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高中数学二轮复习讲义——选填题部分
第 5 讲 导数的综合应用
从近三年高考情况来看，导数的概念及计算一直是高考中的热点，对本知识的
考查主要是导数的概念及其运算法则、导数的几何意义等内容，常以选择题或填空题的形式呈现，有时也
会作为解答题中的一问．解题时要掌握函数在某一点处的导数定义、几何意义以及基本初等函数的求导法
则，会求简单的复合函数的导数．
导数的应用也一直是高考的热点，尤其是导数与函数的单调性、极值、最值问题是高考考查的重点内
容，一般以基本初等函数为载体，考查导数的相关知识及应用，题型有选择题、填空题，也有解答题中的
一问，难度一般较大，常以把关题的位置出现．解题时要熟练运用导数与函数单调性、极值与最值之间的
关系，理解导数工具性的作用，注重数学思想和方法的应用．
题型一、导函数的零点问题
考点1.已知零点个数求参
1 1
1．已知函数f(x)= x3− (1−a)x2−ax−a2 (a＞0)有3个零点，则实数a的取值范围是（ ）
3 2
A．（0，1） B．（3，+∞） C．（0，2） D．（1，+∞）
2．已知函数f（x）＝2e2x﹣2ax+a﹣2e﹣1，其中a R，e为自然对数的底数．若函数f（x）在区间（0，1）
内有两个零点，则a的取值范围是（ ） ∈
A．（2，2e﹣1） B．（2，2e2）
C．（2e2﹣2e﹣1，2e2） D．（2e﹣1，2e2﹣2e﹣1）
3．（2018•江苏）若函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣
1，1]上的最大值与最小值的和为 ． ∈
考点2.已知零点的取值范围求参
4．（2015•新课标Ⅰ）设函数f（x）＝ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x 使得f（x ）
0 0
＜0，则a的取值范围是（ ）3 3 3 3 3 3
A．[− ，1） B．[− ， ） C．[ ， ） D．[ ，1）
2e 2e 4 2e 4 2e
5．已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x ，且x ＞0，则a的取值范围是（ ）
0 0
A．（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
2
6．若函数f（x）＝x2+ −alnx（a＞0）有唯一零点x ，且m＜x ＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为
0 0
x
（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
考点3.复合函数零点问题
ln(2x)
7．已知函数f（x）= ，关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0只有两个整数解，则实数a的取值范围
x
为 ．
8．已知f（x）＝x2ex，若函数g（x）＝f2（x）﹣kf（x）+1恰有四个零点，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（2，4 e2）
+
e2 4
C．（8 ，2） D．（4 e2，+∞）
+
e2 e2 4
9．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝（x+1）ex则对任意的m R，函数F（x）
＝f（f（x））﹣m的零点个数至多有（ ） ∈
A．3个 B．4个 C．6个 D．9个
考点4.零点综合问题
10．已知函数 若 且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数 在区间 上存在零点，则 的最小值为 .
12．若 ，则实数 最大值为 .13．若方程 在 上有实根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型二、不等式与恒成立(任意性、存在性问题)
考点1.参变分离
1．已知函数f（x）＝x+xlnx，若k Z，且k（x﹣1）＜f（x）对任意的x＞1恒成立，则k的最大值为
（ ） ∈
A．2 B．3 C．4 D．5
2．当x [﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是 [ ﹣ 6 ，﹣ 2 ] ．
考点2.分∈类讨论
lnx
3．设实数 ＞0，若对任意的x （0，+∞），不等式ex− ≥0恒成立，则 的最小值为（ ）
λ
λ
λ ∈ λ
1 1 2 e
A． B． C． D．
e 2e e 3
4．已知关于x的不等式m（x2﹣2x）ex+1≥ex在（﹣∞，0]上恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
1 1
A．[1，+∞） B．[0，+∞） C．[− ，+∞) D．[ ，+∞)
2 3
考点3.转化成两个函数
5．已知函数f（x）＝ex﹣aln（ax﹣a）+a（a＞0），若关于x的不等式f（x）＞0恒成立，则实数a的取值
范围为 （ 0 ， e 2 ） ．
6．已知函数f（x）＝alnx﹣2x，若不等式f（x+1）＞ax﹣2ex在x （0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范
围是（ ） ∈
A．a≤2 B．a≥2 C．a≤0 D．0≤a≤2
考点4.双变量问题
1 3
7．已知函数f（x）＝lnx− x+ −1，g（x）＝x2﹣2bx+4，若对任意的x （0，2）存在x [1，2]，使f
1 2
4 4x
∈ ∈
（x ）≥g（x ），则实数b的取值范围是（ ）
1 2
17 17
A．[ ，+∞） B．（﹣∞， ] C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）
8 88．已知函数f（x）＝x2+2alnx+3，若 x ，x [4，+∞）（x ≠x ）， a [2，3]，f(x )−f(x ) 2m，则
1 2 1 2 2 1 ＜
x −x
∀ ∈ ∃ ∈ 1 2
m的取值范围是（ ）
5 9 19
A．[﹣2，+∞） B．[− ，+∞) C．(− ，+∞) D．[− ，+∞)
2 2 4
9．若对于任意的0＜x ＜x ＜a，都有lnx lnx 1 1 ，则a的最大值为（ ）
1 2 1− 2＜ −
x x x x
1 2 2 1
1
A．2e B．e C．1 D．
2
{
1+lnx，x≥1
10．已知函数f（x）= 1 1 ，若x ≠x ，且f（x ）+f（x ）＝2，则x +x 的取值范围是 [3 ﹣
x+ ，x＜1 1 2 1 2 1 2
2 2
2 ln 2 ， + ∞） ．
11．已知函数 有两个不同的极值点 ，若不等式 恒成立，则实数t
的取值范围为（ ）
考点5. 拉格朗日中值定理+构造函数
1．已知函数f（x）＝xlnx，且0＜x ＜x ，给出下列命题：
1 2
f(x )−f(x ) 1
1 2 ＜
x −x
① 1 2
x f（x ）＜x f（x ）
2 1 1 2
②当lnx＞﹣1时，x f（x ）+x f（x ）＞2x f（x ）
1 1 2 2 2 1
③x +f（x ）＜x +f（x ）
1 1 2 2
④其中正确的命题序号是 ．
②③
2．已知函数f（x）的定义域为R，对任意x ＜x ，有f(x )−f(x ) 1，且f（1）＝1，则不等式f
1 2 1 2 ＞−
x −x
1 2
（log |3x﹣1|）＜2﹣log |3x﹣1|的解集为 （﹣∞， 0 ）∪（ 0 ， 1 ） ．
2 2
3．已知函数 f（x）＝（2a+2）lnx+2ax2+5．设 a＜﹣1，若对任意不相等的正数 x ，x ，恒有
1 2|
f(x
1
)−f(x
2
)
|≥8
．则实数a的取值范围是（ ）
x −x
1 2
A．（﹣3，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣∞，﹣3] D．（﹣∞，﹣2]
4．已知不等式 对任意 恒成立，则实数 的最小值是 ．
一、单选题
1．已知函数 ，当 时，恒有 ，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．若函数 在区间 上存在极小值点，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知 是方程 的一个根，则 （ ）
A． B． C．2 D．3
5．函数 的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
6．若函数 在 具有单调性，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若对任意 ， ，都有 ，则m的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
8．对于两个函数 与 ，若这两个函数值相等时对应的自变量分
别为 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数 ，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
（ ）
A． B．
C． D．
10．已知定义在 上的偶函数 ，对 ，都有 ，则 ，
， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．11．已知函数 存在零点，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知 ，且 ，则必有（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
13．若 的图象在 处的切线分别为 ，且 ，则（ ）
A．
B． 的最小值为2
C． 在 轴上的截距之差为2
D． 在 轴上的截距之积可能为
14．已知函数 则（ ）
A． 是奇函数
B． 在 上单调递减
C． 是偶函数
D． 为 的极小值点
15．已知 是 的一个极值点，则（ ）A． B．
C．若 有两个极值点，则 D．若 有且只有一个极值点，则
16．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．对于任意的 ，存在偶函数 ，使得 为奇函数
B．若 只有一个零点，则
C．当 时，关于 的方程 有3个不同的实数根的充要条件为
D．对于任意的 ， 一定存在极值
17．已知函数 ，且函数 有三个零点 ，则下列判断
正确的是（ ）
A． 的单调递减区间为
B．实数 的取值范围为
C．曲线 在点 处的切线方程为
D．
18．已知函数 ， ，则（ ）
A．函数 在 上无极值点
B．函数 在 上存在极值点
C．若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的最小值
D．若 ，则 的最大值为
三、填空题19．已知函数 恰有两个零点，则 .
20．设函数 ，若对任意 ，皆有 成立，则实数 的取值
范围是 .
21．已知曲线 与曲线 （ ）相交，且在交点处有相同的切线，则 .
22．过点 作曲线 的切线有且只有两条，切点分别为 ， ，则
.
23．已知函数 的最小值为0，则a的值为 .
24．已知函数 ，若对于任意的 ，都有 ，则实数 的取值范围是
.
25．已知函数 ，若 对 恒成立，则实数a的取值范围是 ．
26．已知函数 ．若实数 满足 ，则
的最小值为 ．
27．已知函数 ，若存在唯一的整数 ，使得 ，则
实数 的取值范围是 .
28．已知函数 ，若函数 恰有6个零点，则实数 的取值
范围为 ．
