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专题 10 计数原理
1．【2022年新高考2卷】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不
站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有( )
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【解析】
【分析】
利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】
因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种
排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插
入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同
学共有：3!×2×2=24种不同的排列方式，
故选：B
2．【2022年北京】若(2x-1) 4=a x4+a x3+a x2+a x+a ，则a +a +a = ( )
4 3 2 1 0 0 2 4
A．40 B．41 C．-40 D．-41
【答案】B
【解析】
【分析】
利用赋值法可求a +a +a 的值.
0 2 4
【详解】
令x=1，则a +a +a +a +a =1，
4 3 2 1 0
令x=-1，则a -a +a -a +a =(-3) 4=81，
4 3 2 1 0
1+81
故a +a +a = =41，
4 2 0 2
故选：B.3．【2022年新高考1卷】 ( 1- y) (x+ y) 8 的展开式中x2y6的系数为________________(用
x
数字作答)．
【答案】-28
【解析】
【分析】
( 1- y) (x+ y) 8 可化为(x+ y) 8- y (x+ y) 8 ，结合二项式展开式的通项公式求解.
x x
【详解】
因为 ( 1- y) (x+ y) 8=(x+ y) 8- y (x+ y) 8 ，
x x
所以 ( 1- y) (x+ y) 8 的展开式中含x2y6的项为C6x2y6- y C5x3y5=-28x2y6 ，
x 8 x 8
( 1- y) (x+ y) 8 的展开式中x2y6的系数为-28
x
故答案为：-28
4．【2022年浙江】已知多项式(x+2)(x-1) 4=a +a x+a x2+a x3+a x4+a x5 ，则
0 1 2 3 4 5
a = __________，a +a +a +a +a = ___________．
2 1 2 3 4 5
【答案】 8 -2
【解析】
【分析】
第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令x=0求出a ，再令x=1即可得
0
出答案．
【详解】
含x2的项为：x⋅C3 ⋅x⋅(-1) 3+2⋅C2 ⋅x2 ⋅(-1) 2=-4x2+12x2=8x2，故a =8；
4 4 2
令x=0，即2=a ，
0
令x=1，即0=a +a +a +a +a +a ，
0 1 2 3 4 5∴a +a +a +a +a =-2，
1 2 3 4 5
故答案为：8；-2．
1．(2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测) 展开式中的常数项为( )
A．60 B．64 C．－160 D．240
【答案】A
【解析】
【分析】
先得到二项式的通项公式，再令x的指数为0得到项数，从而得到常数项大小．
【详解】
解： 的二项展开式的通项公式为
．令 ，解得 ，
所以展开式的常数项为 ．
故选：A．
2．(2022·江苏无锡·模拟预测)二项式 的展开式中，含 项
的二项式系数为( )
A．84 B．56 C．35 D．21
【答案】B
【解析】
【分析】
易知展开式中，含 项的二项式系数为 ，再利用组合数的性质求
解.
【详解】
解：因为二项式为 ，所以其展开式中，含 项的二项式系数为：
，
，
，
，
，
.
故选：B
3．(2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测)将 名志愿者分配到 个不同的社区进行抗疫，每
名志愿者只分配到 个社区，每个社区至少分配 名志愿者，则不同的分配方案共有( )
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】B
【解析】
【分析】
将 名志愿者分为 组，每组的人数分别为 、 、 、 ，再将这 组志愿者分配到 个不
同的社区，利用分步乘法计数原理可得结果.
【详解】
将 名志愿者分为 组，每组的人数分别为 、 、 、 ，再将这 组志愿者分配到 个不
同的社区，
由分步乘法计数原理可知，不同的分配方案种数为 .
故选：B.
4．(2022·吉林·三模(理))对于 的展开式，下列说法不正确的是( )
A．有理项共5项 B．二项式系数和为512
C．二项式系数最大的项是第4项和第5项 D．各项系数和为【答案】C
【解析】
【分析】
由二项式展开式的通项公式与二项式系数的性质求解判断.
【详解】
的展开式的通项公式为
，
当 时，展开式的项为有理项，
所以有理项有5项，A正确；
所有项的二项式系数和为 ，B正确；
因为二项式的展开式共有10项，
所以二项式系数最大的项为第5项和第6项，C错误；
令 ，所有项的系数和为 ，D正确.
故选：C
5．(2022·全国·模拟预测(理))为帮助用人单位培养和招聘更多实用型、复合型和紧缺型人才，
促进高校毕业生更高质量就业，教育部于 年首次实施供需对接就业育人项目．某市今
年计划安排甲、乙、丙 所高校与 家用人单位开展供需对接，每家用人单位只能对接 所
高校，且必有高校与用人单位对接．若甲高校对接 家用人单位，乙、丙两所高校分别至
少对接 家用人单位，则不同的对接方案共有( )
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】C
【解析】
【分析】
将方案分为乙、丙高校各对接 家用人单位和乙、丙高校其中一所对接 家用人单位，另一
所对接 家用人单位两种情况，根据分组分配的方法可计算得到每种情况对应的方案数，
加和即可求得结果.【详解】
若乙、丙高校各对接 家用人单位，则对接方案有 种；
若乙、丙高校其中一所对接 家用人单位，另一所对接 家用人单位，则对接方案有
种；
综上所述：不同的对接方案共有 种.
故选：C.
6．(2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测(理))已知
，则 ( )
A．280 B．35 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将 化为
，利用展开式的通项求解即可.
【详解】
，
令 ，则
，
展开式的通项为： ，
令 ，可得 ，所以 .
故选：A.
7．(2022·江苏·常州高级中学模拟预测) 的展开式中 的系数为( )
A． B．25 C． D．5
【答案】A【解析】
【分析】
根据题意 ，借助二项展开式通项得 的
展开式为 ，分析求解．
【详解】
∵
的展开式为 ，
令 ，得 ，则 ，
令 ，得 ，则 ，
令 ，得 ，
∴ 的展开式中 的系数为 .
故选：A．
8．(2022·全国·模拟预测)数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学
家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，
例如正整数 ．设 ，其中a，b，c，d
均为自然数，则满足条件的有序数组 的个数是( )
A．28 B．24 C．20 D．16
【答案】A
【解析】
【分析】
分类讨论四个数的组成后，由计数原理求解
【详解】
显然a，b，c，d均为不超过5的自然数，下面进行讨论．最大数为5的情况：
① ，此时共有 种情况；
最大数为4的情况：
② ，此时共有 种情况；
③ ，此时共有 种情况．
当最大数为3时， ，故没有满足题意的情况．
综上，满足条件的有序数组 的个数是 ．
故选：A
9．(2022·福建省福州格致中学模拟预测)已知 ，则关于
的展开式，以下命题错误的是( )
A．展开式中系数为负数的项共有3项
B．展开式中系数为正数的项共有4项
C．含 的项的系数是
D．各项的系数之和为
【答案】C
【解析】
【分析】
写出展开式各项的系数判断其正负即判断选项ABC的真假；求出各项的系数之和即可判断
选项D的真假.
【详解】
解：原式= ，所以 的系数为1，是正数； 的
系数为 ， 的系数为， 的系数为
， 的系数为
， 的系数为
，常数项为 ，
所以展开式中系数为负数的项共有3项，展开式中系数为负数的项共有4项，所以选项AB
正确，选项C错误.
设 ，所以 .所
以各项的系数之和为 ，所以选项D正确.
故选：C
10．(2022·辽宁·鞍山一中模拟预测)数列 中， ， ，
的值为( )
A．761 B．697 C．518 D．454
【答案】D
【解析】
【分析】
由 ，结合等比数列的定义和通项公式可求出 ，结合二项式定理
可求出 的值.
【详解】
解：因为 ，又 ，
所以 以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ，所以 ，
则又
，
，
所以 ，
故选：D
11．(2022·湖北·华中师大一附中模拟预测)某地区安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者
同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且
A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为(
)
A．72 B．84 C．90 D．96
【答案】B
【解析】
【分析】
分为每个社区各两人和一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人两种分配方式，第二
种分配方式再分AB两人一组去一个社区，AB加上另一人三人去一个社区，进行求解，最
后相加即为结果.
【详解】
第一种分配方式为每个社区各两人，则CE一组，DF一组，或CF一组，DE一组，由2种分
组方式，再三组人，三个社区进行排列，则分配方式共有 种；
第二种分配方式为一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人，
当AB两人一组去一个社区，则剩下的4人，1人为一组，3人为一组，则必有C或D为一
组，有 种分配方法，再三个社区，三组人，进行排列，有 种分配方法；当AB加上另一人三人去一个社区，若选择的是C或D，则有 种选择，再将剩余3人分为
两组，有 种分配方法，将将三个社区，三组人，进行排列，有 种分配
方法；
若选择的不是C或D，即从E或F中选择1人和AB一起，有 种分配方法，再将CD和剩
余的1人共3人分为两组，有2种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有
种分配方法，
综上共有12+12+36+24=84种不同的分配方式
故选：B
12．(2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测(理))《数术记遗》是《算经十书》中的一部，
相传是汉末徐岳所著.该书记述了我国古代 种算法，分别是：积算(即筹算)、太乙算、两
仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠
算和计数.某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运筹
算、了知算、成数算和把头算等 种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每
种算法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有(
)种.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
对甲收集的方案种数进行分类讨论，结合分组分配原理以及分类加法计数原理可求得结果.
【详解】
分以下两种情况讨论：
①若甲只收集一种算法，则甲有 种选择，将其余 种算法分为 组，再分配给乙、丙、丁
三人，
此时，不同的收集方案种数为 种；
②若甲收集两种算法，则甲可在运筹算、成数算和把头算 种算法中选择 种，其余 种算法分配给乙、丙、丁三人，
此时，不同的收集方案种数为 种.
综上所述，不同的收集方案种数为 种.
故选：C.
13．(2022·广东佛山·模拟预测)“五经”是儒家典籍《周易》、《尚书》、《诗经》、《礼
记》、《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知
识讲座，每经排1节，连排5节，则《诗经》、《春秋》分开排的情况有________种．
【答案】
【解析】
【分析】
由于《诗经》、《春秋》分开排，先将《周易》、《尚书》、《礼记》进行排列，然后再
把《诗经》、《春秋》插入到4个空位中即可得到答案
【详解】
先将《周易》、《尚书》、《礼记》进行排列，共有 种排法
再从产生的4个空位中选2个安排《诗经》、《春秋》，共有 种排法
所以满足条件的情形共有 种．
故答案为：
14．(2022·上海市光明中学模拟预测)已知二项式 ，则其展开式中 的系数为
____________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用二项展开式的通项公式即可求解.
【详解】
由题意可知， 的展开式的通项公式为 ，
令 ，解得 .所以二项式 展开式中 的系数为 .
故答案为： .
15．(2022·吉林·三模(理))为了保障疫情期间广大市民基本生活需求，市政府准备了茄子、
辣椒、白菜、角瓜、菜花、萝卜、黄瓜、土豆八种蔬菜，并从中任选五种，以“蔬菜包”
的形式发给市民．若一个“蔬菜包”中不同时含有土豆和萝卜，且角瓜、黄瓜、辣椒最多
只含有两种，则可以组成___________种不同的“蔬菜包”．
【答案】27
【解析】
【分析】
运用加法分类计数原理，结合组合的定义进行求解即可.
【详解】
当土豆和萝卜都不含有时，蔬菜包的种数为 ；
当土豆和萝卜中只含有一种时，蔬菜包的种数为 ，
所以可以组成种不同“蔬菜包”种数为 ，
故答案为：27
16．(2022·湖南·模拟预测) 的展开式的中 的系数是______．
【答案】5
【解析】
【分析】
由 ，则分别求出 中的 与 的系数即可求解．
【详解】
，所以展开式中 的系数是 ．
故答案为：5
17．(2022·江苏无锡·模拟预测)甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第
1名到第5名的名次，已知甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次
排列情况共有________种．【答案】54
【解析】
【分析】
根据甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，分甲是第5名和甲不是第5名分类求解.
【详解】
解：因为甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，
当甲是第5名时，则乙可以为第2，3，4名，有3种情况，
剩下的3人全排列有 种，
此时，由分步计数原理得共有3×6=18种情况；
当甲不是第5名时，则甲乙排在第2，3，4名，有 种情况，
剩下的3人全排列有 种，
此时，由分步计数原理得共有 种情况；
综上：甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有
18+36=54种情况，
故答案为：54
18．(2022·山东泰安·模拟预测)古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美
的形体都必须有对称形式.”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几
乎无不讲究对称之美.如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》，其以连环诗的形式
展现，20个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作.数学与生活也有许多
奇妙的联系，如2020年02月02日(20200202)被称为世界完全对称日(公历纪年日期中数字
左右完全对称的日期).数学上把20200202这样的对称数叫回文数，若两位数的回文数共有
9个(11，22，…，99).则所有四位数的回文数中能被3整除的个数是___________.【答案】30
【解析】
【分析】
所有四位数的回文数中要能被3整除，这四个数的和是3的偶数倍数，分类讨论即可.
【详解】
要能被3整除，则四个数的和是3的偶数倍数.满足条件的回文数分为以下几类：
和为6的回文数： ， ，此时有 个.
和为12的回文数： ， ， ， ，此时有
个.
和为18的回文数： ， ， ， ， ，此
时有 个.
和为24的回文数： ， ， ， ，此时有
个.
和为30的回文数： ， ，此时有 个.
和为36的回文数： ，此时有1个.
故共有 个.
故答案为： .
19．(2022·辽宁沈阳·三模)若 ，则
_______．
【答案】243##
【解析】
【分析】
根据二项展开式可得 ，令 ，即可
得解.
【详解】
解： 的展开式得通项为 ，
则 ，令 ，则 ，
即 .
故答案为：243.
20．(2022·浙江·绍兴一中模拟预测)某科室有4名人员，两男两女，参加会议时一排有5个
位置，从左到右排，则两女员工不相邻(中间隔空位也叫不相邻)，且左侧的男员工前面一
定有女员工的排法有_______种(结果用数字表示)．
【答案】44
【解析】
【分析】
应用分类分步计数，结合排列组合数及插空法求左侧的男员工前面一定有女员工的排法数.
【详解】
先排两男和空位，再把两女插空，分两种情形：
第一种，先排两男和空位，最左边是空位时，排两男和空位共 种，
将女生插空时又分两种情形：
先排两男和空位时，空位两侧排两名女生时计 种；
空位两侧共排一名女生时计 种，
共计 种；
第二种，先排两男和空位，最左边是男生时，排两男和空位共 种，将女生插空共
种，共计 种，
综上，共计 种．
故答案为：44
