求导，结合已知条件得方程 有两个相异的正根 ，利用为韦达定理求得
，再结合 ，求出 范围，进而确定 的范围，由 ，得
，构造函数 ，利用导数判断函数单调性确定函
数最值，即可求解.
【详解】（1）当 时，有 ，令 ，即 ，解得 或 ，
所以当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增；
所以 时， 取得极大值，极大值为 ，
时， 取得极小值，极小值为 .
（2）因为 ，
所以
由已知函数 有两个极值点 ，
所以方程 有两个相异的正根
所以 ，即 或 ，
又 ，所以 ， ，所以 ；
所以 对称轴为 ，二次函数与 轴交点为 、 ，
且 ，所以 在对称轴的右侧，则有 ，
因为 ，即 ，
所以 ，其中 ，令 ，
则 ，
令 ，解得 均不在定义域内，
所以 时， ， 在 上单调递减，
，
所以 ，即 最小值为 .
29．（2024·安徽·三模）已知函数 .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 ，求函数 在 上的最值.
【答案】(1)
(2)最大值为 ，最小值为
【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求出结果；
（2）利用导数与函数单调性间的关系，求出 和 的解集，即可求出函数的单调区间，再
求出两端点函数值及极值，通过比较，即可求出结果.
【详解】（1）由函数 ，可得 ，
可得 ，且 ，所以切线的斜率为 ，切点为 ，
则所求切线方程为 .（2）由（1），当 时，可得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
而 ， ， ，
故所求最大值为 ，最小值为 .
30．（2024·四川眉山·三模）已知函数 .
(1)若过点 可作曲线 两条切线，求 的取值范围；
(2)若 有两个不同极值点 .
①求 的取值范围；
②当 时，证明： .
【答案】(1) ；
(2)① ；②证明见解析.
【分析】（1）求出函数 的导数，设出切点坐标，求出切线方程，结合切线过的点构造函数
，探讨函数 有两个零点的 的值范围.
（2）①由 有两个零点，结合零点的意义分离参数，求出直线 与函数 图
象有两个公共点的 的值范围；②由方程根的意义可得 ，分析所证不等式，换元并证明
即可.【详解】（1）依题意， ，
设过点 的直线与曲线 相切时的切点为 ，斜率 ，
切线方程为 ，而点 在切线上，
则 ，即有 ，
由过点 可作曲线 两条切线，得方程 有两个不相等的实数根，
令 ，则函数 有2个零点，
求导得 ，
①若 ，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
即函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
则当 时， 取得极大值；当 时， 取得极小值，
又 ，
当 时， 恒成立，因此函数 最多1个零点，不合题意；
②若 ， 恒成立，函数 在 上单调递增，
因此函数 最多1个零点，不合题意；
③若 ，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
即函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
则当 时， 取得极大值；当 时， 取得极小值，又 ，
显然当 时， 恒成立，因此函数 最多1个零点，不合题意；
④若 ，显然 ，当 时， ，当 时， ，函数在 上单调递增，在 上单调递减，当 时， 取得最大值 ，
要函数 有2个零点，必有 ，得 ，
当 时， ，
而函数 在 上的值域为 ，因此 在 上的值域为 ，
当 时，令 ，求导得 ，函数 在 上单调递减，
则 ， ，
而函数 在 上单调递减，值域为 ，
因此函数 在 上的值域为 ，
于是当 时，函数 有两个零点，
所以过点 可作曲线 两条切线时， 的取值范围是 .
（2）①由（1）知， ，
由函数 有两个极值点 ，得 ，即 有两个实数根 ，
令 ，求导得 ，当 时， ，当 时， ，
函数 在 上单调递增， 上单调递减， ，
且 ，当 时，函数 恒成立，因此当 时， 有两个实数根
所以函数 有两个极点时， 的取值范围是 .
②由 ，即 ，得 ，
要证明 ，只需证明 ，而 ，
令 ，则 ，欲证明 ，
即证明 ，只需证明 即可，
令 ，
求导得 ，
则 在 时单调递增，故 ，
则 ，令 在 时单调递增，则 ，
因此 ，即 ，
所以 .
【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，
都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.
