文档内容
第四讲 实际问题中的空间几何体
真题展示
2022 新高考一卷第四题
南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．
已知该水库水位为海拔 时，相应水面的面积为 ；水位为海拔 时，
相应水面的面积为 ．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则
该水库水位从海拔 上升到 时，增加的水量约为
A． B． C． D．
【思路分析】先统一单位，再根据题意结合棱台的体积公式求解即可．
【解析】【解法一】(统一m) ， ，
根据题意，增加的水量约为
．故选： ．
【解法二】 (统一km)：
V = ×(140+180+ )×(0.1575−0.1485)=0.03(320+60 )≈1.437
棱 台
km3≈1.4×109 m3。
【试题分析】
棱台的概念及棱台体积的计算是高中数学的必备知识.
考查目标试题巧妙地将增加的水量的计算问题转化为棱台体积的计算问题，体现了数学
的应用性，有效考查了学生数学应用方面的学科素养，同时很好地考查了考生
的化归与转化、运算求解及数学建模等方面的能力.
水库的蓄水量有多大？这是一个很有价值的实际问题.如果将水库看成一个几何
体，那么问题就转化为求一个几何体体积的计算问题.试题巧妙地将一个实际问
题与数学问题结合起来，通过设置生活实践情境编制棱台体积的计算问题，既
考查了考生对必备知识的掌握及运算求解能力，也考查了考生的数学应用能力
和创新能力．考生通过对试题的作答，既能有考试的获得感，又能进一步提高
学习数学的兴趣.同时，试题对中学教学改革具有积极的引导作用.
试题亮点
试题通过创设生活实践情境，创造性地将一个实际问题转化为一个纯粹的数
学问题. 试题考查的知识是中学数学的必备知识，设计的问题具有现实意义，体
现了较好的创新性和开放性，有诸多亮点.（1）试题情境为大家所熟悉，设计的
问题自然，问题的解决能很好地体现数学的应用价值. 试题有效地考查考生对必
备知识的掌握程度，考查考生的运算求解、应用创新等关键能力.（2）水库蓄水
量的计算问题是一个具有重要意义的实际问题，试题巧妙地将此问题抽象成一
个棱台体积的计算问题，具有很好的创新性. 题目中蕴含了数学抽象、数学建模
等丰富的数学思想. 试题对考生从数学角度发现问题、提出问题、分析问题、解
决问题的能力提出了较高要求. 考生在作答过程中能够深入体会到数学基础知识、
基本技能、基本思想、基本活动经验的重要意义.（3）南水北调工程是我国一项
具有战略意义的伟大工程，体现了社会主义新时代的建设成就. 考生通过作答。能进一步增强爱党、爱国的热忱. 试题很好地体现了新时代高考改革的精神，真
正实现了高考"立德树人、服务选才、引导教学"的核心功能.
知识要点整理
一、棱柱、棱锥、棱台的表面积
图形 表面积
多面体的表面积就是围
多面 成多面体各个面的面积
体 的和，也就是展开图的
面积
二、 棱柱、棱锥、棱台的体积
几何
体积 说明
体
S为棱柱的底面积，h为棱
棱柱 V ＝Sh
棱柱
柱的高
S为棱锥的底面积，h为棱
棱锥 V ＝Sh
棱锥
锥的高
S′，S分别为棱台的上、
棱台 V ＝(S′＋＋S)h
棱台
下底面面积，h为棱台的高
三 圆柱、圆锥、圆台的表面积
图形 表面积公式
旋 底面积：S ＝2πr2
底
转 圆柱 侧面积：S ＝ 2π rl
侧
体 表面积：S＝ 2π r ( r ＋ l )底面积：S ＝ π r 2
底
圆锥 侧面积：S ＝ π rl
侧
表面积：S＝ π r ( r ＋ l )
上底面面积：S ＝ π r ′ 2
上底
下底面面积：S ＝ π r 2
下底
圆台 侧面积：S ＝ π( r ′ l ＋ rl )
侧
表面积：S＝ π( r ′ 2 ＋ r 2 ＋
r ′ l ＋ rl )
四 圆柱、圆锥、圆台的体积
几何
体积 说明
体
圆柱底面圆的半径为r，
圆柱 V ＝Sh＝ π r 2 h
圆柱
面积为S，高为h
圆锥底面圆的半径为r，
圆锥 V ＝Sh＝πr2h
圆锥
面积为S，高为h
圆台上底面圆的半径为
V ＝(S＋＋S′)h r′，面积为S′，下底面
圆台
圆台
＝π(r2＋rr′＋r′2)h 圆的半径为r，面积为S，
高为h
五 球的表面积和体积公式
1．球的表面积公式S＝ 4π R 2 (R为球的半径)．
2．球的体积公式V＝πR3.
三年真题
1．如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为 ，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23 B．24 C．26 D．27
【答案】D
【详解】该几何体由直三棱柱 及直三棱柱 组成，作 于M，如图，
因为 ，所以 ，
因为重叠后的底面为正方形，所以 ,
在直棱柱 中， 平面BHC，则 ,
由 可得 平面 ，
设重叠后的EG与 交点为则
则该几何体的体积为 .
故选：D.
2．某几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的体积（单位： ）是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由三视图可知，该几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，球的半径，圆柱的
底面半径，圆台的上底面半径都为 ，圆台的下底面半径为 ，所以该几何体的体积
．
故选：C．3．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径 ，所以 ，即 ，设球
心到上下底面的距离分别为 ，球的半径为 ，所以 ， ，故 或
，即 或 ，解得 符合题意，所以球的表面积为
．
故选：A．
4．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为 和 ，体积分别为和 ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设母线长为 ，甲圆锥底面半径为 ，乙圆锥底面圆半径为 ，
则 ，
所以 ，
又 ，
则 ，
所以 ，
所以甲圆锥的高 ，
乙圆锥的高 ，
所以 .
故选：C.
5．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最
大时，其高为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式
设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为 ，
则
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
又设四棱锥的高为 ，则 ，
当且仅当 即 时等号成立.
故选：C
[方法二]：统一变量＋基本不等式
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为 ，底面所在圆的半径为 ，则 ，
所以该四棱锥的高 ，
(当且仅当 ，即 时，等号成立)
所以该四棱锥的体积最大时，其高 .
故选：C．
[方法三]：利用导数求最值由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为 ，底面所在圆的半径为 ，则 ，
所以该四棱锥的高 ， ，令 ， ，设 ，则
，
， ，单调递增， ， ，单调递减，
所以当 时， 最大，此时 ．
故选：C.
6．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 ，且 ，则该正四
棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设正四棱锥的高为 ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正
四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵球的体积为 ，所以球的半径 ,
[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，则 ， ,
所以 ，
所以正四棱锥的体积 ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时，正四棱锥的体积 取最大值，最大值为 ，
又 时， ， 时， ,
所以正四棱锥的体积 的最小值为 ，
所以该正四棱锥体积的取值范围是 .
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以 当且仅当 取到 ，
当 时，得 ，则
当 时，球心在正四棱锥高线上，此时 ，
，正四棱锥体积 ，故该正四棱锥体积的取值范围是
7．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ，两个圆锥的高之比为 ，
则这两个圆锥的体积之和为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点 ，
设圆锥 和圆锥 的高之比为 ，即 ，
设球的半径为 ，则 ，可得 ，所以， ，
所以， ， ，
，则 ，所以， ，
又因为 ，所以， ，
所以， ， ，
因此，这两个圆锥的体积之和为 .
故选：B.
8．正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.
【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高 ，
下底面面积 ，上底面面积 ，
所以该棱台的体积 .
故选：D.
9．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨
道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是
一个球心为O，半径r为 的球，其上点A的纬度是指 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能
直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为
（单位： ），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
【答案】C
【详解】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：
.
故选：C.
10．某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为
这个时段的降雨量（单位： ）．24h降雨量的等级划分如下：在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过
程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
【答案】B
【详解】由题意，一个半径为 的圆面内的降雨充满一个底面半径为 ，
高为 的圆锥，
所以积水厚度 ，属于中雨.
故选：B.
11．已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且 ，则三棱锥 的
体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ， 为等腰直角三角形， ，
则 外接圆的半径为 ，又球的半径为1，
设 到平面 的距离为 ，则 ，
所以 .
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面
距离的勾股关系求解.
12．若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.
【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
即 ，
所以，这个球的表面积为 .
故选：C.
【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求
多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用
长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，
借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设
计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.
13．已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面积为 ，
，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设圆 半径为 ，球的半径为 ，依题意，得 ， 为等边三角形，
由正弦定理可得 ，
，根据球的截面性质 平面 ，
，
球 的表面积 .
故选：A
14．已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到
平面ABC的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【详解】
设球 的半径为 ，则 ，解得： .
设 外接圆半径为 ，边长为 ，是面积为 的等边三角形，
，解得： ， ，
球心 到平面 的距离 .
故选：C.
三年模拟
1．红灯笼，起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，
营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中
间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分.如图2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直
径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为 ，球冠的高为 ，则球冠的面积 .如图
1，已知该灯笼的高为58cm，圆柱的高为5cm，圆柱的底面圆直径为14cm，则围成该灯笼中间球面部分所
需布料的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】由题意得： ，
所以 cm，
所以 cm，
所以两个球冠的面积为 cm2，
则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为：
cm2，
故选：C.
2．紫砂壸是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壸的壸型众多，经典的有
西施壸､掇球壸､石飘壸､潘壸等．其中，石瓢壸的壸体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壸的
相关数据（单位： ），那么该壸的容积约接近于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设R为圆台下底面圆半径，r为上底面圆半径，高为 ，
则 ， ， ，
，
故选：B．
3．木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是
用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形 是边长为2的正方形，且 均为正三角形， ，则该木楔子的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，分别过点A，B作 的垂线，垂足分别为G，H，连接 ，
易得 .
取 的中点O，连接 ，易得 ，
∴ .
∴多面体的体积
，
故选：A.
4．如图，长方体 中， ， ， ，点 ， 分别为 ， 的中点，则
三棱锥 的外接球表面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：在长方体 中，连接 ， ，
三棱锥 的外接球即为三棱柱 的外接球，
在 中，取 中点 ，连接 ，则 为边 的垂直平分线，
所以 的外心在 上，设为点 ，连接 ．
同理可得 的外心 ，连接 ，则三棱柱外接球的球心为 的中点，设为点 ．
由图可得， ，又 ， ，解得 ，
所以 ，所以 .
故选：B．
5．已知边长为 的菱形 中， ，沿对角线 把 折起，使二面角 为直二
面角，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】如图，三棱锥 中， ，平面 平面 ，
取BD中点E，连接CE，AE，则 ，而平面 平面 ， 平面 ，
则 平面 ， 平面 ，因此平面 平面 ，同理平面 平面 ，
令点 分别为正 ，正 的中心，在平面 内分别过点 作 的垂线，它们交于
点O，连OC，
因此 平面 ， 平面 ，而 分别为三棱锥 的外接球被平面 ，平面
所截得的小圆圆心，
则 是三棱锥 的外接球的球心，而 ， ，
显然四边形 为正方形， ，则球半径 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积 .
故选：A
6．已知 均在球 的球面上运动，且满足 ，若三棱锥 体积的最大值为6，则球
的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图所示，当点 位于垂直于面 的直径端点时，三棱锥 的体积最大，
设球 的半径为 ，
此时 ，
故 ，
则球 的体积为 ，
故选:C.
7．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙
全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙
漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为 ，细沙全部在上部，其高度为圆锥高度的 （细管
长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下 的沙，则该沙漏的一个沙时大约是（ ）
A．1895秒 B．1896秒 C．1985秒 D．2528秒
【答案】C
【详解】沙漏中的细沙对应的圆锥底面半径为 ，高为 ，所以细沙体积为
所以该沙漏的一个沙时为 秒，
故选：C
8．如图1是文祥塔，位于浙江省温州市泰顺县城南象山之上，初名象山塔，后人重修时易名为文祥塔．已
知该塔六面七层且第七层塔身可近似地视为一个高2.8 m、底面边长为2 m的正六棱柱，塔顶可近似地视为
一个高1 m的正六棱锥，如图2所示，则该塔的第七层塔身及其塔顶的表面积之和约为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】如图，设正六棱锥的底面正六边形的中心为O，则 为等边三角形，连接点 与边 的中点
，连接 ，由已知可得 ， ，因为正六边形的边长为2，所以 ．
又正六棱锥的高 ，故正六棱锥的侧面的高为 ，则该塔的第七层塔身及其塔顶的
表面积之和为 ，
故选：A．9．若一个圆锥的侧面沿母线展开的平面图形是一个半径为6，圆心角等于 的扇形，则这个圆锥的外接球
的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】第一步：求圆锥的母线长和底面半径，
设圆锥的母线长为 ､底面半径为 ，则由题意得 且 ，（点拨：利用圆锥的底面周长等于其侧
面展开图的弧长建立等量关系）
解得 ，
第二步：求圆锥的外接球的半径，
所以该圆锥的轴截面是一个边长为6的等边三角形，
设圆锥的外接球的半径为 ，则 （正弦定理的应用），
解得 ，
第三步：求圆锥的外接球的体积，
所以圆锥的外接球的体积为 .
故选：D.
10．已知某圆锥的轴截面是顶角为120°的等腰三角形，母线长为4，过圆锥轴的中点作与底面平行的截面，
则截面与底面之间的几何体的外接球的表面积为（ ）A．64π B．96π C．112π D．144π
【答案】C
【详解】第一步：确定截面与底面之间的几何体的结构特征如图，
等腰三角形SAB是圆锥的轴截面，SE是圆锥的轴，截面圆、底面圆的半径之比为1：2．
设截面圆、底面圆的半径分别为r，2r，
因为轴截面是顶角为120°的等腰三角形，母线长为4，且由题意知截面与底面之间的部分为圆台，
所以圆台的高为 ， ， ．
第二步：求外接球的半径
易知球心在直线SE上，设圆台外接球的半径为R，球心到圆台下底面的距离为x，
若球心在圆台两底面之间，如图点M的位置，则 ，无解；
若圆台两底面在球心同侧，则球心在如图点O的位置， ，
解得 ，则 ，
第三步：求外接球的表面积
则该圆台外接球的表面积为 .
故选：C．
11．米斗是我国古代官仓，粮栈､米行必备的用具，是称量粮食的量器.如图是一种米斗，可盛米10升（1
升=1000cm3），已知盛米部分的形状为正四棱台，且上口宽为18cm，下口宽为24cm，则高约为（ ）A．18.8cm B．20.4cm C．22.5cm D．24.2cm
【答案】C
【详解】设该米斗的高为hcm，由台体的体积公式可得 ，
解得 .
故选：C.
12．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的
圆锥为直角圆锥，若一个直角圆锥的体积是它的表面积的 倍，则该直角圆锥的高为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】D
【详解】设直角圆锥的高为h，底面圆的半径为r，母线长为l，因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，
所以 ．因为直角圆锥的体积是它的表面积的 倍，所以
，解得 .
故选：D.
13． 年詹希元创制了“五轮沙漏”，流沙从漏斗形的沙池流到初轮边上的沙斗里，驱动初轮，从而带
动各级机械齿轮旋转．最后一级齿轮带动在水平面上旋转的中轮，中轮的轴心上有一根指针，指针则在一
个有刻线的仪器圆盘上转动，以此显示时刻，这种显示方法几乎与现代时钟的表面结构完全相同．已知一
个沙漏的沙池形状为圆雉形，满沙池的沙漏完正好一小时（假设沙匀速漏下），当沙池中沙的高度漏至一
半时，记时时间为（ ）A． 小时 B． 小时 C． 小时 D． 小时
【答案】D
【详解】设沙漏的底面半径为 ，高为 ，则沙的体积为 ，
当沙池中沙的高度漏至一半时，所剩余的沙形成的圆锥的高为 ，底面半径为 ，
所以所剩余的沙的体积为
所以漏下的沙子体积为总体积的 ，
故记时时间为 小时．
故选：D
14．已知等腰直角 的三个顶点在球O的表面上，且 ，连接CO并延长交球O的表
面于点D，连接DA，DB；若球O的体积为288π，则直线AC，BD所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图：由题意可知： ，且 为球的直径，所以 ，又因为球O的
体积为 ，
所以 ，所以 ，由勾股定理可得： ， ，
在 中，由余弦定理可得 ，
设直线AC，BD所成角为 ，则 ,
又因为 ,
所以 ，所以 ，
所以 ，
故选：
15．我国古代建筑的屋顶对建筑立面起着特别重要的作用，古代建筑屋顶主要有庑殿式、硬山顶、歇山顶、
悬山顶攒尖顶、盝顶、卷棚顶等类型，其中硬山式屋顶造型的最大特点是比较简单、朴素，只有前后两面
坡，而且屋顶在山墙墙头处与山墙齐平，没有伸出部分，山面裸露没有变化．硬山式屋顶（如图1）可近
似地看作直三棱柱（如图2），其高为 ， 到平面 的距离为 ， 为 ，则可估算硬山
式屋顶的体积约为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，过 作 于 ，
由题意可知，在直三棱柱中， 到平面 的距离为 ，
即 ，又 ，
所以该柱体体积为 .
故选：B.
