北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
专题七 数列
7.1 数列的概念及表示
五年高考
考点 数列的概念及表示
1.(2019浙江,10,5分,难)设a,b∈R,数列{a }满足a =a,a =a2+b,n∈N*,则 ( )
n 1 n+1 n
1 1
A.当b= 时,a >10 B.当b= 时,a >10
2 10 4 10
C.当b=-2时,a >10 D.当b=-4时,a >10
10 10
答案 A
2.(2020课标Ⅱ理,12,5分,难)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a a …a …
1 2 n
满足a∈{0,1}(i=1,2,…),且存在正整数m,使得a =a(i=1,2,…)成立,则称其为0-1周期序列,
i i+m i
并称满足a =a(i=1,2,…)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列
i+m i
1 m
a a …a …,C(k)= ∑❑ aa (k=1,2,…,m-1)是描述其性质的重要指标.下列周期为5的0-
1 2 n m i i+k
i=1
1
1序列中,满足C(k)≤ (k=1,2,3,4)的序列是 ( )
5
A.11010… B.11011…
C.10001… D.11001…
答案 C
a
3.(2021浙江,10,5分,难)已知数列{a }满足a =1,a = n (n∈N*).记数列{a }的前n项和
n 1 n+1 1+√a n
n
为S ,则( )
n
3
A. <S <3 B.3<S <4
2 100 100
9 9
C.4<S < D. <S <5
100 2 2 100
答案 A
4.(2019上海,8,5分,易)已知数列{a }的前n项和为S ,且满足S +a =2,则S = .
n n n n 5
31
答案
16
5.(2016浙江理,13,5分,易)设数列{a }的前n项和为S .若S =4,a =2S +1,n∈N*,则a =
n n 2 n+1 n 1
,S = .
5
答案 1;121北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
1
6.(2014课标Ⅱ,16,5分,易)数列{a }满足a = ,a =2,则a = .
n n+1 1−a 8 1
n
1
答案
2
{1 }
7.(2015江苏,11,5分,中)设数列{a }满足a =1,且a -a =n+1(n∈N*),则数列 前10项的
n 1 n+1 n a
n
和为 .
20
答案
11
8.(2022北京,15,5分,难)已知数列{a }的各项均为正数,其前n项和S 满足
n n
a ·S =9(n=1,2,…).给出下列四个结论:
n n
①{a }的第2项小于3;②{a }为等比数列;
n n
1
③{a }为递减数列;④{a }中存在小于 的项.
n n 100
其中所有正确结论的序号是 .
答案 ①③④
9.(2020课标Ⅰ文,16,5分,难)数列{a }满足a +(-1)na =3n-1,前16项和为540,则a =
n n+2 n 1
.
答案 7
10.(2016课标Ⅲ,17,12分,中)已知各项都为正数的数列{a }满足a =1,a2-(2a -1)a -2a =0.
n 1 n n+1 n n+1
(1)求a ,a ;
2 3
(2)求{a }的通项公式.
n
解析 (1)令n=1,则由题可得a2-(2a -1)a -2a =0,
1 2 1 2
1
把a =1代入,得1-(2a -1)-2a =0,解得a = ,
1 2 2 2 2
令n=2,则a2-(2a -1)a -2a =0,
2 3 2 3
1 1 1
即 − (2a -1)-2a =0,解得a = .
4 2 3 3 3 4
(2)将a2-(2a -1)a -2a =0因式分解可得(a +1)·(a -2a )=0,则a =-1(舍)或a -2a =0,
n n+1 n n+1 n n n+1 n n n+1
即
a
n+1=
1
,即{a }是以1为首项,
1
为公比的等比数列,所以a =1×
(1) n−1
=
1
.
a 2 n 2 n 2 2n−1
n
三年模拟
综合基础练北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
1.(2023湖南雅礼中学二模,2)已知数列{a },若a +a =4n-6,则a = ( )
n 1 2n-1 7
A.9 B.11 C.13 D.15
答案 B
1 1
2.(2023山东聊城期中,6)已知数列{a }中,a = ,a =1- ,则a = ( )
n 1 2 n+1 a 2 023
n
1
A. B.-1 C.2 D.1
2
答案 A
3.(2023江苏泰州校考,5)已知数列{a }的通项公式为a =n2-3λn,则“λ<1”是“数列{a }为递
n n n
增数列”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
1
4. (2023黑龙江省实验中学二模,5)数列{a }的前n项和为S ,a = ,若该数列满足
n n 1 2
a +2S S =0(n≥2),则下列命题中错误的是 ( )
n n n-1
{1 } 1
A.
是等差数列B.Sn=
S 2n
n
1
C.a =- D.{S }是等比数列
n 2n(n−1) 2n
答案 C
5.(2023福建漳州二模,7)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,
主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,
曾经经历过的两仪数量总和,是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.已
知该数列{a }的前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,记b =(-1)n·a ,n∈N*,则数列{b }的
n n n n
前20项和是 ( )
A.110 B.100 C.90 D.80
答案 A
1 1 a a a
6.(2023河北唐山一中校考,8)数列{a }满足a = ,a = ,若不等式 2+ 3+…+ n+2
n 1 4 n+1 4−4a a a a
n 1 2 n+1
<n+λ对任何正整数n恒成立,则实数λ的最小值为( )
7 3 7 3
A. B. C. D.
4 4 8 8北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
答案 A
7.(多选)(2023吉林东北师大附中二模,10)已知数列{a },a =1,a a =22n-1(n∈N*),{a }的前n
n 1 n n+1 n
项的和为S ,前n项的积为T ,则下列结论正确的是 ( )
n n
a
A.a =2 B.
n+1
=4
3 a
n−1
C.S =2n-1 D.T =2n(2n-1)
n 2n
答案 BCD
1+a
8.(2023福建厦门二模,15)数列{a }满足a = n ,a =2,n∈N*,若T =a a …a ,n∈N*,则T =
n n+1 1−a 1 n 1 2 n 10
n
.
答案 -6
9.(2024届山东适应性联考(一),14)对于数列{a },由b =a -a 作通项得到的数列{b },称{b }
n n n+1 n n n
为数列{a }的差分数列,已知数列{b }为数列{a }的差分数列,且{b }是以1为首项,以2为公
n n n n
差的等差数列,则a -a = .
10 5
答案 65
10.(2024届浙江宁波模拟,18)已知数列{a }满足a =1,且对任意正整数m,n都有
n 1
a =a +a +2mn.
m+n n m
(1)求数列{a }的通项公式;
n
(2)求数列{(-1)na }的前n项和S .
n n
解析 (1)由对任意正整数m,n均有a =a +a +2mn,取m=1,得a =a +1+2n,
m+n n m n+1 n
n(1+2n−1)
当n≥2时,a =a +(a -a )+(a -a )+…+(a -a )=1+3+5+…+2n-1= =n2,
n 1 2 1 3 2 n n-1
2
当n=1时,a =1,符合上式,所以a =n2,n∈N*. (6分)
1 n
(2)当n为偶数时,
n
(3+2n−1)
S =(-12+22)+(-32+42)+…+[-(n-1)2+n2]=3+7+11+…+(2n-1)=2 n(n+1);
n =
2 2
(n−1)n −n2−n
当n为奇数时,S =S +(-1)na =S -a = −n2= .
n n-1 n n-1 n
2 2
{
n2+n
,n为偶数,
2
综上所述:S = (12分)
n −n2−n
,n为奇数.
2
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1.(2023北京四中暑假测试,10)已知数列{a }满足
n
a =1,a =a =2,a =a =a =3,a =a =a =a =4,……,则 a =( )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 022
A.45 B.46 C.64 D.65
答案 C
2.(2023贵州贵阳摸底,8)已知数列{a }的前n项和为S ,a =2,S +2=a (n∈N*),则a +a +…
n n 1 n n+1 2 4
+a = ( )
2 022
4 4
A. ×(22 022-1) B. ×(22 024-1)
3 3
16 [ (1) 2 022] 4 [ (1) 2 024]
C. × 1− D. × 1−
3 2 3 2
答案 A
3.(2023湖南长沙长郡中学二模,5)图甲是第七届国际数学家大会(简称ICME-7)的会徽图
案,会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知
OA =A A =A A =A A =A A =A A =A A =A A =…=2,A ,A ,A ,…为直角顶点,设这些直角三角
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 1 2 3
2
形的周长从小到大组成的数列为{a },令b = ,S 为数列{b }的前n项和,则S = (
n n a −2 n n 120
n
)
A.8 B.9 C.10 D.11
答案 C
4.(多选)(2023河北石家庄二中开学考,11)已知数列{a }满足a =3,a ·a =3n(n∈N*),S 为数
n 2 n n+1 n
列{a }的前n项和,则 ( )
n
A.{a }是等比数列
n
B.{a }是等比数列
2n
C.S =2(31 011-1)
2 022
D.{a }中存在不相等的三项构成等差数列
n
答案 BC
5.(2024届安徽安庆校级月考,13)若{a }满足2(n+1)·a2+(n+2)a ·a -na2 =0,且a >0,a =1,则
n n n n+1 n+1 n 1
a = .
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答案 n·2n-1
1
6.(2023重庆联考,14)数列{a }满足a -a = (n≥2,且n∈N*),a =2,对于任意n∈N*有
n n n-1 n(n+1) 1
λ>a 恒成立,则λ的取值范围是 .
n
[5 )
答案 ,+∞
2
7.(2024届江苏、广东、福建大联考,21)已知数列{a }满足a =1,且na -(n+1)a =1.
n 1 n+1 n
(1)求{a }的通项公式;
n
{a } 3n−1
(2)若数列 n 的前n项和为S ,且S = ,求数列{b }的前n项和T .
b n n 2 n n
n
解析 (1)因为na -(n+1)a =1,
n+1 n
a a 1 1 1
所以 n+1 − n= = − , (1分)
n+1 n n(n+1) n n+1
a (a a ) ( a a ) (a a )
所以n≥2时, n= n− n−1 + n−1 − n−2 +…+ 2− 1 +a
1
n n n−1 n−1 n−2 2 1
( 1 1) ( 1 1 ) ( 1) 1
= − + − +…+ 1− +1=2− , (3分)
n−1 n n−2 n−1 2 n
当n=1时,a =1适合上式, (4分)
1
所以a =2n-1,n∈N*. (5分)
n
3n−1 a
(2)因为S = ,所以当n=1时,S = 1 =1,得b =1; (6分)
n 2 1 b 1
1
a 3n−1 3n−1−1
当n≥2时, n=Sn−Sn−1= − =3n-1,
b 2 2
n
2n−1
所以b = ,n≥2,当n=1时也成立. (7分)
n 3n−1
2n−1
因此b = ,n∈N*.
n 3n−1
1 3 5 2n−1
因为T = + + +…+ ,
n 30 31 32 3n−1
1 1 3 5 2n−1
所以
Tn= + + +…+
, (8分)
3 31 32 33 3n北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
所以
1( 1 )
1−
2 1 2 2 2 2n−1 3 3n−1 2n−1 1 2n−1 2n+2
Tn= + + +…+ − =1+2× − =1+1− − =2−
3 30 31 32 3n−1 3n 1 3n 3n−1 3n 3n
1−
3
(11分)
n+1
故T =3- . (12分)
n 3n−1
8.(2023湖北黄冈中学三模,17)已知正项数列{a }的前n项和为S ,且4S =a2+2a -3(n∈N*).
n n n n n
(1)求数列{a }的通项公式;
n
(2)将数列{a }和数列{2n}中所有的项,按照从小到大的顺序排列得到一个新数列{b },求{b }
n n n
的前100项和.
解析 (1)依题意a >0,当n=1时,4a =a2+2a -3,解得a =3,
n 1 1 1 1
当n≥2时,由4S =a2+2a -3,得4S =a2 +2a -3,作差得4a =a2−a2 +2a -2a ,∴(a +a )
n n n n-1 n−1 n-1 n n n−1 n n-1 n n-1
(a -a -2)=0(n≥2),∵a +a >0,∴a -a =2(n≥2),∴数列{a }是首项为3,公差为2的等差数列,
n n-1 n n-1 n n-1 n
∴a =2n+1,n∈N*.
n
(2)由(1)得,a =201,又27<201<28,同时a =187>27,∴b =a ,
100 93 100 93
93×(a +a ) 2×(1−27 )
∴b +b +…+b =(a +a +…+a )+(21+22+…+27)= 1 93 + =9 089.
1 2 100 1 2 93
2 1−2
所以{b }的前100项和为9 089.
n
9.(2023广东茂名二模,17)已知数列{a }的前n(n∈N*)项和S 满足S +S =2(n+1)2,且a =1.
n n n+1 n 1
(1)求a ,a ,a ;
2 3 4
(2)若S 不超过240,求n的最大值.
n
解析 (1)当n=1时,S +S =a +2a =2×(1+1)2=8,a =6,
2 1 2 1 2
当n=2时,S +S =a +2a +2a =2×(2+1)2=18,a =4,
3 2 3 2 1 3
当n=3时,S +S =a +2a +2a +2a =2×(3+1)2=32,a =10.
4 3 4 3 2 1 4
(2)∵S +S =2(n+1)2,①
n+1 n
∴当n=1时,S +S =2×22=8,
2 1
又a =S =1,则S =8-S =8-1=7,
1 1 2 1
当n≥2时,S +S =2n2,②
n n-1
①-②可得S -S =4n+2,
n+1 n-1
当n(n>2)为偶数时,
