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专题 19 排列组合与二项式定理
5 种常见考法归类
知识 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点01有限制条件的排列问题 1.有限制条件的排列是高频热点
2025·上海2024·全国甲卷 2024·新课标Ⅱ卷 近 5 年多次考查 “有限制条件
2024·上海2023·全国甲卷2022·新高考全国Ⅱ卷 的排列问题”，题目常通过 “相
知识1 排列与 2021·全国甲卷 邻 / 不相邻”“特殊元素优先”
组合 考点02组合问题 “位置限制” 等经典模型设置，
（5年5考） 2024·天津2023·新课标Ⅰ卷2023·新课标Ⅱ卷 侧重逻辑推理和分类讨论思想的
应用。
2023·全国甲卷2023·全国乙卷
2,.组合问题则多与实际场景结合
2022·新高考全国Ⅰ卷 2022·上海2022·全国甲卷
（如分配问题、选组问题），强
2022·全国乙卷2021·全国乙卷 2021·上海
调对 “无序性” 本质的理解。
考点03求二项式展开式的特定项
3.二项式定理特定项与系数计算是
2025·上海2025·天津2024·天津2024·北京 2023·
绝对重点,近 5 年 “求二项式展
天津2023·上海 2022·新高考全国Ⅰ卷2022·天
开式的特定项”（如常数项、指
津 2022·上海2021·北京 2021·天津
定次数项）考查频率最高，核心
考点04二项式展开式项的系数和
是利用通项公式求解，需注意符
2025·北京2024·上海2022·北京 2022·浙江
号、系数与二项式系数的区别。
2021·浙江
4.“系数和” 问题（如赋值法求各
知识2 二项式
项系数和、奇数项 / 偶数项系数
定理
和）也频繁出现，侧重对赋值法
（5年5考）
的灵活应用。
5.系数最值问题偶有出现，注重逻
考点05项的系数最值问题 辑分析,虽然考查次数较少，但系
2024·全国甲卷 2021·上海 数最值问题常涉及不等式求解或
单调性分析，需结合二项式系数
的增减性规律（中间项最大），
体现对知识深度的要求。考点01有限制条件的排列问题
1．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出
场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.
解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.
【详解】解法一：画出树状图，如图，
由树状图可得，出场次序共有24种，
其中符合题意的出场次序共有8种，
故所求概率 ；
解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有 种排法，丁就 种，共 种；
当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有 种排法，丁就 种，共 种；
于是甲最后出场共 种方法，同理乙最后出场共 种方法，于是共 种出场顺序符合题意；
基本事件总数显然是 ，
根据古典概型的计算公式，所求概率为 .
故选：C
2．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是
家长，则不同的排列个数有 种．
【答案】288
【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可.
【详解】先选两位家长排在首尾有 种排法；再排对中的四人有 种排法，故有 种排法.
故答案为：288
3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站
在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有 种排列方
式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；
注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有： 种不同的排列方式，
故选：B
4．（2021·全国甲卷·高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【答案】C
【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.
【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，
共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法为：
，
共6种方法，
故2个0不相邻的概率为 ，
故选：C.
5．（2021·全国甲卷·高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有 种排法，若2个0不相邻，则有 种排法，
所以2个0不相邻的概率为 .
故选：C.
6．（2024·上海·高考真题）设集合 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素
之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ．【答案】329
【分析】三位数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可.
【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．
首先讨论三位数中的偶数，
①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有 个；
②当个位不为0时，则个位有 个数字可选，百位有 个数字可选，十位有 个数字可选，
根据分步乘法这样的偶数共有 ，
最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为 个．
故答案为：329．
7．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，
每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
【答案】B
【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.
【详解】不妨记五名志愿者为 ，
假设 连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有
种方法，
同理： 连续参加了两天公益活动，也各有 种方法，
所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有 种.
故选：B.
8．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取
3次，每次取1个球.记 为前两次取出的球上数字的平均值， 为取出的三个球上数字的平均值，则 与
之差的绝对值不大于 的概率为 ．
【答案】
【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为 ，第三个球的号码为 ，则
，就 的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.
【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有 种，
设前两个球的号码为 ，第三个球的号码为 ，则 ，
故 ，故 ，
故 ，
若 ，则 ，则 为： ，故有2种，若 ，则 ，则 为： ，
，故有10种，
当 ，则 ，则 为：
，
，
故有16种，
当 ，则 ，同理有16种，
当 ，则 ，同理有10种，
当 ，则 ，同理有2种，
共 与 的差的绝对值不超过 时不同的抽取方法总数为 ，
故所求概率为 .
故答案为：
9．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格
被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是
．
【答案】 24 112
【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结
果，即可求解.
【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，
则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，
第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，
所以共有 种选法；
每种选法可标记为 ， 分别表示第一、二、三、四列的数字，
则所有的可能结果为：
，，
，
，
所以选中的方格中， 的4个数之和最大，为 .
故答案为：24；112
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用
列举法写出所有的可能结果.
考点02组合问题
10．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样
方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和
200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A． 种 B． 种
C． 种 D． 种
【答案】D
【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.
【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取 人，高中部共抽取 ，
根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有 种.
故选：D.
11．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概
率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有 种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有： ，共7种，
故所求概率 .
故选：D.
12．（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随
机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.
【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有 件，
其中这2名学生来自不同年级的基本事件有 ，
所以这2名学生来自不同年级的概率为 .
故选：D.
13．（2021·全国乙卷·高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项
目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（
）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘
法原理求得.
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者
中任选2人，组成一个小组，有 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的
位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有
种不同的分配方案，
故选：C.
【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排
思想求解.
14．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物
中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
【答案】C
【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.
【详解】首先确定相同得读物，共有 种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有 种，
根据分步乘法公式则共有 种，
故选：C.
15．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项
目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人
参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为 ；已知乙同学参加的3个项
目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 ．【答案】
【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求解第一空；采用列举法或者条件概率公式可求第二空.
【详解】解法一：列举法
给这5个项目分别编号为 ,从五个活动中选三个的情况有：
,共10种情况，
其中甲选到 有6种可能性： ，
则甲参加“整地做畦”的概率为： ；
乙选 活动有6种可能性： ，
其中再选择 有3种可能性： ，
故乙参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 .
解法二：
设甲、乙选到 为事件 ，乙选到 为事件 ，
则甲选到 的概率为 ；
乙选了 活动，他再选择 活动的概率为
故答案为： ；
16．（2022·上海·高考真题）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项
项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为 ；
【答案】
【分析】
由题意，利用古典概型的计算公式，计算求得结果．
【详解】
解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方
法共有 种，
而所有的抽取方法共有 种，
故每一类都被抽到的概率为 ＝ ＝ ，故答案为： ．
17．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门
课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作
答）．
【答案】64
【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.
【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有 种；
（2）当从8门课中选修3门，
①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有 种；
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有 种；
综上所述：不同的选课方案共有 种.
故答案为：64.
18．（2022·全国甲卷·高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为
．
【答案】 .
【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．
【详解】从正方体的 个顶点中任取 个，有 个结果，这 个点在同一个平面的有
个，故所求概率 ．
故答案为： ．
19．（2022·全国乙卷·高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的
概率为 ．
【答案】 /0.3
【分析】根据古典概型计算即可
【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，
1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；
其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率 .
故答案为： .
解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为甲、乙都入选的方法数为 ，所以甲、乙都入选的概率
故答案为：
20．（2021·上海·高考真题）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如下表
所示，问有几种运动方式组合
A运动 B运动 C运动 D运动 E运动
7点 8点 8点 9点 9点 10点 10点 11点 11点 12点
30分钟 20分钟 40分钟 30分钟 30分钟
【答案】
【分析】根据题意，可以判定选择任意3种及其以上否是符合要求的，只是在选择两种的情况下，有些是
达不到要求的，利用组合求得总数，减去不合要求的种数即可.
【详解】由题意，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中， 的组
合是不符题意的，∴ ,
故答案为：23.
考点03求二项式展开式的特定项
21．（2024·北京·高考真题）在 的展开式中， 的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】写出二项展开式，令 ，解出 然后回代入二项展开式系数即可得解.
【详解】 的二项展开式为 ，
令 ，解得 ，
故所求即为 .
故选：A.
22．（2025·上海·高考真题）在二项式 的展开式中， 的系数为 ．
【答案】
【分析】利用通项公式求解可得.
【详解】由通项公式 ，
令 ，得 ，
可得 项的系数为 .故答案为： .
23．（2025·天津·高考真题）在 的展开式中， 项的系数为 ．
【答案】
【分析】根据二项式定理相关知识直接计算即可.
【详解】 展开式的通项公式为 ，
当 时， ，
即 展开式中 的系数为 .
故答案为：
24．（2024·天津·高考真题）在 的展开式中，常数项为 ．
【答案】20
【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.
【详解】因为 的展开式的通项为 ，
令 ，可得 ，
所以常数项为 .
故答案为：20.
25．（2023·天津·高考真题）在 的展开式中， 的系数为 ．
【答案】
【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式 ，令 确定 的
值，然后计算 项的系数即可.
【详解】展开式的通项公式 ，
令 可得， ，
则 项的系数为 .
故答案为：60.
26．（2022·天津·高考真题）在 的展开式中，常数项是 .
【答案】15
【分析】利用二项式展开式的通项特征，即可求解.【详解】由题意 的展开式的通项为 ，
令 即 ，则 ，所以 的展开式中的常数项为 .
故答案为： .
27．（2021·北京·高考真题）在 的展开式中，常数项为 .
【答案】
【分析】利用二项展开通项公式即可得解.
【详解】 的展开式的通项 ，
令 ，解得 ，故常数项为 .
故答案为： .
28．（2021·天津·高考真题）在 的展开式中， 的系数是 ．
【答案】160
【分析】求出二项式的展开式通项，令 的指数为6即可求出.
【详解】 的展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，
所以 的系数是 .
故答案为：160.
29．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题） 的展开式中 的系数为 （用数
字作答）．
【答案】-28
【分析】 可化为 ，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为 ，
所以 的展开式中含 的项为 ，
的展开式中 的系数为-28
故答案为：-2830．（2022·上海·高考真题）二项式 的展开式中， 项的系数是常数项的5倍，则 ；
【答案】10
【分析】先写出二项展开式的通项公式，令 得 的系数，令 得常数项，再由已知列出等式，解
出 即可.
【详解】由题知 ，当 时， 的系数为 ；当 时，常数项为 ；
又 的系数是常数项的5倍，所以 ，解得 .
故答案为：10
31．（2023·上海·高考真题）已知 ，若存在
{0，1，2，…，100}使得 ，则k的最大值为 .
【答案】49
【分析】根据二项展开式的通项可得 ，然后由 可得 为奇数，然后
可得 ，即可求出答案.
【详解】二项式 的通项为 ，
二项式 的通项为 ，
，
，若 ，则 为奇数，
此时 ，
，又 为奇数， 的最大值为49.
故答案为：49.
考点04二项式展开式项的系数和
32．（2022·北京·高考真题）若 ，则 （ ）
A．40 B．41 C． D．
【答案】B
【分析】利用赋值法可求 的值.
【详解】令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 ，
故选：B.
33．（2025·北京·高考真题）已知 ，则 ；．
【答案】
【分析】利用赋值法可求 ，利用换元法结合赋值法可求 的值.
【详解】令 ，则 ，
又 ，
故 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，故
故答案为： .
34．（2022·浙江·高考真题）已知多项式 ，则
， ．
【答案】
【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令 求出 ，再令 即可得出答
案．
【详解】含 的项为： ，故 ；
令 ，即 ，
令 ，即 ，
∴ ，
故答案为： ； ．
35．（2021·浙江·高考真题）已知多项式 ，则 ，
.
【答案】 ; .
【分析】根据二项展开式定理，分别求出 的展开式，即可得出结论.
【详解】 ，
，
所以 ，
，
所以 .
故答案为： .36．（2024·上海·高考真题）在 的二项展开式中，若各项系数和为32，则 项的系数为 ．
【答案】10
【分析】根据给定条件，求出幂指数 ，再利用二项式定理求出指定项的系数.
【详解】则二项式 的展开式各项系数和为32，得 ，解得 ，
所以 的展开式 项的系数为 .
故答案为：10
考点05项的系数最值问题
37．（2024·全国甲卷·高考真题） 的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
【答案】5
【分析】先设展开式中第 项系数最大，则根据通项公式有 ，进而求出 即可
求解.
【详解】由题展开式通项公式为 ， 且 ，
设展开式中第 项系数最大，则 ，
，即 ，又 ，故 ，
所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为 .
故答案为：5.
38．（2021·上海·高考真题） 的二项展开式中有且仅有 的系数为最大值，则 的系数为 .
【答案】
【分析】根据已知条件求出 的值，利用二项式定理可求得 的系数.
【详解】因为 的二项展开式中有且仅有 的系数为最大值，则 ，
故 的二项展开式的通项为 ，由 可得 ，故 的系数为 .
故答案为： .
