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专题 2.1 函数的概念及其表示-重难点题型精讲
1．函数
函数
两个集合A，B 设A，B是两个非空数集
对应关系f： 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个
A→B 数x，在集合B中都有唯一确定的数f (x)和它对应
名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
函数记法 函数y＝f (x)，x∈A
2．函数的相等
同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.
3．函数的表示法
函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.
(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；
(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；
(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分
段函数．
5．抽象函数与复合函数
(1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．
(2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当C A时，
称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层
函数.【题型1 函数的概念】
【方法点拨】
(1)函数的定义要求第一个数集A中的任何一个元素在第二个数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以
“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．
(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．
【例1】（2022春•三明期末）已知集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，B＝{y|0＜y≤4}，则下列对应关系中是从集合
A到集合B的函数是（ ）
A．f：x→y＝x+1 B．f：x→y＝ex C．f：x→y＝x2 D．f：x→y＝|x|
【变式1-1】（2022春•兴庆区校级期末）设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图形中，
能表示集合M到集合N的函数关系的有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②
【变式1-2】（2021春•九龙坡区期末）设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，图中表示A到B的函数的是
（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2021秋•锡山区校级期中）下列各式中，表示y是x的函数的有（ ）
①y＝x﹣（x﹣3）；
②y=√x−2+√1−x；
{x−1，x≤0
③y= ；
x+1，x≥0
{1，x为有理数
④y= ．
0，x为无理数
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【题型2 函数的定义域问题】
【方法点拨】
①根据解析式有意义的条件，列出关于自变量的不等式（组），即可求解，把不等式（组）的解集表示成
集合或区间的形式.
②已知函数的定义域求参数，结合解析式有意义的条件，列出关于参数的关系式，即可得解.
1
【例2】（2022春•兴庆区校级期末）函数y=√x+1+ 的定义域为（ ）
x
A．{x|x＞﹣1且x≠0}B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥﹣1且x≠0} D．{x|x＞﹣1}
【变式2-1】（2022春•玉林期末）已知函数f（x）的定义域为（3，5），则函数f（2x+1）的定义域为（
）
A．（1，2） B．（7，11） C．（4，16） D．（3，5）
【变式2-2】（2022春•渭滨区期末）若函数 的定义域为R，则a的范围是（ ）
f(x)=√ax2+ax+1
A．[0，4] B．[0，4） C．（0，4] D．（0，4）
【变式 2-3】（2022 春•让胡路区校级期末）已知函数 f（x）的定义域为（﹣2，2），则函数
g(x)=f(2x)+√1−lgx的定义域为（ ）
A．{x|0＜x＜4} B．{x|﹣4＜x＜10} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|0＜x＜1}
【题型3 函数的值域问题】
【方法点拨】
①已知函数解析式求值域，观察所给解析式，先得出函数的定义域，在由函数解析式求解；
②已知函数值域求参数问题时，将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集问题，然后来确定参数的值
或取值范围.
【例3】（2022春•兴庆区校级期末）函数f(x)=x+√x−2的值域是（ ）
7
A．[2，+∞） B．[ ，+∞) C．[0，+∞） D．（2，+∞）
4
【变式3-1】（2022春•定南县校级月考）函数y=2x−√x−1的值域为（ ）
15 15 15 15
A．(−∞，− ] B．(−∞，− ) C．( ，+∞) D．[ ，+∞)
8 8 8 8
【变式3-2】（2021秋•鞍山期末）若函数 √ x− 1 的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围
f(x)= 4 2−2x+a
是（ ）
1 1 1
A．{ } B．[ ，+∞) C．(−∞， ] D．[0，+∞）
2 2 2
【变式3-3】（2022春•金华期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的关兴，用其名字命名的“高斯函数“：设x R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，
∈
1 1
也称取整函数，例如：[﹣1.3]＝﹣2，[3.4]＝3，已知f(x)= − ，则函数y＝[f（x）]的值域为（
3x+1 3
）
A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}
【题型4 求函数的解析式（待定系数法）】
【方法点拨】
待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．
【例4】（2021秋•蚌山区校级期中）已知f（x）是二次函数，且f（﹣1）＝4，f（0）＝1，f（3）＝4．
（1）求f（x）的解析式．
（2）若x [﹣1，5]，求函数f（x）的值域．
∈
【变式4-1】（2022春•桃源县月考）若指数函数f（x）的图像过点A（2，9）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x [﹣2，3]时，求函数f（x）的值域．
∈
ax2−2
【变式4-2】（2020秋•松山区校级期末）已知函数f（x）= ，f（1）＝1，f（2）＝5．
bx
（1）求函数f（x）的解析式；
1
（2）求函数f（x）在[﹣1，− ]上的值域．
2
【变式4-3】（2021秋•武平县校级月考）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x且f（0）＝1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）在区间[﹣1，1]上求y＝f（x）的值域．
【题型5 求函数的解析式（换元法）】
【方法点拨】
换元法：主要用于解决已知复合函数f (g(x))的解析式，求解函数f (x)的解析式的问题，先令g(x)=t解出x
及用含t的代数式表示x，然后带入f (x)中即可求得f (t)，从而求得f (x)，要注意新元的取值范围.
1−x
【例5】（2020秋•南康区校级月考）已知函数f（x）满足f( )=x．
2
（1）求f（x）的解析式；
1−x
（2）求函数y=f( )−√f(x)的值域．
2
1
【变式5-1】（2021秋•太和县校级月考）（1）已知函数y＝f（x）满足f（x）＝2f（ ）+x，求f（x）的
x
解析式；
（2）求函数y＝3x+√1−3x的值域．
【变式5-2】（2020秋•遵义期中）已知函数f（x）满足f（2x+2）＝3+log （x+1）．
2
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）的定义域为[1，8]，求函数g（x）＝f2（x）﹣3f（2x）的值域．1
【变式5-3】（2021秋•翠屏区校级期中）已知函数f(√x+2)=3x+ +2，函数g(x)=1−2x+√x+2
x
（1）求函数f（x）的解析式，并写出其定义域．
（2）求函数g（x）的值域．
【题型6 分段函数的求值问题】
【方法点拨】
①求函数值：当出现f (f (a))的形式时，应从内到外依次求值．
②求自变量或求参：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或含参的代
数式，切记要代入检验．
x+1 (x≤1) 5
【例6】（2021秋•香坊区校级期中）已知函数f(x)={ ，则f [f( )]的值为（ ）
−x+3(x＞1) 2
5 3 1 1
A． B． C． D．−
2 2 2 2
{sinπx，0≤x＜2
【变式6-1】（2021秋•泸州期末）函数f(x)= 在[4，6]上的值域为（ ）
2f(x−2)，x≥2
A．[﹣1，1] B．[﹣2，2] C．[﹣4，4] D．[﹣8，8]
【变式6-2】（2022春•祥云县期末）已知函数y
{x2+1(x≤0)，若f（a）＝10，则a的值是（
）
=
2x(x＞0)
A．3或﹣3 B．﹣3或5 C．﹣3 D．3或﹣3或5
【变式6-3】（2022•宜宾模拟）若函数 {−ln(−x)，a≤x＜0的值域为[﹣3，+∞），则a的取值
f(x)=
−x2+2x，0≤x≤3
范围是（ ）
1 1 1
A．[﹣e3，0） B．[−e3 ，− ) C．[−e3 ，− ] D．(−e3 ，− )
e e e
