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专题25 二项式定理
【练基础】
一、 单选题
1．（2020·全国·统考高考真题） 的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】C
【分析】求得 展开式的通项公式为 （ 且 ），即可求得 与 展开式的乘
积为 或 形式，对 分别赋值为3，1即可求得 的系数，问题得解.
【详解】 展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 的各项与 展开式的通项的乘积可表示为：
和
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
所以 的系数为
故选：C
【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档
题.
2．（2022·北京·统考高考真题）若 ，则 （ ）
A．40 B．41 C． D．
【答案】B
【分析】利用赋值法可求 的值.【详解】令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 ，
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习） 的展开式中 的系数是（ ）
A．60 B．80 C．84 D．120
【答案】D
【解析】 的展开式中 的系数是 ，借助组合公式：
，逐一计算即可.
【详解】 的展开式中 的系数是
因为 且 ，所以 ，
所以 ，
以此类推， .
故选：D.
【点睛】本题关键点在于使用组合公式： ，以达到简化运算的作用.
4．（2022秋·广东汕头·高三统考期末） 的展开式中 的系数为（ ）
A．60 B．24 C． D．
【答案】B
【分析】首先写出 展开式通项，再考虑通项与 相乘得到含 的项，即可得系数.
【详解】由 的展开式通项为 ，
所以 的展开式 项为 ，故系数为 .
故选：B
5．（2023秋·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考期末）若 ，
则 （ ）
A．-448 B．-112 C．112 D．448
【答案】C
【分析】 ，然后根据二项式展开式项的系数计算即可.
【详解】 ， .
故选：C.
6．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令 ，可得 ，可得出 ，利用展开式通项可知当 为奇数
时， ，当 为偶数时， ，然后令 可得出 的值.
【详解】令 ，可得 ，则 ，
二项式 的展开式通项为 ，则 .
当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，
因此， .
故选：A.
7．（2022·重庆永川·重庆市永川北山中学校校考模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件结合组合数计算公式变形和式的通项 ，再借助二项式性质即可得
解.
【详解】依题意， ，
当 时，
，
于是得
.
故选：B
8．（2022·全国·高三专题练习）已知 是数列 的前n项和，若 ，数列
的首项 ，则 （ ）
A． B． C．2021 D．
【答案】A
【分析】通过对二项展开式赋值 求解出 的值，然后通过所给的条件变形得到 为等差数列，从而求解
出 的通项公式，即可求解出 的值.【详解】令 ，得 .
又因为 ，所以 .
由 ，得 ，所以 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，所以 ，
所以 ，所以 .
故选：A.
【点睛】本题考查二项展开式与数列的综合运用，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较难.解答问题时注意
的运用.
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知二项式 的展开式中各项系数之和是 ，则下列说法正确的有
（ ）
A．展开式共有7项 B．二项式系数最大的项是第4项
C．所有二项式系数和为128 D．展开式的有理项共有4项
【答案】CD
【分析】运用代入法，结合二项式系数和公式、通项公式以及二项式系数性质逐一判断即可.
【详解】因为二项式 的展开式中各项系数之和是 ，
所以令 可得： .
A：因为 ，所以展开式共有 项，因此本选项说法不正确；
B：因为 ，所以二项式系数最大的项是第4项和第 项，
因此本选项说法不正确；
C：因为 ，所以所有二项式系数和为 ，所以本选项说法正确；D：由B可知： ，当 时，对应的项是有理项，
故本选项说法正确，
故选：CD
10．（2022·山东济南·统考一模） 的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共6项 B．常数项为64
C．所有项的系数之和为729 D．所有项的二项式系数之和为64
【答案】CD
【分析】利用二项展开式的特点判断A；求出指定项判断B；利用赋值法求出展开式系数和判断C；利用二项式系
数的性质判断D作答.
【详解】 展开式的总项数是7，A不正确；
展开式的常数项为 ，B不正确；
取 得 展开式的所有项的系数之和为 ，C正确；
由二项式系数的性质得 展开式的所有项的二项式系数之和为 ，D正确.
故选：CD
11．（2023·全国·高三专题练习）已知 的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的
各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式中奇数项的二项式系数和为256
B．展开式中第6项的系数最大
C．展开式中存在常数项
D．展开式中含 项的系数为45
【答案】BCD
【解析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知 ,由展开式的各项系数之和为1024可得
,则二项式为 ,易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同,利用二项式系数的对称性
判断A,B；根据通项判断C,D即可.
【详解】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知 ,又展开式的各项系数之和为1024,即当 时, ,所以 ,
所以二项式为 ,
则二项式系数和为 ,则奇数项的二项式系数和为 ,故A错误；
由 可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,
因为 与 的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确；
若展开式中存在常数项,由通项 可得 ,解得 ,故C正确；
由通项 可得 ,解得 ,所以系数为 ,故D正确,
故选: BCD
【点睛】本题考查二项式的定理的应用,考查系数最大值的项,考查求指定项系数,考查运算能力.
12．（2023·全国·高三专题练习） ，若 ，则下列结论正确的有
（ ）
A． B．
C．二项式系数的和为 D．
【答案】ACD
【分析】利用二项式定理求出 的值，可判断A选项；利用赋值法可判断BD选项；利用二项式系数和可判断C选
项.
【详解】对于A选项， ，可得 ，A对，
对于B选项，因为 ，
所以， ，B错；
对于C选项，二项式系数的和为 ，C对；
对于D选项， ，D对.
故选：ACD.三、填空题
13．（2022·全国·统考高考真题） 的展开式中 的系数为________________（用数字作答）．
【答案】-28
【分析】 可化为 ，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为 ，
所以 的展开式中含 的项为 ，
的展开式中 的系数为-28
故答案为：-28
14．（2022·浙江·统考高考真题）已知多项式 ，则 __________，
___________．
【答案】
【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令 求出 ，再令 即可得出答案．
【详解】含 的项为： ，故 ；
令 ，即 ，
令 ，即 ，
∴ ，
故答案为： ； ．
15．（2022春·全国·高三专题练习）设 ，则 …
______．【答案】1
【分析】先 ，可得 ，再令 ，可得答案.
【详解】由题意令 ，可得
令 ，可得
所以
故答案为：1
16．（2022·全国·高三专题练习）若 ，则
_______．
【答案】243##
【分析】根据二项展开式可得 ，令 ，即可得解.
【详解】解： 的展开式得通项为 ，
则 ，
令 ，则 ，
即 .
故答案为：243.
【提能力】
一、单选题
17．（2023·全国·高三专题练习）若 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】令 ，得 ，再令 ，即可求解．
【详解】令 ，代入得 ，令 ，得 ，所以 .故选：B.
18．（2022秋·江苏盐城·高三阜宁县东沟中学校考阶段练习）已知 的展开式中各项的二项式系
数之和为64，则其展开式中 的系数为（ ）
A．160 B． C．60 D．
【答案】B
【分析】由二项式系数的性质求出 ，写出二项展开式的通项公式，令 的指数为3，即可得出答案.
【详解】由展开式中各项的二项式系数之和为64，得 ，得 ．
∵ 的展开式的通项公式为 ，
令 ，则 ，所以其展开式中 的系数为 ．
故选：B.
19．（2021·全国·高三专题练习） 的二项展开式中，奇数项的系数和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，令 、 计算 即可求解.
【详解】设 ，
令 可得 ，
令 可得 ，
两式相加可得： ，
所以奇数项系数之和为 ，
故选：C.20．（2022·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测） 的展开式中 的系数是（ ）
A．84 B．120 C．122 D．210
【答案】D
【分析】由二项展开式的通项即可求出每一个 的系数，求和得出答案，或者根据 ，快速计算结
果.
【详解】∵ 的通项为 ，
∴ 的通项为 ，
∴ 的展开式中 的系数为 ，
同理得 展开式中 的系数为 ， 展开式中 的系数为 ，
故 展开式中 的系数为：
（也可以根据性质： ，因为 ，故
）
故选：D.
21．（2023·全国·高三专题练习）已知二项式 的展开式的所有项的系数和为32，则 的展
开式中常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据赋值法以及二项展开式的通项公式即可求出．
【详解】令 ，可得展开式的所有项的系数之和 ，得 ，
所以 ，其通项 ，令 ，得 ，所以展开式中常数项为 ．
故选：A．
22．（2022·浙江·校考模拟预测）若二项式 的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开
式的有理项中第 项的系数最大，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】根据条件可得 .写出展开式的通项 ，则当 是偶数时，该项为有理项，求得所有的
有理项的系数，可解出 的值.
【详解】由已知可得， .根据二项式定理，知展开式的通项为
，显然当 是偶数时，该项为有理项，
时， ； 时， ；
时， ； 时， ；
时， ； 时， ；
时， .
经比较可得， ，即 时系数最大，即展开式的有理项中第5项的系数最大．
故选：A.
23．（2023·辽宁盘锦·盘锦市高级中学校考一模）已知函数 在 处的切线与直线 平
行，则二项式 展开式中 的系数为（ ）
A．70 B．－70 C．56 D．－56
【答案】A
【分析】求出导函数，根据导数的几何意义，求出n的值.然后根据二项式定理展开式解题.
【详解】 ，由已知可得， ，即 ，所以 .
设 展开式中的第k+1项含有 ， ，
则可知， ，所以二项式 展开式中 的系数为 .
故选：A.
24．（2021·天津静海·静海一中校考三模）已知 的二项展开式的奇数项二项式系数和为 ，若
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据奇数项二项式系数和公式求出 ，再利用展开式求 .
【详解】 的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，
，即 ；
则 的通项公式为 ，
令 ，则 ，所以 .
故选：B
25．（2022·全国·高三专题练习）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算法》一书中，画了
一个由二项式 展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨
辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第
个数组成的数列称为第 斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2022行第 斜列
与第 斜列各项之和最大时， 的值为（ ）A．1009 B．1010 C．1011 D．1012
【答案】C
【分析】根据题意可得第 斜列各项之和为 ，第 斜列各项之和为 ，则可求出.
【详解】当 时，第 斜列各项之和为 ，
同理，第 斜列各项之和为 ，所以 ，
所以第 斜列与第 斜列各项之和最大时， ，则 .
故选：C．
二、多选题
26．（2022·江苏·模拟预测）若二项式 展开式中所有项的系数之和为 ，所有项的系数绝对值之和为 ，
二项式系数之和为 ，则（ ）
A． B．
C．对任意 均有 D．存在 使得
【答案】ABC
【分析】根据所给二项式，赋值，分别求得 、 、 ，根据函数的单调性，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】由题意得：令 ，可得 ，
求所有项的系数绝对值之和，等价于求 的所有项系数和，令 ，可得 ，
二项式系数之和为 ，
对于A：因为 ，所以 ，故A正确；
对于B： ，
因为 ，且 在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，所以， ，故B正确
对于C、D： 在 上为减函数，
所以 ，即 ，故C正确，D错误.
故选：ABC
27．（2022·全国·模拟预测）已知 ，且 ， ，则（ ）
A． B． 的展开式中第1012项的系数最大
C． D．
【答案】AC
【分析】令 ， ，又因为 ，求出 ，可判断A；由展开式知， ， ，可判
断B；分别令 ，得 ， ，两式相加得可判断C；对
两边求导，可得 ，令
，可判断D.【详解】当 时， ，又 ，所以 ， ，由于 ，所以 ，故选项A
正确．
由展开式知， ， ，故第1012项的系数小于0，故选项B不正确．
分别令 ，得 ， ，两式相加得
，故选项C正确．
对 两边求导，可得 ，令
，得 ，故选项D不正确．
故选：AC.
28．（2022秋·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习）已知 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】利用赋值法判断A、B、C，对二项式及展开式两边对 求导，再令 ，即可判断D.
【详解】因为 ，
令 ，则 ，故A正确；
令 ，则 ，所以 ，故B错误；
令 ，则 ，
所以 ， ， ，
所以 ，故C错误；
对 两边对 取导得，再令 得 ，故D正确；
故选：AD
29．（2022·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）设 ，下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．当 时， 除以 的余数是1
【答案】ACD
【分析】在展开式中，令 求得结论判断A，根据二项式定理求得 ，判断B，令 ，换元后，对 求
导后，再令 所得结论判断C， ，代入后，展开后，应用整数知识可得余数从而判断D．
【详解】在展开式中令 ，即 得 ，A正确；
，所以 ， ， ，B错；
令 ，则 ，两边对 求导得
，
令 得 ，C正确；
时， ，
展开式右边共7项，前6项都是2000的整数倍，因此它除以2000的余数是1，D正确．
故选：ACD．
三、填空题30．（2023·全国·模拟预测）已知 的展开式中所有项的系数和为8，则展开式中 的系数为
______.
【答案】－1
【分析】先赋值，求出 ，再求出 的展开式的通项公式，得到 ，与 的对应项相乘后得到展开
式中 的系数.
【详解】令 ，得 ，解得 ，
则 ，
展开式的通项 .
当 时， ，
所以 的展开式中 的系数为 ；
当 时， ，
的展开式中 的系数为 .
所以 的展开式中 的系数为 .
故答案为： .
31．（2023·辽宁沈阳·统考一模）若 ，则 被5除的余数是
______．
【答案】4
【分析】分别取 ，两式相加可求得 ，进而根据二项式定理展开，判断被5除的余数.【详解】由题知， 时， ①，
时， ②，
由①＋②得， ，
故
，
所以 被5除的余数是4.
故答案为：4.
32．（2023·江苏南京·校考一模）在二项式 的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么在这个展开式
中， 项的系数是__________．（用数字作答）
【答案】135
【分析】根据给定条件，利用赋值法求出n值，再求出二项式展开式的通项即可求解作答.
【详解】在 中，令 得所有项的系数之和为 ，依题意， ，解得 ，
因此 的展开式的通项为 ，
令 得： ，
所以 项的系数是135.
故答案为：135
33．（2023·甘肃兰州·校考一模）若 ，则 的值为______．
【答案】8
【分析】利用赋值法即可求解
【详解】令 ，则 ；
令 ，则 ，两式相加除以2可得 ．
故答案为：8
34．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知 ，则
__________．
【答案】
【分析】赋值法，令 、 ，结合二项式定理展开式求 即可求解.
【详解】因为 ，
令 ，可得 ，
令 ， ，
，
，
所以 .
故答案为： .
35．（2022·上海杨浦·统考一模）已知 （n是正整数）， ，
则 ________．
【答案】243
【分析】根据 列式即可求出 ，观察原式特点，取 ，右侧关于 的系数全为1，从而两边取
进而得解.
【详解】因为 ，
所以 ，
解得， .
令 得，，
故 ，
故答案为：243.
四、解答题
36．（2022·全国·高三专题练习）已知 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1） .（2）
【分析】（1）利用赋值法进行求解，令 得， ；令 得， .从而可求结果.
（2）根据二项式系数与 关系及组合数性质得到 ，然后累加可求
的值.
【详解】（1）令 得， ；令 得， .
于是 .
（2） ，
首先考虑
，则 ，
因此 .
故
.
【点睛】本题主要考查二项式定理及组合数的性质，二项式系数和的问题一般通过赋值法进行求解，组合数的性
质利用公式进行转化是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.
37．（2020·江苏苏州·常熟中学校考模拟预测）设 （ ， ）．
（1）若展开式中第5项与第7项的系数之比为3∶8，求k的值；
（2）设 （ ），且各项系数 ， ， ，…， 互不相同．现把这 个不同系数随机排成一
个三角形数阵：第1列1个数，第2列2个数，…，第n列n个数．设 是第i列中的最小数，其中 ，且i，
．记 的概率为 ．求证： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用题目所给展开式中第 项与第 项的系数之比列方程，解方程求得 的值.
（2）利用相互独立事件概率乘法公式，求得 的表达式，构造数列 ，判断出数列
的单调性，由此证得不等式成立
【详解】（1）因为在展开式中第5项与第7项的系数之比为3∶8，即 ，
所以 ，即 ，所以 ，解得 或 ．
因为 ，所以 ．
（2）由题意，最小数在第n列的概率为 ，
去掉第n列已经排好的n个数，
则余下的 个数中最小值在第 列的概率为 ，
…………
以此类推，
余下的数中最小数在第2列的概率为 ，
所以 ．
由于 ，所以 ．
设 ，
所以 ．
记 ，所以 ，
所以 是递增数列，所以 ； 是递增数列，所以 ，
所以 ，所以 ，即 ．
【点睛】本小题主要考查二项式展开式的系数，考查相互独立事件概率计算，考查数列的单调性，属于难题.
38．（2020·江苏苏州·吴江中学校考模拟预测）已知
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1） ；（2） .【解析】（1）根据已知条件，令 ，求得 ，令 ，即可求得 的值；
（2）由二项式定理可得 ，求得 ，由 ，进而求得 ，即可求得答
案.
【详解】（1） ——①.
在①中，令 ，得 .
在①中，令 ，得 ，
.
（2）
由二项式定理可得 ， ，1，2， ，2020.
，
.
，
.
【点睛】本题解题关键是掌握组合数计算方法和根据二项式定理求各项系数和步骤，考查了分析能力和计算能力，属于难题.
39．（2020·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）（1）已知 的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比
为 ，求 的值.
（2）记 ， ，
①求 ；
②设 ，求和： .
【答案】（1） ；（2）① ；② .
【分析】（1）根据 的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1：4，得到 求解.
（2）①由题意可得 ，再令 求解；②由题意知 ，根据
，解得 ，结合组合数性质 ，然后求和即
可.
【详解】（1）∵ 的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1：4，
∴ ，即 ，解得 .
（2）①由题意 ，
令 ，得 ；
②由题意 ，又 ，
∴ ，
∴，
∴
.
【点睛】本题主要考查二项式系数，项的系数以及组合数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
