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专题 2.1 函数的概念及其表示-重难点题型精讲
1．函数
函数
两个集合A，B 设A，B是两个非空数集
对应关系f： 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个
A→B 数x，在集合B中都有唯一确定的数f (x)和它对应
名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
函数记法 函数y＝f (x)，x∈A
2．函数的相等
同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.
3．函数的表示法
函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.
(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；
(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；
(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分
段函数．
5．抽象函数与复合函数
(1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．
(2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当C A时，
称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层
函数.【题型1 函数的概念】
【方法点拨】
(1)函数的定义要求第一个数集A中的任何一个元素在第二个数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以
“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．
(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．
【例1】（2022春•三明期末）已知集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，B＝{y|0＜y≤4}，则下列对应关系中是从集合
A到集合B的函数是（ ）
A．f：x→y＝x+1 B．f：x→y＝ex C．f：x→y＝x2 D．f：x→y＝|x|
【解题思路】结合函数的值域和定义域之间的关系，根据函数的定义分别进行判断即可．
3 1
【解答过程】解：A，当x=− 时，y=− ，则集合B中没有元素和x对应，不是从集合A到集合B的
2 2
函数，∴A错误，
1
B，∵﹣2＜x≤1，∴y＝ex （ ，e] （0，4]，满足函数的定义，是从集合A到集合B的函数，∴B正
e2
∈ ⫋
确，
C，当x＝0时，y＝0，则集合B中没有元素和x对应，不是从集合A到集合B的函数，∴C错误，
D，当x＝0时，y＝0，则集合B中没有元素和x对应，不是从集合A到集合B的函数，∴D错误，
故选：B．
【变式1-1】（2022春•兴庆区校级期末）设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图形中，
能表示集合M到集合N的函数关系的有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②
【解题思路】根据题意，由函数的定义，在集合M中的任一元素在集合N中都要有唯一的一个元素和
它对应，进而可以得到答案．
【解答过程】解：根据题意，依次分析4个图形，
对于①，其定义域为{x|0≤x≤1}，不符合题意，
对于②，符合题意，
对于③，符合题意，对于④，集合M中有的元素在集合N中对应两个值，不符合函数定义，
故选：C．
【变式1-2】（2021春•九龙坡区期末）设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，图中表示A到B的函数的是
（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据函数的定义，举反例，一一判断即可．
【解答过程】解：对于A，B均有函数值不在集合B内；对于C，它是一对多，不是函数的图象．
故选：D．
【变式1-3】（2021秋•锡山区校级期中）下列各式中，表示y是x的函数的有（ ）
①y＝x﹣（x﹣3）；
②y=√x−2+√1−x；
{x−1，x≤0
③y= ；
x+1，x≥0
{1，x为有理数
④y= ．
0，x为无理数
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解题思路】根据函数的定义即可判断．
【解答过程】解：根据函数的定义，当自变量x在它的允许取值范围内任意取一个值，y都有唯一确定
的值与之对应，故①④表示y是x的函数，
{x−2≥0
在②中由 ，知x ，因为函数定义域不能是空集，所以②不表示y是x的函数，
1−x≥0
∈∅
在③中，当x＝0时，y对应的两个值，故不表示y是x的函数，
故选：C．
【题型2 函数的定义域问题】
【方法点拨】
①根据解析式有意义的条件，列出关于自变量的不等式（组），即可求解，把不等式（组）的解集表示成
集合或区间的形式.②已知函数的定义域求参数，结合解析式有意义的条件，列出关于参数的关系式，即可得解.
1
【例2】（2022春•兴庆区校级期末）函数y=√x+1+ 的定义域为（ ）
x
A．{x|x＞﹣1且x≠0}B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥﹣1且x≠0} D．{x|x＞﹣1}
{x+1≥0
【解题思路】可看出，要使得原函数有意义，需满足 ，然后解出x的范围即可．
x≠0
{x+1≥0
【解答过程】解：要使原函数有意义，则： ，解得x≥﹣1，且x≠0，
x≠0
∴原函数的定义域为：{x|x≥﹣1且x≠0}．
故选：C．
【变式2-1】（2022春•玉林期末）已知函数f（x）的定义域为（3，5），则函数f（2x+1）的定义域为（
）
A．（1，2） B．（7，11） C．（4，16） D．（3，5）
【解题思路】根据复合函数的定义域之间的关系进行转化求解即可．
【解答过程】解：∵f（x）的定义域为（3，5），
∴3＜x＜5，
由3＜2x+1＜5，得1＜x＜2，
则函数f（2x+1）的定义域为（1，2），
故选：A．
【变式2-2】（2022春•渭滨区期末）若函数 的定义域为R，则a的范围是（ ）
f(x)=√ax2+ax+1
A．[0，4] B．[0，4） C．（0，4] D．（0，4）
【解题思路】由题意，ax2+ax+1≥0恒成立．再利用二次函数的性质，分类讨论，求出a的范围．
【解答过程】解：∵函数 的定义域为R，∴ax2+ax+1≥0恒成立．
f(x)=√ax2+ax+1
当a＝0时，显然满足ax2+ax+1≥0恒成立．
当a＜0时，ax2+ax+1≥0不可能恒成立，
当a＞0时，应有Δ＝a2﹣4a≤0，求得0＜a≤4．
综上可得，a [0，4]，
故选：A． ∈
【变式 2-3】（2022 春•让胡路区校级期末）已知函数 f（x）的定义域为（﹣2，2），则函数
g(x)=f(2x)+√1−lgx的定义域为（ ）
A．{x|0＜x＜4} B．{x|﹣4＜x＜10} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|0＜x＜1}【解题思路】由f（x）的定义域求得f（2x）的定义域，再由根式内部的代数式大于等于0求解对数不
等式，取交集得答案．
【解答过程】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣2，2），
∴由﹣2＜2x＜2，得﹣1＜x＜1，即f（2x）的定义域为（﹣1，1），
又1﹣lgx≥0，∴0＜x≤10，
则g（x）的定义域为{x|0＜x＜1}．
故选：D．
【题型3 函数的值域问题】
【方法点拨】
①已知函数解析式求值域，观察所给解析式，先得出函数的定义域，在由函数解析式求解；
②已知函数值域求参数问题时，将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集问题，然后来确定参数的值
或取值范围.
【例3】（2022春•兴庆区校级期末）函数f(x)=x+√x−2的值域是（ ）
7
A．[2，+∞） B．[ ，+∞) C．[0，+∞） D．（2，+∞）
4
【解题思路】先求函数定义域，再判断函数单调性，再求值域．
【解答过程】解：f(x)=x+√x−2的定义域为x≥2，
函数y＝x在[2，+∞）上为单调递增函数，
函数y=√x−2在[2，+∞）上为单调递增函数，
∴f(x)=x+√x−2在[2，+∞）上为单调递增函数，
∴当x＝2是f（x）取得最小值2，
∴f（x）的值域为[2，+∞）．
故选：A．
【变式3-1】（2022春•定南县校级月考）函数y=2x−√x−1的值域为（ ）
15 15 15 15
A．(−∞，− ] B．(−∞，− ) C．( ，+∞) D．[ ，+∞)
8 8 8 8
【解题思路】先进行换元，然后结合二次函数的性质可求．
【解答过程】解：令t=√x−1，则x＝t2+1，t≥0，
1 15
y=2x−√x−1=2t2+2﹣t＝2（t− ）2+ ，
4 8
1 15 15
根据二次函数的性质可知，当t= 时，函数取得最小值 ，即y≥ ．
4 8 8
故选：D．【变式3-2】（2021秋•鞍山期末）若函数 √ x− 1 的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围
f(x)= 4 2−2x+a
是（ ）
1 1 1
A．{ } B．[ ，+∞) C．(−∞， ] D．[0，+∞）
2 2 2
【解题思路】因为4 x− 1 2x+a= 1 (2x−1) 2+a− 1 ≥a− 1 ，再利用函数的值域建立不等式关系即可求
❑ 2− 2 2 2
解．
【解答过程】解：因为4 x− 1 2x+a= 1 (2x−1) 2+a− 1 ≥a− 1 ，
❑ 2− 2 2 2
又因为函数f（x）的值域为[0，+∞），
1 1
所以a− ≤0，则a≤
2 2
故选：C．
【变式3-3】（2022春•金华期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的
关兴，用其名字命名的“高斯函数“：设x R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，
∈
1 1
也称取整函数，例如：[﹣1.3]＝﹣2，[3.4]＝3，已知f(x)= − ，则函数y＝[f（x）]的值域为（
3x+1 3
）
A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}
【解题思路】先化简f（x）的解析式，利用不等式的性质，求出函数 f（x）的值域，可得函数y＝[f
（x）]的值域．
1 1 1 1
【解答过程】解：∵f（x）= − ，3x （0，+∞），∴令t＝3x＞0，则f（x）＝g（t）= −
3x+1 3 t+1 3
∈ ∈
1 2
（− ， ）
3 3
故函数y＝[f（x）]＝[g（t）]的值域为{﹣1，0}，
故选：B．
【题型4 求函数的解析式（待定系数法）】
【方法点拨】
待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．
【例4】（2021秋•蚌山区校级期中）已知f（x）是二次函数，且f（﹣1）＝4，f（0）＝1，f（3）＝4．（1）求f（x）的解析式．
（2）若x [﹣1，5]，求函数f（x）的值域．
【解题思路∈】（1）设二次函数f（x）＝ax2+bx+c，由题意可得abc的方程组，解方程组可得；
（2）由（1）可得f（x）在x [﹣1，1]单调递减，在x [1，5]单调递增，由二次函数的性质可得．
【解答过程】解：（1）设二次∈ 函数f（x）＝ax2+bx+c，∈
由题意可得f（﹣1）＝a﹣b+c＝4，f（0）＝c＝1，f（3）＝9a+3b+c＝4，
联立解得a＝1，b＝﹣2，c＝1，∴f（x）＝x2﹣2x+1；
（2）由（1）可得f（x）＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
在x [﹣1，1]单调递减，在x [1，5]单调递增，
∴当∈x＝1时，函数取最小值f∈（1）＝0；
当x＝5时，函数取最小值f（5）＝16，
∴函数f（x）的值域为：[0，16].
【变式4-1】（2022春•桃源县月考）若指数函数f（x）的图像过点A（2，9）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x [﹣2，3]时，求函数f（x）的值域．
【解题思路∈】（1）由题意，利用待定系数法求出指数函数的解析式．
（2）由题意，结合函数的单调性求出函数f（x）的值域．
【解答过程】解：（1）设指数函数为f（x）＝ax（a＞0，a≠1），
∵它的图像过点A（2，9），
∴a2＝9，∴a＝3，∴函数f（x）＝3x．
1
（2）当x [﹣2，3]时，3x [ ，27]，
9
∈ ∈
1
故函数f（x）的值域为[ ，27]．
9
ax2−2
【变式4-2】（2020秋•松山区校级期末）已知函数f（x）= ，f（1）＝1，f（2）＝5．
bx
（1）求函数f（x）的解析式；
1
（2）求函数f（x）在[﹣1，− ]上的值域．
2
3x2−2
【解题思路】（1）根据f（1）＝1，f（2）＝5即可求出a＝3，b＝1，从而得出f(x)= ；
x
2 1 1
（2）容易判断f(x)=3x− 在[−1，− ]上是增函数，从而求出f(−1)，f(− )即可得出f（x）在
x 2 21
[−1，− ]上的值域．
2
【解答过程】解：（1）∵f（1）＝1，f（2）＝5；
a−2
{ =1
∴ b ；
4a−2
=5
2b
解得a＝3，b＝1；
3x2−2
f(x)= ；
x
2 1
（2）f(x)=3x− 在[−1，− ]上单调递增；
x 2
1 5
f(−1)=−1，f(− )= ；
2 2
1 5
∴f（x）在[−1，− ]上的值域为[−1， ]．
2 2
【变式4-3】（2021秋•武平县校级月考）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x且f（0）＝1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）在区间[﹣1，1]上求y＝f（x）的值域．
【解题思路】（Ⅰ）用待定系数法，设二次函数 f（x）的一般式，由f（0）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝
2x，可以求出f（x）的解析式；
（Ⅱ）二次函数y＝f（x）在闭区间上有最小、最大值，求出即得值域．
【解答过程】解：（Ⅰ）设二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），∵f（0）＝1，∴c＝1，∴f（x）＝
ax2+bx+1；
又∵f（x+1）﹣f（x）＝[a（x+1）2+b（x+1）+1]﹣[ax2+bx+1]＝2ax+a+b＝2x，
∴2a＝2且a+b＝0，
∴a＝1，b＝﹣1；
∴f（x）＝x2﹣x+1．
1 2 3
（Ⅱ）∵y＝f（x）＝x2﹣x+1=(x− ) +
2 4
1 3
在区间[﹣1，1]上，当x= 时，函数f（x）有最小值y = ；当x＝﹣1时，函数f（x）有最大值y ＝
min max
2 4
3；3
∴y＝f（x）在区间[﹣1，1]上的值域是[ ，3]．
4
【题型5 求函数的解析式（换元法）】
【方法点拨】
换元法：主要用于解决已知复合函数f (g(x))的解析式，求解函数f (x)的解析式的问题，先令g(x)=t解出x
及用含t的代数式表示x，然后带入f (x)中即可求得f (t)，从而求得f (x)，要注意新元的取值范围.
1−x
【例5】（2020秋•南康区校级月考）已知函数f（x）满足f( )=x．
2
（1）求f（x）的解析式；
1−x
（2）求函数y=f( )−√f(x)的值域．
2
1−x
【解题思路】（1）可令 =t，从而得出x＝﹣2t+1，然后即可得出f（x）＝﹣2x+1；
2
1 1
（2）先得出y=x−√−2x+1，然后令√−2x+1=t（t≥0），然后即可得出y=− t2−t+ ，配方即
2 2
可求出原函数的值域．
1−x
【解答过程】解：（1）令 =t，则x＝﹣2t+1，
2
∴f（t）＝﹣2t+1，即f（x）＝﹣2x+1；
1−x
(2)y=f( )−√f(x)=x−√−2x+1，
2
1 1 1 1 1
设t=√−2x+1，则t≥0，且x=− t2+ ，得y=− t2−t+ =− (t+1) 2+1，
2 2 2 2 2
1
∵t≥0，∴y≤ ，
2
1
∴该函数的值域为(−∞， ]．
2
1
【变式5-1】（2021秋•太和县校级月考）（1）已知函数y＝f（x）满足f（x）＝2f（ ）+x，求f（x）的
x
解析式；
（2）求函数y＝3x+√1−3x的值域．
1 1 1 1
【解题思路】（1）在已知方程中将x换成 得f（ ）＝2f（x）+ ，两个方程联立消去f（ ）可得f
x x x x
（x）；（2）换元法，令t=√1−3x，则t2＝1﹣3x，变成关于t的二次函数求值域．
1 1 1
【解答过程】解：（1）由f（x）＝2f（ ）+x得f（ ）＝2f（x）+
x x x
x2+2
联立上两式可求得f（x）=− ；
3x
（2）令t=√1−3x(t≥0)，
1−t2
则t2＝1﹣3x，x= ，
3
1−t2 1 5
∴原函数可化为y＝3• +t＝﹣t2+t+1＝﹣（t− ）2+
3 2 4
5
又∵t≥0，∴y≤
4
5
∴函数y＝3x+√1−3x的值域为（﹣∞， ]．
4
【变式5-2】（2020秋•遵义期中）已知函数f（x）满足f（2x+2）＝3+log （x+1）．
2
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）的定义域为[1，8]，求函数g（x）＝f2（x）﹣3f（2x）的值域．
【解题思路】（1）采用换元法，令2x+2＝t，即可得解；
（2）易得g（x）的定义域为[1，4]，结合（1）中的结论和对数的运算法则，可得g（x）的解析式，再
由二次函数的性质即可得解．
t−2
【解答过程】解：（1）令2x+2＝t，则x= ，
2
t
所以f(t)=3+log =2+log t，
22 2
故f（x）的解析式为f（x）＝2+log x．
2
1
（2）由2x [1，8]，得x∈[ ，4]，
2
∈
又x [1，8]，所以g（x）的定义域为[1，4]．
g（x∈）＝f2（x）﹣3f（2x）
＝（2+log x）2﹣3（2+log 2x）
2 2
＝（2+log x）2﹣3（3+log x）
2 2
log x﹣5，
=log2x+ 2
2
因为x [1，4]，所以log x [0，2]，
2
∈ ∈因为函数y＝x2+x﹣5在[0，2]上单调递增，
所以g（x）的值域为[﹣5，1]．
1
【变式5-3】（2021秋•翠屏区校级期中）已知函数f(√x+2)=3x+ +2，函数g(x)=1−2x+√x+2
x
（1）求函数f（x）的解析式，并写出其定义域．
（2）求函数g（x）的值域．
【解题思路】（1）令t=√x+2，t＞2，求得x，代入原函数解析式，得到f（t），则函数解析式可求；
（2）令t=√x+2，t≥0，则x＝t2﹣2，代入原函数解析式，得到关于t的一元二次函数，求其最小值，
则函数g（x）的值域可求．
【解答过程】解：（1）令t=√x+2，t＞2，
则x＝（t﹣2）2，
1
∴f(t)=3(t−2) 2+ +2，t＞2．
(t−2) 2
1
∴f(x)=3(x−2) 2+ +2，其定义域为（2，+∞）；
(x−2) 2
（2）令t=√x+2，t≥0，则x＝t2﹣2，
∴y＝1﹣2（t2﹣2）+t＝﹣2t2+t+5，t≥0．
1 41
当t= 时，y的最大值为 ，
4 8
41
∴原函数的值域为(−∞， ]．
8
【题型6 分段函数的求值问题】
【方法点拨】
①求函数值：当出现f (f (a))的形式时，应从内到外依次求值．
②求自变量或求参：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或含参的代
数式，切记要代入检验．
x+1 (x≤1) 5
【例6】（2021秋•香坊区校级期中）已知函数f(x)={ ，则f [f( )]的值为（ ）
−x+3(x＞1) 2
5 3 1 1
A． B． C． D．−
2 2 2 2
x+1 (x≤1) 5 5
【解题思路】由已知中函数f(x)={ ，先求出f( )值，进而代入可求出f [f( )]的值．
−x+3(x＞1) 2 2
x+1 (x≤1)
【解答过程】解：∵已知函数f(x)={ ，
−x+3(x＞1)5 5 1
∴f( )=− +3=
2 2 2
5 1 1 3
f [f( )]=f( )= +1=
2 2 2 2
故选：B．
{sinπx，0≤x＜2
【变式6-1】（2021秋•泸州期末）函数f(x)= 在[4，6]上的值域为（ ）
2f(x−2)，x≥2
A．[﹣1，1] B．[﹣2，2] C．[﹣4，4] D．[﹣8，8]
【解题思路】根据x的取值代入分段函数表达式，从而求得．
【解答过程】解：①当x＝6时，
f（6）＝2f（4）＝4f（2）＝8f（0）＝0，
②当4≤x＜6时，
f（x）＝2f（x﹣2）＝4f（x﹣4）＝4sin （x﹣4），
故﹣4≤f（x）≤4， π
故函数的值域为[﹣4，4]．
故选：C．
【变式6-2】（2022春•祥云县期末）已知函数y
{x2+1(x≤0)，若f（a）＝10，则a的值是（
）
=
2x(x＞0)
A．3或﹣3 B．﹣3或5 C．﹣3 D．3或﹣3或5
【解题思路】结合题意，需要对 a进行分类讨论，若a≤0，则f（a）＝1+a2；若a＞0，则f（a）＝
2a，从而可求a
【解答过程】解：若a≤0，则f（a）＝a2+1＝10
∴a＝﹣3（a＝3舍去）
若a＞0，则f（a）＝2a＝10
∴a＝5
综上可得，a＝5或a＝﹣3
故选：B．
【变式6-3】（2022•宜宾模拟）若函数 {−ln(−x)，a≤x＜0的值域为[﹣3，+∞），则a的取值
f(x)=
−x2+2x，0≤x≤3
范围是（ ）1 1 1
A．[﹣e3，0） B．[−e3 ，− ) C．[−e3 ，− ] D．(−e3 ，− )
e e e
【解题思路】由已知结合对数函数，二次函数先求出每段函数的值域，然后结合分段函数的值域可求．
【解答过程】解：当0≤x≤3时，f（x）＝﹣x2+2x [﹣3，1]，
当a≤x＜0时，f（x）＝﹣ln（﹣x）≥﹣ln（﹣a）∈，
因为 {−ln(−x)，a≤x＜0的值域为[﹣3，+∞），
f(x)=
−x2+2x，0≤x≤3
所以﹣3≤﹣ln（﹣a）≤1，
故﹣1≤ln（﹣a）≤3，
1
解得﹣e3≤a≤− ．
e
故选：C．
