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第四讲：函数概念及其表示
【考点梳理】
1、函数与映射的概念
函数 映射
两个集合
设A、B是两个非空数集 设A、B是两个非空集合
A、B
按照某种确定的对应关系f，使对于集 按某一个确定的对应关系f，使对于集合
对应关系 合A中的任意一个数x，在集合B中都 A中的任意一个元素 x，在集合B中都
有唯一确定的数f(x)和它对应 有唯一确定的元素y与之对应
称f：A→B为从集合A到集合B的一 称f：A→B为从集合A到集合B的一个
名称
个函数 映射
记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B
注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任
意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．
2、函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值
叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
3、构成函数的三要素
函数的三要素为定义域、值域、对应关系.
4、函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.
解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
图象法：注意定义域对图象的影响.
5、函数的定义域
函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.
(6)y＝log x(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).
a(7)y＝tanx的定义域为 .
【典型题型讲解】
考点一：函数的概念
【典例例题】
例1（多选题）下列对应关系f，能构成从集合M到集合N的函数的是（ ）
A． ， ， ， ，
B． ，
C． ，
D． ， ，
【答案】ABD
【详解】
对于A中，集合 中的任意一个元素，按某种对应法则，在集合 中存在唯一的元素相对应，所以能构
成从集合 到集合 的函数；
对于B中，集合 中的任意一个元素，按某种对应法则，在集合 中存在唯一的
元素相对应，所以能构成从集合 到集合 的函数；
对于C中，集合 ，当 时，可得 ，所以不能构成从集合 到集合 的函数；
对于D中，集合 中的任一元素，按 ，在集合 有唯一的元素与之对应，
所以能构成从集合 到集合 的函数.
故选：ABD
【方法技巧与总结】
函数概念：注意两个非空数集，任意与唯一两个关键字对应.
【变式训练】
1.函数y=f(x)的图象与直线 的交点个数（ ）A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个
【答案】B
【详解】
若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线 没有交点，
若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线 有1个交点，
故选：B.
2.已知函数 的定义域和值域都是集合 ，其定义如表所示，则 ____________．
x 0 1 2
0 1 2
【答案】
解：由表可知， .
故答案为： .
考点二：具体函数的定义域
【典例例题】
例1.函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
解： ，故 ，解得： ，
故选：B
例2.函数 的定义域为___________.
【答案】
【详解】
由题意可知 ，而以2为底的对数函数是单调递增的，因此 ，求解可得 或 ．
故答案为： ．
【方法技巧与总结】
对求函数定义域问题的思路是：
（1）先列出使式子 有意义的不等式或不等式组；
（2）解不等式组；
（3）将解集写成区间的形式.
【变式训练】
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
函数 有意义，必有 ，即 ，于是得 ，而
，
所以 .
故选：C
2.函数 的定义域是_______．
【答案】
【详解】
由题意可得， ，解之得
则函数 的定义域是
故答案为：
3．函数 的定义域为___________.
【答案】【详解】
解：由 ，
得 ，
所以 ，
所以函数的定义域为 ，
故答案为：
考点三：抽象函数定义域
【典例例题】
例1.已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
的定义域为 ， ，即 ，
，解得： 且 ，
的定义域为 .
故选： .
【方法技巧与总结】
1.抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若f(x)的定义域为(a，b)，
求f[g(x)]中a
