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解密04讲：函数及其性质
【考点解密】
1．函数
函数
两个集合A，
设A，B是两个非空数集
B
对应关系f： 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，
A→B 在集合B中都有唯一确定的数f (x)和它对应
名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
函数记法 函数y＝f (x)，x∈A
2.函数的三要素
(1)定义域：x的取值范围； (2)值域：y的取值范围. (3)对应关系f：A→B.
3．相等函数：定义域、对应关系都一致.
4．函数的表示法：解析法、图象法和列表法．
5．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
6．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x，x∈D
1 2
当x f ( x )，那
1 2 1 2 1 2 1 2
么就称函数f(x)在区间D上单调 么就称函数f(x)在区间D上单调
定义
递增，特别地，当函数f(x)在它 递减，特别地，当函数f(x)在它
的定义域上单调递增时，我们就 的定义域上单调递减时，我们
称它是增函数 就称它是减函数
图
象
描
述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D
叫做y＝f(x)的单调区间．7．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
(1)对于∀x∈I，都有
(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；
条件 f(x)≥M；
(2)∃x∈I，使得f(x)＝M
0 0
(2)∃x∈I，使得f(x)＝M
0 0
结论 M为最大值 M为最小值
8．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
一般地，设函数f(x)的定义域为I，
偶函数 如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝ 关于y轴对称
f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，
奇函数 如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－ 关于原点对称
f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
9．周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，
那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周
期．
(3)函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
(4)若f(x＋a)＋f(x)＝c，则T＝2a(a>0，c为常数)．
10．对称性
对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点对称．
(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点对称．
【方法技巧】1．求函数值域的一般方法：
①分离常数法；②配方法；③不等式法；④单调性法；⑤换元法；⑥数形结合法；⑦导数法．
2．确定函数单调性的四种方法
(1)定义法：利用定义判断．
(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的
单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．
3．函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小．
(2)求最值．
(3)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号去掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．
(4)利用单调性求参数．
①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较．
②需注意若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也单调．
③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
4．利用函数奇偶性可以解决以下问题
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程
(组)，进而得出参数的值．
(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象．
(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．
【核心题型】
题型一：求函数的定义域
1．（2012·山东·高考真题（文））函数 的定义域为（ ）
A．[－2，0)∪(0，2] B．(－1，0)∪(0，2]
C．[－2，2] D．(－1，2]2．（2021·全国·高一专题练习）已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为
A． B． C． D．
3．（2011·河北衡水·三模（理））已知函数 的定义域为R，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型二：求函数的值域
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，若存在 ，使得 ，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用
其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数.例如：
， ，已知函数 ，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高一课时练习）已知函数 的值域是 ，则实数 的取值范围是
___________.
题型三：复合函数的单调性
7．（2022·全国·高三专题练习）下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A． B．C． D．
8．（2020·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三阶段练习（理））设函数 ，则使得
成立的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2019·福建省长乐第一中学高一阶段练习）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
题型四：根据函数的单调性与奇偶性解不等式
10．（2020·全国·高一课时练习）已知函数 是定义在R上的偶函数, 且在区间 单调递增. 若实数a满足
, 则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全国·高三专题练习）设 为定义在R上的奇函数，当 时， ( 为
常数)，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．12．（2022·湖南师大附中高三阶段练习）已知函数 满足 ，且对任意的 ，
都有 ，则满足不等式 的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型五：奇偶函数对称性的应用
13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时，
，设函数 ，则 的零点的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
14．（2022·全国·高一课时练习）设 为定义在R上的函数，函数 是奇函数.对于下列四个结论：
① ；
② ；
③函数 的图象关于原点对称；
④函数 的图象关于点 对称；
其中，正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）已知 是定义在 上的奇函数且满足 为偶函数，当
时， （ 且 ）.若 ，则 （ ）
A． B． C． D．题型六：函数周期性的应用
16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，满足 ，当 时，
，则函数 的零点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
17．（2019·全国·高三专题练习（文））定义在 上的偶函数 满足：对任意的实数 都有 ，
且 ， ．则 的值为（ ）
A．2017 B．1010 C．1008 D．2
18．（2009·山东·高考真题（理））已知定义在R上的奇函数 满足 ，且在区间 上是增函
数,若方程 在区间 上有四个不同的根，则
题型七：由函数对称性求函数值或参数
19．（2022·全国·高一课时练习）已知函数 ，满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
20．（2022·全国·高一课时练习）设定义在 上的奇函数 ，满足对任意的 都有 ，且当
时， ，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的图象关于原点对称，且满足 ，且当
时， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
题型八：不等式恒（能）成立问题
22．（2021·浙江·模拟预测）已知函数 ，则 是 恒成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分不必要条件
23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若对于任意的实数x，不等式
恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
24．（2022·广西·桂电中学高三阶段练习）已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，
，都有 ， ．若对 ， 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
25．（2023·全国·高三专题练习）若 ，使 成立，则实数 的取值范围是______________．26．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 的值域是___________.设函数
，若对于任意实数 ，总存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是___________
27．（2020·全国·高二课时练习（文））已知 ， ，若对 ， ，
，则实数 的取值范围是_________.
【高考必刷】
一、选择题
1．（2007·江西·高考真题（文））函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2013·山东·高考真题（文））函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·浙江温州·高一竞赛）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高一单元测试）已知函数 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B．C． D．
5．（2007·湖北·高考真题（理））设 ，则 的定义域为（ ）．
A．（－4,0)∪（0,4)
B．（－4，－1)∪（1,4)
C．（－2，－1)∪（1,2)
D．（－4，－2)∪（2,4)
6．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用
其名字命名的“高斯函数”：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，也称取整函数，
例如： ， .已知 ，则函数 的值域为（ ）
A． B． ， C． ， ， D． ，0，
7．（2008·重庆·高考真题（理））已知函数 ＋ 的最大值为M，最小值为m，则 的值为（
）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为（
）
A． B． C． D．
9．（2022·新疆·乌市八中高二期末（文））设 ， ，若对于任意 ，总存在 ，使得 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2018·全国·高三课时练习（文））已知函数 ，则下列说法错误的是（ ）
A． 在区间 上单调递增 B． 在区间 上单调递减
C． 的图象关于直线 对称 D． 的图象关于点 对称
11．（2021·全国·高一专题练习）设 是 上的奇函数，且 在 上是减函数，又 ，则不等
式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
12．（2019·河南·淇滨高中高一期中）已知函数 ，且 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
13．（2021·全国·高一课时练习）在 上定义的函数 是偶函数，且 ，若 在区间 上是减
函数，则 （ ）
A．在区间 上是增函数，在区间 上是增函数
B．在区间 上是增函数，在区间 上是减函数
C．在区间 上是减函数，在区间 上是增函数D．在区间 上是减函数，在区间 上是减函数
14．（2021·全国·高一课时练习）定义在 上的奇函数 满足：当 时， ，则在 上
方程 的实根个数为（ ）
A．1 B．3 C．2 D．2021
15．（2021·广西·一模（理））已知函数 的定义域为 ，且 是偶函数， 是奇函数， 在
上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
16．（2018·全国·高考真题（文））已知 是定义域为 的奇函数,满足 .若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
17．（2021·贵州·安顺市第三高级中学高三阶段练习（文））若定义在 上的函数 满足 且
时， ，则方程 的根的个数是( )
A． B． C． D．
18．（2018·新疆乌鲁木齐·一模（文））奇函数 满足 ，当 时， ，则
( )
A．-2 B． C． D．219．（2022·四川·成都金苹果锦城第一中学高三期中（文））已知定义域是R的函数 满足： ，
， 为偶函数， ，则 （ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-3
20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 满足 对任意 恒成立，又函数
的图象关于点 对称，且 则 （ ）
A． B． C． D．
21．（2020·全国·高考真题（文））已知函数f(x)=sinx+ ，则（ ）
A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线 对称 D．f(x)的图象关于直线 对称
22．（2022·全国·高一课时练习）对 ，不等式 恒成立，则a的取值范围是（
）
A． B． C． 或 D． 或
23．（2023·全国·高三专题练习）不等式 恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
24．（2018·新疆乌鲁木齐·一模（文））已知 ， ，若 ， ，使得
，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．25．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，其中 ，若存在唯一整数 ，使得 ，则
的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
26．（2021·全国·高一课时练习）当 时，若关于 的不等式 有解，则实数 的取值范围是
（ ）．
A． B． C． D．
27．（2022·全国·高三专题练习）若存在正数 使 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
28．（2022·全国·高三专题练习）定义在 上的函数 满足 ， 且 在
上是增函数，给出下列真命题的有（ ）
A． 是周期函数；
B． 的图象关于直线 对称；
C． 在 上是减函数；
D． .
29．（2022·全国·高一课时练习）若定义在 上的奇函数 满足 ，在区间 上，有，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 成中心对称
B．函数 的图象关于直线 成轴对称
C．在区间 上， 为减函数
D．
30．（2022·江苏·高邮市第一中学高三阶段练习）已知函数 是定义在R上的奇函数， 是偶函数，当
，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数 关于直线 对称
B．4是函数 的周期
C．
D．方程 恰有4不同的根
31．（2022·全国·高三专题练习）已知三次函数 ，若函数 的图象关于点
（1，0）对称，且 ，则（ ）
A． B． 有3个零点
C． 的对称中心是 D．
三、填空题32．（2007·重庆·高考真题（理））若函数f(x)＝ 的定义域为R，则a的取值范围为________．
33．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是
____________．
34．（2022·全国·高三专题练习）若函数 的定义域为 ，则函数 的值域为________．
35．（2022·广东·模拟预测）设定义域为R的函数 ，若关于x的方程
有8个不同的实根，到实数b的取值范围是___________.
36．（2022·黑龙江·大庆中学高二期中）设 ， （ ），若对于任意 ，
总存在 ，使得 成立，则 的取值范围是______．
37．（2020·甘肃·民勤县第一中学高二期末（文））函数 （ ）的值域是__________．
38．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的值域为 ，则实数t的取值范围是__________．
39．（2020·上海·高一课时练习）函数 的值域为___________．40．（2022·陕西·汉中市龙岗学校高三阶段练习（文））已知 为 上的奇函数，且其图象关于点 对
称，若 ，则 __________．
41．（2017·山东·高考真题（文））已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)
＝6－x，则f(919)＝________.
42．（2019·全国·高三专题练习）已知定义域为 的函数 既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当
时， ，则函数 在区间 上的零点个数是__________．
43．（2021·上海市金山中学高三期中）规定记号" "表示一种运算，即 ，若 ，
函数 的图象关于直线 对称，则 ___________.
44．（2022·全国·高三专题练习）若 ， ，则实数 的取值范围为___________.
45．（2020·全国·高三课时练习（理））若函数 ，对任意的 ， 恒成立，
则 的取值范围是________．
46．（2020·全国·高一课时练习）若不等式 在 内恒成立，则 的取值范围是____________.
47．（2022·湖南·邵阳市第二中学高一期末）若 ，不等式 恒成立，则实数 的取值
范围为___________.48．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若不等式 对 恒成立，则
实数 的取值范围______．
