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高中数学二轮复习讲义——选填题部分
第 4 讲 导数的简单应用
从近三年高考情况来看，导数的概念及计算一直是高考中的热点，对本知识的
考查主要是导数的概念及其运算法则、导数的几何意义等内容，常以选择题或填空题的形式呈现，有时也
会作为解答题中的一问．解题时要掌握函数在某一点处的导数定义、几何意义以及基本初等函数的求导法
则，会求简单的复合函数的导数．
导数的应用也一直是高考的热点，尤其是导数与函数的单调性、极值、最值问题是高考考查的重点内
容，一般以基本初等函数为载体，考查导数的相关知识及应用，题型有选择题、填空题，也有解答题中的
一问，难度一般较大，常以把关题的位置出现．解题时要熟练运用导数与函数单调性、极值与最值之间的
关系，理解导数工具性的作用，注重数学思想和方法的应用．
题型一、导数的几何意义——切线
考点1.在点问题与过点问题
1．（2018•新课标Ⅰ）设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，
0）处的切线方程为（ ）
A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x
2．已知曲线C：f（x）＝x3﹣ax+a，若过曲线C外一点A（1，0）引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互
补，则a的值为（ ）
27 27
A． B．﹣2 C．2 D．−
8 8
考点2.公切线问题
1．（2016•新课标Ⅱ）若直线y＝kx+b是曲线y＝lnx+2的切线，也是曲线y＝ln（x+1）的切线，则b＝
．
2．已知函数 ， ，若直线 与函数 ， 的图象都相切，则
的最小值为（ ）A．2 B． C． D．
3
3．设函数f(x)= x2−2ax(a＞0)与g（x）＝a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实
2
数b的最大值为 ．
考点3.切线综合问题
1
1．设点P在曲线y= ex上，点Q在曲线y＝ln（2x）上，则|PQ|的最小值为（ ）
2
A．1﹣ln 2 B．√2（1﹣ln 2） C．1+ln 2 D．√2（1+ln 2）
2．设曲线y＝（ax﹣1）ex在点A（x，y）处的切线为l，曲线y＝（1﹣x）e﹣x在点
0 0 1
3
B（x，y）处的切线为l，若存在x∈[0， ]，使得l⊥l，则实数a的取值范围是（ ）
0 1 2 0 1 2
2
1 3 3
A．（﹣∞，1] B．（ ，+∞） C．（1， ） D．[1， ]
2 2 2
3．若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
4．已知函数 ，函数 的图象在点 和点 的两条切线互
相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是 ．
题型二、导数与函数的单调性
考点1.已知单调性求参
1
1．已知函数f（x）= mx2﹣2x+lnx在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是（ ）
2
A．[﹣1，1] B．[﹣1，+∞） C．[1，+∞） D．（﹣∞，1]
2．若函数f（x）＝kx﹣lnx在区间（1，+∞）上为单调函数，则k的取值范围是 ．
1
3．（2016•新课标Ⅰ）若函数f（x）＝x− sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（
3
）
1 1 1 1
A．[﹣1，1] B．[﹣1， ] C．[− ， ] D．[﹣1，− ]
3 3 3 3
4．已知函数f（x）＝x3+bx2+cx+d在区间[﹣1，2]上是减函数，那么b+c有最大值 ．
考点2.已知存在单调区间求参1．若函数f（x）＝x2﹣ex﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为 ．
1
2．已知函数f（x）＝lnx+（x﹣b）2（b∈R）在区间[ ，2]上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是
2
（ ）
3 9
A．(−∞， ) B．(−∞， ) C．（﹣∞，3） D．(−∞，√2)
2 4
考点3.利用构造函数解不等式
1．已知f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且f（x）＞﹣xf′（x），则不等式f
（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集是（ ）
A．（1，2） B．（1，+∞） C．（0，2） D．（2，+∞）
1
2．定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）＝x2，当x＜0时，f′（x）＜x，则不等式f（x）+ ≤f
2
（1﹣x）+x的解集为 ．
f '(x)−f(x)
3．已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），若f（x）满足 ＞0，f（2﹣x）＝f
x−1
（x）•e2﹣2x则下列判断一定正确的是（ ）
A．f（1）＜f（0） B．f（3）＞e3•f（0）
C．f（2）＞e•f（0） D．f（4）＜e4•f（0）
4．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则
不等式（x+2018）2f（x+2018）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（ ）
A．（﹣2020，0） B．（﹣∞，﹣2020） C．（﹣2016，0） D．（﹣∞，﹣2016）
考点 4 . 构造函数比较大小
1 2 2 1 3
1．设a= e5，b= e4，c= ，则（ ）
4 5 10
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
2． ，则（ ）
A． B． C． D．
3．设 ，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ，则（ ）A． B． C． D．
题型三、导数与函数的极值、最值问题
考点1.探求极值与最值
1．（2017•新课标Ⅱ）若 x＝﹣2 是函数 f（x）＝（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则 f（x）的极小值为
（ ）
A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．1
2．（2018•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是 ．
3．（2013•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（ ）
A． x∈R，f（x）＝0
0 0
B．函∃ 数y＝f（x）的图象是中心对称图形
C．若x 是f（x）的极小值点，则f（x ）在区间（﹣∞，x）上单调递减
0 0
D．若x 是f（x）的极值点，则f′（x ）＝0
0 0
4．已知函数f（x）＝x3﹣px2﹣qx的图象与x轴切于点（1，0），则f（x）的极值为（ ）
4
A．极大值为 ，极小值为0
27
4
B．极大值为0，极小值为
27
4
C．极小值为− ，极大值为0
27
4
D．极大值为− ，极小值为0
27
考点2.已知极值（点）、最值求参
x3 a 1
1．若函数f（x）= − x2+x+1在区间（ ，3）上有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
3 2 2
5 5 10 10
A．（2， ） B．[2， ） C．（2， ） D．[2， ）
2 2 3 3
2．已知函数 ex ，若 x＝2 是函数 f（x）的唯一极值点，则实数 k 的取值范围是
f(x)= +2klnx−kx
x2
（ ）
e2 e
A．(−∞， ) B．(−∞， ] C．（0，2] D．[2，+∞）
4 23．已知函数f（x）＝x（lnx﹣2ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A．（﹣∞， ） B．（0， ） C．（0， ） D．（ ，+∞）
4 2 4 2
4．当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
a 3
5．已知函数f（x）＝lnx− ，a为常数．若f（x）在[1，e]上的最小值为 ，求a的值．
x 2
6．已知函数f（x）＝（x2+1）lnx﹣m（x2﹣1），则下列结论正确的是（ ）
A．当m＝0时，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x
B．当m≤1时，f（x）在定义域内为增函数
C．当m＞1时，f（x）既存在极大值又存在极小值
D．当m＞1时，f（x）恰有3个零点x ，x ，x ，且x x x ＝1
1 2 3 1 2 3
考点3.极值中的隐零点问题
1．函数 有极小值，且极小值为0，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2013•湖北）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x，x（x＜x）
1 2 1 2
1 1
A．f(x )＞0，f(x )＞− B．f(x )＜0，f(x )＜−
1 2 2 1 2 2
1 1
C．f(x )＞0，f(x )＜− D．f(x )＜0，f(x )＞−
1 2 2 1 2 2
πx
3．设函数f(x)=√3cos m ，若存在f（x）的极值点x 0 满足x 0 2+[f(x 0 )] 2 ＜m2，则m的取值范围是（
）
A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．(−∞，−√3)∪(√3，+∞)
C．(−∞，−√2)∪(√2，+∞) D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
1
4．已知函数f(x)=x− +alnx，且f（x）有两个极值点x ，x ，其中x∈（1，2]，则f（x ）﹣f（x ）的
1 2 1 1 2
x
最小值为（ ）
A．3﹣5ln2 B．3﹣4ln2 C．5﹣3ln2 D．5﹣5ln2
5．已知 f（x）＝ex﹣2x2有且仅有两个极值点，分别为 x ，x （x ＜x ），则下列不等式中正确的有
1 2 1 2（ ）
（参考数据：ln2＝0.6931，ln3＝1.0986）
11 11
A．x +x＜ B．x +x＞
1 2 1 2
4 4
C．f（x ）+f（x ）＜0 D．f（x ）+f（x ）＞0
1 2 1 2
