北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
3.6 对数函数
五年高考
考点1 对数运算
1 1
1.(2021天津,7,5分,易)若2a=5b=10,则 + =( )
a b
A.-1 B.lg 7
C.1 D.log 10
7
答案 C
2.(2020课标Ⅰ文,8,5分,易)设alog 4=2,则4-a=( )
3
1 1 1 1
A. B. C. D.
16 9 8 6
答案 B
3.(2022浙江,7,4分,易)已知2a=5,log 3=b,则4a-3b= ( )
8
25 5
A.25 B.5 C. D.
9 3
答案 C
4.(2021全国甲理,4,5分,易)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测
量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的
数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录
法的数据约为(1√010≈1.259) ( )
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
答案 C
2
5.(2020课标Ⅲ文,10,5分,中)设a=log 2,b=log 3,c= ,则( )
3 5 3
A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b
答案 A
6.(2020课标Ⅲ理,12,5分,难)已知55<84,134<85.设a=log 3,b=log 5,c=log 8,则 ( )
5 8 13
A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b
答案 A
考点2 对数函数
(1) 0.7 1
1.(2022天津,5,5分,易)设a=20.7,b= ,c=log ,则a,b,c的大小关系为 ( )
3 23
A.a<b<c B.c<a<b
C.b<c<a D.c<b<a北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
答案 D
1
2.(2021新高考Ⅱ,7,5分,易)若a=log 2,b=log 3,c= ,则 ( )
5 8 2
A.c<b<a B.b<c<a C.a<c<b D.a<b<c
答案 C
3.(2020课标Ⅰ理,12,5分,中)若2a+log a=4b+2log b,则 ( )
2 4
A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a<b2
答案 B
1 ( 1)
4.(2019浙江,6,4分,中)在同一直角坐标系中,函数y= ,y=log x+ (a>0,且a≠1)的图象
ax a 2
可能是( )
答案 D
5.(2017课标Ⅰ文,9,5分,中)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则 ( )
A. f(x)在(0,2)单调递增
B. f(x)在(0,2)单调递减
C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称
D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称
答案 C
6.(2021全国乙理,12,5分,难)设a=2ln 1.01,b=ln 1.02,c=√1.04-1,则 ( )
A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b
答案 B
7.(2014重庆理,12,5分,中)函数f(x)=log √x·log (2x)的最小值为 .
2 √2
1
答案 -
4北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
三年模拟
综合基础练
1.(2024届浙江名校协作体返校联考,4)已知函数y=log (ax2-x)在区间(1,2)上单调递增,则a
2
的取值范围为 ( )
( 1] [1 ]
A. 0, B. ,1
2 2
[1 )
C. ,+∞ D.[1,+∞)
2
答案 D
2.(2024届山西长治四中月考,5)函数f(x)=log (|x|-1)的大致图象是 ( )
2
答案 B
{ 3a−x,x<2,
3.(2024届河北保定部分高中开学考,6)已知a>0,且a≠1,函数f(x)=
log (x−1)−1,x≥2
a
在R上单调,则a的取值范围是 ( )
[1 2]
A.(1,+∞) B. ,
3 3
[2 ) [1 )
C. ,1 D. ,1
3 3
答案 D
1
4.(2024届河北石家庄月考,13)计算: 2 log 24 +log 2 9·log 3 4= .
17
答案
4
5.(2023北京汇文中学零模,13)若lg a-2lg 2=1,则a= .
答案 40北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
g
6.(2024届山西长治四中月考,13)函数f(x)=lo 1(x2-3)的单调递减区间是 .
2
答案 (√3,+∞)
7.(2024届广东潮州潮安凤塘中学统测(一),15)已知不等式x2-ax-b<0的解集为{x|-1<x<3},
若函数f(x)=log (3x-4)+b(a>0且a≠1),则f(4)= .
a
答案 6
8.(2024届福建连城一中月考,19)已知f(x)=log x+log (4-x)(a>0且a≠1),且f(2)=2.
a a
(1)求a的值及f(x)的定义域;
[ 7]
(2)求f(x)在 1, 上的值域.
2
解析 (1)由f(2)=2得log 2+log (4-2)=2,即2log 2=2,所以log 2=1,解得a=2,所以
a a a a
f(x)=log x+log (4-x),
2 2
{ x>0,
由 解得0<x<4,故f(x)的定义域为(0,4).
4−x>0
[ 7]
(2)由(1)及条件知f(x)=log x+log (4-x)=log [x(4-x)]=log [-(x-2)2+4],x∈ 1, ,
2 2 2 2 2
[ 7]
设t(x)=-(x-2)2+4,x∈ 1, ,
2
7 7
则当x=2时,t(x) =4,当x=1时,t(x)=3;当x= 时,t(x)= ,
max 2 4
[ 7] 7 [7 ]
所以当x∈ 1, 时,t(x) = ,即t(x)∈ ,4 ,
2 min 4 4
7
所以f(x) =log 4=2, f(x) =log =log 7-2,
max 2 min 24 2
[ 7]
所以f(x)在 1, 上的值域为[log 7-2,2].
2 2
综合拔高练
1 1 (1)− 1
1.(2023北京延庆一模,5)设a=log ,b=log ,c= 5,则a,b,c的大小关系是 ( )
25 35 5
A.c>b>a B.c>a>b C.b>a>c D.a>b>c
答案 A
2.(2023北京四中零模,6)已知2 023a=2 035,2 035b=2 023,c=log 2 023,则 ( )
2 050
A.ac<bc B.ca<cb
C.log c>log c D.loga>logb
a b c c
答案 B北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
3.(2023北京东城一模,10)恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称
为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为
“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N的70次方是一个83位数,由
下面表格中部分对数的近似值(精确到0.001),可得N的值为 ( )
M 2 3 7 11 13
0.30 0.84
lg M 0.477 1.0411.114
1 5
A.13 B.14 C.15 D.16
答案 C
4.(2024届福建连城一中月考,4)已知函数y=f(x)与函数y=2x互为反函数,g(x)为奇函数,且
当x>0时,g(x)=f(x)-x,则g(-8)= ( )
A.-5 B.-6 C.5 D.6
答案 C
5.(多选)(2024届河北邢台名校期中联考,11)已知lg x+log y=1,则 ( )
√10
A.lg x2+log y2=2
√10
B.x√y=10
C.lg(10x)+log (10y)=4
√10
D.当x>1,y>1时,log10+log√10的最小值为4
x y
答案 ACD
( 2 )
6.(2024届湖北黄冈浠水一中开学质检,19)已知函数f(x)=log +a 为奇函数.
2 x−1
(1)求实数a的值;
(2)若关于x的不等式2f(2x)+3·2x-b≥0恒成立,求实数b的取值范围.
解析 (1)因为f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,
( 2 ) ( 2 )
所以log +a +log2 +a =0在定义域内恒成立,
2 x−1 −x−1
( 2 )( 2 ) ax−(a−2) ax+(a−2)
即 +a +a = · =1在定义域内恒成立,整理得
x−1 −x−1 x−1 x+1
{(a−2) 2=1, x+1
(a-2)2-a2x2=1-x2在定义域内恒成立,所以 解得a=1.因为a=1时, f(x)=log
−a2=−1, 2x−1
的定义域(-∞,-1)∪(1,+∞)关于原点对称,满足题意,所以a=1.北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
x+1
(2)因为f(x)=log 的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),所以2x>1或2x<-1,解得x>0,因为2f(2x)
2x−1
2x+1 2
+3·2x-b≥0恒成立,所以b≤ +3·2x(x>0),所以b≤3(2x-1)+ +4(x>0).
2x−1 2x−1
2
因为当x>0时,2x-1>0,所以根据基本不等式得3(2x-1)+ ≥2√6,当且仅当3(2x-1)=
2x−1
2 ,即x=log (√6 +1 ) 时等号成立,所以3(2x-1)+ 2 +4≥2√6+4,所以b∈(-∞,2√6
2x−1 2 3 2x−1
+4].
思路分析
(1)根据题意,由奇函数的定义可得f(x)+f(-x)=0,然后代入计算即可得到结果;
2x+1
(2)根据题意,将原式变形可得b≤ +3·2x(x>0),然后结合基本不等式计算可得结果.
2x−1
x+1
7.(2024届黑龙江牡丹江二中第一次阶段测,21)已知函数f(x)=log (a>0且a≠1).
ax−1
(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性;
(2)若a=2,求函数y=f(2x)的值域;
( 3 )
(3)是否存在实数a,b,使得函数f(x)在区间 b, a 上的值域为(1,2)?若存在,求a,b的值;若
2
不存在,请说明理由.
解析 (1)函数f(x)是奇函数.证明如下:
x+1
由 >0,解得x>1或x<-1,则f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞).
x−1
−x+1 x−1 ( x+1) −1 x+1
f(-x)=log =loga =loga =−loga =-f(x),故f(x)是奇函数.
a −x−1 x+1 x−1 x−1
x+1
(2)当a=2时, f(x)=log ,
2x−1
2x+1 ( 2 )
则y=f(2x)=log =log2 1+ .
2 2x−1 2x−1
2 2
∵f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(1,+∞),∴2x>1,∴ ∈(0,+∞),1+ ∈(1,+∞),∴log
2x−1 2x−1 2
( 2 )
1+ ∈(0,+∞),
2x−1
∴y=f(2x)的值域是(0,+∞).
( 3 )
(3)假设存在,∵函数f(x)在 b, a 上的值域为(1,2),
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( 3 )
又a>0,且a≠1,∴由f(x)的定义域得 b, a ⊆(1,+∞),
2
3
∴ a>b>1.
2
x+1 ( 2 )
f(x)=log =loga 1+ .
a
x−1 x−1
2
当0<a<1时,∵y=1+ 在(1,+∞)上单调递减,
x−1
( 2 ) ( 3 )
∴函数f(x)=log 1+ 在 b, a 上单调递增,
a x−1 2
2
{ 1+ =a,
{ f(b)=1, b−1
2
∴ f (3 a ) =2, 即 1+ 2 =a2, ∵b>1,∴1+ b−1 >1,
2 3
a−1
2
2
∴1+ =a无解.故此时不存在实数a,b满足题意.
b−1
2
当a>1时,∵y=1+ 在(1,+∞)上单调递减,
x−1
( 2 ) ( 3 )
∴函数f(x)=log 1+ 在 b, a 上单调递减,
a x−1 2
2
{1+ =a,
{ (3 ) 3
f a =1, a−1
∴ 2 即 2
f(b)=2,
1+
2
=a2,
b−1
1 5
解得a=2或a=- (舍),b= .
3 3
5
综上,存在实数a=2,b= 满足题意.
3
