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第四讲：函数概念及其表示
【考点梳理】
1、函数与映射的概念
函数 映射
两个集合
设A、B是两个非空数集 设A、B是两个非空集合
A、B
按照某种确定的对应关系f，使对于集 按某一个确定的对应关系f，使对于集合
对应关系 合A中的任意一个数x，在集合B中都 A中的任意一个元素 x，在集合B中都
有唯一确定的数f(x)和它对应 有唯一确定的元素y与之对应
称f：A→B为从集合A到集合B的一 称f：A→B为从集合A到集合B的一个
名称
个函数 映射
记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B
注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任
意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．
2、函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值
叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
3、构成函数的三要素
函数的三要素为定义域、值域、对应关系.
4、函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.
解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
图象法：注意定义域对图象的影响.
5、函数的定义域
函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.
(6)y＝log x(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).
a(7)y＝tanx的定义域为 .
【典型题型讲解】
考点一：函数的概念
【典例例题】
例1（多选题）下列对应关系f，能构成从集合M到集合N的函数的是（ ）
A． ， ， ， ，
B． ，
C． ，
D． ， ，
【答案】ABD
【详解】
对于A中，集合 中的任意一个元素，按某种对应法则，在集合 中存在唯一的元素相对应，所以能构
成从集合 到集合 的函数；
对于B中，集合 中的任意一个元素，按某种对应法则，在集合 中存在唯一的
元素相对应，所以能构成从集合 到集合 的函数；
对于C中，集合 ，当 时，可得 ，所以不能构成从集合 到集合 的函数；
对于D中，集合 中的任一元素，按 ，在集合 有唯一的元素与之对应，
所以能构成从集合 到集合 的函数.
故选：ABD
【方法技巧与总结】
函数概念：注意两个非空数集，任意与唯一两个关键字对应.
【变式训练】
1.函数y=f(x)的图象与直线 的交点个数（ ）
A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个【答案】B
【详解】
若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线 没有交点，
若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线 有1个交点，
故选：B.
2.已知函数 的定义域和值域都是集合 ，其定义如表所示，则 ____________．
x 0 1 2
0 1 2
【答案】
解：由表可知， .
故答案为： .
考点二：具体函数的定义域
【典例例题】
例1.函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
解： ，故 ，解得： ，
故选：B
例2.函数 的定义域为___________.
【答案】
【详解】
由题意可知 ，而以2为底的对数函数是单调递增的，
因此 ，求解可得 或 ．故答案为： ．
【方法技巧与总结】
对求函数定义域问题的思路是：
（1）先列出使式子 有意义的不等式或不等式组；
（2）解不等式组；
（3）将解集写成区间的形式.
【变式训练】
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
函数 有意义，必有 ，即 ，于是得 ，而 ，
所以 .
故选：C
2.函数 的定义域是_______．
【答案】
【详解】
由题意可得， ，解之得
则函数 的定义域是
故答案为：
3．函数 的定义域为___________.
【答案】
【详解】解：由 ，
得 ，
所以 ，
所以函数的定义域为 ，
故答案为：
考点三：抽象函数定义域
【典例例题】
例1.已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
的定义域为 ， ，即 ，
，解得： 且 ，
的定义域为 .
故选： .
【方法技巧与总结】
1.抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若f(x)的定义域为(a，b)，
求f[g(x)]中a<g(x)<b的解x的范围，即为f[g(x)]的定义域，口诀：定义域指的是x的范围，括号范围
相同．已知f(x)的定义域，求四则运算型函数的定义域
2．若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先
求出各个函数的定义域，再求交集．
【变式训练】
1.已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域为______.【答案】
【详解】
的定义域是 ，则 ，
即函数 的定义域为 ，
令 ，解得 .
则函数 的定义域为 .
故答案为： .
2．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由 ，得 ，
所以 ，所以 ．
故选：B．
3.已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：∵函数 的定义域为
∴ ，
∴函数 中，
∴所以函数 的定义域为[ ]．
故选：D
考四：函数的解析式求法
【典例例题】
例1.（待定系数法）已知函数 是一次函数，满足 ，则 的解析式可能为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】
设 ，
由题意可知 ，
所以 ，解得 或 ，
所以 或 .
故选：AD.
f [g(x)]
例2.（换元法或配凑法（适用于了 型））已知 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
因 ，则设 ，有 ，而 ，则有 ，
于是得 ，所以 ，
故选：C
例3.已知函数 的定义域为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
令 为 ，则 ，
与 联立可解得， ．
故选：D．
【方法技巧与总结】
求函数解析式的常用方法如下：
（1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解.
（2）当已知表达式为f (1 x ) 时，可考虑配凑法或换元法，若易将含x的式子配成 g(x) ，用配凑法.
若易换元后求出x，用换元法.
（3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法.
（4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求.
（5）当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解．
（6）若已知成对出现 ， 或 ， ，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造
另一个方程，消元的方法求出 ．
【变式训练】
1.设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且 成等比数列，则 等于
（ ）
A．n(2n＋3) B．n(n＋4)
C．2n(2n＋3) D．2n(n＋4)
【答案】A
【详解】
由已知，假设 ，， ．
成等比数列，
且 ．
， ， 成等比数列，即 ，
，从而解得 （舍去）， ，
.
故选：A．
2.已知函数 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
令 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
故选：A.
3．已知函数 满足 ，则 的解析式为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
函数 满足 ，
设 ，则 ，由 知 ，
故原函数可转化为 ， ，
即 的解析式为 .
故选：A.
考点五：分段函数
【典例例题】
例1.已知函数 若 ，则m的值为（ ）
A． B．2 C．9 D．2或9
【答案】C
【详解】
∵函数 ， ，
∴ 或 ，
解得 .
故选：C.
例2．（2022·广东东莞·高三期末）(多选)已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．关于 的方程 的所有根之和为 D．关于 的方程 的所有根
之积小于
【答案】．ACD
【详解】 ， ，A正确；
当 时， ，关于 ，
当 时， ，
（ ， 表示不超过 的整数）
所以B错，
的根为 ， ，
的根为 ， ，
的根为 ， ，
所有根的和为： ，C正确；
由 ，累加可得
所以所有根之积小于 ，D正确.
故选:ACD.
【方法技巧与总结】
1.分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值2.函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内.
【变式训练】
1.已知 ，若 ，则 （ ）
A．2 B． C．1 D．0
【答案】B
【详解】
∵ ， ，
∴必有 ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ .
故选：B.
2．己知函数 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】
由题意，得 ， .
故选：B．
3．设函数 ，则 （ ）
A．2 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【详解】解：因为 ，
所以 ，
所以 .
故选：B.
4．已知函数 ，则 ___________；若 ，则实数 ___________.
【答案】 1
【详解】
因为 ，所以 .
， ，
当 时， ， 当 时， ，
所以当 即 时， ，不符合；
当 即 时， ，符合；
当 即 时， ， 无解，不符合.
所以实数 .
故答案为：1；
【巩固练习】
一.单选题1．下列函数中，不满足： 的是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
试题分析：A中 ，B中 ，C中 ，
D中
2．若函数f（x）满足f（1－lnx）＝ ，则f（2）＝（ ）
A． B．e
C． D．－1
【答案】B
【详解】
由1－lnx＝2，得 ， ，即f（2）＝e.
故选：B
3．设全集 ，集合 ，则 （ ）
A．（1，2） B．（1，2]
C．（2，+ ∞） D．[2，+ ∞）
【答案】D
【详解】
， ，
所以 ，
故选：D.
4．已知函数 的定义域为(－2,0)，则 的定义域为（ ）A．(－1,0) B．(－2,0) C．(0,1) D．
【答案】C
【详解】
由题设，若 ，则 ，
∴对于 有 ，故其定义域为 .
故选：C
5．若函数 ，则函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为 ，
所以 .
从而 ，
当 时， 取得最小值，且最小值为 .
故选：D
二、多选题
6．（2022·全国·高三专题练习）已知 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】
，化简得
两式相加得 ，解得
故 ，A正确，B错误；
又 ，则 ，C正确，D错误；
故选：AC
7．下列四组函数中，f(x)与g(x) 表示同一函数的是（ ）
A．f(x)＝x＋1，g(x)＝ B．f(x)＝ · ，g(x)＝
C．f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1 D．f(x)＝ ，g(x)＝
【答案】BD
【详解】
对于A， 的定义域为 ， 的定义域为 ，故不满足；
对于B， 、 的定义域都为 ，且解析式可化为一样，故表示的是同一函数；
对于C， 的定义域为 ， 的定义域为 ，故不满足；
对于D， 、 的定义域都为 ，且解析式可化为一样，故表示的是同一函数
故选：BD
8．关于直线 与函数 的图象的交点有如下四个结论，其中正确的是（ ）
A．不论 为何值时都有交点 B．当 时，有两个交点
C．当 时，有一个交点 D．当 时，没有交点
【答案】BCD
【详解】
由题意得， ，作此函数图像如下图折线所示； 即平行于 轴的直线，作图像如下图直线所示.
对于A，由图可知，当 时，直线 与函数 的图象无交点，故A错误；
对于B，由图可知，当 时，直线 与函数 的图象有两个交点，故B正确；
对于C，由图可知，当 时，直线 与函数 的图象，有一个交点，故C正确；
对于D，由图可知，当 时，直线 与函数 的图象无交点，故D正确.
故选:BCD
三、填空题
9．已知函数 ，则 ____________．
【答案】1
【详解】
因为函数 ，所以函数 ，所以 .
故答案为：1
10.若定义在 的函数 ，满足 ，则曲线 在点 处的切线方程
是___________.
【答案】
【详解】由题意，定义在 的函数 ，满足 ，
可得 ，
即 ，
将 代入可得 ，
可得 ，所以 ，可得 ，
又由 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即切线方程为 .故答案为： .
