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第二讲：常用逻辑用语
【考点梳理】
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件
是 的充分不必要条件 且
是 的必要不充分条件 且
是 的充要
条件
是 的既不充分也不必要
且
条件
2．全称命题和特称命题(1)全称量词和存在量词
量词名称 常见量词 符号表示
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等
(2)全称命题和特称命题
名称
全称命题 特称命题
形式
对 中任意一个 ， 存在 中的一个 ，
结构
有 成立
使 成立
简记
否定
【典型题型讲解】考点一：充分条件与必要条件的判断
【典例例题】
例1．（2022·广东·金山中学高三期末）“ ”是“点 在圆 外”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】将 化为标准方程，得
当点 在圆 外时，有 ，解得
∴“ ”是“点 ”在圆 外”的必要不充分条件.
故选：B.
【方法技巧与总结】
1.要明确题中题意，找出条件p和结论q.
2.充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.
【变式训练】
1.已知m，n是两条不重合的直线， 是一个平面， ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
由线面垂直的性质知，若 ， ，则 成立，即充分性成立；
根据线面垂直的定义， 必须垂直平面 内的两条相交直线，才有 ，即必要性不成立.
故选：A.
2.已知 且 ，“函数 为增函数”是“函数 在 上单调递增”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C【详解】
函数 为增函数,则 ,此时 ,故函数 在 上单调递增;当 在
上单调递增时, , ,所以 ,故 为增函数.
故选:C
3.在等比数列 中，已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
∵公比 ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ 且 ，
∴ 且 ，
即“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选：A．
考点二：充分条件与必要条件的应用
【典例例题】
例1.“ ”是“ 在 上恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
在 上恒成立，
即 在 恒成立，令 ，则 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，
所以 ，
所以
因为 ，而 ，
所以“ ”是“ 在 上恒成立”的充分不必要条件.
故选：A
【方法技巧与总结】
1.集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系.
2.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错.
【变式训练】
1.若 是 成立的一个充分不必要条件，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由题意可得 ，而
则 ，故 ，
故选：D
2.（多选）“关于 的不等式 对 恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
由题意，关于 的不等式 对 恒成立，则 ，解得 ，
对于选项A中，“ ”是“关于 的不等式 对 恒成立”的充要条件；
对于选项B 中，“ ”是“关于 的不等式 对 恒成立”的必要不充分条件；
对于选项C中，“ ”是“关于 的不等式 对 恒成立”的充分不必要条件；
对于选项D中，“ ”是“关于 的不等式 对 恒成立”必要不充分条件.
故选：BD.
3.已知集合 ， ．若“ ”是“ ”的充分条件，
则实数 的取值范围为________．
【答案】
【详解】
函数 的对称轴为 ，开口向上，
所以函数 在 上递增，
当 时， ；当 时， .
所以 .
，
由于“ ”是“ ”的充分条件，
所以 ， ，
解得 或 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
考点三：全称量词命题与存在量词命题的真假
【典例例题】例1.已知 ，下列四个命题：① ， ，② ， ，③ ，
，④ ， ．
其中是真命题的有（ ）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【答案】C
【详解】
对于①，由 得： ， ， ，则 ，①正确；
对于②， ， ，即 ，则 ，②正确；
对于③，函数 在 上为减函数，而 ，则 ，即 ， ，③错
误；
对于④，当 时， ， ，即 ，④错误，
所以所给命题中，真命题的是①②．
故选：C
【方法技巧与总结】
1.全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论.
2.全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可.
【变式训练】
1．已知命题 ：存在 ，使得 ，命题 ：对任意的 ，都有 ，命题
：存在 ，使得 ，其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】
当 时，显然 成立；当 时，可知 不成立；由辅助角得 ，所以所以 的最大值为5，所以 为假.
故选：B
2．已知函数 和 的定义域均为 ，记 的最大值为 ， 的最大值为 ，则使得“
”成立的充要条件为（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ，
【答案】C
【详解】
解：A选项表述的是 的最小值大于 的最大值；
B选项表述的是 的最小值大于 的最小值；
C选项表述的是 的最大值大于 的最大值成立的充要条件；
D选项是 成立的充分不必要条件．
故选：C
3．下列命题中，真命题为（ ）
A．存在 ，使得
B．直线 ， 平面 ，平面 ，则平面
C． 最小值为4
D． ， 是 成立的充分不必要条件
【答案】D
【详解】
对于A中，由指数函数 的性质，可得 恒成立，所以不存在 ，使得 ，所以A为假命题；
对于B中，如图所示，在正方体 中，
设平面 为平面 ，平面 为平面 ，直线 为直线 ，直线 为直线 ，
此时满足 ，且 平面 ，平面 ，但平面 与平面 不垂直，
所以C为假命题.
对于C中，由 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
显然 不成立，所以C为假命题
对于D中，由 ，可得 ，即充分性成立；
反之：例如： ，此时满足 ，但 不成立，即必要性不成立，
所以 是 的充分不必要条件，所以D为真命题.
故选：D
4.（多选题）下列命题中的真命题是（ ）
A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lgx<1 D．∃x∈R，tanx＝2
【答案】ACD
【详解】对选项A，令 ， ，
因为 ，所以 ，故A正确；
对选项B，当 时， ，故B错误；
对选项C，当 时， ，故存在 ， ，C正确；
对选项D，因为 的值域为 ，所以存在 ，使得 .
故选：ACD
考点四：全称量词命题与存在量词命题的否定
【典例例题】
例1．（2022·广东佛山·高三期末）设命题 ，则p的否定为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以命题 的否定为 .
故选：B.
【方法技巧与总结】
1.全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论变否定.
2.全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否.
【变式训练】
1.已知命题p： ， ，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】
： ， .故选：D
2．已知命题 ： ， ，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】
命题 ： ， 的否定是： ， ．
故选：D．
3．命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】
由存在量词命题的否定知原命题的否定为： ， .
故选：C.
考点五：根据全称（特称）命题的真假求参数
【典例例题】
例1.若命题“ ， ”为真命题，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
依题意命题“ ， ”为真命题，
当 时， 成立，
当 时， 成立，
当 时，函数 开口向下， 不恒成立.
综上所述， .
故选：B例2.命题 ： ，使得 成立．若 是假命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
命题 ： ，使得 成立．
因为 是假命题，则命题 的否定为： ，使得 成立，为真命题．
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故选：B．
【方法技巧与总结】
1.在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题的补
级即可.
2.全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到.
【变式训练】
1.若命题“ ， ”为真命题，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
依题意命题“ ， ”为真命题，
当 时， 成立，
当 时， 成立，
当 时，函数 开口向下， 不恒成立.
综上所述， .
故选：B
2．若命题“存在 ，使 ”是假命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
∵命题“存在 ，使 ” 是假命题，
则其否定“任意 ， ” 为真命题,∴ ，
所以 .
故选： C.
3．若命题“ ”为假命题，则实数x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C.
【详解】
解：命题“ ”为假命题，其否定为真命题，
即“ ”为真命题．
令 ，
则 ，即 ，
解得 ，所以实数x的取值范围为 .
故选：C
4．若“ ， ”是真命题，则实数 的最大值为___________.
【答案】
【详解】
若“ ， ”是真命题，
则实数 小于等于函数 在 的最小值，
因为函数 在 上为增函数，所以函数 在 上的最小值为 ，
所以 ，即实数 的最大值为 .
故答案为：
5．已知定义在 上的函数 满足 且 ，其中 的解集为A.函数
， ，若 ， 使得 ，则实数a的取值范围是
___________.
【答案】
【详解】
解：构造函数 ，
所以 ，
因为定义在 上的函数 满足 ，
所以 ，所以 在 上单调递增，且 ，
所以不等式 可化为 ，即 ，
所以 ，
所以 的解集 ，
函数 ，当且仅当 ，
或 时等号成立，在A上仅当 时等号成立，
所以 在A上的值域为 ，
为增函数，所以 在A上的值域为 ，
若 ， 使得 ，
则 ，
所以 ，又因为
即实数a的取值范围是 .
故答案为： .
6．若命题“ ”是假命题，则实数 的取值范围是__________．
【答案】
【详解】
由题意得“ ”为真命题，故 ，
故答案为：
7．若“ ， ”为假命题，则实数 的最小值为______．
【答案】3
【详解】
“ ， ”的否定为“ ，都有 ”，
因为“ ， ”为假命题，
所以“ ，都有 ”为真命题，
所以 在 上恒成立，
所以 ，
所以实数 的最小值为3，
故答案为：3
【巩固练习】
一、单选题1．命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
因为存在量词命题的否定为全称量词命题，结合题意可得命题“ ， ”的否定为
， ．
故选：B.
2．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
解：因为 ，所以 或 ，
当 时， 或 一定成立，所以“ ”是“ ”的充分条件；
当 或 时， 不一定成立，所以“ ”是“ ”的非必要条件.
所以“ ”是“ ”的充分非必要条件.
故选：A
3．若命题“ 时， ”是假命题，则 的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
因为“ ， ”是假命题，
则其否定“ ， ”为真命题
则
而当 时， 取得最小值
所以
故选：B
4．“ ”是“ 使 成立”为假命题的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B
解：“ 使 成立”为假命题，则“ 使 成立”为真命题，当 时
成立，当 ，则 ， ，∴ ，综合得 ，则“ ”是 的充
分不必要条件.
故选：B.
5．若不等式 的一个充分条件为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由不等式 ，可得 ，（ 不合题意）
要使得 是 的一个充分条件，
则满足 ，解得 .
故选：D.
6．已知函数 ，则“函数 的图象恒在 轴的下方”是“ ”的（ ）
A．既不必要又不充分条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充要条件
【答案】C
因为二次函数 的开口方向向下，
所以有 ，则 ，
即 ，满足函数 的图像在 轴的下方.
又因为 ，
所以“函数 的图像在 轴的下方”是“ 0”的必要不充分条件.
故选：C
7．若 ，则“ ”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为 ，
对于A，当 ，取 ，明显可见， 不成立，故必要性不成立，A错误；
对于B，当 ， ，得 ，必要性成立；当 ，取 ，
，明显可见， ，则 不成立，充分性不成立；则B正确对于C，当 ，取 ，明显可见， ，则 不成立，故必要性不
成立，则C错误；
对于D，当 成立，则 ，明显可见， 成立；当 ，两边平方，同样
有 ，充分性也成立，D错误；
故选：B
8．若命题“ ， ”是真命题，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
当 时显然 恒成立，
当 时要使命题为真，则：
可得 ；而 时不可能恒成立，
综上，k的取值范围是 .
故选：B
二、填空题
9．已知命题“ ”为真命题，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
因为命题“ ”为真命题，
所以 ，即 ，
解得 ，
所以实数a的取值范围是 ，
故答案为：
10．已知p： ，q： ， ，且p是q成立的必要非充分条件，则实数a的取值范
围是________．
【答案】
因为p是q成立的必要非充分条件，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 .故答案为： .
11．若命题“ ， ”为真命题，则实数m的取值范围为________.
【答案】
由题意可知，不等式 有解， ，即 ，
∴实数m的取值范围为 ，
故答案为： .
12．已知 ： ， ： ，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围
为__________．
【答案】
详解：求解绝对值不等式 可得： ，
求解二次不等式 可得： ,
若 是 的充分不必要条件,则： ，
求解关于a的不等式组可得： ，
结合 可得实数 的取值范围是（0，3].
