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１６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
１．２ 常用逻辑用语
§
考点三 简单的逻辑联结词
１．逻辑联结词有 或 且 非 ．
：“ ”“ ”“ ”
考点一 命题及其关系 ２．复合命题 ｐ ｑ ｐ ｑ ¬ ｐ 的真假判断如下表
“ ∨ ”“ ∧ ”“ ” ：
１．四种命题 ｐ ｑ ｐ ｑ ｐ ｑ ¬ ｐ
∨ ∧
真 真 真 真
命题 表述形式 假
真 假 真 假
原命题 若ｐ 则ｑ
， 假 真 真 假
⑦ ⑧ 真
逆命题 若ｑ 则ｐ 假 假 假 假
，
否命题 若¬ ｐ，则¬ ｑ 含有逻辑联结词的命题的真假判断规律
① ：
ｐ ｑ ｐ ｑ中有一个为真 则ｐ ｑ为真 即一真即真．
逆否命题 若¬ ｑ 则¬ ｐ （１） ∨ ： 、 ， ∨ ，
，
ｐ ｑ ｐ ｑ中有一个为假 则ｐ ｑ为假 即一假即假．
２．四种命题的关系 （２） ∧ ： 、 ， ∧ ，
¬ ｐ 与ｐ的真假相反 即一真一假 真假相反．
（３） ： ， ，
考点四 全称量词与存在量词
１．全称量词和存在量词
名称 常见量词 符号
全称量词 所有 一切 任意 全部 每一个等
、 、 、 、 ∀
存在量词 存在一个 至少一个 有些 某些等
、 、 、 ∃
２．全称命题和特称命题
３．四种命题间的真假关系
两个命题互为逆否命题 它们的真假性 相同 ． 名称 结构 符号表示
（１） ， ②
两个命题互为逆命题或者互为否命题它们的真假性没有关系． 全称命题 对Ｍ中任意一个ｘ 有ｐ ｘ 成立 ｘ Ｍ，ｐ（ｘ）
（２） ， ， （ ） ⑨ ∀ ∈
特称命题 存在Ｍ中的一个ｘ 使ｐ ｘ 成立 ｘ Ｍ，ｐ（ｘ ）
考点二 充分条件与必要条件 ０， （ ０） ⑩ ∃ ０∈ ０
３．全称命题和特称命题的否定
１．充分条件与必要条件
若ｐ ｑ 则ｐ是ｑ的充分条件 ｑ是ｐ的 必要条件． 命题 命题的否定
（１） ⇒ ， ， ③
若ｐ ｑ 且ｑ ／ ｐ 则ｐ是ｑ的充分不必要条件． ｘ Ｍ ｐ ｘ ｘ Ｍ，¬ ｐ（ｘ ）
（２） ⇒ ， ⇒ ， ∀ ∈ ， （ ） ∃ ０∈ ０
若ｐ ／ ｑ 且ｑ ｐ 则ｐ是ｑ的必要不充分条件．
（３） ⇒ ， ⇒ ， ｘ Ｍ ｐ ｘ ｘ Ｍ ¬ ｐ ｘ
若ｐ ｑ 则ｐ与ｑ互为 充要条件 ． ∃ ０∈ ， （ ０） ∀ ∈ ， （ ）
（４） ⇔ ， ④ ４．全（特）称命题真假的判断方法
若ｐ ／ ｑ 且ｑ ／ ｐ 则ｐ是ｑ的既不充分也不必要条件．
（５） ⇒ ， ⇒ ，
２．充分条件与必要条件的两种判断方法 全称命题 特称命题
集合法 Ａ ｘ ｐ ｘ 真假 真 假 真 假
条件 定义法 ： ＝｛ ｜ （ ）｝，
Ｂ ｘ ｑ ｘ
＝｛ ｜ （ ）｝ 证明所有对 存在一个对 存在一个 证明所有
ｐ是ｑ的充分条件 ｐ ｑ Ａ Ｂ 方法一 象 使 命 题 象 使 命 题 对象使命 对象使命
⇒ ⑤ ⊆
ｐ是ｑ的必要条件 ｑ ｐ Ａ Ｂ 为真 为假 题为真 题为假
⇒ ⊇
ｐ是ｑ的充要条件 ｐ ｑ且ｑ ｐ Ａ Ｂ 方法二 否定为假 否定为真 否定为假 否定为真
⇒ ⇒ ＝
ｐ是ｑ的充分不必要条件 ｐ ｑ且ｑ ／ ｐ Ａ Ｂ 注 在新教材中 全称命题改为全称量词命题 特称命题改
⇒ ⇒ ⑥ ⫋ ： ， ，
ｐ是ｑ的必要不充分条件 ｐ ／ ｑ且ｑ ｐ Ａ Ｂ 为存在量词命题．
⇒ ⇒ ⫌
ｐ是ｑ的既不充分
ｐ ／ ｑ且ｑ ／ ｐ Ａ Ｂ且Ａ Ｂ
也不必要条件 ⇒ ⇒ ⊈ ⊉
专题一 集合与常用逻辑用语 １７
充要条件 既不充分又不必要条件
Ｃ． Ｄ．
答案 Ａ
考点一 命题及其关系 考点三 简单的逻辑联结词
７．已知命题ｐ ｘ Ｒ ｘ 命题ｑ ｘ Ｒ ｘ ．则下列命
１．命题 若α π 则 α 的逆否命题是 ：∀ ∈ ，３ ＞０； ：∃ ０∈ ，ｌｏｇ２ ０＜０
“ ＝ ， ｓｉｎ ＝１” （ ） 题为真命题的是
２ （ ）
ｐ ｑ ¬ ｐ ¬ ｑ
若α π 则 α 若α π 则 α Ａ． ∧ Ｂ．（ ）∨（ ）
Ａ． ≠ ， ｓｉｎ ≠１ Ｂ． ＝ ， ｓｉｎ ≠１ ¬ ｐ ｑ ｐ ¬ ｑ
２ ２ Ｃ．（ ）∧ Ｄ． ∧（ ）
答案 Ａ
若 α 则α π 若 α 则α π
Ｃ． ｓｉｎ ≠１， ≠ Ｄ． ｓｉｎ ＝１， ＝ ８．设命题ｐ 函数ｙ ｘ的最小正周期为 命题ｑ 函数ｙ ｘ
２ ２ ： ＝ｓｉｎ２ π； ： ＝ｃｏｓ
答案 Ｃ
的图象关于直线ｘ π对称 则下列结论正确的是
２．有下列四个命题 若 ｘ ｙ 则 ｘ ｙ 互为相反数 的逆 ＝ ， （ ）
：①“ ＋ ＝０， ， ” ２
命题 ｐ为假 ¬ ｑ为假
； Ａ． Ｂ．
全等三角形的面积相等 的否命题 ｐ ｑ为假 ｐ ｑ为假
②“ ” ； Ｃ． ∨ Ｄ． ∧
若ｑ 则ｘ２ ｘ ｑ 有实根 的逆否命题 答案 Ｄ
③“ ≤１， ＋２ ＋ ＝０ ” ；
④“
不等边三角形的三个内角相等
”
的逆命题． ９．已知ａ
∈
Ｒ
，
命题ｐ
：∀
ｘ
∈［１，２］，
ｘ２
－
ａ
≥０，
命题ｑ
：∃
ｘ
∈
Ｒ
，
ｘ２
＋
其中真命题为 ａｘ ａ 若命题ｐ ｑ为真命题 则实数ａ的取值范围是
（ ） ２ ＋２－ ＝０， ∧ ，
．
Ａ．①② Ｂ．②③
答案 ａ 或ａ
Ｃ．③④ Ｄ．①③ ≤－２ ＝１
答案 Ｄ
考点四 全称量词与存在量词
考点二 充分条件与必要条件
１０．命题 ｘ Ｒ ｘ２ ｘ 的否定为
“∀ ∈ ， －２ ＋４≤０” （ ）
３．已知等比数列 ｛ ａ ｎ｝ 中 ， ａ １＞０， 则 “ ａ １＜ ａ ４” 是 “ ａ ３＜ ａ ５” 的 （ ） Ａ．∀ ｘ ∈ Ｒ ， ｘ２ －２ ｘ ＋４≥０ Ｂ．∃ ｘ ０∈ Ｒ ， ｘ２ ０－２ ｘ ０＋４＞０
Ａ．
充
充
要
分
条
不
件
必要条件
Ｂ．
必
既
要
不
不
充
充
分
分
也
条
不
件
必要条件
Ｃ．
答
∀
案
ｘ
∉
Ｒ
Ｂ
，
ｘ２
－２
ｘ
＋４≥０ Ｄ．∃
ｘ
０∉
Ｒ
，
ｘ２
０－２
ｘ
０＋４＞０
Ｃ． Ｄ．
答案 Ａ １１．命题 ｘ ｘ ｘ 的否定是
４．设ａ ， ｂ 是实数 ， 则 “ ａ ＋ ｂ ＞０” 是 “ ａｂ ＞０” 的 （ ） Ａ．∀ ｘ “ ∈ ∃ （０ ０∈ ，＋ （ ∞ ０， ） ＋ ， ∞ ｌｎ ） ｘ ， ≠ ｌｎ ｘ － ０ １ ＝ ０－１” （ ）
充分不必要条件 必要不充分条件
ｘ ｘ ｘ
Ａ． Ｂ． Ｂ．∀ ∉（０，＋∞），ｌｎ ＝ －１
充分必要条件 既不充分也不必要条件
ｘ ｘ ｘ
Ｃ．
答案 Ｄ
Ｄ． Ｃ．∃ ０∈（０，＋∞），ｌｎ ０≠ ０－１
ｘ ｘ ｘ
５．已知直 线ｍ ｎ和平面α 在下列给定的四个结论中 ｍ ｎ的一
Ｄ．
答
∃
案
０∉（
Ａ
０，＋∞），ｌｎ ０＝ ０－１
、 ， ， ∥
个必要但不充分条件是 １２．下列命题为真命题的是
（ ） （ ）
Ａ．
ｍ
ｍ
∥
α
α
，
ｎ
ｎ
∥
α
α
Ｂ．
ｍ
ｍ
⊥
ｎ
α
与
，
ｎ
α
⊥
所
α
成的角相等
Ａ．∃
ｘ
０∈
Ｒ
，
ｘ２
０－
ｘ
０＋２＝０
Ｃ． ∥ ， ⊂ Ｄ． 、 命题 ｘ Ｒ ｘ２ ｘ 的否定是 ｘ Ｒ ｘ２ ｘ
答案 Ｄ Ｂ． “∀ ∈ ， ＋ ＋１＞０” “∃ ０∈ ， ０＋ ０＋１＝０”
θ Ｒ 函数ｆ ｘ ｘ θ 都不是偶函数
Ｃ．∀ ∈ ， （ ）＝ｓｉｎ（２ ＋ ）
６． “ ｋ ＝－ ４ ” 是 “ 直线ｙ ＝ ｋｘ ＋１ 与圆 （ ｘ －２） ２ ＋ ｙ２ ＝１ 相切 ” 的 （ ） Ｄ． 在 △ ＡＢＣ中 ，“ Ａ ＝ Ｂ ” 是 “ｓｉｎ Ａ ＝ｓｉｎ Ｂ ” 的充要条件
３ 答案 Ｄ
充分不必要条件 必要不充分条件
Ａ． Ｂ．
２．（２０１７福建泉州惠南中学２月模拟，４）Ａ Ｂ Ｃ三个学生参加
， ，
了一次考试 其中Ａ Ｂ的得分均为 分 Ｃ的得分为 分 已
， ， ７０ ， ６５ ，
知命题ｐ 若及格分低于 分 则Ａ Ｂ Ｃ都没有及格 在下列
： ７０ ， ， ， ，
考点一 命题及其关系
四个命题中 为ｐ的逆否命题的是
， （ ）
１．（２０１８豫南豫北高三第二次联考，２）若原命题为 若ｚ ｚ 为 若及格分不低于 分 则Ａ Ｂ Ｃ都及格
“ １， ２ Ａ． ７０ ， ， ，
共轭复数 则 ｚ ｚ 则该命题的逆命题 否命题 逆否命 若Ａ Ｂ Ｃ都及格 则及格分不低于 分
， ｜ １｜＝｜ ２｜”， 、 、 Ｂ． ， ， ， ７０
题真假性的判断依次为 若Ａ Ｂ Ｃ至少有 人及格 则及格分不低于 分
（ ） Ｃ． ， ， １ ， ７０
真 真 真 真 真 假 若Ａ Ｂ Ｃ至少有 人及格 则及格分不高于 分
Ａ． 、 、 Ｂ． 、 、 Ｄ． ， ， １ ， ７０
假 假 真 假 假 假 答案 Ｃ 根据原命题与它的逆否命题之间的关系知 命题
Ｃ． 、 、 Ｄ． 、 、 ，
答案 Ｃ 因为原命题为真 所以它的逆否命题为真 若 ｚ ｐ 若及格分低于 分 则Ａ Ｂ Ｃ都没有及格的逆否命题是若
， ； ｜ １｜ ： ７０ ， ， ，
ｚ 当ｚ ｚ 时 这两个复数不是共轭复数 所以 Ａ Ｂ Ｃ至少有 人及格 则及格分不低于 分．故选
＝｜ ２｜， １＝１＋ｉ， ２＝－１＋ｉ ， ， ， ， １ ， ７０ Ｃ．
原命题的逆命题为假 故其否命题也是假命题 故选 ． ３．（２０２０广西南宁二中８月月考，６）已知命题 若函数ｆ ｘ ｘ
， ， Ｃ “ （ ）＝ｅ
１８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ｍｘ在 上是增函数 则ｍ 则下列结论正确的是 互为逆否命题 因此二者等价 所以 正确．综上 可知正确的
－ （０，＋∞） ， ≤１”， ， ， ④ ，
有 ．
（ ） ②④
否命题 若函数ｆ ｘ ｘ ｍｘ在 上是减函数 则ｍ
Ａ． “ （ ）＝ｅ － （０，＋∞） ， ＞ 考点二 充分条件与必要条件
是真命题
１”
逆否命题 若ｍ 则函数ｆ ｘ ｘ ｍｘ在 上不是 １．（２０１８辽宁庄河高级中学、沈阳第二十中学第一次联考，２） ａ
Ｂ． “ ＞１， （ ）＝ｅ － （０，＋∞） “
增函数 是真命题 是 复数ｚ ａ２ ａ ａ Ｒ 为纯虚数 的
” ＝１” “ ＝（ －１）＋２（ ＋１）ｉ（ ∈ ） ”
逆否命题 若ｍ 则函数ｆ ｘ ｘ ｍｘ在 上是减
Ｃ． “ ＞１， （ ）＝ｅ － （０，＋∞） （ ）
函数 是真命题 充要条件 必要不充分条件
” Ａ． Ｂ．
逆命题 若ｍ 则函数ｆ ｘ ｘ ｍｘ在 上是增函 充分不必要条件 既不充分也不必要条件
Ｄ． “ ≤１， （ ）＝ｅ － （０，＋∞） Ｃ． Ｄ．
数 是假命题 答案 Ａ 复数ｚ ａ２ ａ ａ Ｒ 为纯虚数 则
” ＝（ －１）＋２（ ＋１）ｉ（ ∈ ） ，
答案 Ｂ 易知选项 错误． ｆ ｘ ｘ ｍｘ ｆ ′ ｘ ｘ {ａ２
Ａ，Ｄ ∵ （ ）＝ｅ － ，∴ （ ）＝ｅ －１＝０， ａ ａ 是 复数ｚ ａ２ ａ
ｍ 又 ｆ ｘ 在 上是增函数 ｆ ′ ｘ ｘ ｍ 在 ａ ∴ ＝１，∴ “ ＝１” “ ＝（ －１）＋２（ ＋１）ｉ
－ ， ∵ （ ） （０，＋∞） ，∴ （ ）＝ｅ － ≥０ ２（ ＋１）≠０，
上恒成立 ｍ 原命题是真命题 而其逆否命题 ａ Ｒ 为纯虚数 的充要条件 选
（０，＋∞） ，∴ ≤１，∴ ， （ ∈ ） ” ， Ａ．
为 若ｍ 则函数ｆ ｘ ｘ ｍｘ在 上不是增函数 ２．（２０１９浙江“七彩阳光”联盟期初联考，５，４分） 直线 ｘ ｍｙ
“ ＞１， （ ）＝ｅ － （０，＋∞） ”， “ ３ ＋ ＋
由原命题与其逆否命题的等价性可知其逆否命题也为真命题 与直线 ｍ ｘ ｙ 平行 是 ｍ 的
， ４＝０ （ ＋１） ＋２ －２＝０ ” “ ＝－３” （ ）
故选 ． 充分不必要条件 必要不充分条件
Ｂ Ａ． Ｂ．
４．（２０１８山东济南外国语学校月考，３）原命题 ａ ｂ为两个实 充分必要条件 既不充分也不必要条件
：“ ， Ｃ． Ｄ．
数 若ａ ｂ 则ａ ｂ中至少有一个不小于 下列说法错误 答案 Ｂ 由直线 ｘ ｍｙ 与直线 ｍ ｘ ｙ 平
， ＋ ≥２， ， １”， ３ ＋ ＋４＝０ （ ＋１） ＋２ －２＝０
的是 行 可得 ｍ ｍ ｍ 或ｍ 所以 直线 ｘ ｍｙ
（ ） ， ３×２＝ （ ＋１）⇔ ＝－３ ＝２， “ ３ ＋ ＋４
逆命题 若ａ ｂ中至少有一个不小于 则ａ ｂ 为假命题 与直线 ｍ ｘ ｙ 平行 是 ｍ 的必要不充分
Ａ． ： ， １， ＋ ≥２， ＝０ （ ＋１） ＋２ －２＝０ ” “ ＝－３”
否命题 若ａ ｂ 则ａ ｂ都小于 为假命题 条件．选 ．
Ｂ． ： ＋ ＜２， ， １， Ｂ
逆否命题 若ａ ｂ都小于 则ａ ｂ 为真命题 ３．（２０１８天津滨海新区七校联考，４）已知集合Ａ ｘ ｘ
Ｃ． ： ， １， ＋ ＜２， ＝｛ ｜ ｜ －１｜＋
ａ ｂ 是 ａ ｂ 中至少有一个不小于 的必要不充分 ｘ 集合 Ｂ ｘ ｙ ｘ ｘ２ 则 ｘ Ａ 是
Ｄ．“ ＋ ≥２” “ ， １” ｜ －４｜＜５｝， ＝｛ ｜ ＝ｌｏｇ２（２ － ）｝， “ ∈ ”
条件 ｘ Ｂ 的
“ ∈ ” （ ）
答案 Ｄ 原命题 ａ ｂ为两个实数 若ａ ｂ 则ａ ｂ中 充分不必要条件 必要不充分条件
：“ ， ， ＋ ≥２， ， Ａ． Ｂ．
至少有一个不小于 充要条件 既不充分也不必要条件
１， Ｃ． Ｄ．
逆命题 ａ ｂ为两个实数 若ａ ｂ中至少有一个不小于 则ａ 答案 Ｂ 对于 ｘ ｘ 当ｘ 时 ｘ 解得ｘ
：“ ， ， ， １， ｜ －１｜＋｜ －４｜＜５， ＞４ ，２ －５＜５， ＜
ｂ ｘ 当 ｘ 时 ｘ ｘ 即 解得 ｘ
＋ ≥２”， ５，∴４＜ ＜５； １≤ ≤４ ， －１＋４－ ＜５， ３＜５， １≤ ≤４；
否命题 ａ ｂ为两个实数 若ａ ｂ 则ａ ｂ都小于 当ｘ 时 ｘ ｘ 解得 ｘ ．综上 可得Ａ
：“ ， ， ＋ ＜２， ， １”， ＜１ ，－（ －１）－（ －４）＜５， ０＜ ＜１ ， ＝（０，
逆否命题 ａ ｂ为两个实数 若ａ ｂ都小于 则ａ ｂ ．由ｙ ｘ ｘ２ 得 ｘ ｘ２ 解得 ｘ Ｂ
：“ ， ， ， １， ＋ ＜２”， ５） ＝ｌｏｇ２（２ － ）， ２ － ＞０， ０＜ ＜２，∴ ＝（０，２），
逆否命题显然为真命题 故原命题也为真命题 则 ｘ Ａ 是 ｘ Ｂ 的必要不充分条件．
， ， “ ∈ ” “ ∈ ”
当ａ ． ｂ 时 ａ ｂ 不成立 即逆命题为假命题 故否命 ４．（２０１８江西南昌二中４月月考，３）下列命题
＝１５， ＝０ ， ＋ ≥２ ， ， ：
题为假命题． 已知ａ ｂ Ｒ ａ 且ｂ 是 ａｂ 的充分条件
① ， ∈ ，“ ＞１ ＞１” “ ＞１” ；
所以 ａ ｂ 是 ａ ｂ中至少有一个不小于 的充分不必要 已知平面向量ａ ｂ ａ ｂ 是 ａ ｂ 的必要不
“ ＋ ≥２” “ ， １” ② ， ，“｜ ｜＞１，｜ ｜＞１” “｜ ＋ ｜＞１”
条件．故选 充分条件
Ｄ． ；
５．（２０１８河北衡水金卷 信息卷（五），１４）命题ｐ 若ｘ 则ｘ 已知ａ ｂ Ｒ ａ２ ｂ２ 是 ａ ｂ 的充分不必要
Ａ ： ＞０， ＞ ③ ， ∈ ，“ ＋ ≥１” “｜ ｜＋｜ ｜≥１”
ａ 命题ｑ 若ｍ ａ 则ｍ ｘ ｘ Ｒ 恒成立．若ｐ的逆命题 ｑ 条件
； ： ≤ －２， ＜ｓｉｎ （ ∈ ） ， ；
的逆否命题都是真命题 ， 则实数ａ的取值范围是 ． ④ 命题ｐ ：“∃ ｘ ０∈ Ｒ ， 使 ｅ ｘ ０ ≥ ｘ ０＋１ 且 ｌｎ ｘ ０≤ ｘ ０－１” 的否定为
答案 ¬ ｐ ｘ Ｒ 都有 ｘ ｘ 且 ｘ ｘ ．
［０，１） ：“∀ ∈ ， ｅ ＜ ＋１ ｌｎ ＞ －１”
解析 命题ｐ的逆命题是若ｘ ａ 则ｘ 故ａ ．因为命题ｑ 其中真命题的个数是
＞ ， ＞０， ≥０ （ ）
的逆否命题为真命题 所以命题ｑ为真命题 则ａ 解得
， ， －２＜－１， Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３
ａ ．则实数ａ的取值范围是 ． 答案 Ｃ 已知ａ ｂ Ｒ ａ 且ｂ 能够推出 ａｂ
＜１ ［０，１） ① ， ∈ ，“ ＞１ ＞１” “ ＞１”，
６．下列命题正确的有 填写所有正确命题的序号 ． ａｂ 不能推出 ａ 且ｂ 故 正确
（ ） “ ＞１” “ ＞１ ＞１”， ① ；
若 ａ 则函数ｆ ｘ ｘ ａ 且ａ 在其定义域 已知平面向量ａ ｂ ａ ｂ 不能推出 ａ ｂ
①“ ｌｏｇ２ ＞０， （ ）＝ｌｏｇａ （ ＞０， ≠１） ② ， ，“｜ ｜＞１，｜ ｜＞１” “｜ ＋ ｜＞１”，
内是减函数 是真命题 ａ ｂ 不能推出 ａ 且 ｂ 故 不正确
” ； ｜ ＋ ｜＞１ ｜ ｜＞１ ｜ ｜＞１， ② ；
命题 若ａ 则ａｂ 的否命题是 若ａ 则ａｂ 已知ａ ｂ Ｒ 当ａ２ ｂ２ 时 ａ２ ｂ２ ａ ｂ 则 ａ
② “ ＝０， ＝０” “ ≠０， ≠０”； ③ ， ∈ ， ＋ ≥１ ， ＋ ＋２｜ ｜·｜ ｜≥１， （｜ ｜
命题 若ｘ ｙ 都是偶数 则 ｘ ｙ 也是偶数 的逆命题为真 ｂ ２ 则 ａ ｂ 又ａ ． ｂ ． 满足 ａ ｂ
③ “ ， ， ＋ ” ＋｜ ｜） ≥１， ｜ ｜＋｜ ｜≥１， ＝０５， ＝０５ ｜ ｜＋｜ ｜≥１，
命题 但ａ２ ｂ２ ． 所以 ａ２ ｂ２ 是 ａ ｂ 的充分不
； ＋ ＝０５＜１， “ ＋ ≥１” “｜ ｜＋｜ ｜≥１”
命题 若ａ Ｍ 则ｂ Ｍ 与命题 若ｂ Ｍ 则ａ Ｍ 等价． 必要条件 故 正确
④ “ ∈ ， ∉ ” “ ∈ ， ∉ ” ， ③ ；
答案 命题ｐ ｘ Ｒ 使 ｘ ｘ 且 ｘ ｘ 的否定为
①④ ④ ：“∃ ０∈ ， ｅ ０ ≥ ０＋１ ｌｎ ０≤ ０－１”
解析 对于 若 ａ 则ａ 所以函数ｆ ｘ ｘ ａ ¬ ｐ ｘ Ｒ 都有 ｘ ｘ 或 ｘ ｘ 故 不正确．
①， ｌｏｇ２ ＞０， ＞１， （ ）＝ｌｏｇａ （ ＞ ：“∀ ∈ ， ｅ ＜ ＋１ ｌｎ ＞ －１”， ④
且ａ 在其定义域内是增函数 故 不正确 易知 正确 所以真命题的个数为 ．故选 ．
０， ≠１） ， ① ； ② ； ２ Ｃ
对于 原命题的逆命题是 若ｘ ｙ是偶数 则ｘ ｙ都是偶数 ５．设ｎ Ｎ∗ 一元二次方程ｘ２ ｘ ｎ 有整数根的充要条件是
③， “ ＋ ， ， ”， ∈ ， －４ ＋ ＝０
是假命题 如 是偶数 但 和 均为奇数 故 不正确 ｎ ．
， １＋３＝４ ， ３ １ ， ③ ； ＝
对于 命题 若ａ Ｍ 则ｂ Ｍ 与命题 若ｂ Ｍ 则ａ Ｍ 答案 或
④， “ ∈ ， ∉ ” “ ∈ ， ∉ ” ３ ４
专题一 集合与常用逻辑用语 １９
解析 由题意可知一元二次方程有根 所以判别式Δ
， ＝１６－ 答案 Ｂ 命题ｐ 若 ＡＢＣ为锐角三角形 则 Ｃ π
ｎ 解得ｎ 又ｎ Ｎ∗ 逐个分析 当ｎ 时 方程没 ： △ ， ０＜ ＜ ，∴ π
４ ≥０， ≤４， ∈ ， ， ＝１，２ ， ２
( )
有整数根 而当ｎ 时 方程有整数根 当ｎ 时 方程有
； ＝３ ， １，３； ＝４ ， Ａ Ｂ π π Ａ π Ｂ 则 Ａ π Ｂ Ｂ 可
整数根
２
．故一元二次方程ｘ２
－４
ｘ
＋
ｎ
＝０
有整数根的充要条件是 ＞ ＋ ＞
２
，∴
２
＞ ＞
２
－ ＞０， ｓｉｎ ＞ｓｉｎ
２
－ ＝ｃｏｓ ，
ｎ 或 ． 知ｐ是假命题
＝３ ４ ；
６．设命题ｐ ：｜４ ｘ －３｜≤１， 命题ｑ ： ｘ２ －（２ ａ ＋１） ｘ ＋ ａ （ ａ ＋１）≤０， 若¬ ｐ 命题ｑ ：∀ ｘ ， ｙ ∈ Ｒ ， 若ｘ ＋ ｙ ≠５， 则ｘ ≠－１ 或ｙ ≠６ 的逆否命题是
是¬ ｑ的必要不充分条件 则实数ａ的取值范围是 ∀ ｘ ， ｙ ∈ Ｒ ， 若ｘ ＝－１ 且ｙ ＝６， 则ｘ ＋ ｙ ＝５， 是真命题 ，∴ 原命题ｑ
， （ ）
[ ] ( ) 是真命题． ¬ ｐ ｑ为真命题．
∴ （ ）∧
１ １
Ａ． ０， Ｂ． ０， 故选
２ ２ Ｂ．
[ ) ( ) ３．（２０１９广东天河高中毕业班综合测试，７）已知命题ｐ 若ａ
１ １ ： ＝
Ｃ．（－∞，０］∪ ２ ，＋∞ Ｄ．（－∞，０）∪ ２ ，＋∞ ０ ． ２ ０ ． ２ ， ｂ ＝１ ． ２ ０ ． ２ ， ｃ ＝ｌｏｇ１ ． ２０ ． ２， 则ａ ＜ ｃ ＜ ｂ ； 命题ｑ ：“ ｘ －２≥０” 是 “ ｘ －２
答案 Ａ 设 Ａ
＝｛
ｘ
｜ ｜４
ｘ
－３｜≤１｝，
Ｂ
＝｛
ｘ
｜
ｘ２
－（２
ａ
＋１）
ｘ
＋ ＞０”
的必要不充分条件
，
则下列命题为真命题的是
（ ）
ａ ａ ． ｐ ｑ ｐ ¬ ｑ
（ ＋１）≤０｝ Ａ． ∧ Ｂ． ∧（ ）
¬ ｐ ¬ ｑ ¬ ｐ ｑ
解 ｘ 得 １ ｘ Ｃ．（ ）∧（ ） Ｄ．（ ）∧
｜４ －３｜≤１， ≤ ≤１， 答案 Ｄ 命题 ｐ 因为 ｂ ． ０ ． ２ ａ ． ０ ． ２ ｃ
２ ： ＝１ ２ ＞１，０＜ ＝０ ２ ＜１， ＝
{ } ． 故ｂ ａ ｃ．故命题ｐ为假命题．
故Ａ ｘ １ ｘ ． ｌｏｇ１ ． ２０２＜０， ＞ ＞
＝ ≤ ≤１ 命题ｑ ｘ 是 ｘ 的必要不充分条件 故命题ｑ是
２ ：“ －２≥０” “ －２＞０” ，
解ｘ２ ａ ｘ ａ ａ 得ａ ｘ ａ 真命题．
－（２ ＋１） ＋ （ ＋１）≤０， ≤ ≤ ＋１，
故Ｂ ｘ ａ ｘ ａ ． 则 ¬ ｐ ｑ为真命题．故选
＝｛ ｜ ≤ ≤ ＋１｝ （ ）∧ Ｄ．
{ } ４．（２０１９河北唐山第一次模拟，６）已知命题ｐ ｆ ｘ ｘ３ ａｘ的
解法一 ¬ ｐ所对应的集合为 Ａ ｘ ｘ １ 或ｘ ¬ ｑ所对 ： （ ）＝ －
： ∁Ｒ ＝ ＜ ＞１ ， 图象关于原点对称 命题ｑ ｇ ｘ ｘ ｘ的图象关于ｙ轴对称．
２ ； ： （ ）＝ ｃｏｓ
应的集合为 Ｂ ｘ ｘ ａ或ｘ ａ ． 则下列命题为真命题的是
∁Ｒ ＝｛ ｜ ＜ ＞ ＋１｝ （ ）
由¬ ｐ是¬ ｑ的必要不充分条件 知 Ｂ Ａ ¬ ｐ ｑ
， ∁Ｒ ⫋∁Ｒ ， Ａ． Ｂ．
{ { ｐ ｑ ｐ ¬ ｑ
ａ １ ａ １ Ｃ． ∧ Ｄ． ∧（ ）
所以 ≤ ，或 ＜ ， 答案 Ｄ 对于ｆ ｘ ｘ３ ａｘ 有 ｆ ｘ ｘ ３ ａ ｘ
２ ２ （ ）＝ － ， （－ ）＝ （－ ） － （－ ）＝
ａ
＋１＞１
ａ
＋１≥１， －（
ｘ３
－
ａｘ
）＝－
ｆ
（
ｘ
），
为奇函数
，
其图象关于原点对称
，
所以ｐ为
真命题 对于ｇ ｘ ｘ ｘ 有ｇ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
解得 ａ １ ． ； （ ）＝ ｃｏｓ ， （－ ）＝（－ ）ｃｏｓ（－ ）＝－ ｃｏｓ
０≤ ≤ ｇ ｘ 为奇函数 其图象关于原点对称 所以ｑ为假命题 则
２ ＝－ （ ）， ， ， ，
[ ]
¬ ｐ为假命题 ｐ ｑ为假命题 ｐ ¬ ｑ 为真命题 故选
故实数ａ的取值范围是 １ ． ， ∧ ， ∧（ ） ， Ｄ．
０， ５．（２０１９陕西西安二模，５）已知命题ｐ 对任意ｘ 总有 ｘ
２ ： ＞０， ｓｉｎ ＜
解法二 ¬ ｐ是¬ ｑ的必要不充分条件 ｘ 命题ｑ 直线ｌ ａｘ ｙ ｌ ｘ ａ ｙ 若ｌ ｌ
ｑ是ｐ ：∵ 的必要不充分条件 ， 则 ； ａ 或 ： ａ １ ． ： 则下 ＋２ 列 ＋ 命 １ 题 ＝０ 中 ， 是 ２： 真 ＋ 命 （ 题 － 的 １） 是 －１＝０， １∥ ２，
∴ ， ＝２ ＝－１ （ ）
即ｐ是ｑ的充分不必要条件． ｐ ｑ ¬ ｐ ¬ ｑ
Ａ． ∧ Ｂ．（ ）∧（ ）
Ａ Ｂ ¬ ｐ ｑ ｐ ｑ
∴ { ⫋ ， { Ｃ．（ ）∨ Ｄ． ∨
答案 Ｄ 命题ｐ 令ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ
ａ １ ａ １ ： （ ）＝ －ｓｉｎ ， ∈（０，＋∞），
∴ ≤ ２ ，或 ＜ ２ ， 解得 ０≤ ａ ≤ １ ． 则ｆ ′ （ ｘ ）＝１－ｃｏｓ ｘ ， 易知ｆ ′ （ ｘ ）≥０，
ａ ＋１＞１ ａ ＋１≥１，
[ ]
２ 所以ｆ
（
ｘ
）
在
（０，＋∞）
上单调递增
，
实数ａ的取值范围为 １ ．故选 ． 所以ｆ （ ｘ ）＝ ｘ －ｓｉｎ ｘ ＞ ｆ （０）＝０，
∴ ０， Ａ
２ 所以ｘ ｘ．故命题ｐ为真命题．
＞ｓｉｎ
命题ｑ 直线ｌ ａｘ ｙ ｌ ｘ ａ ｙ 若ｌ ｌ 则
考点三 简单的逻辑联结词 ： １： ＋２ ＋１＝０， ２： ＋（ －１） －１＝０， １∥ ２，
ａ ａ 解得ａ 或ａ 当ａ 时 两直线重合．故
１．（２０１７重庆第一次诊断，２）命题ｐ 甲的数学成绩不低于 （ －１）－２＝０， ＝２ ＝－１， ＝－１ ，
： １００ 命题ｑ为假命题．故ｐ ｑ为真命题．故选
分 命题ｑ 乙的数学成绩低于 分 则ｐ ｑ 表示 ∨ Ｄ．
， ： １００ ， ∨（ ） ６．（２０１９安徽六安一中３月模拟，７）设命题ｐ ｘ
：∃ ０∈（０，＋∞），
（ ）
Ａ． 甲 、 乙两人数学成绩都低于 １００ 分 ３ ｘ ０＋ ｘ ０＝ １ ； 命题ｑ ：∀ ａ ， ｂ ∈（０，８）， ａ ＋ １ ｂ ， ｂ ＋ ａ １ 中至少有一
２０１６
甲 乙两人至少有一人数学成绩低于 分
个不小于 则下列命题为真命题的是
Ｂ． 、 １００
２， （ ）
甲 乙两人数学成绩都不低于 分
Ｃ． 、 １００ ｐ ｑ ｐ ｑ
Ａ． ∧ Ｂ．（ ）∧
甲 乙两人至少有一人数学成绩不低于 分
Ｄ． 、 １００ ｐ ｑ ｐ ｑ
Ｃ． ∧（ ） Ｄ．（ ）∧（ ）
答案 Ｄ 由题设可知 ｑ 表示乙的数学成绩不低于 答案 Ｂ 因为 ｆ ｘ ｘ ｘ 在 上单调递增 所以
， １００ （ ）＝ ３ ＋ （０，＋∞） ，
分 则ｐ ｑ 表示甲 乙两人至少有一人数学成绩不低于
， ∨（ ） 、 ｆ ｘ ｆ １ ｐ假 假设ａ １ ｂ １ 都小于 则ａ
分 应选 ． （ ）＞（０）＝１＞ ，∴ ； ＋ ｂ ， ＋ ａ ２， ＋
１００ ， Ｄ ２０１６
２．（２０１９安徽六安第一中学模拟（四），３）已知命题ｐ 若 ＡＢＣ
： △ １ ｂ １ 又根据基本不等式可得ａ １ ｂ １ 矛盾
为锐角三角形 则 Ａ Ｂ 命题ｑ ｘ ｙ Ｒ 若ｘ ｙ 则 ｂ ＋ ＋ ａ ＜４， ＋ ｂ ＋ ＋ ａ ≥４， ，
， ｓｉｎ ＜ｃｏｓ ； ：∀ ， ∈ ， ＋ ≠５，
ｘ 或ｙ ．则下列命题为真命题的是 ｑ真 ｐ ｑ为真命题 故选 ．
≠－１ ≠６ （ ） ∴ ，∴ （ ）∧ ， Ｂ
ｐ ¬ ｑ ¬ ｐ ｑ 解题关键 正确判断每个简单命题的真假与正确应用真值表
Ａ． ∨（ ） Ｂ．（ ）∧
ｐ ｑ ¬ ｐ ¬ ｑ 是求解此类问题的关键．
Ｃ． ∧ Ｄ．（ ）∧（ ）
２０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
当ｘ 时 ｘ 则 ｘ Ｒ ｘ 是假命题
考点四 全称量词与存在量词 Ｃ． ＝０ ，２ －１＝０， ∀ ∈ ，２ －１＞０ ；
显然当ｘ π时 ｘ 成立 该命题是真命题．
１．（２０１７河北五个一名校联考，３）命题 ｘ Ｒ ｆ ｘ Ｄ． ０＝ ，ｓｉｎ ０＝１ ，
“∃ ０∈ ，１＜ （ ０）≤２” ２
的否定形式是 故选 ．
（ ） Ｃ
ｘ Ｒ ｆ ｘ ｘ Ｒ ｆ ｘ ６．（２０１８安徽马鞍山含山联考，５）已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ 给
Ａ．∀ ∈ ，１＜（ ）≤２ Ｂ．∃ ∈ ，１＜（ ）≤２ （ ）＝ｅ －ｌｏｇ１ ３ ，
ｘ Ｒ ｆ ｘ 或ｆ ｘ ｘ Ｒ ｆ ｘ 或ｆ ｘ 出下列两个命题
Ｃ．∃ ∈ ， （ ）≤１ （ ）＞２ Ｄ．∀ ∈ ， （ ）≤１ （ ）＞２ ：
答案 Ｄ 根据特称命题的否定是全称命题可知原命题的 命题ｐ 若ｘ 则ｆ ｘ
： ０≥１， （ ０）≥３；
否定形式为 ｘ Ｒ ｆ ｘ 或ｆ ｘ ．故选 ． 命题ｑ ｘ ｆ ｘ ．
“∀ ∈ ， （ ）≤１ （ ）＞２” Ｄ ：∃ ０∈［１，＋∞）， （ ０）＝３
２．（２０１７青海西宁二模，４）下列命题中的假命题是 则下列叙述错误的是
（ ） （ ）
ｘ Ｒ １－ ｘ ｐ是假命题
Ａ．∀ ∈ ，２ ＞０ Ａ．
ａ Ｒ 使函数ｙ ｘａ 的图象关于ｙ轴对称 ｐ的否命题是若ｘ 则ｆ ｘ
Ｂ．∃ ∈ ， ＝ Ｂ． ０＜１， （ ０）＜３
ａ Ｒ 使函数ｙ ｘａ 的图象经过第四象限 ｑ ｘ ｆ ｘ
Ｃ．∃ ∈ ， ＝ Ｃ． ：∀ ∈［１，＋∞）， （ ）≠３
ｘ ｘ ｘ ｑ是真命题
Ｄ．∀ ∈（０，＋∞），２ ＞ Ｄ．
答案 Ｃ 对于 根据函数ｙ １－ ｘ的图象可以判断 正确 答案 Ｄ 由函数 ｆ ｘ 的解析式可得函数的定义域为
Ａ， ＝２ Ａ ； （ ） （０，
对于 当 ａ 时 函数 ｙ ｘａ 的图象关于 ｙ 轴对称 故
Ｂ， ＝２ ， ＝ ， Ｂ 且ｆ ′ ｘ ｘ １ 则ｆ ′ ｘ 故函数ｆ ｘ 单调递增
正确 ＋∞）， （ ）＝ｅ ＋ｘ ， （ ）＞０， （ ） ，
； ｌｎ３
对于 Ｃ， 对于函数ｙ ＝ ｘａ ， 当ｘ为正值时 ， ｙ不可能为负 ， 故 Ｃ 错 ； 结合ｆ （１）＝ｅ １ －ｌｏｇ１ ３１＝ｅ， 可得当ｘ ≥１ 时 ， 函数ｆ （ ｘ ） 的值域为
对于 根据函数ｙ ｘ ｙ ｘ的图象 可判定 ｘ ｘ 故 正确．
Ｄ， ＝２ ， ＝ ， ２ ＞ ， Ｄ ［ｅ，＋∞），
故选 ． 据此可得命题ｐ是假命题 命题ｑ是真命题 ｑ是假命题．
Ｃ ， ，
３．（２０１９河南八所重点高中第二次联合测评，２）已知集合Ａ是奇函 ｐ的否命题是 若ｘ 则ｆ ｘ
： ０＜１， （ ０）＜３，
数集 Ｂ是偶函数集．若命题ｐ ｆ ｘ Ａ ｆ ｘ Ｂ 则¬ ｐ为 ｑ ｘ ｆ ｘ ．故选 ．
， ：∀（ ）∈ ，｜ （ ）｜∈ ， ：∀ ∈［１，＋∞）， （ ）≠３ Ｄ
[ ]
（ ） ７．（２０１７四川成都外国语学校期末）若 ｘ １ 使得 ｘ２
ｆ ｘ Ａ ｆ ｘ Ｂ ｆ ｘ Ａ ｆ ｘ Ｂ ∃ ∈ ，２ ， ２ －
Ａ．∀（ ）∈ ，｜ （ ）｜∉ Ｂ．∀（ ）∉ ，｜ （ ）｜∉ ２
ｆ ｘ Ａ ｆ ｘ Ｂ ｆ ｘ Ａ ｆ ｘ Ｂ λｘ 成立是假命题 则实数λ的取值范围是
Ｃ．∃（ ）∈ ，｜ （ ）｜∉ Ｄ．∃（ ）∉ ，｜ （ ）｜∉ ＋１＜０ ， （ ）
答案 Ｃ 全称命题的否定为特称命题 一是要改写量词
， ， Ａ．（－∞，２ ２］ Ｂ．（２ ２，３］
二是要否定结论 所以由命题ｐ ｆ ｘ Ａ ｆ ｘ Ｂ 得¬ ｐ [ ]
， ：∀（ ）∈ ，｜ （ ）｜∈ ， ９
为 ｆ ｘ Ａ ｆ ｘ Ｂ 故选 ． Ｃ． ２ ２， Ｄ．｛３｝
∃（ ）∈ ，｜ （ ）｜∉ ， Ｃ ２
４．（２０１９北京海淀一模文，４）已知ａ ｂ 则下列结论中正确的是 答案 Ａ 本题考查全称命题与特称命题的关系与基本不
＜ ，
[ ]
（ ） 等式．若 ｘ １ 使得 ｘ２ λｘ 成立是假命题 则 ｘ
ｃ ａ ｂ ｃ ｃ ａ ｂ ｃ ∃ ∈ ，２ ， ２ － ＋１＜０ ， ∀
Ａ．∀ ＜０， ＞ ＋ Ｂ．∀ ＜０， ＜ ＋ ２
[ ] [ ]
ｃ ａ ｂ ｃ ｃ ａ ｂ ｃ
Ｃ．∃ ＞０， ＞ ＋ Ｄ．∃ ＞０， ＜ ＋ １ 使得 ｘ２ λｘ 恒成立 即 ｘ １ λ
答案 Ｄ 判断一个命题正确需要证明 判断一个命题错 ∈ ，２ ， ２ － ＋１≥０ ， ∀ ∈ ，２ ， ≤
２ ２
，
误 只需举一个反例即可．
， ｘ １ 恒成立 又 ｘ １ ｘ １ 当且仅当 ｘ １
对于 选项 当ａ ｂ ｃ 时不成立 故 中结论错误 ２ ＋ ｘ ， ２ ＋ ｘ ≥２ ２ × ｘ ＝２ ２（ ２ ＝ ｘ ，
Ａ ， ＝１， ＝３， ＝－１ ， Ａ ；
对于 选项 当ａ ｂ ｃ 时不成立 故 中结论错误 ( )
Ｂ ， ＝１， ＝３， ＝－３ ， Ｂ ； 即ｘ ２时 取 所以λ ｘ １ ．
对于 选项 当ａ ｂ ｃ 时 ａ ｂ ｃ恒成立 故 中结论错误 ＝ ， “＝”）， ≤ ２ ＋ ｘ ＝２ ２
Ｃ ， ＜ ， ＞０ ， ＜ ＋ ， Ｃ ， ２ ｍｉｎ
中结论正确 故选 ． ８．（２０１８山东师大附中二模，９）已知命题 ｘ Ｒ 使 ｘ２
Ｄ ， Ｄ “∃ ０∈ ， ２ ０＋
５．（２０１８辽宁庄河高级中学、沈阳第二十中学第一次联考，４）给
ａ ｘ １ 是假命题 则实数ａ的取值范围是
出下列四个命题 其中是假命题的为 （ －１） ０＋ ≤０” ， （ ）
， （ ） ２
ｘ Ｒ ｘ 的否定为 ｘ Ｒ ｘ
Ａ．“∀ ∈ ，ｓｉｎ ≤１” “∃ ０∈ ，ｓｉｎ ０＞１” Ａ．（－∞，－１） Ｂ．（－１，３） Ｃ．（－３，＋∞） Ｄ．（－３，１）
若ａ ｂ 则ａ ｂ 的逆否命题是 若ａ ｂ 则ａ ｂ
Ｂ．“ ＞ ， －５＞ －５” “ －５≤ －５， ≤ ” 答案 Ｂ 命题 ｘ Ｒ 使 ｘ２ ａ ｘ １ 是假
ｘ Ｒ ｘ ∵ “∃ ０∈ ， ２ ０＋（ －１） ０＋ ≤０”
Ｃ．∀ ∈ ，２ －１＞０ ２
Ｄ． 答 ∃ 案 ｘ ０∈（ Ｃ ０，２ 逐 ）， 一 使 考 得 察 ｓ 所 ｉｎ 给 ｘ ０ 的 ＝１ 命题 命题 ，∴ 命题 “∀ ｘ ∈ Ｒ ，２ ｘ２ ＋（ ａ －１） ｘ ＋ ２ １ ＞０” 是真命题 ，∴ Δ ＝
：
Ａ．“∀ ｘ ∈ Ｒ ，ｓｉｎ ｘ ≤１” 的否定为 “∃ ｘ ０∈ Ｒ ，ｓｉｎ ｘ ０＞１”， 该命题是 （ ａ －１） ２ －４×２× １ ＜０， 即 （ ａ －１） ２ ＜４，∴ －２＜ ａ －１＜２， 即 －１＜ ａ ＜３，
真命题 ２
； 故选 ．
若ａ ｂ 则ａ ｂ 的逆否命题是 若ａ ｂ 则ａ Ｂ
Ｂ．“ ＞ ， －５＞ －５” “ －５≤ －５， ≤
ｂ 该命题是真命题
”， ；
专题一 集合与常用逻辑用语 ２１
ＡＢＣ中 Ａ Ｂ Ｃ 所以Ｃ π
△ ， ＋ ＋ ＝π， ＞ ，
２
所以 ＡＢＣ为钝角三角形．
考法一 充分条件与必要条件的判断方法 △
例１ （２０２０安徽黄山二模，６）若 ａ ｂ Ｒ 则 ａ 若 ＡＢＣ为钝角三角形 角Ａ Ｂ均为锐角 则Ｃ π
（１） ， ∈ ， “ ＞１ △ ， 、 ， ＞ ，
２
且ｂ 是 ａｂ 且ａ ｂ 的
＞１” “ ＞１ ＋ ≥２” （ ） 所以Ａ Ｂ π 所以Ａ π Ｂ
充分不必要条件 必要不充分条件 ＋ ＜ ， ＜ － ，
Ａ． Ｂ． ２ ２
充要条件 既不充分又不必要条件 ( )
Ｃ． Ｄ． 所以 Ａ π Ｂ 即 Ａ Ｂ．
（２０１９天津，３，５分）设ｘ Ｒ 则 ｘ２ ｘ 是 ｘ ｃｏｓ ＞ｃｏｓ － ， ｃｏｓ ＞ｓｉｎ
（２） ∈ ， “ －５ ＜０” “｜ －１｜ ２
的 故 Ａ Ｂ是 ＡＢＣ为钝角三角形的充要条件．故选 ．
＜１” （ ） ｃｏｓ ＞ｓｉｎ △ Ｃ
充分而不必要条件 必要而不充分条件 答案 Ｃ
Ａ． Ｂ．
充要条件 既不充分也不必要条件
Ｃ． Ｄ．
解析 （ ）充分性：因为ａ 且ｂ ，所以根据同向正数不 考法二 与全（特）称命题有关的参数的求解方法
１ ＞１ ＞１
等式相乘得ａｂ ，根据同向不等式相加得ａ ｂ ，即ａ ｂ 成 例２ 已知命题 ｘ Ｒ ｘ ａ 是真命题 则ａ的
＞１ ＋ ＞２ ＋ ≥２ “∀ ∈ ，ｓｉｎ －２ ≥０” ，
立，因此充分性成立； 取值范围是 ．
必要性：当ａ ，ｂ 时满足ａｂ 且ａ ｂ ，但不满足ａ 解析 因为“ ｘ Ｒ， ｘ ａ ”是真命题，
＝１ ＝２ ＞１ ＋ ≥２ ＞１ ∀ ∈ ｓｉｎ －２ ≥０
且ｂ ，即必要性不成立， ( )
＞ 从 １ 而“ａ 且ｂ ”是“ａｂ 且ａ ｂ ”的充分不必要条件， 所以ａ ≤ １ ｓｉｎ ｘ ＝－ １ ，
故选 ． ＞１ ＞１ ＞１ ＋ ≥２ ２ ( ｍｉｎ ２ ]
Ａ 则ａ的取值范围是 ， １ ．
（ ）解不等式ｘ２ ｘ ，得 ｘ ．解不等式 ｘ ，得 ｘ －∞ －
２ －５ ＜０ ０＜ ＜５ ｜ －１｜＜１ ０＜ ２
．设集合Ａ ｛ｘ ｘ ｝，Ｂ ｛ｘ ｘ ｝，充分性：当 ｘ 时， ( ]
＜２ ＝ ｜０＜ ＜５ ＝ ｜０＜ ＜２ ０＜ ＜５ 答案 ， １
ｘ 不一定成立，故充分性不成立；必要性：因为Ｂ Ａ，故必要 －∞ －
０＜ ＜２ ⫋ ２
性成立．综上，“ｘ２ ｘ ”是“ ｘ ”的必要而不充分条件．故 方法总结 解决与全称命题或特称命题有关的参数取值范
－５ ＜０ ｜ －１｜＜１
选 ． 围问题 本质是恒成立问题或有解问题 最终转化为最值问题
Ｂ
（ ， ）
答案 （ ）Ａ （ ）Ｂ 的主要方法是分离变量法．在使用该方法时一定要明确在分离的
１ ２
方法总结 判断充分 必要条件的常用方法 过程中 把题目中所求范围的量放在一边 其余的放在另一边
、 ： ， ， ，
１．定义法 直接判断 若ｐ 则ｑ 若ｑ 则ｐ 的真假 一定要注意这种分离过程是不是恒等变形．
： “ ， ”“ ， ” ；
２．利用集合间的包含关系判断 若Ａ Ｂ 则Ａ是Ｂ的充分条
： ⊆ ，
件或Ｂ是Ａ的必要条件
；
若Ａ
＝
Ｂ
，
则Ａ是Ｂ的充要条件． 例
（１）
给定命题 ｐ
：
对任意实数 ｘ 都有 ａｘ２
＋
ａｘ
＋１＞０
成
立 ｑ 关于ｘ的方程ｘ２ ｘ ａ 有实数根．如果ｐ ｑ为真命题
； ： － ＋ ＝０ ∨ ，
例 （２０１７江西红色七校二模，８）在 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ均为锐 ｐ ｑ 为 假 命 题 那 么 实 数 ａ 的 取 值 范 围
△ ， 、 ∧ ，
角 则 Ａ Ｂ是 ＡＢＣ为钝角三角形的 为 ．
， ｃｏｓ ＞ｓｉｎ △ （ ）
充分不必要条件 必要不充分条件 （２０１８南通期中，３）若命题 ｔ Ｒ ｔ２ ｔ ａ 是假
Ａ． Ｂ． （２） “∃∈ ， －２ － ＜０”
充要条件 既不充分也不必要条件 命题 则实数ａ的取值范围是 ．
Ｃ． Ｄ． ，
解题导引 解析 （ ）“对任意实数ｘ都有ａｘ２ ａｘ 成立” ａ
１ ＋ ＋１＞０ ⇔ ＝０
由Ａ Ｂ为锐角及 Ａ 由Ａ＋Ｂ＋Ｃ {ａ ，
、 ｃｏｓ △ ＡＢＣ为钝 或 ＞０ ａ ．
＞ Ｂ得Ａ＋Ｂ ＜ π → ＝ 得Ｃ ＞ π →角三角形 Δ ，∴０≤ ＜４
ｓｉｎ π ＜０
２ ２ 结 “关于ｘ的方程ｘ２ ｘ ａ 有实数根” Δ ａ ， ａ
→论 － ＋ ＝０ ⇔ ＝１－４ ≥０ ∴
由Ａ Ｂ为锐角及 ＡＢＣ 得Ａ＋Ｂ
、 △ 利用诱导公式得 １ ．
≤
为钝角三角形得Ｃ ＞ π → ＜ π → Ａ ＞ Ｂ ４
２ ２ ｃｏｓ ｓｉｎ ｐ ｑ为真命题，ｐ ｑ为假命题，
( ) ∵ ∨ ∧
解析 因为 ｃｏｓ Ａ ＞ｓｉｎ Ｂ，所以 ｃｏｓ Ａ ＞ｃｏｓ π ２ － Ｂ ， ∴
ｐ，ｑ一真一假．
{ ａ ，
０≤ ＜４
又因为角Ａ，Ｂ均为锐角，所以π Ｂ为锐角， 若ｐ真ｑ假，则有 １ ａ ；
－ ａ １ ， ∴ ＜ ＜４
２ ＞ ４
又因为余弦函数ｙ ＝ｃｏｓ ｘ在（ ０ ， π ）上单调递减， {ａ ４ 或ａ ，
＜０ ≥４
所以Ａ π Ｂ，所以Ａ Ｂ π， 若ｐ假ｑ真，则有 ａ ．
＜ － ＋ ＜ ａ １ ， ∴ ＜０
２ ２ ≤
４
２２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
２．已知含逻辑联结词的命题的真假求参数的取值范围的
( )
故ａ的取值范围为 １ ． 步骤
（－∞，０）∪ ，４
４ 求出当命题ｐ ｑ为真命题时所含参数的取值范围
因为命题 ｔ Ｒ ｔ２ ｔ ａ 为假命题 所以命题 （１） ， ；
（２） “∃ ∈ ， －２ － ＜０” ， 根据复合命题的真假判断命题ｐ ｑ的真假性
ｔ Ｒ ｔ２ ｔ ａ 为真命题 所以Δ ２ ａ （２） ， ；
“∀∈ ， －２ － ≥０” ， ＝（－２） －４×１×（－ ）＝ 根据命题ｐ ｑ的真假情况 利用集合的交集 并集和补
ａ 解得ａ ． （３） ， ， 、
４ ＋４≤０， ≤－１ 集的运算求解参数的取值范围．
( )
答案 （ ）（ ， ） １ ， （ ）（ ， ］
１ －∞ ０ ∪ ４ ２ －∞ －１
４
例 （２０１８ 河北衡水中学联考，１０）已知函数 ｆ ｘ
（ ）＝
考法三 含有逻辑联结词命题真假的判断方法 ( [ ])
ωｘ φ ω φ π 的部分图象如图所示 其中
{ｘ ｙ ２ｓｉｎ（ ＋ ） ＞０， ∈ ，π ，
例３ （２０１９ 课标Ⅲ，１１，５ 分）记不等式组 ＋ ≥６，表 ２
ｘ ｙ ( )
２ － ≥０ ＭＮ ５ 记命题ｐ ｆ ｘ πｘ ５π 命题ｑ 将ｆ ｘ 的
示的平面区域为Ｄ．命题ｐ ｘ ｙ Ｄ ｘ ｙ 命题ｑ ｘ ｜ ｜＝ ， ： （ ）＝２ｓｉｎ ＋ ， ： （ ）
：∃（ ， ）∈ ，２ ＋ ≥９； ：∀（ ， ２ ３ ６
( )
ｙ Ｄ ｘ ｙ ．下面给出了四个命题
）∈ ，２ ＋ ≤１２ 图象向右平移π个单位 得到函数ｙ πｘ ２π 的图象
ｐ ｑ ¬ｐ ｑ ｐ ¬ｑ ¬ｐ ¬ｑ ， ＝２ｓｉｎ ＋ ，
① ∨ ② ∨ ③ ∧ ④ ∧ ６ ３ ３
这四个命题中 所有真命题的编号是 则以下判断正确的是
， （ ） （ ）
Ａ．①③ Ｂ．①② Ｃ．②③ Ｄ．③④
解析 由不等式组画出平面区域Ｄ，如图中阴影部分所示，
ｐ ｑ为真 ｐ ｑ为假
Ａ． ∧ Ｂ． ∨
¬ ｐ ｑ为真 ｐ ¬ ｑ 为真
Ｃ．（ ）∨ Ｄ． ∧（ ）
解题导引
在图中画出直线 ｘ ｙ ，可知命题ｐ为真
２ ＋ ＝９ 判断命题ｐ 判断选项中复合
作出直线 ｘ ｙ ， ｘ ｙ 表示直线及其下方区域，易知 ， 结论
２ ＋ ＝１２ ２ ＋ ≤１２ ｑ的真假 → 命题的真假 →
命题ｑ为假．
¬ｐ为假，¬ｑ为真， ( )
２
∴ 解析 由 ＭＮ ５ ，可得 π ２ ５ （ω ），
ｐ ｑ为真，¬ｐ ｑ为假，ｐ ¬ｑ为真，¬ｐ ¬ｑ为假． ｜ ｜＝ ω ＋２ ＝ ＞０
∴ ∨ ∨ ∧ ∧ ２ ２ ２
故真命题的编号为 ，故选 ． [ ]
①③ Ａ 解得ω π．因为ｆ（ ） ，所以 φ １ ．又φ π， ，
方法总结 １．含逻辑联结词的命题真假的判断方法 ＝
３
０ ＝１ ｓｉｎ ＝
２
∈
２
π
( )
所以φ ５π，所以ｆ（ｘ） πｘ ５π ．故ｐ为真命题．将ｆ（ｘ）
＝ ＝２ｓｉｎ ＋
６ ３ ６
( )
图象上所有的点向右平移 π 个单位，得到 ｆ ｘ π
－ ＝
６ ６
( )
２
πｘ ５π π 的图象，故ｑ为假命题．所以ｐ ｑ为假，ｐ
２ｓｉｎ ＋ － ∧ ∨
３ ６ １８
ｑ为真，（¬ ｐ） ｑ为假，ｐ （¬ ｑ）为真．故选
∨ ∧ Ｄ．
答案 Ｄ
３．（２０２０山东泰安检测，６） ａ 是 ｘ Ｒ ａ ｘ 的
“ ＜－１” “∃ ０∈ ， ｓｉｎ ０＋１＜０”
（ ）
充分不必要条件 必要不充分条件
考法一 充分条件与必要条件的判断方法 Ａ． Ｂ．
充要条件 既不充分也不必要条件
１．（２０２０浙江温州新力量联盟联考，６）已知 ａ ＞０ 且 ａ ≠１， 则 Ｃ． 答案 Ａ Ｄ．
ａ ｂ 是 ａ ｂ 成立的
“ｌｏｇａ（ － ）＞１” “（ －１） ＜０” （ ） ４．（２０２０北京东城二模，８）已知函数ｆ ｘ ｘ ａｘ２ 那么 ａ
充分不必要条件 必要不充分条件 （ ）＝ｌｎ ＋ ， “ ＞
Ａ． Ｂ． 是 ｆ ｘ 在 上为增函数 的
充要条件 既不充分也不必要条件 ０” “ （ ） （０，＋∞） ” （ ）
Ｃ． Ｄ． 充分不必要条件 必要不充分条件
答案 Ａ Ａ． Ｂ．
充分必要条件 既不充分也不必要条件
Ｃ． Ｄ．
２．（２０１９辽宁鞍山一中一模，２）已知 α 则 α π 是 答案 Ａ
０＜ ＜π， “ ＝ ”
６
５．（２０１９河南中原名校联考，６）已知 ｐ ｘ ｘ ｑ
α １ 的 ： ＋２－ １－２ ＞０， ：
“ｓｉｎ ＝ ” （ ） ｘ
２ ＋１ 则ｐ是ｑ成立的
充分不必要条件 必要不充分条件 ｘ ≤０， （ ）
Ａ． Ｂ． －１
充要条件 既不充分也不必要条件 充分不必要条件 必要不充分条件
Ｃ． Ｄ． Ａ． Ｂ．
答案 Ａ 充要条件 既不充分也不必要条件
Ｃ． Ｄ．
专题一 集合与常用逻辑用语 ２３
答案 Ａ ｘ ｘ 的最小值为 命题ｑ 若向量ａ ｂ 满足ａ
ｓｉｎ ， ∈（０，π） ２ ２； ： ， ， ·
６．（２０２０江苏盐城中学月考，４）设ａ Ｒ 则 ａ 是 直线ｙ ｂ ｂ ｃ 则ａ ｃ．下列正确的是
∈ ， “ ＝２” “ ＝ ＝ · ， ＝ （ ）
ａ ¬ ｐ ｑ ｐ ｑ
ａｘ 与直线ｙ ｘ 垂直 的 条件． Ａ．（ ）∧ Ｂ． ∨
－ ＋２ ＝ －１ ”
４ ｐ ¬ ｑ ¬ ｐ ¬ ｑ
答案 充分不必要 Ｃ． 答 ∧ 案 （ Ｄ ） Ｄ．（ ）∧（ ）
１０．（２０２０广东深圳五校联考，５）已知命题ｐ 若ｘ ｙ 则 ｘ ｙ
考法二 与全（特）称命题有关的参数的求解方法 ： ＞ ， － ＜－ ；
命题ｑ 若ｘ ｙ 则ｘ２ ｙ２ 下列命题中 真命题是
７．（２０１９湖南三湘名校教育联盟联考，６）设ａ Ｚ 函数ｆ ｘ ： ＞ ， ＞ ， ， （ ）
∈ ， （ ）＝ ｐ ｑ ｐ ｑ
ｘ ｘ ａ 若命题ｐ ｘ ｆ ｘ 是假命题 则ａ的 Ａ． ∧ Ｂ． ∨
ｅ ＋ － ， ：“∀ ∈（－１，１）， （ ）≠０” ， ¬ ｐ ¬ ｑ ¬ ｐ ｑ
取值有 Ｃ．（ ）∧（ ） Ｄ．（ ）∨
（ ） 答案 Ｂ
个 个 个 个
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ １１．（２０２０陕西西安中学３ 月线上考试，３）已知命题 ｐ 若 ａ
答案 Ｄ ： ＞
ｂ 则ａ２ ｂ２ 命题ｑ ｍ ｎ是直线 α为平面 若ｍ α ｎ α
８．（２０２０江苏六校联盟第三次联考，６）若命题
“
存在ｘ
∈
Ｒ
，
ａｘ２
＋ 则
｜ ｜
ｍ
，
ｎ．下
＞
列
；
命题为
：
真命
、
题的是
， ， ∥ ， ⊂ ，
ｘ ａ 为假命题 则实数ａ的取值范围是 ． ∥ （ ）
４ ＋ ≤０” ， ｐ ｑ ｐ ¬ ｑ
答案 Ａ． ∧ Ｂ． ∧（ ）
（２，＋∞） ¬ ｐ ｑ ¬ ｐ ¬ ｑ
Ｃ．（ ）∧ Ｄ．（ ）∧（ ）
答案 Ｂ
考法三 含有逻辑联结词命题真假的判断方法
９．（２０２０江西抚州临川一中期中，７）已知命题ｐ 函数ｙ ２
： ＝ ｘ＋
ｓｉｎ
[ ]
ａ ｂ π ａ ｂ不一定共线 充分性不成立．
∴ 〈 ， 〉∈ ０， ， ， ，
２
必要性 若ａ ｂ共线 则ａ ｂ的夹角为 或 当ａ ｂ的夹角为
： ， ， ， ０ π， ，
考法一 充分条件与必要条件的判断方法 时 满足ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ
０ ， · ＝｜ ｜·｜ ｜＝｜ · ｜，
１．（２０１９浙江“七彩阳光”联盟期中，２）设ｎ
∈
Ｎ∗
，
则
“
数列
｛
ａ
ｎ｝
当ａ
，
ｂ的夹角为
π
时
，
ａ
·
ｂ
＝－｜
ａ
·
ｂ
｜，
必要性不成立．
为等比数列
”
是
“
数列
｛
ａ２ｎ｝ 为等比数列
”
的
（ ）
故选
Ｄ
．
充分不必要条件 必要不充分条件 ４．（２０１９云南昆明９ 月调研，３）对任意实数 ａ ｂ ｃ 给出下列
Ａ． Ｂ． ， ， ，
充要条件 既不充分也不必要条件 命题
Ｃ． Ｄ． ：
ａ ａ ｂ 是 ａｃ ｂｃ 的充要条件
答案 Ａ 若 ａ 是公比为 ｑ 的等比数列 则 ｎ ＋１ ｑ 所以 ①“ ＝ ” “ ＝ ” ；
｛ ｎ｝ ， ａ ＝ ， ａ 是无理数 是 ａ是无理数 的充要条件
ｎ ②“ ＋５ ” “ ” ；
ａ
ａ
２ｎ ＋
２ｎ
１
＝
ｑ２
，
所以
｛
ａ２ｎ｝ 是等比数列
；
反过来
，
若
｛
ａ２ｎ｝ 是等比数列
，
则 ③
④
“
“
ａ
ａ
＞
＜
ｂ
５
”
”
是
是
“
“
ａ
ａ
２
＜
＞
３
ｂ
”
２
的
” 的
必
充
要
分
条
条
件
件
．
；
ａ 不一定是等比数列 例如数列 所以选 其中真命题的个数是
｛ ｎ｝ ， １，１，－１，－１， Ａ． （ ）
２．（２０１９宁夏顶级名校９ 月联考，３）设 ａ 且 ａ 则 函数
＞０ ≠１， “ Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
ｆ
（
ｘ
）＝
ａｘ 在Ｒ上是减函数
”
是
“
函数ｇ
（
ｘ
）＝（２－
ａ
）
ｘ３ 在Ｒ上是 答案 Ｂ 对于
①，“
ａ
＝
ｂ
”⇒“
ａｃ
＝
ｂｃ
”，
但当 ｃ
＝０
时
，“
ａｃ
＝
增函数 的 ｂｃ ／ ａ ｂ 故 ａ ｂ 是 ａｃ ｂｃ 的充分不必要条件 故 为
” （ ） ”⇒“ ＝ ”， “ ＝ ” “ ＝ ” ， ①
充分不必要条件 假命题 对于 ａ 是无理数 ａ是无理数 且 ａ是无理
Ａ． ； ②，“ ＋５ ”⇒“ ” “
必要不充分条件 数 ａ 是无理数 故 ａ 是无理数 是 ａ是无理数 的
Ｂ． ”⇒“ ＋５ ”， “ ＋５ ” “ ”
充要条件 充要条件 故 为真命题 对于 ａ ｂ ／ ａ２ ｂ２ 且 ａ２ ｂ２
Ｃ． ， ② ； ③，“ ＞ ”⇒“ ＞ ” “ ＞ ”
既不充分也不必要条件 ／ ａ ｂ 故 ａ ｂ 是 ａ２ ｂ２ 的既不充分也不必要条件 故
Ｄ． ⇒“ ＞ ”， “ ＞ ” “ ＞ ” ， ③
答案 Ａ 由ｆ ｘ ａｘ 在Ｒ上是减函数可得ａ 由 为假命题 对于 ａ ａ ａ ａ ａ 是 ａ
（ ）＝ ∈（０，１）； ； ④，∵ ｛ ｜ ＜３｝⫋｛ ｜ ＜５｝，∴ “ ＜５” “ ＜３”
函数ｇ
（
ｘ
）＝（２－
ａ
）
ｘ３ 在Ｒ上是增函数得
２－
ａ
＞０，∴ ０＜
ａ
＜２，
且 的必要条件
，
故
④
为真命题．故真命题的个数为
２，
故选
Ｂ
．
ａ ． 函数ｆ ｘ ａｘ 在Ｒ上是减函数 是 函数ｇ ｘ 方法总结 判断命题为真命题时要进行推理 判断命题为假
≠１∴ “ （ ）＝ ” “ （ ）＝（２－ ，
ａ ｘ３ 在Ｒ上是增函数 的充分不必要条件 故选 ． 命题时只需举出反例即可．
） ” ， Ａ
３．（２０１９北京人大附中期中，５）设ａ ｂ为两个非零向量 则 ａ ５．（２０２０豫北名校尖子生９月对抗赛，６）方程ａｘ２ ｘ 至
， ， “ · ＋２ ＋１＝０
ｂ ａ ｂ 是 ａ与ｂ共线 的 少有一个负实根的充要条件是
＝｜ · ｜” “ ” （ ） （ ）
充分而不必要条件 必要而不充分条件 ａ ａ
Ａ． Ｂ． Ａ．０≤ ≤１ Ｂ． ＜１
充要条件 既不充分也不必要条件 ａ ａ 或ａ
Ｃ． Ｄ． Ｃ． ≤１ Ｄ．０＜ ≤１ ＜０
答案 Ｄ 充分性 ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ 答案 Ｃ 当ａ 时 原方程为一元一次方程 ｘ 有一
： · ＝｜ ｜·｜ ｜·ｃｏｓ〈 ， 〉，｜ · ｜ ＝ ＝０ ， ２ ＋１＝０，
ａ ｂ ａ ｂ 个负实根．
｜ ｜·｜ ｜·｜ｃｏｓ〈 ， 〉｜，
ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ 当ａ 时 原方程为一元二次方程 有实根的充要条件是Δ
∵ · ＝ ｜ · ｜，∴ ｜ ｜·｜ ｜·ｃｏｓ〈 ， 〉 ＝ ｜ ｜·｜ ｜· ≠０ ， ， ＝
ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ 即ａ ．
｜ｃｏｓ〈 ， 〉｜，∴ ｃｏｓ〈 ， 〉＝｜ｃｏｓ〈 ， 〉｜， ４－４ ≥０， ≤１
２４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
命题 则实数ａ的取值范围是
设此时方程的两个实根分别为ｘ ｘ 则ｘ ｘ ２ ｘ ｘ １ ． ， （ ）
１， ２， １＋ ２＝－ ａ ， １ ２＝ ａ
{ａ
Ａ．（－∞，－２）∪（１，＋∞） Ｂ．（－２，１］
＜１， Ｃ．（１，２） Ｄ．（１，＋∞）
当方程有一个负实根和一个正实根时
，
有
１
解得ａ
＜０；
答案 Ｃ 方程ｘ２
＋
ａｘ
＋１＝０
无实根等价于Δ
＝
ａ２
－４＜０，
即
－２
ａ ＜０， ａ ｘ ｘ ａ 等价于ａ ｘ 在 上恒成立 即ａ
＜ ＜２；∀ ＞０，２ － ＞０ ＜２ （０，＋∞） ，
ì ï ａ ≤１， ≤１ ．
ïï
２
因
“
¬ ｐ
”
是假命题
，
所以ｐ是真命题
，
又因
“
ｐ
∧
ｑ
”
是假命题
，
则
当方程有两个负实根时 有í－ ａ ＜０，解得 ａ ． { ａ
， ï ０＜ ≤１ ｑ是假命题 －２＜ ＜２，得 ａ 所以实数ａ的取值范围是
î
ïï１
ａ ＞０，
，∴ ａ
＞１，
１＜ ＜２，
故选 ．
（１，２）， Ｃ
综上所述
，
ａ
≤１，
故选
Ｃ
． 方法点拨 解决此类问题的步骤 视简单命题ｐ ｑ为真命
：（１） ，
方法点拨 解决此类问题一般是把充分条件 必要条件或充
题 求出相应的参数范围 正确解读复合命题真假的含义
、
， ；（２） ；
要条件转化为集合之间的关系 然后根据集合之间的关系列出
，
根据 的解读求出参数的范围．
（３） （２）
关于参数的不等式 组 求解． [ ]
（ ） ３．（２０１８豫西南五校４ 月联考，１３）若 ｘ π π ｍ
６．（２０１９天津一中第一次月考，７）已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ 则 “∀ ∈ － ４ ， ３ ， ≤
（ ）＝ １＋｜ ｘ ｜ ＋ｅ ， ｔａｎ ｘ ＋２” 为真命题 ， 则实数ｍ的最大值为 ．
ｘ ｘ 是 ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 的 答案
“ １＋ ２＞０” “ （ １）＋（ ２）＞（－ １）＋（－ ２）” （ ） １
充分不必要条件 必要不充分条件 [ ]
Ａ． Ｂ． 解析 由ｘ π π 可得 ｘ ． ｘ
充要条件 既不充分也不必要条件 ∈ － ， －１≤ｔａｎ ≤ ３ ∴１≤ｔａｎ ＋２≤
Ｃ． Ｄ． ４ ３
ｘ [ ]
答案 Ｃ 当ｘ 时 设ｙ １ ． ｘ π π ｍ ｘ 为真命题 实数ｍ
＞０ ， ＝ ｘ＝１－ ｘ， ２＋ ３ ∵ “∀ ∈ － ， ， ≤ｔａｎ ＋２” ，∴
１＋ １＋ ４ ３
ｘ 的最大值为 ．
ｙ 在 上单调递增． １
∴ ＝
１＋
ｘ （０，＋∞） ４．已知ｐ
：
ｘ２
＋２
ｘ
－３＞０，
ｑ
：
ｘ２
－５
ｘ
＋６＜０
．若
“（
¬ ｑ
）∧
ｐ
”
为真
，
则ｘ的
ｘ 取值范围是 ．
令ｈ ｘ 则有ｈ ｈ ｘ ｈ ｘ
（ ）＝ ｘ ， （０）＝０， （－ ）＝－ （ ）， 答案
１＋｜ ｜ （－∞，－３）∪（１，２］∪［３，＋∞）
∴ ｈ （ ｘ ）＝
１＋
ｘ
｜
ｘ
｜
是奇函数且在 （－∞，＋∞） 上单调递增 ，
命
解
题
析
时 由
ｐ为
ｘ２
真命
ｘ
题时 ，
解
由
得
ｘ２ ＋２ ｘ
ｘ
－３＞
．
０， 得ｘ ＞１ 或ｘ ＜－３； ｑ为真
， －５ ＋６＜０， ２＜ ＜３
ｘ
ｆ ｘ ｘ 在 上单调递增． ¬ ｑ ｐ 为真 ｐ为真命题 ｑ为假命题
∴ （ ）＝ １＋｜ ｘ ｜ ＋ｅ （－∞，＋∞） ∵ { “ ｘ （ 或 ）∧ ｘ ” ，∴ ， ，
ｘ ｘ ｘ ｘ 又ｆ ｘ 在 上单调递增 ＞１ ＜－３，可得ｘ 或 ｘ 或ｘ ．
∵ １＋ ２＞０，∴ １＞－ ２， （ ） （－∞，＋∞） ， ∴ ｘ 或ｘ ＜－３ １＜ ≤２ ≥３
ｆ ｘ ｆ ｘ 同理ｆ ｘ ｆ ｘ ≥３ ≤２，
∴
故ｆ
（
ｘ
１）＞
ｆ
（－
ｘ
２），
ｆ ｘ
（
ｆ
２）＞
ｘ
（－
充
１）
分
，
性成立． ∴
ｘ的取值范围为
（－∞，－３）∪（１，２］∪［３，＋∞）
．
（ １）＋（ ２）＞（－ １）＋（－ ２），
ｘ 考法三 含有逻辑联结词命题真假的判断方法
记ｇ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 由ｆ ｘ ｘ 在 上单
（ ）＝ （ ）－（－ ）， （ ）＝
１＋｜
ｘ
｜
＋ｅ （－∞，＋∞）
１．（２０１８河南郑州外国语中学２月模拟，２）已知命题ｐ 若复数
调递增得ｆ ｘ 在 上单调递减 ：
（－ ） （－∞，＋∞） ，
∴ ｇ （ ｘ ）＝ ｆ （ ｘ ）－ ｆ （－ ｘ ） 在 （－∞，＋∞） 上单调递增 ， ｚ满足 （ ｚ －ｉ）·（－ｉ）＝ ５， 则 ｚ ＝６ｉ； 命题 ｑ ： 复数 １ １ ＋ ＋ ２ ｉ ｉ 的虚部为
由ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 可得ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ
（ １）＋ （ ２）＞ （－ １）＋ （－ ２） （ １）－ （－ １）＞ （－ ２） １ 则下列命题中为真命题的是
ｆ ｘ － ｉ， （ ）
－（ ２）， ５
即ｇ ｘ ｇ ｘ ｘ ｘ 即ｘ ｘ 必要性成立．故选 ． ¬ ｐ ¬ ｑ ¬ ｐ ｑ
（ １）＞ （－ ２），∴ １＞－ ２， １＋ ２＞０， Ｃ Ａ．（ ）∧（ ） Ｂ．（ ）∧
ｐ ¬ ｑ ｐ ｑ
考法二 与全（特）称命题有关的参数的求解方法 Ｃ． ∧（ ） Ｄ． ∧
答案 Ｃ 复数ｚ满足 ｚ 则ｚ ５ 故
１．（２０１８湖南湘东五校４月联考，３）已知命题 ｘ Ｒ ｘ２ ａ （ －ｉ）·（－ｉ）＝５， ＝－ ＋ｉ＝６ｉ，
“∃ ∈ ，４ ＋（ ｉ
ｘ １ 是假命题 则实数ａ的取值范围为 命题 ｐ 为 真 命 题 则 ¬ ｐ 为 假 命 题 复 数 １＋ｉ
－２） ＋ ≤０” ， （ ） ， ； ＝
４ １＋２ｉ
Ａ．（－∞，０） Ｂ．［０，４］ Ｃ．［４，＋∞） Ｄ．（０，４） （１＋ｉ）·（１－２ｉ） ３ １ 则ｚ的虚部为 １ 故命题ｑ为假
＝ － ｉ， － ，
答案 Ｄ 因为命题 ｘ Ｒ ｘ２ ａ ｘ １ 是假命 （１＋２ｉ）·（１－２ｉ） ５ ５ ５
“∃ ∈ ，４ ＋（ －２） ＋ ≤０” 命题 则¬ ｑ 为真命题．由复合命题真假判断的真值表可知
４ ，
¬ ｐ ¬ ｑ 为假命题 ¬ ｐ ｑ为假命题 ｐ ¬ ｑ 为真
题 所以命题的否定 ｘ Ｒ ｘ２ ａ ｘ １ 是真命题 （ ）∧（ ） ，（ ）∧ ， ∧（ ）
， “∀ ∈ ，４ ＋（ －２） ＋ ＞０” ， 命题 ｐ ｑ为假命题．故选 ．
４ ， ∧ Ｃ
２．（２０１７云南玉溪联考，５）已知命题ｐ ｘ ｘ ｘ
则Δ ａ ２ １ ａ２ ａ 解得 ａ 故选 ． ：∃ ∈（－∞，０），３ ＜４ ；
＝（ －２） －４×４× ＝ －４ ＜０， ０＜ ＜４， Ｄ ( )
４ 命题ｑ ｘ π ｘ ｘ 则下列命题中 为真命题的是
方法指导 本题根据已知特称命题是假命题这一条件无法直 ：∀ ∈ ０， ，ｔａｎ ＞ ， ，
２
接求解 但考虑到命题的否定与该命题的真假相反这一性质
， ， （ ）
将给出的特称命题转化为全称命题 再利用一元二次方程根的 ｐ ｑ ｐ ¬ ｑ
， Ａ． ∧ Ｂ． ∨（ ）
判别式列不等式计算即可． ｐ ¬ ｑ ¬ ｐ ｑ
Ｃ． ∧（ ） Ｄ．（ ）∧
２．（２０１８广东汕头一模，６）已知命题ｐ ： 关于ｘ的方程ｘ２ ＋ ａｘ ＋１＝ 答案 Ｄ 当ｘ 时 ( ３ )ｘ ( ３ ) ０
没有实根 命题ｑ ｘ ｘ ａ ．若 ¬ ｐ 和 ｐ ｑ 都是假 ＜０ ， ＞ ＝１，
０ ； ：∀ ＞０，２ － ＞０ “ ” “ ∧ ” ４ ４
专题一 集合与常用逻辑用语 ２５
即 ｘ ｘ 对任意ｘ 恒成立 故ｐ是假命题 则命题ｐ是假命题 易知ｑ是真命题 则¬ ｑ是假命题 不满足
３ ＞４ ∈（－∞，０） ， ； ， ， ，
题意．
令ｇ ｘ ｘ ｘ 则ｇ′ ｘ １
（ ）＝ｔａｎ － ， （ ）＝ ２ｘ－１， 判别式Δ 则 ｘ Ｒ ｘ２ ｘ 成立
ｃｏｓ Ｂ． ＝１－４＝－３＜０， ∀ ∈ ， ＋ ＋１≥０ ，
( ) 即ｐ是真命题 ｘ 是ｘ 成立的必要不充分条件
ｘ π ｘ ， ＞１ ＞２ ，
∵ ∀ ∈ ０， ，０＜ｃｏｓ ＜１， 即ｑ是假命题 则 ｐ ｑ 为真 ｐ ｑ 为假 ¬ ｑ 为真 故
２ ， “‘ ∨ ’ 、‘ ∧ ’ 、‘ ’ ”，
ｇ′ ｘ 满足题意．
∴ （ ）＞０， Ｂ
ｇ ｘ ｇ ．
∴ （ ）＞ （０）＝０ 当ｘ 时 ｘ ９ 的最小值不是 则ｐ是假命题
ｘ ｘ 即命题ｑ是真命题 Ｃ． ＜０ ， ＋ ｘ ６， ，
∴ ｔａｎ － ＞０， ，
¬ ｐ ｑ是真命题 故答案为 ．
∴ （ ）∧ ， Ｄ 圆心到直线的距离ｄ ｜３×３＋６｜ １５ 则弦长
３．（２０１８湖南株洲质量统一检测（二），５）下列各组命题中 满 ＝ ＝ ＝３， ＝２ ２５－９ ＝
， ３ ２ ＋４ ２ ５
足 ｐ ｑ 为真 ｐ ｑ 为假 ¬ ｑ 为真 的是 则ｑ是假命题 则ｐ ｑ为假命题 不满足题意．
“‘ ∨ ’ 、‘ ∧ ’ 、‘ ’ ” （ ） ８， ， ∨ ，
ｐ ｙ １ 在定义域内是减函数 ｑ ｆ ｘ ｘ － ｘ是偶函数 Ｄ． 抛物线ｙ２ ＝８ ｘ的焦点坐标是 （２，０）， 则ｐ是真命题 ， 椭圆的
Ａ． ： ＝ ｘ ； ： （ ）＝ｅ ＋ｅ
ｐ ｘ Ｒ ｘ２ ｘ ｑ ｘ 是ｘ 成立的充分不必要条件
左焦点为
（－１，０），
当ｘ
＝－１
时
，
ｙ２
＝
９
，
则ｙ
＝±
３
，
则最短的弦
Ｂ． ：∀ ∈ ， ＋ ＋１≥０； ： ＞１ ＞２ ４ ２
ｐ ｘ ９ 的最小值是 ｑ 直线ｌ ｘ ｙ 被圆 ｘ ２ ｙ２ 长为 ３ 即ｑ是真命题 则¬ ｑ是假命题 不满足题意．故
Ｃ． ： ＋ ｘ ６； ： ：３ ＋４ ＋６＝０ （ －３） ＋ ×２＝３， ， ，
２
截得的弦长为 选
＝２５ ３ Ｂ．
ｘ２ ｙ２ 解题关键 本题主要考查复合命题真假的判断 结合条件分
ｐ 抛物线ｙ２ ｘ的焦点坐标是 ｑ 过椭圆 ，
Ｄ． ： ＝８ （２，０）； ： ＋ ＝１
４ ３ 别判断命题ｐ ｑ的真假是解决本题的关键．本题综合性较强
， ，
的左焦点的最短的弦长是
３ 涉及的知识点较多．
答案 Ｂ ｙ １ 在 和 上分别是减函数
Ａ． ＝ ｘ （－∞，０） （０，＋∞） ，
考点一 命题及其关系 充分必要条件 既不充分也不必要条件
Ｃ． Ｄ．
１．（２０２１新高考适应卷，３，５ 分）关于ｘ的方程ｘ２
＋
ａｘ
＋
ｂ
＝０，
有 答案 Ｃ
下列四个命题 ７．（２０１９天津，３，５分）设ｘ Ｒ 则 ｘ２ ｘ 是 ｘ 的
： ∈ ， “ －５ ＜０” “｜ －１｜＜１”
甲 ｘ 是该方程的根 乙 ｘ 是该方程的根
： ＝１ ； ： ＝３ ； （ ）
丙 该方程两根之和为 丁 该方程两根异号． 充分而不必要条件 必要而不充分条件
： ２； ： Ａ． Ｂ．
充要条件 既不充分也不必要条件
如果只有一个假命题 则该命题是
Ｃ． Ｄ．
， （ ）
甲 乙 答案 Ｂ
Ａ． Ｂ．
丙 丁 ８．（２０１９浙江，５，４分）设ａ ＞０， ｂ ＞０， 则 “ ａ ＋ ｂ ≤４” 是 “ ａｂ ≤４” 的
Ｃ． Ｄ．
答案 Ａ
（ ）
充分不必要条件 必要不充分条件
２．（２０１７北京，１３，５分）能够说明 设ａ ｂ ｃ是任意实数．若ａ ｂ ｃ Ａ． Ｂ．
“ ， ， ＞ ＞ ，
充分必要条件 既不充分也不必要条件
则ａ ｂ ｃ 是假命题的一组整数ａ ｂ ｃ的值依次为 ． Ｃ． Ｄ．
答 ＋ 案 ＞ ” 答案不唯一 ， ， 答案 Ａ
－１，－２，－３（ ）
３．（２０１８北京理，１３，５分）能说明 若ｆ ｘ ｆ 对任意的ｘ ９．（２０１９北京，７，５分）设点Ａ Ｂ Ｃ不共线 则 →ＡＢ与→ＡＣ的夹角
“ （ ）＞ （０） ∈ ， ， ， “
（０，２］
都成立
，
则ｆ
（
ｘ
）
在
［０，２］
上是增函数
”
为假命题的一个 为锐角
”
是
“｜
→ＡＢ
＋
→ＡＣ
｜＞｜
Ｂ→Ｃ
｜”
的
（ ）
函数是 ． 充分而不必要条件 必要而不充分条件
Ａ． Ｂ．
答案 ｆ ｘ ｘ ｘ 答案不唯一 充分必要条件 既不充分也不必要条件
（ ）＝ｓｉｎ ， ∈［０，２］（ ） Ｃ． Ｄ．
答案 Ｃ
考点二 充分条件与必要条件
１０．（２０１８北京，６，５ 分）设 ａ ｂ 均为单位向量 则 ａ ｂ
， ， “｜ －３ ｜ ＝
４．（２０２０天津，２，５分）设ａ Ｒ 则 ａ 是 ａ２ ａ 的 ａ ｂ 是 ａ ｂ 的
∈ ， “ ＞１” “ ＞ ” （ ） ｜３ ＋ ｜” “ ⊥ ” （ ）
充分不必要条件 必要不充分条件
充分而不必要条件 必要而不充分条件
Ａ． Ｂ．
Ａ． Ｂ．
充要条件 既不充分也不必要条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件
Ｃ． Ｄ． Ｃ． Ｄ．
答案 Ａ 答案 Ｃ
５．（２０２０浙江，６，４分）已知空间中不过同一点的三条直线ｌ ｍ １１．（２０１７浙江，６，４分）已知等差数列 ａ 的公差为ｄ 前ｎ项
， ， ｛ ｎ｝ ，
ｎ． ｌ ｍ ｎ共面 是 ｌ ｍ ｎ两两相交 的 和为Ｓ 则 ｄ 是 Ｓ Ｓ Ｓ 的
“ 充 ， 分 ， 不必要条 ” 件 “ ， ， 必要 ” 不充分条件 （ ） 充分 ｎ 不 ， 必 “ 要 ＞ 条 ０” 件 “ ４＋ ６＞２ ５ 必 ” 要不充分条件 （ ）
Ａ． Ｂ． Ａ． Ｂ．
充分必要条件 既不充分也不必要条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件
Ｃ． Ｄ． Ｃ． Ｄ．
答案 Ｂ 答案 Ｃ
６．（２０２０北京，９，４分）已知α β Ｒ 则 存在ｋ Ｚ使得α ｋ
， ∈ ， “ ∈ ＝ π
ｋβ 是 α β 的 考点三 简单的逻辑联结词
＋（－１） ” “ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ” （ ）
充分而不必要条件 必要而不充分条件 １２．（２０１７山东理，３，５分）已知命题ｐ ｘ ｘ 命题
Ａ． Ｂ． ：∀ ＞０，ｌｎ（ ＋１）＞０；
２６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ｑ 若ａ ｂ 则ａ２ ｂ２．下列命题为真命题的是
： ＞ ， ＞ （ ） 考点四 全称量词与存在量词
．ｐ ｑ ．ｐ ¬ ｑ
Ａ ∧ Ｂ ∧
．¬ ｐ ｑ ．¬ ｐ ¬ ｑ １４．（２０１６浙江，４，５分）命题 ｘ Ｒ ｎ Ｎ∗ 使得 ｎ ｘ２
Ｃ ∧ Ｄ ∧ “∀ ∈ ，∃ ∈ ， ≥ ”
答案 Ｂ 的否定形式是
（ ）
１３．（２０１７山东文，５，５分）已知命题ｐ
：∃
ｘ
∈
Ｒ
，
ｘ２
－
ｘ
＋１≥０；
命
Ａ．∀
ｘ
∈
Ｒ
，∃
ｎ
∈
Ｎ∗
，
使得ｎ
＜
ｘ２
题ｑ
：
若ａ２
＜
ｂ２
，
则ａ
＜
ｂ．下列命题为真命题的是
（ ） Ｂ．∀
ｘ
∈
Ｒ
，∀
ｎ
∈
Ｎ∗
，
使得ｎ
＜
ｘ２
ｐ ｑ ｐ ¬ ｑ ｘ Ｒ ｎ Ｎ∗ 使得ｎ ｘ２
Ａ． ∧ Ｂ． ∧ Ｃ．∃ ∈ ，∃ ∈ ， ＜
¬ ｐ ｑ ¬ ｐ ¬ ｑ ｘ Ｒ ｎ Ｎ∗ 使得ｎ ｘ２
Ｃ． ∧ Ｄ． ∧ Ｄ．∃ ∈ ，∀ ∈ ， ＜
答案 Ｂ 答案 Ｄ
考点一 命题及其关系 若ｚ是虚数 则ｚ２
Ｃ． ， ≥０
１．（２０１５山东文，５，５分）设ｍ
∈
Ｒ
，
命题
“
若ｍ
＞０，
则方程ｘ２
＋
ｘ
－ Ｄ．
若ｚ是纯虚数
，
则ｚ２
＜０
ｍ 有实根 的逆否命题是 答案 Ｃ 举反例说明 若ｚ 则ｚ２ 故选 ．
＝０ ” （ ） ， ＝ｉ， ＝－１＜０， Ｃ
Ａ．
若方程ｘ２
＋
ｘ
－
ｍ
＝０
有实根
，
则ｍ
＞０ ５．（２０１２课标理，３，５分）下面是关于复数ｚ ２ 的四个命题
＝ ：
若方程ｘ２ ｘ ｍ 有实根 则ｍ －１＋ｉ
Ｂ． ＋ － ＝０ ， ≤０
Ｃ．
若方程ｘ２
＋
ｘ
－
ｍ
＝０
没有实根
，
则ｍ
＞０
ｐ
１：｜
ｚ
｜＝２，
ｐ
２：
ｚ２
＝２ｉ，
ｐ ｚ的共轭复数为 ｐ ｚ的虚部为 ．
Ｄ．
若方程ｘ２
＋
ｘ
－
ｍ
＝０
没有实根
，
则ｍ
≤０
３： １＋ｉ， ４： －１
其中的真命题为
答案 Ｄ 命题 若ｍ 则方程ｘ２ ｘ ｍ 有实根 的逆否 （ ）
“ ＞０， ＋ － ＝０ ”
ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ
命题是 “ 若方程ｘ２ ＋ ｘ － ｍ ＝０ 没有实根 ， 则ｍ ≤０”， 故选 Ｄ ． Ａ． ２， ３ Ｂ． １， ２ Ｃ． ２， ４ Ｄ． ３， ４
２．（２０１４陕西理，８，５分）原命题为 若ｚ ｚ 互为共轭复数 则 答案 Ｃ ｚ ２ ２（－１－ｉ） 所以 ｚ ｐ
“ １， ２ ， ＝ ＝ ＝－１－ｉ， ｜ ｜＝ ２， １
ｚ ｚ 关于其逆命题 否命题 逆否命题真假性的判断依 －１＋ｉ （－１＋ｉ）（－１－ｉ）
｜ １｜＝｜ ２｜”， ， ， 为假命题 ｚ２ ２ ２ ｐ 为真命题 ｚ ｐ
次如下 正确的是 ； ＝（－１－ｉ） ＝（１＋ｉ） ＝２ｉ， ２ ； ＝－１＋ｉ， ３
， （ ） 为假命题 ｐ 为真命题．故选 ．
．真 假 真 ．假 假 真 ．真 真 假 ．假 假 假 ； ４ Ｃ
Ａ ， ， Ｂ ， ， Ｃ ， ， Ｄ ， ， 评析 本题考查了复数的运算及复数的性质，考查了运算求解
答案 Ｂ 先证原命题为真 当ｚ ｚ 互为共轭复数时 设ｚ
： １， ２ ， １ 能力．
ａ ｂ ａ ｂ Ｒ 则ｚ ａ ｂ 则 ｚ ｚ ａ２ ｂ２ 原命
＝ ＋ ｉ（ ， ∈ ）， ２＝ － ｉ， ｜ １｜＝｜ ２｜＝ ＋ ，∴
题为真 故其逆否命题为真 再证其逆命题为假 取ｚ ｚ 考点二 充分条件与必要条件
， ； ： １＝１， ２＝
ｉ， 满足 ｜ ｚ １｜＝｜ ｚ ２｜， 但是 ｚ １， ｚ ２ 不互为共轭复数 ，∴ 其逆命题为 １．（２０１９北京文，６，５分）设函数ｆ （ ｘ ）＝ｃｏｓ ｘ ＋ ｂ ｓｉｎ ｘ （ ｂ为常数 ），
假 故其否命题也为假．故选 ． 则 ｂ 是 ｆ ｘ 为偶函数 的
， Ｂ “ ＝０” “ （ ） ” （ ）
３．（２０１３天津理，４，５分）已知下列三个命题
充分而不必要条件 必要而不充分条件
： Ａ． Ｂ．
充分必要条件 既不充分也不必要条件
若一个球的半径缩小到原来的１ 则其体积缩小到原来的１
Ｃ． Ｄ．
① ２ ， ８ ； 答案 Ｃ 本题考查函数的奇偶性 充分 必要条件的判断
， 、 ，
若两组数据的平均数相等 则它们的标准差也相等
② ， ； 以及三角函数的性质 考查学生的运算求解能力和推理论证能
；
③
直线ｘ
＋
ｙ
＋１＝０
与圆ｘ２
＋
ｙ２
＝
１ 相切． 力
；
考查的核心素养是逻辑推理．
２ 当ｂ 时 ｆ ｘ ｘ为偶函数 若ｆ ｘ 为偶函数 则ｆ ｘ
其中真命题的序号是 ＝０ ， （ ）＝ｃｏｓ ； （ ） ， （－ ）＝
（ ） ｘ ｂ ｘ ｘ ｂ ｘ ｆ ｘ
ｃｏｓ（－ ）＋ ｓｉｎ（－ ）＝ｃｏｓ － ｓｉｎ ＝ （ ），
Ａ．①②③ Ｂ．①② Ｃ．①③ Ｄ．②③ ｂ ｘ ｂ ｘ对ｘ Ｒ恒成立 ｂ ．故 ｂ 是 ｆ ｘ 为
答案 Ｃ 对于命题 设原球的半径和体积分别为ｒ Ｖ 变 ∴ － ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ ∈ ，∴ ＝０ “ ＝０” “ （ ）
①， ， ， 偶函数 的充分必要条件．故选 ．
” Ｃ
化后的球的半径和体积分别为ｒ′ Ｖ′ 则ｒ′ １ ｒ 由球的体积公 易错警示 本题在判断必要性时 易把函数化为 ｆ ｘ
， ， ＝ ， ， （ ）＝
２
式可知Ｖ′
＝
４
π
ｒ′３
＝
４
π·
(
１ ｒ
)
３
＝
１
×
４
π
ｒ３
＝
１ Ｖ
，
所以命 １＋
ｂ２
ｓｉｎ（
ｘ
＋
φ
），
其中
ｔａｎ
φ
＝
１
ｂ ，
再分析φ
＝
π
２
＋
ｋ
π（
ｋ
∈
Ｚ
）
在
３ ３ ２ ８ ３ ８
题 为真命题 命题 显然为假命题 如两组数据 和 什么条件下成立．事实上 当 φ π ｋ ｋ Ｚ 时 φ 不
① ； ② ， ：１，２，３ ２， ， ＝ ＋ π（ ∈ ） ，ｔａｎ
２
存在．
它们的平均数都是 但前者的标准差为 ６ 而后者的标
２，２， ２， ３ ， ２．（２０１９天津文，３，５分）设ｘ Ｒ 则 ｘ 是 ｘ 的
∈ ， “０＜ ＜５” “｜ －１｜＜１”
准差为 对于命题 易知圆心到直线的距离ｄ ｜０＋０＋１｜
０； ③， ＝ ＝ （ ）
２ ２ 充分而不必要条件 必要而不充分条件
１ ＋１ Ａ． Ｂ．
充要条件 既不充分也不必要条件
１ ｒ 所以直线与圆相切 命题 为真命题．故选 ． Ｃ． Ｄ．
＝ ， ， ③ Ｃ 答案 Ｂ ｘ ｘ ｘ ．
２ ｜ －１｜＜１⇔－１＜ －１＜１⇔０＜ ＜２
４．（２０１３陕西文，６，５分）设ｚ是复数 则下列命题中的假命题是 当 ｘ 时 必有 ｘ
， ０＜ ＜２ ， ０＜ ＜５；
∙ 反之 不成立．
（ ） ，
若ｚ２ 则ｚ是实数 所以 ｘ 是 ｘ 的必要而不充分条件．
Ａ． ≥０， ，“０＜ ＜５” “｜ －１｜＜１”
若ｚ２ 则ｚ是虚数 一题多解 因为 ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
Ｂ． ＜０， ｛ ｜｜ －１｜＜１｝＝｛ ｜０＜ ＜２｝⫋｛ ｜０＜ ＜５｝，
专题一 集合与常用逻辑用语 ２７
所以 ｘ 是 ｘ 的必要而不充分条件．
“０＜ ＜５” “｜ －１｜＜１” θ π π 是 θ １ 的充分而不必要条件．
３．（２０１８北京文，４，５分）设ａ ｂ ｃ ｄ是非零实数 则 ａｄ ｂｃ 是 ∴ “ － ＜ ” “ｓｉｎ ＜ ”
， ， ， ， “ ＝ ” １２ １２ ２
ａ ｂ ｃ ｄ成等比数列 的 ７．（２０１６天津理，５，５分）设 ａ 是首项为正数的等比数列 公
“ ， ， ， ” （ ） ｛ ｎ｝ ，
充分而不必要条件 必要而不充分条件 比为ｑ 则 ｑ 是 对任意的正整数ｎ ａ ａ 的
Ａ． Ｂ． ， “ ＜０” “ ， ２ ｎ －１＋ ２ ｎ＜０” （ ）
充分必要条件 既不充分也不必要条件 充要条件 充分而不必要条件
Ｃ． Ｄ． Ａ． Ｂ．
答案 Ｂ 本题主要考查充分条件与必要条件 等比数列的 必要而不充分条件 既不充分也不必要条件
， Ｃ． Ｄ．
性质． 答案 Ｃ 若对任意的正整数ｎ ａ ａ 则ａ ａ 又
， ２ ｎ －１＋ ２ ｎ＜０， １＋ ２＜０，
由ａ ｂ ｃ ｄ成等比数列 可得ａｄ ｂｃ 即必要性成立 ａ
， ， ， ， ＝ ， ； ａ 所以ａ 所以ｑ ２ ．若ｑ 可取ｑ ａ 则
当ａ ｂ ｃ ｄ 时 ａｄ ｂｃ 但ａ ｂ ｃ ｄ不成等比数 １＞０， ２＜０， ＝ａ ＜０ ＜０， ＝－１， １＝１，
＝１， ＝－２， ＝－４， ＝８ ， ＝ ， ， ， ， １
列 即充分性不成立 故选 ． ａ ａ 不满足对任意的正整数ｎ ａ ａ ．所以 ｑ
， ， Ｂ １＋ ２＝１－１＝０， ， ２ ｎ －１＋ ２ ｎ＜０ “
方法总结 充分条件与必要条件的判断方法 是 对任意的正整数ｎ ａ ａ 的必要而不充分条件．
： ＜０” “ ， ２ ｎ －１＋ ２ ｎ＜０”
．直接法 分别判断命题 若ｐ 则ｑ 和 若ｑ 则ｐ 的真假． 故选 ．
１ ： “ ， ” “ ， ” Ｃ
．集合法 设命题ｐ ｑ中的变量构成的集合分别为Ｐ Ｑ． 评析 本题以等比数列为载体，考查了充分条件、必要条件的
２ ： ， ，
若Ｐ Ｑ 则ｐ是ｑ的充分不必要条件 判定方法，属中档题．
⫋ ， ；
若Ｑ Ｐ 则ｐ是ｑ的必要不充分条件 ８．（２０１６山东，６，５分）已知直线ａ ｂ分别在两个不同的平面α β
⫋ ， ； ， ，
若Ｐ Ｑ 则ｐ是ｑ的充要条件 内．则 直线ａ和直线ｂ相交 是 平面α和平面β相交 的
＝ ， ； “ ” “ ”
若Ｐ Ｑ 且Ｑ Ｐ 则ｐ是ｑ的既不充分也不必要条件．
⊈ ， ⊈ ， （ ）
充分不必要条件 必要不充分条件
４．（２０１８天津，理４，文３，５分）设ｘ Ｒ 则 ｘ １ １ 是 ｘ３ Ａ． Ｂ．
∈ ， “ － ＜ ” “ 充要条件 既不充分也不必要条件
２ ２ Ｃ． Ｄ．
的 答案 Ａ 因为直线ａ和直线ｂ相交 所以直线ａ与直线ｂ
＜１” （ ） ，
充分而不必要条件 必要而不充分条件 有一个公共点 而直线ａ ｂ分别在平面α β内 所以平面α与
Ａ． Ｂ． ， ， ， ，
充要条件 既不充分也不必要条件 β必有公共点 从而平面α与β相交 反之 若平面 α与 β 相
Ｃ． Ｄ． ， ； ，
答案 Ａ 本题主要考查解不等式和充分 必要条件的判断． 交 则直线ａ与直线ｂ可能相交 平行 异面．故选 ．
、 ， 、 、 Ａ
９．（２０１５重庆理，４，５分） ｘ 是 ｘ 的
由 ｘ
－
２
１
＜
２
１ 得
－
２
１
＜
ｘ
－
２
１
＜
２
１
，
解得
０＜
ｘ
＜１
．
．充要条件
“ ＞１”
．充
“ｌｏ
分
ｇ
而
１ ２（
不
＋
必
２）
要
＜０
条
”
件
（ ）
Ａ Ｂ
由ｘ３
＜１
得ｘ
＜１
．当
０＜
ｘ
＜１
时能得到ｘ
＜１
一定成立
；
当ｘ
＜１
时
，
．必要而不充分条件 ．既不充分也不必要条件
Ｃ Ｄ
０＜ ｘ ＜１ 不一定成立．所以 “ ｘ － １ ＜ １ ” 是 “ ｘ３ ＜１” 的充分而不 答案 Ｂ 当ｘ ＞１ 时 ， ｘ ＋２＞３＞１， 又ｙ ＝ｌｏｇ１ ２ ｘ是减函数 ，
必要条件． ２ ２ ∴ ｌｏｇ１ ２（ ｘ ＋２）＜ｌｏｇ１ ２１＝０， 则ｘ ＞１⇒ｌｏｇ１ ２（ ｘ ＋２）＜０； 当 ｌｏｇ１ ２（ ｘ ＋２）
时 ｘ ｘ 则 ｘ ／ ｘ ．故 ｘ 是
方法总结 充分 必要条件的判断．解决此类问题应分三 ＜０ ， ＋２＞１， ＞－１， ｌｏｇ１ ２（ ＋２）＜０⇒ ＞１ “ ＞１” “ｌｏｇ１ ２
（１） 、 ｘ 的充分而不必要条件．选 ．
步 确定条件是什么 结论是什么 尝试从条件推结论 从 （ ＋２）＜０” Ｂ
：① ， ；② ， １０．（２０１５天津理，４，５分）设ｘ Ｒ 则 ｘ 是 ｘ 的
结论推条件 确定条件和结论是什么关系． ∈ ， “１＜ ＜２” “｜ －２｜＜１”
；③
探究某结论成立的充要 充分 必要条件．解答此类题目 可 （ ）
（２） 、 、 ， 充分而不必要条件 必要而不充分条件
先从结论出发 求出使结论成立的必要条件 然后验证得到的 Ａ． Ｂ．
， ， 充要条件 既不充分也不必要条件
必要条件是否满足充分性． Ｃ． Ｄ．
答案 Ａ 因为 ｘ 等价于 ｘ 即 ｘ 由于
５．（２０１７北京理，６，５分）设ｍ ｎ为非零向量 则 存在负数λ ｜ －２｜＜１ －１＜ －２＜１， １＜ ＜３，
， ， “ ， 所以 ｘ 是 ｘ 的充分而不必要
使得ｍ λｎ 是 ｍ ｎ 的 （１，２）⫋（１，３）， “１＜ ＜２” “｜ －２｜＜１”
＝ ” “ · ＜０” （ ） 条件 故选 ．
充分而不必要条件 必要而不充分条件 ， Ａ
Ａ． Ｂ． １１．（２０１５湖南理，２，５分）设Ａ Ｂ是两个集合 则 Ａ Ｂ Ａ 是
充分必要条件 既不充分也不必要条件 ， ， “ ∩ ＝ ”
Ｃ． Ｄ． Ａ Ｂ 的
答案 Ａ 由存在负数λ 使得ｍ λｎ 可得ｍ ｎ共线且反 “ ⊆ ” （ ）
， ＝ ， 、 充分不必要条件 必要不充分条件
向 夹角为 ° 则ｍ ｎ ｍ ｎ 故充分性成立．由ｍ Ａ． Ｂ．
， １８０ ， · ＝－｜ ｜｜ ｜＜０， · 充要条件 既不充分也不必要条件
ｎ 可得 ｍ ｎ 的夹角为钝角或 ° 故必要性不成立．故 Ｃ． Ｄ．
＜０， ， １８０ ， 答案 Ｃ 若Ａ Ｂ Ａ 任取ｘ Ａ 则ｘ Ａ Ｂ
选 ． ∩ ＝ ， ∈ ， ∈ ∩ ，
Ａ ｘ Ｂ 故Ａ Ｂ 若Ａ Ｂ 任取ｘ Ａ 都有ｘ Ｂ
∴ ∈ ， ⊆ ； ⊆ ， ∈ ， ∈ ，
６．（２０１７天津理，４，５分）设θ Ｒ 则 θ π π 是 θ ｘ Ａ Ｂ Ａ Ａ Ｂ 又 Ａ Ｂ Ａ 显然成立 Ａ Ｂ
∈ ， “ － ＜ ” “ｓｉｎ ＜ ∴ ∈ ∩ ，∴ ⊆（ ∩ ）， ∩ ⊆ ，∴ ∩
１２ １２ Ａ．
＝
１ 的 综上 Ａ Ｂ Ａ 是 Ａ Ｂ 的充要条件 故选 ．
” （ ） ，“ ∩ ＝ ” “ ⊆ ” ， Ｃ
２ １２．（２０１５陕西理，６，５分） α α 是 α 的
充分而不必要条件 必要而不充分条件 “ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ” “ｃｏｓ２ ＝０”
Ａ． Ｂ．
充要条件 既不充分也不必要条件 （ ）
Ｃ． Ｄ． 充分不必要条件 必要不充分条件
答案 Ａ 本题考查不等式的解法及充分必要条件的判断． Ａ． Ｂ．
充分必要条件 既不充分也不必要条件
Ｃ． Ｄ．
∵
θ
－
π
＜
π
⇔－
π
＜
θ
－
π
＜
π
⇔０＜
θ
＜
π
，
答案 Ａ 由
ｓｉｎ
α
＝ｃｏｓ
α
，
得
ｃｏｓ ２
α
＝ｃｏｓ
２α
－ｓｉｎ
２α
＝０，
即充
１２ １２ １２ １２ １２ ６
( ) 分性成立．
θ １ θ ｋ ７π ｋ π ｋ Ｚ
ｓｉｎ ＜ ⇔ ∈ ２ π－ ，２ π＋ ， ∈ ， 由 α 得 α α 即必要性不成立．故选 ．
２ ６ ６ ｃｏｓ２ ＝０， ｓｉｎ ＝±ｃｏｓ ， Ａ
( ) ( ) １３．（２０１４课标Ⅱ文，３，５分）函数ｆ ｘ 在ｘ ｘ 处导数存在．若
π ｋ ７π ｋ π ｋ Ｚ （ ） ＝ ０
０， ⫋ ２ π－ ，２ π＋ ， ∈ ， ｐ ｆ ′ ｘ ｑ ｘ ｘ 是ｆ ｘ 的极值点 则
６ ６ ６ ： （ ０）＝０； ： ＝ ０ （ ） ， （ ）
２８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
．ｐ是ｑ的充分必要条件 答案 Ａ 由题意知命题ｐ为假命题 命题ｑ为真命题 所以
Ａ ， ，
．ｐ是ｑ的充分条件 但不是ｑ的必要条件 ｐ ｑ为真命题．故选 ．
Ｂ ， ∨ Ａ
．ｐ是ｑ的必要条件 但不是ｑ的充分条件 ４．（２０１４重庆文，６，５分）已知命题ｐ 对任意ｘ Ｒ 总有 ｘ
Ｃ ， ： ∈ ， ｜ ｜≥
．ｐ既不是ｑ的充分条件 也不是ｑ的必要条件 ｑ ｘ 是方程ｘ 的根．则下列命题为真命题的是
Ｄ ， ０； ： ＝１ ＋２＝０
答案 Ｃ ｆ ｘ 在ｘ ｘ 处可导 若ｘ ｘ 是ｆ ｘ 的极
∵ （ ） ＝ ０ ，∴ ＝ ０ （ ） （ ）
值点 则ｆ ′ ｘ ｑ ｐ 故ｐ是ｑ的必要条件 反之 以ｆ ｐ ¬ ｑ ¬ ｐ ｑ ¬ ｐ ¬ ｑ ｐ ｑ
， （ ０）＝０，∴ ⇒ ， ； ， Ａ． ∧ Ｂ． ∧ Ｃ． ∧ Ｄ． ∧
ｘ ｘ３ 为例 ｆ ′ 但ｘ 不是极值点 ｐ ／ｑ 故ｐ不 答案 Ａ 由题意知 命题ｐ为真命题 命题ｑ为假命题 故
（ ）＝ ， （０）＝０， ＝０ ，∴ ⇒ ， ， ， ，
是ｑ的充分条件．故选 ． ¬ ｑ为真命题 所以ｐ ¬ ｑ为真命题．
Ｃ ， ∧
１４．（２０１４安徽理，２，５分） ｘ 是 ｘ 的 ５．（２０１３课标Ⅰ文，５，５分）已知命题ｐ ｘ Ｒ ｘ ｘ 命题ｑ
“ ＜０” “ｌｎ（ ＋１）＜０” （ ） ：∀ ∈ ，２ ＜３ ； ：
充分不必要条件 必要不充分条件 ｘ Ｒ ｘ３ ｘ２ 则下列命题中为真命题的是
Ａ． Ｂ． ∃ ∈ ， ＝１－ ， （ ）
充分必要条件 既不充分也不必要条件 ｐ ｑ ｐ ｑ
Ｃ． Ｄ． Ａ． ∧ Ｂ． ∧
答案 Ｂ ｘ ｘ ｘ ｘ 而ｘ ｐ ｑ ｐ ｑ
ｌｎ（ ＋１）＜０⇔０＜ ＋１＜１⇔－１＜ ＜０⇒ ＜０； ＜０ Ｃ． ∧ Ｄ． ∧
／ ｘ 故选 ．
⇒－１＜ ＜０， Ｂ 答案 Ｂ 对于命题ｐ 由于ｘ 时 －１ １ １ －１ 所
１５．（２０１４浙江理，２，５分）已知 是虚数单位 ａ ｂ Ｒ 则 ａ ｂ ， ＝－１ ，２ ＝ ＞ ＝３ ，
ｉ ， ， ∈ ， “ ＝ ２ ３
＝１” 是 “（ ａ ＋ ｂ ｉ） ２ ＝２ｉ” 的 （ ） 以是假命题 ， 故 ｐ是真命题 ；
充分不必要条件 必要不充分条件 对于命题ｑ 设ｆ ｘ ｘ３ ｘ２ 由于ｆ ｆ
Ａ． Ｂ． ， （ ）＝ ＋ －１， （０）＝－１＜０， （１）＝１＞０，
充分必要条件 既不充分也不必要条件 所以ｆ ｘ 在区间 上有解 即存在ｘ Ｒ ｘ３ ｘ２ 故
Ｃ． Ｄ． （ ）＝０ （０，１） ， ∈ ， ＝１－ ，
答案 Ａ 当ａ ｂ 时 有 ２ 即充分性成立．当 命题ｑ是真命题．
＝ ＝１ ， （１＋ｉ） ＝２ｉ，
ａ ｂ ２ 时 有ａ２ ｂ２ ａｂ 得
{ａ２
－
ｂ２
＝０，解得ａ ｂ
综上
，
ｐ
∧
ｑ是真命题
，
故选
Ｂ
．
（ ＋ ｉ） ＝２ｉ ， － ＋２ ｉ＝２ｉ， ａｂ ＝ ＝１
＝１， 考点四 全称量词与特称量词
或ａ ｂ 即必要性不成立 故选 ．
评析 ＝ 本 ＝－ 题 １， 考查复数的运算， ， 复数相 Ａ 等的概念，充分条件与必 １．（２０１５课标Ⅰ理，３，５分）设命题ｐ
：∃
ｎ
∈
Ｎ
，
ｎ２
＞２
ｎ
，
则¬ ｐ为
要条件的判定，属于容易题．
（ ）
１６．（ ＞ ２ １ 充 ” ０１ 是 分 ４ “ 而 北 ｛ ａ 不 京 ｎ｝ 必 理 为 要 ， 递 ５ 条 ， 增 ５ 件 数 分 列 ）设 ” 的 ｛ ａ ｎ｝ 是 必 公 要 比 而 为 不充 ｑ 分 的 条 等 件 比数列 （ ．则 “ ） ｑ Ａ Ｃ． ． 答 ∀ ∀ 案 ｎ ｎ ∈ ∈ Ｎ Ｎ Ｃ ， ， ｎ ｎ ２ ２ ≤ 根 ＞２ ２ 据 ｎ ｎ 特称命题的否 Ｂ Ｄ ． ． ∃ ∃ 定 ｎ ｎ 为 ∈ ∈ 全 Ｎ Ｎ ， 称 ， ｎ ｎ ２ 命 ２ ≤ ＝ 题 ２ ２ ｎ ｎ 知¬ ｐ ｎ
， ：∀ ∈
Ａ． 充分必要条件 Ｂ． 既不充分也不必要条件 Ｎ ｎ２ ｎ 故选 ．
， ≤２ ， Ｃ
Ｃ． Ｄ．
数
答
列
案
， 所 以
Ｄ
“ ｑ ＞
若
１”
ｑ
⇒
＞
／ “
１，
｛
则
ａ ｎ｝
当
为
ａ
递
１＝
增
－
数
１ 时
列
，
”
ａ
；
ｎ
若
＝－
｛
ｑ
ａ
ｎ
ｎ
－
｝
１ ，
为
｛ ａ
递
ｎ｝
增
为
数
递
列
减
，
２．（
ｎ ”
２
的
０１
否
５
定
浙
形
江
式
理
是
，４，５分）命题 “∀ ｎ ∈ Ｎ∗ ， ｆ （ ｎ ）∈ Ｎ∗且
（
ｆ （ ｎ ） ≤
）
( )ｎ ｎ Ｎ∗ ｆ ｎ Ｎ∗且ｆ ｎ ｎ
Ａ．∀ ∈ ， （ ）∉ （ ）＞
则当ａ ｎ＝－ １ 时 ， ａ １＝－ １ ， ｑ ＝ １ ＜１， 即 “｛ ａ ｎ｝ 为递增数
Ｂ．∀
ｎ
∈
Ｎ∗
，
ｆ
（
ｎ
）∉
Ｎ∗或ｆ
（
ｎ
）＞
ｎ
２ ２ ２
列 ／ ｑ ．故选 ． ｎ Ｎ∗ ｆ ｎ Ｎ∗且ｆ ｎ ｎ
”⇒“ ＞１” Ｄ Ｃ．∃ ０∈ ， （ ０）∉ （ ０）＞ ０
ｎ Ｎ∗ ｆ ｎ Ｎ∗或ｆ ｎ ｎ
Ｄ．∃ ０∈ ， （ ０）∉ （ ０）＞ ０
考点三 简单的逻辑联结词 答案 Ｄ ｆ ｎ Ｎ∗且ｆ ｎ ｎ 的否定为 ｆ ｎ Ｎ∗或
“ （ ）∈ （ ）≤ ” “ （ ）∉
１．（２０１７山东理，３，５分）已知命题ｐ ｘ ｘ 命题 ｆ ｎ ｎ 全称命题的否定为特称命题 故选 ．
：∀ ＞０，ｌｎ（ ＋１）＞０； （ ）＞ ”， ， Ｄ
ｑ 若ａ ｂ 则ａ２ ｂ２．下列命题为真命题的是 ３．（２０１４湖北文，３，５分）命题 ｘ Ｒ ｘ２ ｘ 的否定是
： ＞ ， ＞ （ ） “∀ ∈ ， ≠ ”
．ｐ ｑ ．ｐ ¬ ｑ ．¬ ｐ ｑ ．¬ ｐ ¬ ｑ
Ａ ∧ Ｂ ∧ Ｃ ∧ Ｄ ∧ （ ）
答案 Ｂ 本题主要考查复合命题真假的判断． ｘ Ｒ ｘ２ ｘ ｘ Ｒ ｘ２ ｘ
Ａ．∀ ∉ ， ≠ Ｂ．∀ ∈ ， ＝
ｘ ｘ ｘ 命题ｐ为真命题 当ｂ ａ ｘ Ｒ ｘ２ ｘ ｘ Ｒ ｘ２ ｘ
∵ ∀ ＞０， ＋１＞１，∴ ｌｎ（ ＋１）＞０，∴ ； ＜ ＜０ Ｃ．∃ ∉ ， ≠ Ｄ．∃ ∈ ， ＝
时 ａ２ ｂ２ 故命题ｑ为假命题 由真值表可知 正确 故选 ． 答案 Ｄ 原命题的否定为 ｘ Ｒ ｘ２ ｘ．故选 ．
， ＜ ， ， Ｂ ， Ｂ ∃ ∈ ， ＝ Ｄ
２．（２０１４湖南理，５，５分）已知命题ｐ 若ｘ ｙ 则 ｘ ｙ 命题ｑ ４．（２０１３重庆理，２，５分）命题 对任意ｘ Ｒ 都有ｘ２ 的否
： ＞ ， － ＜－ ； ： “ ∈ ， ≥０”
若ｘ ｙ 则ｘ２ ｙ２．在命题 ｐ ｑ ｐ ｑ ｐ ¬ ｑ ¬ ｐ 定为
＞ ， ＞ ① ∧ ；② ∨ ；③ ∧（ ）；④（ ） （ ）
ｑ中 真命题是 对任意ｘ Ｒ 都有ｘ２ 不存在ｘ Ｒ 使得ｘ２
∨ ， （ ） Ａ． ∈ ， ＜０ Ｂ． ∈ ， ＜０
存在ｘ Ｒ 使得ｘ２ 存在ｘ Ｒ 使得ｘ２
Ａ．①③ Ｂ．①④ Ｃ． ０∈ ， ０≥０ Ｄ． ０∈ ， ０＜０
答案 Ｄ 全称命题的否定是特称命题． 对任意ｘ Ｒ 都有
Ｃ．②③ Ｄ．②④ “ ∈ ，
答案 Ｃ 由不等式性质知 命题ｐ为真命题 命题ｑ为假命 ｘ２ 的否定为 存在ｘ Ｒ 使得ｘ２ 故选 ．
： ， ≥０” “ ０∈ ， ０＜０”， Ｄ
题 从而¬ ｐ为假命题 ¬ ｑ 为真命题．故 ｐ ｑ 为假命题 ｐ ｑ [ ]
， ， ∧ ， ∨ ５．（２０１５山东理，１２，５分）若 ｘ π ｘ ｍ 是真命
为真命题 ｐ ¬ ｑ 为真命题 ¬ ｐ ｑ为假命题 故选 ． “∀ ∈ ０， ，ｔａｎ ≤ ”
， ∧（ ） ，（ ）∨ ， Ｃ ４
３．（２０１４辽宁理，５，５分）设ａ ｂ ｃ是非零向量．已知命题ｐ 若ａ 题 则实数ｍ的最小值为 ．
， ， ： ，
ｂ ｂ ｃ 则ａ ｃ 命题ｑ 若ａ ｂ ｂ ｃ 则ａ ｃ．则 答案
· ＝０， · ＝０， · ＝０； ： ∥ ， ∥ ， ∥ １
下列命题中真命题是 [ ]
（ ） 解析 ｘ π ｘ ｘ π ｘ
ｐ ｑ ｐ ｑ ∵０≤ ≤ ，∴ ０≤ｔａｎ ≤１，∵ “∀ ∈ ０， ，ｔａｎ
Ａ． ∨ Ｂ． ∧ ４ ４
¬ ｐ ¬ ｑ ｐ ¬ ｑ ｍ 是真命题 ｍ ． 实数ｍ的最小值为 ．
Ｃ．（ ）∧（ ） Ｄ． ∨（ ） ≤ ” ，∴ ≥１∴ １
专题一 集合与常用逻辑用语 ２９
时间： 分钟 分值： 分
３０ ６０
一、单项选择题 每题 分 共 分 设ｘ ｙ Ｒ 则 ｘ 且ｙ 是 ｘ２ ｙ２ 的必要而不充分
（ ５ ， ２５ ） Ｃ． ， ∈ ， “ ≥２ ≥２” “ ＋ ≥４”
１．（２０２１届湖北荆门龙泉中学１１月月考，４）已知ｐ Ａ ｘ ｘ２ 条件
： ＝｛ ｜ －
ｘ ｑ Ｂ ｘ ｘ２ ｍｘ ｍ２ 若ｐ是ｑ成立的充分 设ａ ｂ Ｒ 则 ａ 是 ａｂ 的必要不充分条件
２ －３≤０｝， ： ＝｛ ｜ －２ ＋ －４＞０｝， Ｄ． ， ∈ ， “ ≠０” “ ≠０”
不必要条件 则ｍ的取值范围是 答案 ＡＢＤ
， （ ）
７．（２０２１届广东仲元中学、中山一中等七校联合体第一次联考，９）
Ａ．（－∞，－３）∪（５，＋∞） Ｂ．（－３，５）
下列四个条件中 ｐ是ｑ的充分条件的是
Ｃ．［－３，５］ Ｄ．（－∞，－３］∪［５，＋∞） ， （ ）
答案 Ａ ｐ ａ ｂ ｑ ａ２ ｂ２ ∙∙
Ａ． ： ＞ ， ： ＞
２． （２０２０湖南长沙雅礼中学月考（七），３）下列说法正确 ｐ ａｘ２ ｂｙ２ ｃ为双曲线 ｑ ａｂ
Ｂ． ： ＋ ＝ ， ： ＜０
的是 ｐ ａ ｂ ｑ ａ ｂ
（ ） Ｃ． ： ＞ ， ：２ ＞２
ｃ ｂ
若α π 则 α １ 的否命题是 若α π 则 α ｐ ａｘ２ ｂｘ ｃ ｑ ａ
Ａ．“ ＝ ， ｓｉｎ ＝ ” “ ＝ ， ｓｉｎ ≠ Ｄ． ： ＋ ＋ ＞０， ：ｘ２ － ｘ ＋ ＞０
６ ２ ６
答案 ＢＣ
１
” ８．（２０２１届山东新泰一中第二次月考，１１）下列命题正确的是
２
若命题ｐ ¬ ｑ均为真命题 则命题ｐ ｑ为真命题
Ｂ． ， ， ∧ （ ）
命题ｐ ｘ Ｒ ｘ２ ｘ 的否定为¬ ｐ ｘ Ｒ ｘ２ ｘ
Ｃ． ：“∃ ０∈ ， ０－ ０－５＞０” ：“∀ ∈ ， － ａ 是 １ 的必要不充分条件
Ａ．“ ＞１” “ ａ ＜１”
－５≤０”
命题 ｘ ｘ ｘ 的否定是 ｘ
在 ＡＢＣ中 Ｃ π 是 Ａ Ｂ 的充要条件 Ｂ． “∃ ０∈（０，＋∞），ｌｎ ０＝ ０－１” “∀ ∈（０，
Ｄ． △ ，“ ＝ ” “ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ” ｘ ｘ
２ ＋∞），ｌｎ ≠ －１”
答案 Ｃ
ｂ ａ ｂ ａ
３． （２０２１届福建厦门外国语学校１０月月考，２）下列有 Ｃ． 若ａ ， ｂ ∈ Ｒ ， 则 ａ ＋ ｂ ≥２ ａ · ｂ ＝２
关命题的说法错误的是 ａ ｘ
（ ） 设 ａ Ｒ ａ 是 函数 ｆ ｘ －ｅ 在定义域上是奇函
若 ｐ ｑ 为假命题 则ｐ ｑ均为假命题 Ｄ． ∈ ，“ ＝１” “ （ ）＝ ａ ｘ
Ａ． “ ∨ ” ， ， １＋ ｅ
ｘ 是 ｘ 的充分不必要条件 数 的充分不必要条件
Ｂ．“ ＝１” “ ≥１” ”
答案 ＢＤ
ｘ １ 的必要不充分条件是 ｘ π
Ｃ．“ｓｉｎ ＝
２
” “ ＝
６
” ９．（２０２１届湖湘名校教育联合体入学考试，１２）下列说法正确的是
若命题ｐ ｘ Ｒ ｘ２ 则命题¬ ｐ ｘ Ｒ ｘ２
Ｄ．
答案 Ｃ
：∃ ０∈ ， ０≥０， ：∀ ∈ ， ＜０
（ ）
４． （２０２１届陕西西安中学第一学期期中，４）给出下列四 Ａ．
若
ｎ ０＜
ａ
Ｎ ＜ ∗
ｂ
，
则
ｎ “
ａ
＋
ｂ
ｎ ＋ ＝ ３ １” ｎ
是
ｌｏｇ ｎ ２ ＋
ａ
２ ＋ｌｏｇ２
ｂ
＜－２
的充要条件
个结论 ： Ｂ．∀ ∈ ( ，（ ) ＋２） ｘ ＞（ ＋３）
① 命题ｐ ：∀ ｘ ∈ Ｒ ， ｘ２ ＋ ｘ ＋１＞０， 则¬ ｐ ：∃ ｘ ０∈ Ｒ ， ｘ２ ０＋ ｘ ０＋１≤０； Ｃ．∃ ｘ ∈ ０， π ４ ， １ ２ ＋ ｘ２＞ｓｉｎ２ ｘ
② 命题 “ 若ｘ２ －３ ｘ ＋２＝０， 则ｘ ＝１” 的逆否命题为 “ 若ｘ ≠１， 则ｘ２ Ｄ．△ ＡＢＣ中 ， 若 ∠ Ｃ为钝角 ， 则 ｃｏｓ（ｓｉｎ Ａ ）＞ｃｏｓ（ｃｏｓ Ｂ ）
ｘ 答案 ＢＤ
－３ ＋２≠０”；
ｘ 是 ｘ２ ｘ 的充分不必要条件
③“ ＝１” “ －３ ＋２＝０” ； 三、填空题 共 分
若命题ｐ ｑ为假命题 则ｐ ｑ都是假命题． （ ５ ）
④ ∧ ， ， １０．（２０２１届山东济宁鱼台一中第一次月考，１３）已知ｐ ｘ２ ｘ
其中正确结论的个数为 ： －４ ＋
（ ） ｑ ｘ２ ｍ ｘ ｍ ｍ Ｒ ．若ｑ是ｐ的必要不充分条
３＜０， ： －（ ＋１） ＋ ＜０（ ∈ ）
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 件 则ｍ的取值范围是 ．
答案 Ｃ ，
答案
５．（２０２１届山东菏泽东明实验中学第一次月考，２）已知ａ ｂ （３，＋∞）
＞０， ＞ 四、解答题 共 分
（ １０ ）
则 ａ ｂ 是 ａ １ ｂ １ 的 １１．（２０２１届山东德州宁津一中月考，１７）已知集合Ａ ｘ ｍ
０， “ ＞ ” “ ＋ ｂ ＞ ＋ ａ ” （ ） ＝｛ ｜ －１
ｘ ｍ ．
充分不必要条件 必要不充分条件 ≤ ≤２ ＋３｝，
Ａ． Ｂ． 当ｍ 时 求Ａ Ｂ Ａ Ｂ
充要条件 既不充分也不必要条件 （１） ＝２ ， ∪ ，（∁Ｒ ）∩ ；
Ｃ． Ｄ． 若Ａ Ｂ Ａ 求实数ｍ的取值范围．
答案 Ｃ （２） ∩ ＝ ，
试从以下两个条件中任选一个补充在上面问题中 并完
二、多项选择题 每题 分 共 分 ，
（ ５ ， ２０ ） 成解答．
６．（２０２１届百师联盟一轮复习联考（二），９）下面命题正确的是
函数ｆ ｘ ｘ２ ｘ 的定义域为集合Ｂ
① （ ）＝ｌｇ（－ ＋２ ＋８） ；
（ ）
不等式 ８ 的解集为Ｂ． 注 如选择两个条件分别解
ａ 是 １ 的充分不必要条件 ② ｘ －１ ＜１ （ ：
Ａ．“ ＞１” “ ａ ＜１”
答 按第一个解答计算
命题 若ｘ 则ｘ２ 的否定是 存在ｘ 使得ｘ２ ， ）
Ｂ． “ ＜１， ＜１” “ ＜１， ≥１”
３０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
１．（２０１９北京十四中１０ 月月考，４）设ｘ ｙ Ｒ 则 ｘ ｙ 是 ．
＞０， ∈ ， “ ＞ ” ０”
ｘ ｙ 的
“ｌｎ ＞ｌｎ ” （ ） Ａ．０ Ｂ．１
充分而不必要条件 必要而不充分条件
Ａ． Ｂ． Ｃ．２ Ｄ．３
充要条件 既不充分也不必要条件
Ｃ． Ｄ． 答案 Ｃ 对于 易知ｆ ｘ 的定义域为Ｒ 若ｆ ｘ １
答案 Ｂ ｘ ｙ等价于ｘ ｙ 其构成的集合Ａ ｘ ｙ ①， （ ） ， （ ）＝ ｘ ＋
ｌｎ ＞ｌｎ ＞ ＞０， ＝｛（ ， ） ２ ＋１
ｘ ｙ ｘ ｙ Ｒ且ｘ ｙ构成的集合Ｂ ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ
｜ ＞ ＞０｝； ＞０， ∈ ＞ ＝｛（ ， ）｜ ＞ ， ＞ α为奇函数 则ｆ 计算得出α １ 所以 不正确
Ａ Ｂ且Ｂ Ａ ， （０）＝０， ＝－ ， ① ；
０｝，∵ ⊆ ⊈ ， ２
ｘ ｙ 是 ｘ ｙ 的必要而不充分条件． 对于 原命题的逆命题为 在 ＡＢＣ中 若Ａ Ｂ 则ａ ｂ 根
∴ “ ＞ ” “ｌｎ ＞ｌｎ ” ②， “ △ ， ＞ ， ＞ ”，
故选 ． 据 大角对大边 可知 若Ａ Ｂ 则ａ ｂ 是真命题 所以 不
Ｂ “ ” ，“ ＞ ， ＞ ” ， ②
方法技巧 本题考查充分 必要条件的判断 运用集合关系判 正确
、 ， ；
断充分 、 必要条件是解题关键． ｌｎ ｘ ＞ｌｎ ｙ等价于ｘ ＞ ｙ ＞０， 与ｘ ＞０ 对于 ③， 三个数ａ ， ｂ ， ｃ成等比数列 ， 则ｂ２ ＝ ａｃ ，
且ｘ ｙ比较 根据两种条件下对应的集合关系 利用 谁的范 ｂ ａｃ
＞ ， ， “ ∴ ＝± ，
围小谁充分 谁的范围大谁必要 原则 可得答案． 若ａ ｂ ｃ 满足ｂ ａｃ 但三个数ａ ｂ ｃ不成等比数列
， ” ， ＝ ＝ ＝０， ＝ ， ， ， ，
２．（２０１９浙江“七彩阳光”联盟
[
期初
]
联考，７）已知命题
“
函数
∴ “ 三个数ａ ， ｂ ， ｃ成等比数列 ” 是 “ ｂ ＝ ａｃ ” 的既不充分也不必
要条件 所以 正确
ｆ ｘ ｘ ｘ ｍ在 π 上有两个不同的零点 是
（ ）＝ｓｉｎ２ ＋ ３ｃｏｓ２ － ０， ” ， ③ ；
２ 对于 命题 ｘ Ｒ ｘ３ ｘ２ 的否定是 ｘ Ｒ ｘ３ ｘ２
真命题 则实数ｍ的取值范围是 ④， “∀ ∈ ， － ＋１≤０” “∃ ０∈ ， ０－ ０
， （ ） 所以 正确．所以 选项是正确的．
＋１＞０”， ④ Ｃ
５．（２０１８天津南开二模，６）下列命题中 正确的是
Ａ．［－ ３，２） Ｂ．［－ ３， ３） ， （ ）
ａ ｂ 是 ａ ｂ 的充要条件
Ｃ．［ ３，２） Ｄ．［０，２） Ａ．“ｌｎ ＞ｌｎ ” “１０ ＞１０ ”
答案 Ｃ 由 ｆ （ ｘ ）＝ ０ 可得 ｍ ＝ ｓｉｎ ２ ｘ ＋ ３ ｃｏｓ ２ ｘ ＝ Ｂ． 命题 “ 若ｍ２ ＋ ｎ２ ＝０， 则ｍ ＝０ 且ｎ ＝０” 的否命题是 “ 若ｍ２ ＋ ｎ２
( ) [ ] 则ｍ 且ｎ
≠０， ≠０ ≠０”
ｘ π 令ｔ ｘ π 则ｔ π ４π 易知ｙ ｔ的
２ｓｉｎ ２ ＋ ， ＝２ ＋ ， ∈ ， ， ＝２ｓｉｎ 存在ｘ 使得ｘ ｘ
３ ３ ３ ３ Ｃ． ０＞０， ０＜ｓｉｎ ０
图象有一条对称轴是ｔ π 结合图象可得 ｍ ．故选 ． 若 α １ 则α π
＝ ， ３≤ ＜２ Ｃ Ｄ． ｃｏｓ ≠ ， ≠
２ ３
３．若命题 “ ａｘ２ －２ ａｘ ＋３＞０ 恒 ２ 成立 ” 是假命题 ， 则实数ａ的取值范 立 答案 ａ Ｄ ｂ 时 对于 ａ ｂ Ａ， 但 ｌｎ ａ ａ ＞ ｂ ｌｎ 不 ｂ 一 时 定 ， ａ 为 ＞ ｂ 正 ＞０ 数 ，∴ 所 １０ 以 ａ ＞１０ ａ ｂ ， 充分 ｂ不 性成 一
围是
；１０ ＞１０ ， ＞ ， ， ， ｌｎ ＞ｌｎ
（ ）
定成立 即必要性不成立 是充分不必要条件 错误 对于
ａ 或ａ ａ 或ａ ， ， ，Ａ ； Ｂ，
Ａ． ＜０ ≥３ Ｂ． ≤０ ≥３
ａ 或ａ ａ
命题
“
若ｍ２
＋
ｎ２
＝０，
则ｍ
＝０
且ｎ
＝０”
的否命题是
“
若ｍ２
＋
ｎ２
≠
Ｃ． ＜０ ＞３ Ｄ．０＜ ＜３ 则ｍ 或ｎ 错误 对于 设ｆ ｘ ｘ ｘ 则
答案 Ａ 解法一 若 ａｘ２ ａｘ 恒成立 则 ａ 或 ０， ≠０ ≠０”，∴ Ｂ ； Ｃ， （ ）＝ －ｓｉｎ ，
{ａ ： －２ ＋３＞０ ， ＝０ ｆ ′
（
ｘ
）＝１－ｃｏｓ
ｘ
，
则ｆ ′
（
ｘ
）≥０
恒成立
，∴
ｆ
（
ｘ
）
在
（０，＋∞）
上单
＞０， 得 ａ 故若命题 ａｘ２ ａｘ 恒成立 调递增 ｆ ｘ ｆ 即ｘ ｘ在 上恒成立 故
Δ ａ２ ａ ０≤ ＜３， “ －２ ＋３＞０ ” ，∴ （ ）≥（０）＝０， ＞ｓｉｎ （０，＋∞） ，
＝４ －１２ ＜０，
是假命题 则ａ 或ａ ． 存在ｘ 使得ｘ ｘ 是假命题 错误 对于 α π时
， ＜０ ≥３ ０＞０， ０＜ｓｉｎ ０ ，Ｃ ； Ｄ， ＝ ，
解法二 设函数ｆ ｘ ａｘ２ ａｘ 若ａｘ２ ａｘ 恒成立 则 ３
： （ ）＝ －２ ＋３， －２ ＋３＞０ ，
ｆ ｘ ． α １ 是真命题 它的逆否命题 若 α １ 则α π
（ ）ｍｉｎ＞０ ｃｏｓ ＝ ，∴ ： ｃｏｓ ≠ ， ≠
当ａ 时 符合题意． ２ ２ ３
＝０ ， 也是真命题 正确．
当ａ 时 ｆ ｘ ａ 得 ａ ． ，Ｄ
＞０ ，（ ）ｍｉｎ＝３－ ＞０， ０＜ ＜３ ６．（２０１９河南名校联盟“尖子生”调研考试（二），６）已知ｍ ｎ
当ａ 时 函数ｆ ｘ 没有最小值 不符合题意． ， ∈
＜０ ， （ ） ， Ｒ 则 ｍ２ ｎ２ 是 ｍｎ ｍ ｎ 的
所以
０≤
ａ
＜３，
故若命题
“
ａｘ２
－２
ａｘ
＋３＞０
恒成立
”
是假命题
，
则ａ ，
充分
“
不
＋
必要
＜
条
１６
件
” “ －５ ＞５
必
－２
要
５”
不充分条件
（ ）
或ａ ． Ａ． Ｂ．
＜０ ≥３ 充要条件 既不充分也不必要条件
解法三
：
命题
“
ａｘ２
－２
ａｘ
＋３＞０
恒成立
”
是假命题
，
即不等式ａｘ２
－
Ｃ．
答案 Ａ 依题意 ｍｎ ｍ
Ｄ
ｎ
．
ｍ ｎ ｎ
２ ａｘ ＋３≤０ 有解． { ， ｍ －５ { ＞ ｍ ５ －２５⇔ （ －５）－５（ －５）＞０⇔
当ａ 时 不符合题意． ｍ ｎ ＞５，或 ＜５，故 ｍ２ ｎ２ ｍｎ ｍ
＝０ ， （ －５）（ －５）＞０⇔ ｎ ｎ ． “ ＋ ＜１６”⇒“ －５
当ａ
≠０
时
，
Δ
＝４
ａ２
－１２
ａ
≥０，
得ａ
＜０
或ａ
≥３
．
ｎ 充分性成立
＞５
反之不成
＜５
立 例如ｍ ｎ 时 ｍ２ ｎ２
综上 ａ 或ａ ． ＞５ －２５”， ； ， ＝ ＝６ ， ＋ ＞
， ＜０ ≥３ 必要性不成立．故 ｍ２ ｎ２ 是 ｍｎ ｍ ｎ 的充分
４．（２０１７云南民族中学三模）下列说法正确的个数是 １６， “ ＋ ＜１６” “ －５ ＞５ －２５”
（ ） 不必要条件 故选 ．
， Ａ
ｆ ｘ １ α为奇函数 则α １ 突破攻略 解决此类问题应该把握三个方面 一是准确化简
①（ ）＝ ｘ ＋ ， ＝ ； ：
２ ＋１ ２ 条件 也就是求出每个条件对应的充要条件 二是注意问题的
在 ＡＢＣ中 若ａ ｂ 则Ａ Ｂ 的逆命题是假命题 ， ；
②“ △ ， ＞ ， ＞ ” ； 形式 看清 ｐ是ｑ的 条件 还是 ｐ的 条件是ｑ 三是
， “ …… ” “ …… ”；
三个数ａ ｂ ｃ成等比数列 是 ｂ ａｃ 的既不充分也不必 灵活运用所学知识判断两个条件之间的关系 充分 必要条件
③“ ， ， ” “ ＝ ” ， 、
要条件 的判断常通过 来进行 即转化为两个命题关系的判断．当
； “⇒” ，
命题 ｘ Ｒ ｘ３ ｘ２ 的否定是 ｘ Ｒ ｘ３ ｘ２ 较难判断时 可借助两个集合之间的关系来判断．
④ “∀ ∈ ， － ＋１≤０” “∃ ０∈ ， ０－ ０＋１＞ ，
专题一 集合与常用逻辑用语 ３１
７．（２０１８福建德化一中等三校联考，８）设ｐ ｘ２ ａ ｘ ａ２ ａ 是 函数ｆ ｘ 在区间 上存在零点 的
： －（２ ＋１） ＋ ＋ ＜ ＜０” “ （ ） （１，＋∞） ” （ ）
ｑ ｘ 若ｐ是ｑ的充分不必要条件 则实数ａ的取 充分而不必要条件 必要而不充分条件
０， ：ｌｇ（２ －１）≤１， ， Ａ． Ｂ．
值范围是 充分必要条件 既不充分也不必要条件
（ ） Ｃ． Ｄ．
[ ] [ ) ( ] ( ] 答案 Ｃ 本题考查函数的零点 充分与必要条件 考查学
１ ９ １ ９ １ ９ ９ 、 ，
Ａ． ， Ｂ． ， Ｃ． ， Ｄ． －∞， 生的推理论证能力 体现逻辑推理与数学运算的核心素养．
２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ，
ａ ｘ ａ
答案 Ａ 由 ｘ 得 ｘ 解得 １ ｘ １１． ｆ ′ ｘ １ － 当ａ 时 ｆ ′ ｘ 在区间
ｌｇ（２ －１）≤１ ０＜２ －１≤１０，
２
＜ ≤
２
（ ）＝ ｘ －ｘ２ ＝ ｘ２ ， ≤１ ， （ ）＞０ （１，＋∞）
由ｘ２ ａ ｘ ａ２ ａ 得 ｘ ａ ｘ ａ 解得ａ ｘ ａ 上恒成立 所以ｆ ｘ 在区间 上单调递增 ｆ ａ
－（２ ＋１） ＋ ＋ ＜０ （ － ）［ －（ ＋１）］＜０， ＜ ＜ ＋ ， （ ） （１，＋∞） ， （１）＝ ≤
ì ï ï ａ ≥ １ ， １， 若函数ｆ （ ｘ ） 在区间 （１，＋∞） 上存在零点 ， 则必须ａ ＜０； 当ａ
．若ｐ是ｑ的充分不必要条件 则í ２ 两端不能同时相 时 ｘ ａ时 ｆ ′ ｘ ｆ ｘ 在 ａ 上单调递减 ｘ ａ
１ ， ï ïａ １１ （ 时 ＞１ ｆ ， ′ １ ｘ ＜ ＜ ｆ ， ｘ 在 （ ） ａ ＜０， （ 上 ） 单调 （ 递 １， 增 ） 若函数ｆ ｘ ， 在 ＞ 区
î ＋１≤ ， （ ）＞０， （ ） （ ，＋∞） ， （ ）
２ 间 上存在零点 则ｆ ｘ ｆ ａ ａ 即ａ
[ ] （１，＋∞） ， （ ）ｍｉｎ＝ （ ）＝ｌｎ ＋１≤０， ≤
等 解得 １ ａ ９ 即实数 ａ 的取值范围为 １ ９ 故
）， ≤ ≤ ， ， ， １ 与ａ 矛盾．综上 函数ｆ ｘ 在区间 上存在零点
２ ２ ２ ２ ， ＞１ ， （ ） （１，＋∞）
选 ． ｅ
Ａ 等价于ａ 因此 ａ 是 函数ｆ ｘ 在区间 上存在
８．（２０１８贵州七校一联，７）以下四个命题中 真命题的个数是 ＜０， “ ＜０” “ （ ） （１，＋∞）
， 零点 的充分必要条件 故选 ．
” ， Ｃ
（ ） 思路分析 先求出ｆ ｘ 的导函数 讨论单调性 然后求出函
若ａ ｂ 则ａ ｂ中至少有一个不小于 的逆命题 （ ） ， ，
①“ ＋ ≥２， ， １” ； 数ｆ ｘ 在区间 上存在零点时ａ的范围 最后由充分
存在正实数ａ ｂ 使得 ａ ｂ ａ ｂ （ ） （１，＋∞） ， 、
② ， ， ｌｇ（ ＋ ）＝ｌｇ ＋ｌｇ ； 必要条件的概念即可得正确选项．
所有奇数都是素数 的否定
③“ ” ； １１．（２０１８江西赣州２月联考，１２）已知ｐ 关于ｘ的不等式 ｘ
在 ＡＢＣ中 Ａ Ｂ是 Ａ Ｂ的充分不必要条件． ： ｅ －ｌｎ
④ △ ， ＜ ｓｉｎ ＜ｓｉｎ ｘ ｍ 为自然对数的底数 对任意ｘ 恒成立
－ ≥０（ｅ ） ∈（０，＋∞） ；
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ ( )
答案 Ｃ 对于 若ａ ｂ 则ａ ｂ中至少有一个不小于 ｑ ｍ １３ ．那么ｐ是ｑ的
①，“ ＋ ≥２， ， ： ∈ －∞， （ ）
的逆命题为 若ａ ｂ中至少有一个不小于 则ａ ｂ 如 ６
１” “ ， １， ＋ ≥２”， 充要条件 充分不必要条件
ａ ｂ 但ａ ｂ 故 为假命题 对于 存在正实 Ａ． Ｂ．
＝３≥１， ＝－２， ＋ ＝１＜２， ① ； ②， 必要不充分条件 既不充分也不必要条件
数ａ ＝２， ｂ ＝２， 使得 ｌｇ（２＋２）＝ｌｇ２ ２ ＝２ｌｇ ２＝ｌｇ ２＋ｌｇ２， 故 ② 为真 Ｃ． 答案 Ｃ ｘ ｘ ｍ 即 Ｄ． ｘ ｘ ｍ
命题 对于 所有奇数都是素数 的否定是 至少有一个奇 ｅ －ｌｎ － ≥０ ｅ －ｌｎ ≥ ，
； ③，“ ” “
数不是素数 如 是奇数 但不是素数 故 为真命题 对于 设ｆ ｘ ｘ ｘ 则ｆ ′ ｘ ｘ １
”， ９ ， ， ③ ； ④， （ ）＝ｅ －ｌｎ ， （ ）＝ｅ － ｘ ，
在 ＡＢＣ中 Ａ Ｂ ａ ｂ Ｒ Ａ Ｒ Ｂ 其中Ｒ为 ＡＢＣ外接
△ ， ＜ ⇔ ＜ ⇔２ ｓｉｎ ＜２ ｓｉｎ （ △ 显然ｆ ′ ｘ 在 上单调递增
圆的半径 Ａ Ｂ 故 ＡＢＣ中 Ａ Ｂ是 Ａ Ｂ的充分 ( （ ) ） （０，＋∞） ( ) ，
必要条件 ） 故 ⇔ｓｉｎ 为假 ＜ｓ 命 ｉｎ 题 ， ．综上 △ 所述 ， ＜ 为真命 ｓｉ 题 ｎ 故 ＜ｓ 选 ｉｎ ． 又ｆ ′ １ １ ２ ｆ ′ ２ ２ ３ ３
， ④ ，②③ ， Ｃ ＝ｅ －２＜０， ＝ｅ － ＞０，
评析 本题考查命题真假的判断，综合考查四种命题之间的关 ２ ( ) ３ ２
系、全称命题与特称命题之间的关系、充分必要条件的概念及 故存在ｘ
０∈
１
，
２
，
２ ３
其应用，考查分析、推理能力，属于中档题．
使得ｆ ′ ｘ ｘ １
９．（２０２０广东惠州第一次调研，９）设ａ
，
ｂ是两条不同的直线
，
α
，
（ ０）＝ｅ ０－ｘ ＝０，
０
β是两个不同的平面 则α β的一个充分条件是 当ｘ ｘ 时 ｆ ′ ｘ
， ∥ （ ） ∈（０， ０） ， （ ）＜０，
存在一条直线ａ ａ α ａ β 当ｘ ｘ 时 ｆ ′ ｘ
Ａ． ， ∥ ， ∥ ∈（ ０，＋∞） ， （ ）＞０，
存在一条直线ａ ａ α ａ β
Ｂ． ， ⊂ ， ∥ 所以ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ １
存在两条平行直线ａ ｂ ａ α ｂ β ａ β ｂ α （ ）ｍｉｎ＝ （ ０）＝ｅ ０－ｌｎ ０＝ ０＋ｘ ，
Ｃ． ， ， ⊂ ， ⊂ ， ∥ ， ∥ ０
存在两条异面直线ａ ｂ ａ α ｂ β ａ β ｂ α ( )
Ｄ． ， ， ⊂ ， ⊂ ， ∥ ， ∥ 因为ｘ １ ２
答案 Ｄ 对于 ａ α ａ β 则平面α β可能平行 也可 ０∈ ， ，
Ａ， ∥ ， ∥ ， ， ， ２ ３
能相交 所以 不是α β的一个充分条件．
， Ａ ∥ 所以ｘ １ ２ ３ １３
对于 ａ α ａ β 则平面α β可能平行 也可能相交 所以 ０＋ｘ ＞ ＋ ＝ ，
Ｂ， ⊂ ， ∥ ， ， ， ， Ｂ ０ ３ ２ ６
不是α β的一个充分条件．
∥ 记ｎ ｘ １ 则ｎ １３
对于 由ａ ｂ ａ α ｂ β ａ β ｂ α可得α β或α β相 ＝ ０＋ｘ ， ＞ ，
Ｃ， ∥ ， ⊂ ， ⊂ ， ∥ ， ∥ ∥ ， ０ ６
交 所以 不是α β的一个充分条件． 由 ｘ ｘ ｍ ｘ 得ｍ ｎ
， Ｃ ∥ ｅ －ｌｎ － ≥０（ ∈（０，＋∞））， ∈（－∞， ］，
对于 存在两条异面直线ａ ｂ ａ α ｂ β ａ β ｂ α 如图 ( )
Ｄ， ， ， ⊂ ， ⊂ ， ∥ ， ∥ ， ， 又 １３ ｎ 故选 ．
在β内过ｂ上一点作ｃ ａ 则ｃ α 所以β内有两条相交直线 －∞， ⫋（－∞， ］， Ｃ
∥ ， ∥ ， ６
平行于α 则有α β 所以 是α β的一个充分条件．故选 ． 思路分析 首先进行参变量分离 构造函数ｆ ｘ ｘ ｘ
， ∥ ， Ｄ ∥ Ｄ ， （ ）＝ｅ －ｌｎ ，
利用导数判断函数单调性 求得ｆ ｘ 从而求得 ｘ ｘ ｍ
， （ ）ｍｉｎ， ｅ －ｌｎ －
在 上恒成立时 实数ｍ的取值范围 最后利用相
≥０ （０，＋∞） ， ，
应集合间的关系得结论．
１２．（２０１７豫西五校４月联考，４）若定义域为Ｒ的函数ｆ ｘ 不
（ ）
是偶函数 则下列命题中一定为真命题的是
， （ ）
ａ ｘ Ｒ ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ Ｒ ｆ ｘ ｆ ｘ
１０．（２０２０北京清华附中摸底，７）已知函数ｆ ｘ ｘ 则 ａ Ａ．∀ ∈ ， （－ ）≠（ ） Ｂ．∀ ∈ ， （－ ）＝－（ ）
（ ）＝ｌｎ ＋ ｘ ， “ ｘ Ｒ ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ Ｒ ｆ ｘ ｆ ｘ
Ｃ．∃ ０∈ ， （－ ０）≠（ ０） Ｄ．∃ ０∈ ， （－ ０）＝－（ ０）
３２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
答案 Ｃ 由题意知 ｘ Ｒ ｆ ｘ ｆ ｘ 是假命题 则其 ( )ｘ
∀ ∈ ， （－ ）＝ （ ） ， １ 命题ｑ ｘ Ｒ ｘ １－ ｘ 则下列命题中是真
否定为真命题 即 ｘ Ｒ ｆ ｘ ｆ ｘ 是真命题 故选 ． ≥ ， ：∃ ∈ ，２ ＋２ ＝２ ２，
， ∃ ０∈ ， （－ ０）≠（ ０） ， Ｃ ３
思路分析 利用偶函数的定义 结合命题的否定 即可得到 命题的是
， ， （ ）
结论． ｐ ｑ ¬ ｐ ｑ
Ａ． ∧ Ｂ．（ ）∧
方法点拨 对于省略量词的命题 否定时应先挖掘命题中的 ｐ ¬ ｑ ¬ ｐ ¬ ｑ
， Ｃ． ∧（ ） Ｄ．（ ）∧（ ）
隐含量词 将命题改写成含量词的完整形式 再写出命题的 答案 Ａ 因为ｙ ｘｎ ｎ Ｎ∗ 在 上是增函数 又
， ， ＝ （ ∈ ） （０，＋∞） ，
否定． ( )ｘ ( )ｘ
１ １ 所以 ｘ Ｎ∗ １ １ 成立 ｐ为真命题
１３．（２０１７江西南昌二中、临川一中联考，３）下列命题是真命题的是 ＞ ， ∀ ∈ ， ≥ ， ；
２ ３ ２ ３
因为 ｘ １－ ｘ 所以 ｘ １－ ｘ ｘ １－ ｘ 当且仅当
（ ） ２ ＞０，２ ＞０， ２ ＋２ ≥２ ２ ×２ ＝２ ２，
如果命题 ｐ且ｑ是假命题 非ｐ 为真命题 则命题ｑ一
① “ ”，“ ” ， ｘ １－ ｘ 即ｘ １ 时等号成立 所以ｑ为真命题 则ｐ ｑ为真
定是假命题 ２ ＝２ ， ＝ ， ， ∧
； ２
( ) 命题 故选 ．
已知命题ｐ ｘ ｘ ｘ 命题ｑ ｘ π ， Ａ
② ：∃ ∈（－∞，０），２ ＜３ ； ：∀ ∈ ０， ， ( )ｘ ( )ｘ ( )ｘ
２ 一题多解 对于命题ｐ １ １ 即 ３ 因为ｘ
ｘ ｘ 则 ¬ ｐ ｑ为真命题 ： ≥ ， ≥１，
ｔａｎ ＞ｓｉｎ ， （ ）∧ ； ２ ３ ２
命题ｐ 若ａ ｂ 则ａ与ｂ的夹角为钝角是真命题 ( )ｘ
③ ： · ＜０， ； Ｎ∗时 ３ 恒成立 所以命题ｐ为真命题 当ｘ １
若ｐ ｘ ｑ ｘ 则¬ ｐ 是¬ ｑ 成立的充分不必要 ∈ ， ≥１ ， ； ＝
④ ：｜ ＋１｜＞２， ： ＞２， ２ ２
条件 时 １ ２ １－ １ ２ 所以命题ｑ为真命题 故ｐ ｑ为真命题
； ，２ ＋２ ＝２ ２， ， ∧ ，
命题 存在ｘ Ｒ 使得 ｘ 的否定是 不存在ｘ Ｒ 故选 ．
⑤ “ ０∈ ， ２ ０ ≤０” “ ０∈ ， Ａ
使得 ｘ ． １６．（２０１８陕西西安长安质检，５）下列命题中 真命题是
２ ０ ＞０” ， （ ）
ｘ ｘ
Ａ．①③ Ｂ．②④ ｘ Ｒ ２ ０ ２ ０ １
Ａ．∃ ０∈ ，ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝
Ｃ．③④ Ｄ．②⑤ ３ ３ ３
答案 Ｂ 对于 如果命题 ｐ且ｑ是假命题 非ｐ 为 ｘ ｘ ｘ
①， “ ”，“ ” Ｂ．∀ ∈（０，π），ｓｉｎ ＞ｃｏｓ
真命题 则ｐ为假命题 命题ｑ可能是假命题 也可能是真命 ｘ Ｒ ｘ２ ｘ
， ， ， Ｃ．∃ ０∈ ， ０＋ ０＝－２
题 故错误 ｘ ｘ ｘ
， ； Ｄ．∀ ∈（０，＋∞），ｅ ＞ ＋１
( )ｘ ｘ ｘ
对于 ｘ ２ ｘ ｘ 故命题ｐ是假命题 答案 Ｄ ｘ Ｒ ２ ２ 故 是假命题 当ｘ
②， ∈（－∞，０）， ＞１⇒２ ＞３ ， ； ∀ ∈ ，ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝１， Ａ ；
３ ３ ３
( ) ｘ ( ]
命题ｑ ｘ π ｘ ｓｉｎ ｘ 故命题ｑ是真命题 π 时 ｘ ｘ 故 是假命题 ｘ Ｒ ｘ２ ｘ
：∀ ∈ ０， ，ｔａｎ ＝ ｘ＞ｓｉｎ ， ， ∈ ０， ，ｓｉｎ ≤ｃｏｓ ， Ｂ ；∀ ∈ ， ＋ ≥
２ ｃｏｓ ４
故 ¬ ｐ ｑ为真命题 正确
（ ）∧ ， ； １ 故 是假命题 令ｆ ｘ ｘ ｘ 则ｆ′ ｘ ｘ 当ｘ
对于 命题ｐ 若ａ ｂ 则ａ与ｂ的夹角为钝角或 故 － ， Ｃ ； （ ）＝ｅ － －１， （ ）＝ｅ －１， ∈
③， ： · ＜０， π， ③ ４
错误 时 ｆ′ ｘ 则ｆ ｘ 为增函数 故ｆ ｘ ｆ 即
； （０，＋∞） ， （ ）＞０， （ ） ， （ ）＞（０）＝０，
对于 由ｐ ｘ ｑ ｘ ｑ是ｐ的充分不必要条件 则 ｘ ｘ ｘ 故 是真命题．故选 ．
④， ：｜ ＋１｜＞２， ： ＞２⇒ ， ∀ ∈（０，＋∞），ｅ ＞ ＋１， Ｄ Ｄ
¬ ｐ是¬ ｑ成立的充分不必要条件 故正确 １７．（２０１７ 广东七校 ５ 月联考，５） 已知命题 ｐ ａ
对于 命题 存在ｘ Ｒ 使得 ｘ ， 的否 ； 定是 对任意的ｘ ( ) ａ [ ] ： ∃ ∈
Ｒ
⑤
使
，
得 ｘ
“
故错
０∈
误．故
，
选
２ ０ ≤０” “
－∞，－ ４
１
，
函数ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ
＋ｘ ＋１
在 １
２ ，３
上单调递增
；
命
∈ ， ２ ＞０”， Ｂ． ( )
１４．（２０１９江西赣州十四县期中联考，４）下列有关命题的说法正 题ｑ 函数ｇ ｘ ｘ ｘ在区间 １ 上无零点．则下列
： （ ）＝ ＋ｌｏｇ２ ，＋∞
确的是 ２
（ ） 命题中是真命题的是
命题 若ｘ２ 则ｘ 的否命题为 若ｘ２ 则ｘ （ ）
Ａ． “ ＝１， ＝１” “ ＝１， ≠１” ．¬ ｐ ．ｐ ｑ ． ¬ ｐ ｑ ．ｐ ¬ ｑ
Ａ Ｂ ∧ Ｃ（ ）∨ Ｄ ∧（ ）
命题ｐ ｘ Ｒ 使得 ｘ ６ 命题ｑ ｘ Ｒ 都有ｘ ａ
Ｂ． ：∃ ０∈ ， ｓｉｎ ０＝ ； ：∀ ∈ ， ＞ 答案 Ｄ 设ｈ ｘ ｘ ．易知当ａ １ 时 函数ｈ ｘ 为
２ （ ）＝ ＋ｘ ＝－ ， （ ）
ｘ 则命题ｐ ｑ为真 ＋１ ２
ｓｉｎ ， ∨ ” ( ) [ ]
Ｃ．
命题
“∃
ｘ
∈
Ｒ
，
使得ｘ２
＋
ｘ
＋１＜０”
的否定是
“∀
ｘ
∈
Ｒ
，
均有ｘ２ 增函数
，
且ｈ １
＝
１
＞０，
则此时函数ｆ
（
ｘ
）
在 １
，３
上必单
ｘ ２ ６ ( ) ２
＋ ＋１＜０”
命题 若ｘ ｙ 则 ｘ ｙ 的逆否命题为真命题 调递增 即ｐ是真命题 ｇ １ １ ｇ ｇ
Ｄ． “ ＝ ， ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ” ， ；∵ ＝－ ＜０， （１）＝ １＞０，∴
答案 Ｄ 命题 若ｘ２ 则ｘ 的否命题为 若ｘ２ ( ) ２ ２
“ ＝１， ＝１” “ ≠１， ｘ 在 １ 上有零点 即ｑ是假命题 根据真值表可知ｐ
（ ） ，＋∞ ， ，
则ｘ ．故 错．命题ｐ ｘ Ｒ 使得 ｘ ６ 是假命 ２
≠１” Ａ ：∃ ０∈ ， ｓｉｎ ０＝ ＞１， ¬ ｑ 是真命题 故选 ．
２ ∧（ ） ， Ｄ
题．命题ｑ ｘ Ｒ 都有ｘ ｘ 是假命题 则命题ｐ ｑ为假． 思路分析 先判断出命题ｐ ｑ的真假 然后根据真值表对选
：∀ ∈ ， ＞ｓｉｎ ， ， ∨ ， ，
故 错．命题 ｘ Ｒ 使得ｘ２ ｘ 的否定是 ｘ Ｒ 均 项进行逐一判定．
Ｂ “∃ ∈ ， ＋ ＋１＜０” “∀ ∈ ，
有ｘ２ ｘ ．故 错．命题 若ｘ ｙ 则 ｘ ｙ 的逆否 解题关键 判断出简单命题的真假是解题的关键．
＋ ＋１≥０” Ｃ “ ＝ ， ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ”
命题为真命题．故选 ． １８．（２０１９云南师范大学附属中学第四次月考，７）给出下列两个
Ｄ
辨析比较 命题的否定和命题的否命题的区别 命题ｐ的否 命题 命题ｐ 函数ｆ ｘ 是定义在 上的奇函数 当ｘ
： ， １： （ ） （－２，２） ， ∈
定 即¬ ｐ 是指对命题ｐ结论的否定 命题ｐ的否命题 是指 ( )
， ， ； ， 时 ｆ ｘ ｘ 则ｆ １ 的值为 命题ｐ 函数
对命题ｐ条件和结论同时否定． （０，２） ，（ ）＝２ －１， ｌｏｇ２ －２； ２：
３
( )ｘ ｘ
１５．（２０１９河北武邑中学期末，３）已知命题ｐ ｘ Ｎ∗ １ ｆ ｘ １＋ 是偶函数 则下列命题是真命题的是
：∀ ∈ ， （ ）＝ｌｎ ｘ ， （ ）
２ １－
专题一 集合与常用逻辑用语 ３３
ｐ ｐ ｐ ｐ 对于ｐ Ａ 故 ｘ ｙ Ｄ ｘ ｙ 为真命
Ａ． １∧ ２ Ｂ． １∧（ ２） １， （１，０），１＋０＝１≥０， ∃（ ， ）∈ ， ＋ ≥０
ｐ ｐ ｐ ｐ 题 对于ｐ Ａ 故 ｘ ｙ Ｄ ｘ ｙ
Ｃ．（ １）∧ ２ Ｄ．（ １）∧（ ２） ； ２， （１，０），１－０＋１＝２＞０， ∀（ ， ）∈ ， － ＋１≤０
ｙ
答案 Ｂ 对于命题ｐ 因为 １ 且ｆ ｘ 是定义 为假命题 对于ｐ 表示的几何意义为点 ｘ ｙ 与点
１， －２＜ｌｏｇ２ ＜０， （ ） ； ３，ｘ （ ， ） （－２，
３ ＋２
( ) ( ) ｙ [ ]
在 上的奇函数 所以 ｆ １ ｆ １ 连线的斜率 由图可得 的取值范围为 １ １ 故
（－２，２） ， ｌｏｇ２ ＝－ －ｌｏｇ２ ＝ ０） ， ，ｘ － ， ，
３ ３ ＋２ ２ ２
ｆ 故 ｐ 为真命题 对于命题 ｐ 函数 ｆ ｘ ｙ
－（ｌｏｇ２３）＝－２， １ ； ２， （ ）＝ ｌｎ ｘ ｙ Ｄ １ 为真命题 对于ｐ ｘ２ ｙ２ 表示的几
１＋ ｘ 的定义域为 且ｆ ｘ １－ ｘ ( １＋ ｘ) －１ ∀（ ， ）∈ ， ｘ ＋２ ≤ ２ ； ４， ＋
ｘ （－１，１）， （－ ）＝ ｌｎ ｘ＝ｌｎ ｘ ＝－ｌｎ 何意义为点 ｘ ｙ 到原点的距离的平方 由图可得ｘ２ ｙ２
１－ １＋ １－ （ ， ） ， ＋ ≤１，
ｘ 故 ｘ ｙ Ｄ ｘ２ ｙ２ 为假命题．故选
１＋ ｆ ｘ 所以函数ｆ ｘ 为奇函数 故ｐ 为假命题 所以ｐ ∃（ ， ）∈ ， ＋ ≥２ Ｂ．
ｘ＝－（ ）， （ ） ， ２ ， １ ２１． （ ２０１９ 江 苏 东 台 中 学 检 测） 已 知 集 合 Ａ
１－ ＝
ｐ 为真命题 故选 ． { }
∧（ ２） ， Ｂ ｘ １ ｘ ｘ Ｒ Ｂ ｘ ｘ ｍ ｘ Ｒ 若ｘ Ｂ成
１９．（２０１８四川德阳二诊，９）命题ｐ ｘ Ｒ 使得 ｘ ｍｘ 命 ＜２ ＜８， ∈ ， ＝｛ ｜－１＜ ＜ ＋１， ∈ ｝， ∈
：∃ ∈ ， ｅ － ＝０， ２
立的一个充分不必要的条件是ｘ Ａ 则实数ｍ的取值范围
题ｑ ｆ ｘ １ ｘ３ ｍｘ２ ｘ在 上递减 若ｐ ｑ 为 ∈ ，
： （ ）＝ － －２ ［－１，１］ ， ∨（ ） 是 ．
３
假命题 则实数ｍ的取值范围为 答案
， （ ） （２，＋∞）
{ }
Ａ．［－３，ｅ） Ｂ．［－３，０］ 解析 Ａ ｘ １ ｘ ｘ Ｒ ｘ ｘ
[ ] ＝ ＜２ ＜８， ∈ ＝｛ ｜－１＜ ＜３｝，
１ ２
Ｃ． ０， Ｄ．［０，ｅ） 因为ｘ Ｂ成立的一个充分不必要条件是ｘ Ａ
２ ∈ ∈ ，
答案 Ｃ 由 ｘ ｍｘ 知ｘ 因此ｍ ｅ ｘ 设ｇ ｘ ｅ ｘ 所以Ａ ⫋ Ｂ ， 所以ｍ ＋１＞３， 即ｍ ＞２ ．
ｅ － ＝０ ≠０， ＝ ｘ ， （ ）＝ ｘ ， ｘ
ｘ ｘ ２２．（２０１９云南昆明诊断性测试，１４）设ｍ ＞０， ｐ ：０＜ ｘ ＜ ｍ ， ｑ ：ｘ ＜
ｘ 则ｇ′ ｘ ｅ（ －１） 令ｇ′ ｘ 解得ｘ 易知ｇ ｘ －１
≠０； （ ）＝ ｘ２ ， （ ）＝０， ＝１， （ ） 若ｐ是ｑ的充分不必要条件 则ｍ的值可以是 ．
０， ，
在 上单调递增 在 和 上单调递减 所 只需填写一个满足题意的值即可
（１，＋∞） ， （－∞，０） （０，１） ， （ ）
以当ｘ 时 ｇ ｘ ｇ 因此当ｘ 时 ｇ ｘ 又
＞０ ， （ ）ｍｉｎ＝ （１）＝ｅ， ＞０ ， （ ）≥ｅ， 答案 １ 内的任意数均可
易知当ｘ 时 ｇ ｘ 的值域为 所以ｇ ｘ 的值域为 （（０，１） ）
＜０ ， （ ） （－∞，０）， （ ） ２
若ｐ为真 则ｍ的取值范围是 ｘ
（－∞，０）∪［ｅ，＋∞）， ， （－∞，０） 解析 由 得 ｘ 所以ｑ ｘ ．
ｆ ′ ｘ ｘ２ ｍｘ 若ｆ ｘ 在 上递减 则 ｘ ＜０ ０＜ ＜１， ：０＜ ＜１
∪［ｅ，＋∞）； （ ）＝ －２ －２， （ ） ［－１，１］ ， －１
{ｆ ′ 又ｍ ｐ ｘ ｍ
ｘ 时 ｆ ′ ｘ 恒成立 所以有 （－１）≤０，即 ＞０， ：０＜ ＜ ，
∈［－１，１］ ， （ ）≤０ ， ｆ ′ 若ｐ是ｑ的充分不必要条件 则 ｍ
（１）≤０， ， ０＜ ＜１，
{ ２ ｍ
（－１） －２ ×（－１）－２≤０，解得 １ ｍ １ 所以 若 ｑ 为 所以满足题意的一个ｍ的值是 １ 内的任意数均可 ．
ｍ － ≤ ≤ ， ， （（０，１） ）
１－２ －２≤０， ２ ２ ２
[ ] ２３．下面有四个关于充要条件的命题
真 则ｍ的取值范围是 １ １ ．若ｐ ｑ 为假命题 则 ：
， － ， ∨（ ） ， 若ｘ Ａ 则ｘ Ｂ 是 Ａ Ｂ 的充要条件
２ ２ ①“ ∈ ， ∈ ” “ ⊆ ” ；
{ ｍ ｂ 是 函数ｙ ｘ２ ｂｘ ｃ为偶函数 的充要条件
０≤ ＜ｅ， ②“ ＝０” “ ＝ ＋ ＋ ” ；
ｐ假ｑ真
，
所以
１ ｍ １
解得
０≤
ｍ
≤
１
，
故选
Ｃ
．
③“
ｘ
＝１”
是
“
ｘ２
－２
ｘ
＋１＝０”
的充要条件
；
－ ≤ ≤ ， ２
２ ２ ａ 是 １ 的充要条件．
２０．（２０１８辽宁辽南协作校一模，８）已知Ｄ ｘ ｙ ｘ ｙ ④“ ＞１” “ ａ ＜１”
＝｛（ ， ）｜｜ ｜＋｜ ｜≤
给出下列四个命题 其中真命题的序号是 ．
１｝， ：
ｐ ｘ ｙ Ｄ ｘ ｙ 答案
１：∃（ ， ）∈ ， ＋ ≥０； ①②③
ｐ
２：∀（
ｘ
，
ｙ
）∈
Ｄ
，
ｘ
－
ｙ
＋１≤０；
解析 由子集的定义知
，①
为真命题．当ｂ
＝０
时
，
ｙ
＝
ｘ２
＋
ｂｘ
＋
ｃ
ｐ ｘ ｙ Ｄ ｙ １ ＝ ｘ２ ＋ ｃ ， 显然为偶函数 ， 反之 ， ｙ ＝ ｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ是偶函数 ， 则 （－ ｘ ） ２ ＋
３：∀（ ， ）∈ ， ｘ ＋２ ≤ ２ ； ｂ （－ ｘ ）＋ ｃ ＝ ｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ恒成立 ， 即ｂｘ ＝０ 恒成立 ， 得ｂ ＝０， 因此 ②
ｐ
４：∃（
ｘ
，
ｙ
）∈
Ｄ
，
ｘ２
＋
ｙ２
≥２
．
为真命题．当ｘ
＝１
时
，
ｘ２
－２
ｘ
＋１＝０
成立
，
反之
，
当ｘ２
－２
ｘ
＋１＝０
其中真命题是
（ ） ａ
时 ｘ 所以 为真命题．由于 １ －１ 即ａ 或ａ
ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ， ＝１， ③ ａ ＜１⇔ ａ ＞０， ＞１ ＜
Ａ． １， ２ Ｂ． １， ３ Ｃ． ３， ４ Ｄ． ２， ４
答案 Ｂ ｘ ｙ 表示的可行域如图中阴影部分
｜ ｜＋｜ ｜≤１ 故ａ 是 １ 的充分不必要条件 所以 为假命题．
所示 ０， ＞１ ａ ＜１ ， ④
：
２４．（２０１８湖南浏阳三校联考，１７）设ｐ 实数ｘ满足ｘ２ ａｘ ａ２
： －４ ＋３
ａ Ｒ ｑ 实数ｘ满足ｘ２ ｘ 或ｘ２ ｘ ．若ａ 且
＜０， ∈ ； ： － －６≤０ ＋２ －８＞０ ＜０
¬ ｐ是¬ ｑ的必要不充分条件 求实数ａ的取值范围．
，
解析 由ｐ得 ｘ ａ ｘ ａ
（ －３ ）（ － ）＜０，
当ａ 时 ａ ｘ ａ．
＜０ ，３ ＜ ＜
由ｑ得ｘ２ ｘ 或ｘ２ ｘ 则 ｘ 或ｘ 或ｘ
－ －６≤０ ＋２ －８＞０， －２≤ ≤３ ＜－４ ＞
则ｘ 或ｘ ．
２， ＜－４ ≥－２
¬ ｐ是¬ ｑ的必要不充分条件 ｐ是ｑ的充分不必要条件．
∵ ，∴
３４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
设Ａ ａ ａ Ｂ 定为真命题 分两种情况 λ 和λ 讨论可得解．
＝（３ ， ）， ＝（－∞，－４）∪［－２，＋∞）， ， ： ＝０ ≠０，
２７．（２０１８衡水金卷调研卷五，１４）已知命题Ｐ ｘ Ｒ ｘ２
可知Ａ Ｂ ａ 或 ａ 即ａ 或ａ ２ ． ：∀ ∈ ，ｌｏｇ２（ ＋
⫋ ，∴ ≤－４ ３ ≥－２， ≤－４ ≥－ ｘ ａ 恒成立 命题Ｑ ｘ ａ ｘ 若命题Ｐ Ｑ
３ ＋ ）＞０ ， ：∃ ０∈［－２，２］，２ ≤２ ０ ， ∧
为真命题 则实数ａ的取值范围为 ．
又 ａ ａ 或 ２ ａ ，
∵ ＜０，∴ ≤－４ － ≤ ＜０， ( ]
３ [ ) 答案 ５
，２
即实数ａ的取值范围为 ２ ． ４
（－∞，－４］∪ －
３
，０ 解析 当Ｐ为真命题时
，
ｘ２
＋
ｘ
＋
ａ
＞１，
即ｘ２
＋
ｘ
＋
ａ
－１＞０
恒成
方法点拨 解决根据充要条件求参数取值范围的问题一
（１） 立 所以 ａ 解得ａ ５ ．
般是把充分条件 必要条件或充要条件转化为集合之间的关 ， １－４（ －１）＜０， ＞
、 ４
系 然后根据集合之间的包含 相等关系列出关于参数的不等 当Ｑ为假命题时 ¬ Ｑ为真命题 即 ｘ ａ ｘ 所以ａ
， 、 ， ， ∀ ∈［－２，２］，２ ＞２，
式 组 求解 有时也采用等价转化思想把复杂 疑难问题转 ．
（ ） ； 、 ＞２
化为简单 熟悉的问题来解决． 又命题 Ｐ Ｑ 为真命题 所以命题 Ｐ Ｑ 都为真命题 则
、 ∧ ， ， ，
在解求参数的取值范围的题目时 一定要注意区间端点 {
（２） ， ａ ５ ( ]
值的检验 在利用集合关系列不等式时 不等式是否能取到等 ＞ ，即 ５ ａ ．故实数ａ的取值范围是 ５ ．
， ， ４ ＜ ≤２ ，２
号直接决定着端点值的取舍 在这里容易产生增解或漏解的 ａ ４ ４
， ≤２，
情况． 方法总结 解决这类问题时 应先根据题目条件 即复合命
， ，
２５．（２０１７广东深圳一模，１７）设ｐ 实数ｘ满足ｘ２ ａｘ ａ２ 题的真假情况 推出每一个命题的真假 有时不一定只有一
： －４ ＋３ ＜０， ， （
ｑ 实数ｘ满足 ｘ ． 种情况 然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围
： ｜ －３｜＜１ ）， ，
若ａ 且ｐ ｑ为真 求实数ｘ的取值范围 最后根据每个命题的真假情况求出参数的取值范围．
（１） ＝１， ∧ ， ；
若ａ 且¬ ｐ是¬ ｑ的充分不必要条件 求实数ａ的取值 ２８．（２０１７青海西宁一模）在下列结论中 ｐ ｑ 为真是 ｐ
（２） ＞０ ， ：①“ ∧ ” “ ∨
范围． ｑ 为真的充分不必要条件 ｐ ｑ 为假是 ｐ ｑ 为真的充
” ；②“ ∧ ” “ ∨ ”
解析 由ｘ２ ａｘ ａ２ 得 ｘ ａ ｘ ａ 分不必要条件 ｐ ｑ 为真是 ¬ ｐ 为假的充分不必要条
（１） －４ ＋３ ＜０ （ －３ ）（ － ）＜０， ；③“ ∧ ” “ ”
当ａ 时 ｘ 即ｐ为真时 实数ｘ的取值范围是 ． 件 ¬ ｐ 为真是 ｐ ｑ 为假的充分不必要条件．正确的是
＝１ ，１＜ ＜３， ， （１，３） ；④“ ” “ ∧ ”
由 ｘ 得 ｘ 解得 ｘ ． 填序号
｜ －３｜＜１ －１＜ －３＜１， ２＜ ＜４， （ ）
即ｑ为真时 实数ｘ的取值范围是 ． 答案
， （２，４） ①③④
若ｐ ｑ为真 则ｐ真且ｑ真 解析 结论 ｐ ｑ 为真 说明ｐ ｑ同为真 故能推出 ｐ
∧ ， ， ①“ ∧ ” ， ， ， “ ∨
实数ｘ的取值范围是 ． ｑ 为真 而 ｐ ｑ 为真 说明ｐ ｑ中至少一个为真 不能推出
∴ （２，３） ” ， “ ∨ ” ， ， ，
由ｘ２ ａｘ ａ２ 得 ｘ ａ ｘ ａ ｐ ｑ 为真 故前者是后者的充分不必要条件 故 正确 结
（２） －４ ＋３ ＜０ （ －３ ）（ － ）＜０， “ ∧ ” ， ， ① ；
ａ ａ ｘ ａ． 论 ｐ ｑ 为假 说明ｐ ｑ中至少一个为假 不能推出 ｐ
∵ ＞０，∴ ＜ ＜３ ②“ ∧ ” ， ， ， “ ∨
若¬ ｐ是¬ ｑ的充分不必要条件 ｑ 为真 ｐ ｑ 为真也不能推出 ｐ ｑ 为假 故前者是后者
， ” ，“ ∨ ” “ ∧ ” ，
则¬ ｐ ¬ ｑ 且¬ ｑ ／ ¬ ｐ 的既不充分也不必要条件 故 错误 结论 ｐ ｑ 为真 说
⇒ ， ⇒ ， ， ② ； ③“ ∧ ” ，
设Ａ ｘ ¬ ｐ Ｂ ｘ ¬ ｑ 则Ａ Ｂ 明ｐ ｑ都为真 故能推出 ¬ ｐ 为假 ¬ ｐ 为假 则 ｐ 为真
＝｛ ｜ ｝， ＝｛ ｜ ｝， ⫋ ， ， ， “ ” ，“ ” ， ，
又Ａ ｘ ¬ ｐ ｘ ｘ ａ或ｘ ａ Ｂ ｘ ¬ ｑ ｘ ｘ 不能推出ｐ ｑ为真 故前者是后者的充分不必要条件 故
＝｛ ｜ ｝＝｛ ｜ ≤ ≥３ ｝， ＝｛ ｜ ｝＝｛ ｜ ≥４ ∧ ， ， ③
或ｘ 正确 结论 ¬ ｐ 为真 则ｐ为假 可推出 ｐ ｑ 为假 而只
≤２｝， ； ④“ ” ， ， “ ∧ ” ，
{ａ {ａ 要满足ｑ假 ｐ无论真假 都有 ｐ ｑ 为假 故 ｐ ｑ 为假不
＞０， ＞０， ， ， “ ∧ ” ， “ ∧ ”
ａ 或 ａ 能推出 ¬ ｐ 为真 故前者是后者的充分不必要条件 故 正
∴ ≤２， ＜２， “ ” ， ， ④
ａ ａ 确 综上可得结论 正确．
３ ＞４ ３ ≥４， ， ①③④
２９．已知ｃ 且ｃ 设命题ｐ 函数ｙ ｃｘ 在Ｒ上单调递减 命题
解得 ４ ａ ＞０ ≠１， ： ＝ ；
≤ ≤２，
３ ｑ 对任意实数ｘ 不等式ｘ２ ｘ ｃ 恒成立．
{ } ： ， － ２ ＋ ＞０
实数ａ的取值范围是 ａ ４ ａ ． 写出命题ｑ的否定 并求非ｑ为真时 实数ｃ的取值范围
∴ ≤ ≤２ （１） ， ， ；
３ 如果命题 ｐ ｑ 为真命题 ｐ ｑ 为假命题 求实数ｃ的
方法总结 根据充分必要条件求解参数的取值范围 解决这 （２） “ ∨ ” ，“ ∧ ” ，
， 取值范围．
类问题一般把充分条件 必要条件或充要条件转化为集合之
、 解析 ¬ ｑ 存在ｘ Ｒ 不等式ｘ２ ｘ ｃ 成立．
间的关系 然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式 （１） ： ０∈ ， ０－ ２ ０＋ ≤０
，
组 求解． 若非ｑ为真 则Δ ２ ｃ 即ｃ １
（ ） ， ＝（－ ２） －４ ≥０， ≤ ，
２６．（２０１９泰州中学、宜兴中学检测，６）命题 ｘ Ｒ 使得λｘ２ ２
“∃ ∈ ， －
λｘ 成立 为假命题 则λ的取值范围是 ． 又ｃ 且ｃ ｃ １ ．
＋１＜０ ” ， ＞０ ≠１，∴０＜ ≤
答案 ２
［０，４］ 因为命题 ｐ ｑ 为真命题 ｐ ｑ 为假命题 所以ｐ与ｑ
解析 命题
“∃
ｘ
∈
Ｒ
，
使得λｘ２
－
λｘ
＋１＜０
成立
”
为假命题
，
（
一
２
真
）
一假．
“ ∨ ” ，“ ∧ ” ，
则其否定
“∀
ｘ
∈
Ｒ
，
λｘ２
－
λｘ
＋１≥０
成立
”
为真命题．
若ｐ为真命题 则 ｃ
当λ 时 恒成立 即λ 满足题意 ， ０＜ ＜１；
① ＝０ ，１≥０ ， ＝０ ；
{λ 若ｑ为真命题 则Δ ２ ｃ 即ｃ １ 且ｃ ．
当λ 时 由题意有 ＞０， 解得 λ ． ， ＝（－ ２） －４ ＜０， ＞ ２ ≠１
② ≠０ ， λ２ λ ０＜ ≤４
－４ ≤０， 则ｐ真ｑ假时 ｃ １ ｐ假ｑ真时 ｃ ．
综合 得 实数λ的取值范围是 ． ，０＜ ≤ ； ， ＞１
①② ： ［０，４］ ２
名师点睛 特称命题 ｘ Ｒ 使得λｘ２ λｘ 成立 的否 ( ]
“∃ ∈ ， － ＋１＜０ ” 实数ｃ的取值范围是 １ ．
定为 ｘ Ｒ λｘ２ λｘ 成立 原命题为假命题 则其否 ∴ ０， ∪（１，＋∞）
“∀ ∈ ， － ＋１≥０ ”， ， ２
专题一 集合与常用逻辑用语 ３５
３０．（２０１９江苏大桥实验中学检测） ｔ ． ｑ为真命题时 ｔ ．
∴ ≥２∴ ，≥２
已知命题ｐ ｘ ｋｘ 为假命题 求实数ｋ 若ｐ ｑ为真命题 则ｐ ｑ中至少有一个为真命题
（１） ：“∀ ∈［１，３］， ＋２＞０” ， ∨ ， ， ，
的取值范围 { ｔ {ｔ 或ｔ { ｔ
； ０＜≤２，或 ≤０ ＞２，或 ０＜≤２，解得ｔ ．
已知命题ｑ ｘ Ｒ 使得ａｘ２ ｘ 为真命题 求实 ∴ ｔ ｔ ｔ ＞０
（２） ：“∃ ∈ ， ＋２ ＋１＜０” ， ＜２ ≥２ ≥２，
数ａ的取值范围． 故实数ｔ的取值范围为 ．
（０，＋∞）
解析 当ｋ 时 ｋｘ 此时对任意ｘ都成立 即 ３２．（２０１７湖北襄阳五中模拟，１９）设ｐ 实数ａ满足不等式 ａ
（１） ＝０ ， ＋２＝２＞０， ， ： ３ ≤
命题ｐ为真命题 不合题意． ａ
， ｑ 函数ｆ ｘ １ ｘ３ ３（３－ ）ｘ２ ｘ无极值点．
当ｋ 时 要使命题ｐ为假命题 则 ｘ 有ｋｘ ． ９， ： （ ）＝ ＋ ＋９
≠０ ， ， ∃ ∈［１，３］， ＋２≤０ ３ ２
设ｙ ｋｘ 此函数具有单调性． 若 ｐ ｑ 为假命题 ｐ ｑ 为真命题 求实数 ａ 的取值
＝ ＋２， （１） “ ∧ ” ，“ ∨ ” ，
可知必有ｋ 或 ｋ 范围
＋２≤０ ３ ＋２≤０， ；
( )
解得ｋ 或ｋ ２ 即ｋ ２ ． 已知 ｐ ｑ 为真命题 并记为 ｒ 且 ｔ ａ２ ｍ １ ａ
≤－２ ≤－ ， ≤－ （２） “ ∧ ” ， ， ： － ２ ＋ ＋
３ ３ ２
( ] ( )
综上可知ｋ的取值范围为 ２ ． ｍ ｍ １ 若ｒ是¬ ｔ的必要不充分条件 求正整数ｍ
－∞，－ ＋ ＞０， ，
３ ２
当ａ 时 不等式ａｘ２ ｘ 为 ｘ ． 的值．
（２） ＝０ ， ＋２ ＋１＜０ ２ ＋１＜０
解析 若ｐ为真 则 ａ 得ａ ．
解得ｘ １ 结论成立． （１） ， ３ ≤９， ≤２
＜－ ， 若ｑ为真 则函数ｆ ｘ 无极值点 ｆ ′ ｘ ｘ２ ａ ｘ
２ ， （ ） ，∴ （ ）＝ ＋３（３－ ） ＋９≥
当ａ 时 令ｆ ｘ ａｘ２ ｘ 恒成立
≠０ ， （ ）＝ ＋２ ＋１， ０ ，
当ａ 时 显然ａｘ２ ｘ 有解 即存在ｘ 使命题ｐ为真． 得Δ ａ ２ 解得 ａ ．
＜０ ， ＋２ ＋１＜０ ， ， ＝９（３－ ） －４×９≤０， １≤ ≤５
{ａ {ａ ｐ ｑ 为假命题 ｐ ｑ 为真命题
当ａ 时 必须有 ＞０，即 ＞０， ∵ “ ∧ ” ，“ ∨ ” ，
＞０ ， Δ ａ ｐ与ｑ一真一假．
＞０， ４－４ ＞０， ∴
解得 ａ ． {ａ
０＜ ＜１ 若ｐ为真命题 ｑ为假命题 则 ≤２， ａ
综上可知ａ的取值范围为 ． ， ， ａ 或ａ ⇒ ＜１；
（－∞，１） ＜１ ＞５
３１．（２０１９湖北黄冈９月质检，２０）已知二次函数ｆ ｘ ａｘ２ ｂｘ {ａ
（ ）＝ ＋ 若ｑ为真命题 ｐ为假命题 则 ＞２， ａ ．
ａ ｂ为常数 且ａ 满足条件 ｆ ｘ ｆ ｘ 且方程 ， ， ａ ⇒２＜ ≤５
（ ， ， ≠０） ： （ －１）＝ （３－ ）， １≤ ≤５
ｆ ｘ ｘ有两相等实根． 综上 实数ａ的取值范围为 ａ ａ 或 ａ ．
（ ）＝２ ， ｛ ｜ ＜１ ２＜ ≤５｝
求ｆ ｘ 的解析式 ｐ ｑ 为真命题 ｐ ｑ都为真命题
（１） （ ） ； （２）∵ “ ∧ ” ，∴ 、 ，
设命题ｐ 函数ｙ ｆ （ ｘ ） ｔ在 上有零点 命题ｑ {ａ
（２） ：“ ＝２ － （－∞，２） ”， ： ≤２， ａ ．
函数ｇ ｘ ｆ ｘ ｔｘ 在 上单调递增 若命题 ∴ ａ ⇒１≤ ≤２
“ （ ）＝ （ ）＋ －３ （－∞，２） ”， １≤ ≤５
ｐ ｑ 为真命题 求实数ｔ的取值范围． ( ) ( )
“ ∨ ” ， ａ２ ｍ １ ａ ｍ ｍ １
解析 方程ｆ ｘ ｘ有两相等实根 即ａｘ２ ｂ ｘ ∵ － ２ ＋ ＋ ＋ ＞０，
（１）∵ （ ）＝２ ， ＋（ －２） ２ ２
＝０ 有两相等实根 ，∴ Δ ＝（ ｂ －２） ２ ＝０ 且ａ ≠０， 解得ｂ ＝２ ． ａ ｍ [ ａ ( ｍ １ )] ａ ｍ或ａ ｍ １
ｘ ｘ ∴ （ － ） － ＋ ＞０，∴ ＜ ＞ ＋ ，
由ｆ ｘ ｆ ｘ 得 －１＋３－ ２ ２
（ －１）＝ （３－ ）， ＝１，
２ 即ｔ ａ ｍ或ａ ｍ １ 从而¬ ｔ ｍ ａ ｍ １ ．
直线ｘ 是函数ｆ ｘ 图象的对称轴． ： ＜ ＞ ＋ ， ： ≤ ≤ ＋
∴ ＝１ （ ） ２ ２
ｂ ｂ ｒ是¬ ｔ的必要不充分条件 ¬ ｔ ｒ ｒ ／ ¬ ｔ
又此函数图象的对称轴是直线ｘ
＝－ ａ，∴ － ａ＝１，∴
ａ
＝－１，
∵ {ｍ {ｍ ，∴ ⇒ ， ⇒ ，
２ ２ ≥１， ＞１，
故ｆ
（
ｘ
）＝－
ｘ２
＋２
ｘ．
∴ ｍ １
或
ｍ １
（２） 由ｙ ＝２ － ｘ２＋２ ｘ － ｔ ， ｘ ∈（－∞，２）， 得 ２ － ｘ２＋２ ｘ ∈（０，２］， ＋ ２ ＜２ ＋ ２ ≤２，
ｐ为真命题时 ｔ ．
∴ ，０＜≤２ 解得 ｍ ３ 又 ｍ Ｎ∗ ｍ ．
１≤ ≤ ， ∵ ∈ ，∴ ＝１
ｔ ２
由ｇ ｘ ｘ２ ｔ ｘ 在 上单调递增 得２＋
（ ）＝－ ＋（２＋） －３ （－∞，２） ， ≥２，
２
