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第四讲：函数概念及其表示
【考点梳理】
1、函数与映射的概念
函数 映射
两个集合
设A、B是两个非空数集 设A、B是两个非空集合
A、B
按照某种确定的对应关系f，使对于集 按某一个确定的对应关系f，使对于集合
对应关系 合A中的任意一个数x，在集合B中都 A中的任意一个元素 x，在集合B中都
有唯一确定的数f(x)和它对应 有唯一确定的元素y与之对应
称f：A→B为从集合A到集合B的一 称f：A→B为从集合A到集合B的一个
名称
个函数 映射
记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B
注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任
意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．
2、函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值
叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
3、构成函数的三要素
函数的三要素为定义域、值域、对应关系.
4、函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.
解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
图象法：注意定义域对图象的影响.
5、函数的定义域
函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.
(6)y＝log x(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).
a(7)y＝tanx的定义域为 .
【典型题型讲解】
考点一：函数的概念
【典例例题】
例1（多选题）下列对应关系f，能构成从集合M到集合N的函数的是（ ）
A． ， ， ， ，
B． ，
C． ，
D． ， ，
【方法技巧与总结】
函数概念：注意两个非空数集，任意与唯一两个关键字对应.
【变式训练】
1.函数y=f(x)的图象与直线 的交点个数（ ）
A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个
2.已知函数 的定义域和值域都是集合 ，其定义如表所示，则 ____________．
x 0 1 2
0 1 2
考点二：具体函数的定义域
【典例例题】
例1.函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．例2.函数 的定义域为___________.
【方法技巧与总结】
对求函数定义域问题的思路是：
（1）先列出使式子 有意义的不等式或不等式组；
（2）解不等式组；
（3）将解集写成区间的形式.
【变式训练】
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2.函数 的定义域是_______．
3．函数 的定义域为___________.
考点三：抽象函数定义域
【典例例题】
例1.已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
1.抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若f(x)的定义域为(a，b)，
求f[g(x)]中a<g(x)<b的解x的范围，即为f[g(x)]的定义域，口诀：定义域指的是x的范围，括号范围
相同．已知f(x)的定义域，求四则运算型函数的定义域
2．若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先
求出各个函数的定义域，再求交集．
【变式训练】
1.已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域为______.
2．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）A． B． C． D．
3.已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
考四：函数的解析式求法
【典例例题】
例1.（待定系数法）已知函数 是一次函数，满足 ，则 的解析式可能为
（ ）
A． B．
C． D．
f [g(x)]
例2.（换元法或配凑法（适用于了 型））已知 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
例3.已知函数 的定义域为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
求函数解析式的常用方法如下：
（1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解.
（2）当已知表达式为f (1 x ) 时，可考虑配凑法或换元法，若易将含x的式子配成 g(x) ，用配凑法.
若易换元后求出x，用换元法.
（3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法.
（4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求.
（5）当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解．（6）若已知成对出现 ， 或 ， ，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造
另一个方程，消元的方法求出 ．
【变式训练】
1.设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且 成等比数列，则 等于
（ ）
A．n(2n＋3) B．n(n＋4)
C．2n(2n＋3) D．2n(n＋4)
2.已知函数 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数 满足 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
考点五：分段函数
【典例例题】
例1.已知函数 若 ，则m的值为（ ）
A． B．2 C．9 D．2或9
例2．（2022·广东东莞·高三期末）(多选)已知函数 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B．C．关于 的方程 的所有根之和为 D．关于 的方程 的所有根
之积小于
【方法技巧与总结】
1.分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值
2.函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内.
【变式训练】
1.已知 ，若 ，则 （ ）
A．2 B． C．1 D．0
2．己知函数 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．设函数 ，则 （ ）
A．2 B．6 C．8 D．10
4．已知函数 ，则 ___________；若 ，则实数 ___________.
【巩固练习】
一.单选题
1．下列函数中，不满足： 的是
A． B． C． D．
2．若函数f（x）满足f（1－lnx）＝ ，则f（2）＝（ ）
A． B．eC． D．－1
3．设全集 ，集合 ，则 （ ）
A．（1，2） B．（1，2]
C．（2，+ ∞） D．[2，+ ∞）
4．已知函数 的定义域为(－2,0)，则 的定义域为（ ）
A．(－1,0) B．(－2,0) C．(0,1) D．
5．若函数 ，则函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（2022·全国·高三专题练习）已知 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
7．下列四组函数中，f(x)与g(x) 表示同一函数的是（ ）
A．f(x)＝x＋1，g(x)＝ B．f(x)＝ · ，g(x)＝
C．f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1 D．f(x)＝ ，g(x)＝
8．关于直线 与函数 的图象的交点有如下四个结论，其中正确的是（ ）
A．不论 为何值时都有交点 B．当 时，有两个交点
C．当 时，有一个交点 D．当 时，没有交点
三、填空题
9．已知函数 ，则 ____________．10.若定义在 的函数 ，满足 ，则曲线 在点 处的切线方程
是___________.
