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专题 19 排列组合与二项式定理
5 种常见考法归类
知识 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点01有限制条件的排列问题 1.有限制条件的排列是高频热点
2025·上海2024·全国甲卷 2024·新课标Ⅱ卷 近 5 年多次考查 “有限制条件
2024·上海2023·全国甲卷2022·新高考全国Ⅱ卷 的排列问题”，题目常通过 “相
知识1 排列与 2021·全国甲卷 邻 / 不相邻”“特殊元素优先”
组合 考点02组合问题 “位置限制” 等经典模型设置，
（5年5考） 2024·天津2023·新课标Ⅰ卷2023·新课标Ⅱ卷 侧重逻辑推理和分类讨论思想的
应用。
2023·全国甲卷2023·全国乙卷
2,.组合问题则多与实际场景结合
2022·新高考全国Ⅰ卷 2022·上海2022·全国甲卷
（如分配问题、选组问题），强
2022·全国乙卷2021·全国乙卷 2021·上海
调对 “无序性” 本质的理解。
考点03求二项式展开式的特定项
3.二项式定理特定项与系数计算是
2025·上海2025·天津2024·天津2024·北京 2023·
绝对重点,近 5 年 “求二项式展
天津2023·上海 2022·新高考全国Ⅰ卷2022·天
开式的特定项”（如常数项、指
津 2022·上海2021·北京 2021·天津
定次数项）考查频率最高，核心
考点04二项式展开式项的系数和
是利用通项公式求解，需注意符
2025·北京2024·上海2022·北京 2022·浙江
号、系数与二项式系数的区别。
2021·浙江
4.“系数和” 问题（如赋值法求各
知识2 二项式
项系数和、奇数项 / 偶数项系数
定理
和）也频繁出现，侧重对赋值法
（5年5考）
的灵活应用。
5.系数最值问题偶有出现，注重逻
考点05项的系数最值问题 辑分析,虽然考查次数较少，但系
2024·全国甲卷 2021·上海 数最值问题常涉及不等式求解或
单调性分析，需结合二项式系数
的增减性规律（中间项最大），
体现对知识深度的要求。考点01有限制条件的排列问题
1．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出
场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是
家长，则不同的排列个数有 种．
3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站
在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
4．（2021·全国甲卷·高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
5．（2021·全国甲卷·高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·上海·高考真题）设集合 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素
之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ．
7．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，
每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
8．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取
3次，每次取1个球.记 为前两次取出的球上数字的平均值， 为取出的三个球上数字的平均值，则 与
之差的绝对值不大于 的概率为 ．
9．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格
被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是
．
考点02组合问题
10．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样
方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A． 种 B． 种
C． 种 D． 种
11．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概
率为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随
机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A． B． C． D．
13．（2021·全国乙卷·高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项
目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（
）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
14．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物
中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
15．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项
目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人
参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为 ；已知乙同学参加的3个项
目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 ．
16．（2022·上海·高考真题）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项
项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为 ；
17．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门
课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作
答）．
18．（2022·全国甲卷·高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为
．
19．（2022·全国乙卷·高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的
概率为 ．
20．（2021·上海·高考真题）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如下表
所示，问有几种运动方式组合
A运动 B运动 C运动 D运动 E运动
7点 8点 8点 9点 9点 10点 10点 11点 11点 12点30分钟 20分钟 40分钟 30分钟 30分钟
考点03求二项式展开式的特定项
21．（2024·北京·高考真题）在 的展开式中， 的系数为（ ）
A． B． C． D．
22．（2025·上海·高考真题）在二项式 的展开式中， 的系数为 ．
23．（2025·天津·高考真题）在 的展开式中， 项的系数为 ．
24．（2024·天津·高考真题）在 的展开式中，常数项为 ．
25．（2023·天津·高考真题）在 的展开式中， 的系数为 ．
26．（2022·天津·高考真题）在 的展开式中，常数项是 .
27．（2021·北京·高考真题）在 的展开式中，常数项为 .
28．（2021·天津·高考真题）在 的展开式中， 的系数是 ．
29．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题） 的展开式中 的系数为 （用数
字作答）．
30．（2022·上海·高考真题）二项式 的展开式中， 项的系数是常数项的5倍，则 ；
31．（2023·上海·高考真题）已知 ，若存在
{0，1，2，…，100}使得 ，则k的最大值为 .
考点04二项式展开式项的系数和
32．（2022·北京·高考真题）若 ，则 （ ）
A．40 B．41 C． D．
33．（2025·北京·高考真题）已知 ，则 ；
．
34．（2022·浙江·高考真题）已知多项式 ，则
， ．35．（2021·浙江·高考真题）已知多项式 ，则 ，
.
36．（2024·上海·高考真题）在 的二项展开式中，若各项系数和为32，则 项的系数为 ．
考点05项的系数最值问题
37．（2024·全国甲卷·高考真题） 的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
38．（2021·上海·高考真题） 的二项展开式中有且仅有 的系数为最大值，则 的系数为 .
