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7.3 空间角（精练）（提升版）
题组一 线线角
1．（2023·全国·高三专题练习）已知直三棱柱 的所有棱长都相等， 为 的中点，则
与 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取线段 的中点 ，则 ，设直三棱柱 的棱长为 ，
以点 为原点， 、 、 的方向分别为 、 、 的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 ，
所以， ， ， .
所以， .
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习（理））已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与
直线DM所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设该正面体的棱长为 ，因为M为BC中点，N为AD中点，
所以 ，
因为M为BC中点，N为AD中点，
所以有 ，
，
根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为 ，故选：B
3．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））如图，四边形 为圆台 的轴截面（通过圆台上、下
底面两个圆心的截面，其形状为等腰梯形）， ，C、D分别为OB， 的中点，点E为
底面圆弧AB的中点，则CD与 所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不妨设 ，连接 ，则 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，所以 ，
所以 即为 与 所成的角（或其补角）．
作 ，垂足为 ，连接OE，HE，AE，则 ， ，
所以 ， ．
在等腰 中， ．
故选：A．4．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在矩形 中， ，E，F，G，H分别为边
的中点，将 分别沿直线 翻折形成四棱锥 ，下列说
法正确的是（ ）
A．异面直线 所成角的取值范围是 B．异面直线 所成角的取值范围是
C．异面直线 所成角的取值范围是 D．异面直线 所成角的取值范围是
【答案】C
【解析】建立如图所示空间直角坐标系，由题意得，
和 在平面 中的投影分别在 和 上（如下图所示），因为 ，令 ，则 ，
由比值可知， 的x，y，z坐标比值为 ，所以令 坐标为 ，
因为 在平面 中的投影在 上，所以 ，
同理可得 坐标为 ，
，
则 ，
解得 ，因为 和 的范围均为 ，
所以 ，即夹角范围是 ，故A，B错误；
同理可得 ，因为异面直线所成角范围是 ，则
夹角范围是 ．即C正确，D错误；故选：C．
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形 中， ．现将
沿 折起，当二面角 处于 过程中，直线 与 所成角的余弦值取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设向量 与 所成角为 ，二面角 的平面角大小为 ，
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
, ，
则 ，
所以 ，取 中点E，连接 ，则 ， ，
, ,
在 中， ，即 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
因为直线夹角范围为 ，所以直线 与 所成角的余弦值范围是 ．
故选：D．
题组二 线面角
1．（2023·全国·高三专题练习（文））如图，在四面体ABCD中， 平面BCD，
，P为AC的中点，则直线BP与AD所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在四面体ABCD中， 平面 ， 平面 ，则 ，而 ，
即 ，又 ， 平面 ，则有 平面 ，而 平面 ，
于是得 ，因P为AC的中点，即 ，而 ， 平面 ，
则 平面 ，又 平面 ，从而得 ，所以直线BP与AD所成的角为 .
故选：D
2．（2022·河南省杞县）如图，在三棱柱 中， 平面ABC， ，
， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】把三棱柱补成如图所示长方体，连接 ，CD，则 ，
所以 即为异面直线 与 所成角（或补角）．
由题意可得 ，
， ，
所以 ．
故选：B．3．（2022·青海西宁·二模（理））如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，异面直线 与
所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】把展开图还原成正方体如图所示，
由于 且相等，故异面直线 与 所成的角就是 和 所成的角，
故 (或其补角)为所求，
再由 是等边三角形，可得 .
故选：C.4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中， ，点O､M分别
是 ､ 的中点， 底面 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：连接OB,由 ,O为AC的中点，得 ，
又 底面 ，故 ,
∵点M为 的中点，∴ ,
又∵ ，∴ , ，故 平面 .
(2)解法一：由（1）知 平面 ,且 ,
又 ， 面 , 平面 ，
∴ 面 ，则点A到面 的距离就是点B到面 的距离 .
设直线 与平面 所成角为 ， ，
∴ 与面 所成的角的正弦值为 ，故 与面 所成的角的大小为 .
解法二：设点A到面 的高为h，而 ,
由 得 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为 ， ，
∴ 与面 所成的角的正弦值为 ，即所成的角的大小为 .
解法三：如图，以O为坐标原点，以OB,OC,OS分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则 ,
则 ,
由（1）可知 为平面SOM的一个法向量，设直线 与平面 所成角为 ， ，
则 ,
故 ，即直线 与平面 所成角为 .
5．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知四棱锥 中，底面 为等腰梯形， ，
， ， 是斜边为 的等腰直角三角形．
(1)若 时，求证：平面 平面 ；
(2)若 时，求直线 与平面 所成的角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【解析】(1)因 ， ， ，则有 ，即有 ，
又 ，且 ， 平面 ，
于是得 平面 ，而 平面 ，
所以平面 平面 .
(2)在平面 内，过B作直线垂直于 ，交直线 于E，有 ， ，如图，则 为二面角 的平面角， 平面 ， ，于是得 ，
中， ，则 ，在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，则有 ，
显然平面 平面 ，在平面 内过B作 ，则 平面 ，
以B为原点，分别以射线 为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，得
而 ，设 与平面 所成的角为 ，
所以 与平面 所成的角的正弦值为 .
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱 中， ，点
分别在棱 和棱 上，且 ．(1)设 为 中点，求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：取 中点 ，连接 、 ，则 ，且 ，所
以 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ．又 平面 ，
平面 ，所以 平面 ．（2）解：因为直三棱柱 中 ，所以 、 、 两两垂直．分别以 、 、
的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
，所以 ， ， ，设平面 法向
量为 ，则 ， ，即 ，令 ，得到平面 的一个法向量
．设直线 与平面 所成的角为 ，则
，所以直线 与平面 所成角的正弦值为
．题组三 二面角
1．（2022·北京·景山学校模拟预测）如图，正三棱柱 中，E，F分别是棱 ， 上的点，
平面 平面 ，M是AB的中点．
(1)证明： 平面BEF；
(2)若 ，求平面BEF与平面ABC夹角的大小．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：在等边 中， 为 的中点，所以 ，
在正三棱柱 中，平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
过 在平面 内作 ，垂足为 ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ．
(2)解：由题设 平面 ，平面 平面 ，
，
四边形 是平行四边形，又 且 ，
所以 ，
延长 ， ，相交于点 ，连接 ，则 、 分别为 、 的中点，
则平面 与平面 所成的角就是二面角 ，
可知 ， ，所以 平面 ，
是二面角 的平面角，
又 ， ，
所以 ，即平面 与平面 所成的角为 ；
2．（2022·湖南·雅礼中学二模）如图，在正方体 中，点 在线段 上， ，点
为线段 上的动点.(1)若 平面 ，求 的值；
(2)当 为 中点时，求二面角 的正切值.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)过 作 于 ，连接 .
则 ，而 ，
所以 .
因为 平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 .
因为 ，所以 .
所以 ，
所以 .(2)
法一：如图建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为 ，则 ， .
易知平面 的一个法向量 ，
设平面 的法向量为 ，
因为 ，
则 可取
由图知两平面所成角 为锐角，则其余弦值为 ，
得 ,
即二面角 的正切值为 .
法二：过 作 于 ，过 作 ，连接 ，因为平面 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，
所以 ，又 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，
所以 .
所以 是二面角 的平面角.
设正方体的棱长为 ，则 .
在Rt 中， ，
则
.
即二面角 的正切值为 .
3．（2022·浙江·海宁中学模拟预测）如图所示，在四边形ABCD中， ， ，
现将 沿BD折起，使得点A到E的位置.
(1)试在BC边上确定一点F，使得 ；(2)若平面 平面BCD，求二面角 所成角的正切值.
【答案】(1)F为BC中点(2)
【解析】(1)因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ∽ ，
所以 ，
所以 ，
在四边形ABCD内过点A作 于点M，并延长交BC于
则点M为BD中点，所以F也为BC中点.
将 沿BD折起，使得点A到E的位置时，
有 ，
所以 平面EFM，
也为 平面EFM，
所以 ，
(2)
（解法一）过点M作 交BC于点则
则在三棱锥 中，因为平面 平面BCD,
所以 平面
因为 ，连接EN，
则有
所以 即为二面角 的平面角，
设 ，则
所以在 中，
所以二面角 所成角的正切值为
（解法二）过点M作 交BC于点
则
则在三棱锥 中，因为平面 平面BCD，
所以 平面
所以以M为坐标原点， 、 、 分别为 轴建立空间直角坐标系.设 ，则
所以
由题可得，平面BCD的一个法向量为 ，
设平面EBC的一个法向量为 ，
因为
所以 ，
则有 ，
设二面角 的平面角为 ， 为锐角，
则 ，
所以 ，
所以
所以二面角 所成角的正切值为
4．（2022·广东惠州·高三阶段练习）如图，在五面体 中， 为边长为2的等边三角形，平面 ， ， .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正切值为 ，求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)取 的中点为 ， 的中点为 ，连接 ， ， ，
因为 平面 ， 平面 ，故 ，
而 为等边三角形， ，所以 ，
又M、N分别为BE、AB所在棱的中点，所以 ，
又 ， ，所以 ， ，故四边形 为平行四边形，
所以 ，
则 ， ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
而 平面 ，故平面 平面 .
(2)由（1）可知， 为直线 与平面 所成角，
设 ，则 ， ，
则 ，解得法一：向量法（通性通法）如图建立空间直角坐标系 ，
则 、 、
∴ 、
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，解得 ， ，则
∵ 平面 ，∴ 是平面 的一个法向量
∴
所以平面 与平面 所成的锐二面角余弦值为 .
法二：几何法：延长ED交AC的延长线于S，连接BS，则平面 平面
由（1）易知 ， ，则 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ， ，
故 为平面 与平面 所成的锐二面角，又 ，则 ，故
所以平面 与平面 所成的锐二面角余弦值为 .
5．（2022·山东聊城·三模）已知四边形ABCD为平行四边形，E为CD的中点，AB=4， 为等边三角
形，将三角形ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置，且平面 平面ABCE.
(1)求证： ；
(2)试判断在线段PB上是否存在点F，使得平面AEF与平面AEP的夹角为45°.若存在，试确定点F的位置；
若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，点F为线段PB的靠近点P的三等分点
【解析】(1)证明：因为四边形ABCD为平行四边行，且 为等边三角形，
所以∠BCE=120º.
又E为CD的中点，所以CE=ED=DA=CB，即 为等腰三角形，
所以∠CEB=30º.
所以∠AEB=180º－∠AED－∠BEC=90º，
即BE⊥AE.
又因为平面AEP⊥平面ABCE，平面 平面ABCE=AE， 平面ABCE，
所以BE⊥平面APE，
又 平面APE，所以BE⊥AP.
(2)
解：取AE的中点O，连接PO，由于 为正三角形，则PO⊥AE，
又平面APE⊥平面ABCE，平面 平面ABCE=AE， 平面EAP，
所以PO⊥平面ABCE， ， ，
取AB的中点G，则 ，
由（1）得BE⊥AE，所以OG⊥AE，
以点O为原点，分别以OA，OG，OP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O
－xyz，
则0（0，0，0），A（1，0，0）， ， ，E（－1，0，0），
则 ， ， ， ，
假设存在点F，使平面AEF与平面AEP的夹角为45°，
设 ，
则 ，
设平面AEF的法向量为 ，由 得 ，取z=2λ，
得 ；
由（1）知 为平面AEP的一个法向量，
于是， ，
解得 或λ=－1（舍去），
所以存在点F，且当点F为线段PB的靠近点P的三等分点时，平面AEF与平面AEP的夹角为45°.
6．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））如图，四棱锥 中， ，底面ABCD
是正方形．且平面 平面ABCD， ．
(1)若 ， ，F为AB的中点，N为BC的中点，证明四边形MENF为梯形；
(2)若点E为PC的中点，试判断在线段AB上是否存在一点F？使得二面角 平面角为 ．若存在，
求出 的值．若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【解析】(1)连接 ， ， ， ， ，如图所示：因为 ， ， 所以 ，又因为 ，即 中
所以 且 ，
∵ 中， 为 的中点， 为 的中点所以 且 ，
所以 且 ，即证：四边形 为梯形．
(2)在线段 存在一点F满足 ，使得二面角 平面角为 ．
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
在平面 中，过点 作 ，交 于 .
所以 平面 .
如图所示，以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为y轴，
所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：因为 ，设 ，四边形 为正方形， ，
所以 ， ， ， ， ，，
平面PCD的一个法向量 ，
所以 ， ，
设平面 的一个法向量 ，
，令 ，则 ， ， ，
因为二面角 平面角为 ，
所以 ，
解得 ，所以 ．
7．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））如图，四棱锥 中，平面 平面 ，
， ， ， ， ， ． 是 中点， 是 上一点．
(1)是否存在点 使得 平面 ，若存在求 的长．若不存在，请说明理由；(2)二面角 的余弦值为 ，求 的值．
【答案】(1)存在；理由见解析； (2)
【解析】(1)存在．理由如下：
方法一：如图，在 上取点 ，且满足 ，
再过 作 的平行线交 于点 ，
则 ，且 ，
又 ，且 是 的中点， ,
，
是平行四边形，
， 不在面 内， 平面 ，
平面 ，
且 ，
在 中， ，
．
方法二： ， ， ，
连接 并延长至于 交于点 ，，
在 中， ，
在 中，在 上取点 ，使得 ，
而 ，则 ，
又 不在面 内， 平面 ，
平面 ，
在 中， ，
．
方法三：在 上取点 ，在 上取点 ，
使得 ，则 , 平面 ，
故 平面 ，而
而 ，故 是平行四边形，故 平面 ，
故 平面 ，而 ,
故平面 平面 ,而 平面 ,得平面 平面 ，在 中， ，
．
(2)
如图建立空间直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，过点A作面ABCD的垂线为z轴，
则 ， ， ，
设 是平面 的一个法向量，则 ，
取 ，则 ，故 是平面 的一个法向量，
设 ， ，
，
设 是平面 的一个法向量，则 ，
取 ，则 是平面 的一个法向量，
则 ，解得 或 （舍去）．所以 ．
题组四 空间角的综合运用
1．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）如图，正方体 的棱长为a，E是棱 的动点，
则下列说法正确的（ ）个．
①若E为 的中点，则直线 平面
②三棱锥 的体积为定值
③E为 的中点时，直线 与平面 所成的角正切值为
④过点 ，C，E的截面的面积的范围是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】如图,以A为原点,AB,AD,AA 所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
1则B(a,0,0)，C(a,a,0)，D(0,a,0)， ， .
所以 ， .
对于①：当E为 的中点时， .设平面 的一个法向量为 ,
则 ，不妨令x =1,则 ，
所以平面A1BD的一个法向量为 .
又因为 ，所以 与 不垂直，所以直线 平面 不成立.故①错误；
对于②：三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积.
又 ，高为a,所以 .故②错误；
对于③：当E为 的中点时， .平面 的一个法向量为 ,
而 .
设直线BE与平面 所成的角为 ，所以 .
1所以 ，所以 ，
即直线 与平面 所成的角正切值为 .故③正确；
对于④：设 .因为 ， ，
所以 在 上得到投影为 .
所以点E到直线 的距离为 .
当z=0，即D、E重合时，截面为矩形，其面积为 .
当 时，截面为等腰梯形.设截面交 于F.所以 ，
高 ，所以其面积为 .
记 ，
所以 ，所以 在 上单调递减函数，
所以 ，即 .
因为 ，所以当z=a，即D、E重合时，截面为边长为 的正三角形，其面积为 .
1
综上所述： .故④正确.
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习（理））在矩形 中， ， ，沿对角线 将矩形折成一
个大小为 的二面角 ，若 ，则下列结论中正确结论的个数为（ ）
①四面体 外接球的表面积为
②点 与点 之间的距离为
③四面体 的体积为
④异面直线 与 所成的角为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于①，取 的中点 ，连接 、 ，则 ，
因为 ，所以， ，
所以， 为四面体 的外接球球心，球 的表面积为 ，①对；
对于②③④，过点 在平面 内作 ，垂足为点 ，过点 作 交 于点 ，
则二面角 的平面角为 ，
在 中， ， ， ，则 ， ，
，则 ， ， ，
， ， ， 平面 ，
以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴，平面 内过点 且垂直于 的垂线为 轴建
立如下图所示的空间直角坐标系，因为 ，则 、 、 、 ，
，②错，
， ，③对，
， ，
，故异面直线 与 所成角为 ，④错.
故选：B.
3．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）如图，在正方体 中， 为棱 上的动点，
为棱 的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．直线 与直线 相交B．当 为棱 上的中点时，则点 在平面 的射影是点
C．存在点 ，使得直线 与直线 所成角为
D．三棱锥 的体积为定值
【答案】D
【解析】A：由题意知， ， 平面 ， 平面
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 与 不相交，故A错误；
B：连接 ，如图，
当点 为 的中点时， ，又 ，所以 ，
若点 在平面 的射影为 ，则 平面 ，垂足为 ，
所以 ，设正方体的棱长为2，则 ，
在 中， ，所以 ，
即 不成立，故B错误；
C：建立如图空间直角坐标系 ，连接 ，则 ，
所以异面直线 与 所成角为直线 与 所成角，设正方体的棱长为2，若存在点 使得 与 所成角为 ，
则 ，所以 ，
所以 ，又 ，
得 ，解得 ，
不符合题意，故不存在点 使得 与 所成角为 ，故C错误；
D：如图，
由等体积法可知 ，
又 ，
为定值，所以 为定值，
所以三棱锥 的体积为定值，故D正确.
故选：D.
4．（2022·四川攀枝花·二模（文））如图正方体 ，中，点 、 分别是 、 的中点，A B C D
1 1 1 1
为正方形 的中心，则（ ）
A．直线 与 是异面直线 B．直线 与 是相交直线
C．直线 与 互相垂直 D．直线 与 所成角的余弦值为
【答案】C
A B C D
【解析】在正方体 中，点 分别是 的中点， 为正方形 1 1 1 1的中心，易知
四边形 为平行四边形，所以 相交，故A不正确.
若直线 是相交直线，则直线 相交或平行，这与题意不符合，故B不正确.
以 分别为 轴建立空间坐标系，设正方体的棱长为2，如图
则 ,则 , , ,
, ，故C正确.
，故D不正确.
故选：C
5．（2022·江苏·如皋市第一中学）（多选）在四边形 中(如图1)，
，将四边形 沿对角线 折成四面体 （如图2所
示），使得 ，E，F，G分别为 的中点，连接 为平面 内一点，则
（ ）
A．三棱锥 的体积为
B．直线 与 所成的角的余弦值为
C．四面体 的外接球的表面积为
D．若 ，则Q点的轨迹长度为
【答案】ABD【解析】
对于A，如图，取 中点 ，连接 ，易得 ，又 ， 平
面 ，则 平面 ，
易得 ，则 ，则
，
，则 ，A正确；
对于B， ，
则
，
则 ， ，则 ， ，又 ，
则 ，即直线 与 所成的角的余弦值为 ，B正确；
对于C，易得 ， ，则 ，取 的中点 ，连接 ，易得
，
则四面体 的外接球的半径为 ，则外接球表面积为 ，C错误；
对于D，作 交 延长线于 ，由A选项知， ，又 ， 平面 ，
则 平面 ，
又 平面 ，则 ，又 ，则 ，又 ，则，
即Q点的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆，则Q点的轨迹长度为 ，D正确.
故选：ABD.
6．（2022·江苏·常州市第一中学）（多选）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将△ABD沿对
角线BD翻折到△PBD位置，连接PC，构成三棱锥 ． 设二面角 为 ，直线 和直线
所成角为 ，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．PC与平面BCD所成的最大角为45°
B．存在某个位置，使得PB⊥CD
C．当 时， 的最大值为
D．存在某个位置，使得B到平面PDC的距离为
【答案】BC
【解析】取BD的中点O，连接 ，则 ，
又 ，可得 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，PC与平面BCD所成的角为∠PCO，当PC 时，△OPC为等边三角形，此时∠PCO＝60°＞45°，故A错误；
由上可知 为 的平面角，即 ，
因为 ，
所以 ，
当 时， ，即 ，故B正确；
又 ，
当 时， ，
所以 ，即 的最大值为 ，故C正确；
∵点B到PD的距离为 ，点B到CD的距离为 ，
∴若B到平面PDC的距离为 ，则平面PBD⊥平面PCD．平面CBD⊥平面PCD，
则有DB平面PCD，即DB⊥CD，与△BCD是等边三角形矛盾，故D错误．
故选：BC．
7．（2022·福建漳州）（多选）已知正方体 的棱长为 ，则下列命题正确的是（ ）
A．点 到平面 的距离为
B．直线 与平面 所成角的余弦值为
C．若 、 分别是 、 的中点，直线 平面 ，则
D． 为侧面 内的动点，且 ，则三棱锥 的体积为定值
【答案】ACD【解析】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐
标系，
对于A选项， 、 、 、 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
，所以， 到平面 的距离为 ，A对；
对于B选项，设直线 与平面 所成角为 ，
所以， ，则 ，
故直线 与平面 所成角的余弦值为 ，B错；
对于C选项，延长 、 交于点 ，连接 交线段 于点 ，
，则 ，则 ，即 为 的中点，
， ，故 ，C对；
对于D选项，设点 ，其中 ， ，， ，则 ，可得 ，
，则 到平面 的距离为 ，
易知 是边长为 的等边三角形，故 ，
因此， ，D对.
故选：ACD.
8．（2022·山东德州）（多选）如图，菱形ABCD边长为2，∠BAD=60°，E为边AB的中点，将△ADE沿
DE折起，使A到 ，连接 ， ，且 ，平面 与平面 的交线为l，则下列结论中
正确的是（ ）
A．平面 平面 B．
C．ВС与平面 所成角的余弦值为 D．二面角 的余弦值为
【答案】ABD
【解析】在菱形ABCD中，E为边AB的中点，所以 ，因为 ，
所以ED⊥DC，因为A′D⊥DC， ，所以 平面A′DE，
因为 ，所以 平面A′DE，因为 平面A′BE，
所以平面A′DE⊥平面A′BE ，故A正确；因为 ， 平面A′BE， 平面A′BE ，所以 平面A′BE，又平面A′BE与平面A′CD
的交线为l，所以CD∥l ，故B正确；
由A知， 平面A′DE，则 A′E，又菱形ABCD边长为2，∠BAD＝60°，E为边AB的中点，所以
A′E，又BE∩DE=E，所以A′E 平面BED,，以E为原点，分别以EB，ED,E A′为x，y，z轴，建立如
图所示空间直角坐标系：
则 ，
所以 ，
由上可知： 平面A′DE，
设平面 的一个法向量为： ，
则 ，
所以有 ，因此选项C不正确；
显然平面 的一个法向量为： ，
设平面 的一个法向量为：
则有则 ，即 ，所以
所以 ，所以选项D正确，故选：ABD.
