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第十二讲：简单的三角恒等变换
【考点梳理】
1、两角和与差的三角函数公式
2、二倍角公式
3、辅助角公式
(其中 )
4、降幂公式
【典型题型讲解】
考点一：两角和与差公式
【典例例题】
例1．（2022·广东汕头·高三期末）已知 ，则 （ ）
A．-1 B．0 C． D．
【答案】B
【详解】∵ ，∴ ，故
故选：B
例2.（2022·广东湛江·一模）已知 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ， ，得 ，
所以 ，
故选:B.
例3．（2022·广东汕头·一模）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【详解】由 ，得 ，又 ，
得 ，即 ，
整理，得 或 (舍去)，
所以 ，又 ， ，
解得 ，
故
.
故选：B
【方法技巧与总结】
1.三角函数式化简的方法：化简三角函数式常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂
等.2.给值求值：解题的关键在于“变角”，把待求三角函数值的角用含已知角的式子表示出来，求解时要注
意对角的范围的讨论.
【变式训练】
1.已知 ，则 __________．
【答案】
【解析】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力.
，解方程得 .故答案为 .
2.（2022·广东韶关·一模）若 ，则 __________.
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，所以
.
故答案为：
3.（2022·全国·高考真题）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【详解】
由已知得： ,
即： ，
即： ,
所以 ,
故选：C
4.已知 ， ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
易知 ，利用角的范围和同角三角函数关系可求得 和 ，分别在
和 两种情况下，利用两角和差正弦公式求得 ，结合 的范围可确定最终结果.
【详解】
且 ， ， .
又 ， ， .
当 时，
，， ， 不合题意，舍去；
当 ，同理可求得 ，符合题意.
综上所述： .
故选： .
5.已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
根据题意得到 进而得到 ， ，从而有
.
【详解】
∵ ，
∴ ，
则 ，
，
∴
，
故选A.考点二：二倍角公式
【典例例题】
例1.（2022·广东中山·高三期末）若 ，则 ___________.
【答案】
【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算.
【详解】 .
故答案为： .
例2．（2022·广东清远·高三期末）已知 ，则 ________．
答案】
【详解】
．
故答案为：
例3.若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
，
， ， ，解得 ，， .
故选：A.
【方法技巧与总结】
三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.三角恒等变换的关键在于观察各个角之间的联
系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系.
【变式训练】
1．（2022·广东汕头·一模）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C．3 D．
【答案】．B
【详解】由 ，得 ，又 ，
得 ，即 ，
整理，得 或 (舍去)，
所以 ，又 ， ，
解得 ，
故
.
故选：B
2．（2022·广东韶关·二模）已知 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】．C
【详解】由题知 ，有 ，
所以 ，
故选：C．
3.（2022·广东佛山·二模）已知sin ，则 ___________.
【答案】
【详解】
所以
所以
故答案为：
4.（2022·广东肇庆·二模）若 ，则 ______．
【答案】
【详解】∵ ，
∴ ，
所以 ．故答案为： .
5．（2022·广东深圳·二模）已知 ，则 __________．
【答案】
【详解】解：由题意可知： .
6.若 ，且 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．2
【答案】D
【详解】
，故 ，
可解得 或 ，又 ，故 ，故 ，
故选：D
7．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为 ，所以 ，
.
故选：B.8．已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为 ，所以
又 ，所以 ，所以
所以
故选：D
9．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为 ，
所以 .
故选：B．
10．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，
所以 。
即 ，所以
故选：B
【巩固练习】
一、单选题
1．已知角 与角 的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于x轴对称．若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为 与 关于 轴对称， ，
所以 ， ，
则 ， ， ， ，
当 时， ，
，
当 时， ，
所以 ，
故选：A．2．已知 ， ，则 （ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】C
【详解】
因为 ， ，
两式平方相加得： ，
即 ，即 ，
则 ，
故 即 ， ，即 ，
即 ， ，即 ，
故 ，
故选：C
3．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2或6
【答案】A
【详解】
因为 ，所以 ，解得 ，
又 ，所以 .
故选:A.
4．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为 ，若 ，则 （ ）
A．－4 B．－2 C．2 D．4
【答案】B
【详解】
．
故选：B．
5．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由 ，可得
又 ，则
故选：D
6．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，
因为
所以 ， ，
因为 ， ，
所以 ， ，
则 ．
故选：C
二、多选题
7．已知 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】
因为 ， 所以 ，又 ，
所以 ， ，故A错误，B正确． ，
所以 ， ，
故C错误，D正确．
故选：BD.
8．下列各式的值为 的是（ ）.A．sin B．sin cos C． D．
【答案】AD
【详解】
A： ，符合题意；
B： ，不符合题意；
C： ，不符合题意；
D： ，符合题意，
故选：AD
9．已知 ，其中 为锐角，则以下命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【详解】
因为 ， ，
所以 ，故A正确；
因为 ，
所以
所以，故B正确；
，
，
由 得， ，解得 ；故C不正确；
由 得， ，解得 ；
，故D不正确.
故选：AB.
三、填空题
10．若 ，则 __________， _________．
【答案】
【详解】
，∴ ，即 ，
即 ，令 ， ，
则 ，∴ ，即 ，
∴ ，
则 ．
故答案为： ； ．11．已知 ，则 ________.
【答案】
【详解】
因为 ， ，
所以 ，
所以
，所以 ，
，所以 ，
则 .
故答案为： .
12．已知 ，则 _____________ .
【答案】
【详解】
因为
所以 ..
故答案为：
13． __________.
【答案】0
【详解】
.
故答案为：0．
四、解答题
14．已知 ， ．
(1)求 的值；
(2)若 ， ，求 的值．
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)
解：因为 ， ，又 ，所以 ，
所以 .
(2)
解：因为 ，
，
又因为 ，所以 ，
由（1）知， ，
所以 ．
因为 ， ，则 ，所以 ．
15．已知角 为锐角， ，且满足 ，
(1)证明： ；
(2)求 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
证明：因为 ，所以 ，
因为 为锐角且函数 在 上单调递增，所以
(2)
由 ，结合角 为锐角，解得 ， ，
因为 ，且 所以 .
又 ，
所以
16．（1）已知 ，求 的值；
（2）已知 ， ，且 ， ，求 ．
【答案】（1） ；（2）
【详解】
（1）
；（2）由 可知 ，又 ， ，
则 ，又 ，则 ，则
，
又 ，则 .
