2025版新教材高考数学第二轮复习
专题六 数列
6.1 数列的概念及表示
五年高考
考点 数列的概念及表示
1.(2023天津,6,5分,易)已知数列{a }的前n项和为S .若a =2,a =2S +2(n∈N*),则a = (
n n 1 n+1 n 4
)
A.16 B.32 C.54 D.162
2.(2022全国乙理,4,5分,中)嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国
第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到
1
1
1 1
数列{b }:b =1+ ,b =1+ 1 ,b =1+α + ,…,依此类推,其中α ∈N*(k=1,2,…).则(
n 1 α 2 α + 3 1 1 k
1 1 α α +
2 2 α
3
)
A.b <b B.b <b C.b <b D.b <b
1 5 3 8 6 2 4 7
3.(2021北京,10,4分,中)已知{a }是各项均为整数的递增数列,且a ≥3.若a +a +…+a =100,
n 1 1 2 n
则n的最大值为( )
A.9 B.10 C.11 D.12
4.(2021浙江,10,4分,难)已知数列{a n }满足a 1 =1,a n+1 = a n (n∈N*).记数列{a n }的前n项和
1+√a
n
为S ,则 ( )
n
3
A. <S <3 B.3<S <4
100 100
2
9 9
C.4<S < D. <S <5
100 100
2 2
5.(2020课标Ⅱ理,12,5分,难)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a a …a …
1 2 n
满足a∈{0,1}(i=1,2,…),且存在正整数m,使得a =a(i=1,2,…)成立,则称其为0-1周期序列,
i i+m i
并称满足a =a(i=1,2,…)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列
i+m i
1 m
a a …a …,C(k)= ∑❑ aa (k=1,2,…,m-1)是描述其性质的重要指标.下列周期为5的0-
1 2 n m i i+k
i=11
1序列中,满足C(k)≤ (k=1,2,3,4)的序列是( )
5
A.11010… B.11011…
C.10001… D.11001…
6.(2022 北 京 ,15,5 分 , 难 ) 已 知 数 列 {a } 的 各 项 均 为 正 数 , 其 前 n 项 和 S 满 足
n n
a ·S =9(n=1,2,…).给出下列四个结论:
n n
①{a }的第2项小于3;②{a }为等比数列;
n n
1
③{a }为递减数列;④{a }中存在小于 的项.
n n
100
其中所有正确结论的序号是 .
7.(2023全国甲理,17,12分,中)记S 为数列{a }的前n项和,已知a =1,2S =na .
n n 2 n n
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)求数列{a n+1 }的前n项和T
n
.
2n三年模拟
练速度
1
1.(2024江西南昌二中适应性测试(一),3)若数列{a }满足a =11,a = ,则a = ( )
n 2 n+1 1−a 985
n
11 1 10
A. B.11 C.- D.
10 10 11
2.(2024广东汕头金山中学调研,5)已知数列{a },a =1,a -a =2n,则a 等于 ( )
n 1 n+1 n 10
A.511 B.1 022 C.1 023 D.2 047
3.(2024浙江宁波二模,6)已知数列{a }满足a =λn2-n,对任意n∈{1,2,3}都有a >a ,且对任
n n n n+1
意n∈{x|x≥7,x∈N}都有a <a ,则实数λ的取值范围是( )
n n+1
A.[ 1 1] B.( 1 1)
, ,
14 8 14 7
C.( 1 1) D.( 1 1]
, ,
15 7 15 8
4.(2024湖南长沙雅礼中学月考七,5)我们把由0和1组成的数列称为0-1数列,0-1数列在
计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用,把斐波那契数列{F }(F =F =1,F =F +F )
n 1 2 n+2 n n+1
中的奇数换成0,偶数换成1可得到0-1数列{a },记数列{a }的前n项和为S ,则S 的值为
n n n 100
( )
A.32 B.33 C.34 D.35
5.(2024河北沧州模考,4)已知数列{a }的前n项和为S ,a =2,(n-2)S +2a =nS ,n∈N*,下列
n n 1 n+1 n+1 n
说法不正确的是 ( )
A.a =4 B.{a }为常数列
2 n
n
C.a =15 D.S =n2+n
7 n
1
6.(2024山东青岛模考,4)在数列{a }中,a = ,前n项和S =n(2n-1)a ,则数列{a }的通项公式
n 1 n n n
3
为 ( )
1 3n−2
A.a = B.a =
n (2n−1)(2n+1) n 2n+1
n+4 n+3
C.a =2- D.a =2-
n 2n+1 n 2n
7.(2024江苏八市三模,6)设数列{a }的前n项和为S ,若S +n=2a ,则a = ( )
n n n n 7
A.65 B.127 C.129 D.2558.(2024河北唐山二模,6)已知数列{a }满足a =a +a +2n,a =130,则a = ( )
n n+1 n 1 10 1
A.1 B.2 C.3 D.4
9.(2024山东济南名校联盟模拟,7)已知数列{a }满足a =1,对于任意的 n∈N*且n≥2,都有
n 1
a ={a +1,n为奇数,则a =( )
n n−1 20
2a ,n为偶数,
n−1
A.211 B.211-2 C.210 D.210-2
10.(2024 浙 江 Z20 联 盟 联 考 ,5) 已 知 数 列 {a } 满 足 (2n-3)a -(2n-1)a =4n2-
n n n-1
8n+3(n≥2,n∈N*),a =1,则a = ( )
1 n
A.2n-2 B.2n2-n
C.2n-1 D.(2n-1)2
11.(2024广东广州一模,12)已知数列{a }的前n项和S =n2+n,当S +9取最小值时,n= .
n n n
a
n
练思维
1.(2024山东滨州期末,8)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商
功》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个
球,第四层有10个球,…….记第n层球的个数为a ,则数列{1 }的前20项和为 ( )
n
a
n
10 20 40 19
A. B. C. D.
21 21 21 10
1 1 1
2.(2024广东湛江联考,8)在数列{a }中,a =1,且a a =n,当n≥2时, + +…+ ≤a +a -2λ,
n 1 n n+1 a a a n n+1
2 3 n
则实数λ的取值范围为 ( )
A.(-∞,1] B.[1,+∞)
C.(0,1] D.(-∞,4]
3.(2024 广东茂名一模,8)数列{a
n
}满足 a
1
=8,a
n+1
= a
n
(n∈N*),b
n
=( 1
+λ
)·(1) n ,若数列
na +1 a 2
n n{b }是递减数列,则实数λ的取值范围是( )
n
A.( 8 ) B.( 7 )
− ,+∞ − ,+∞
7 8
C.(8 ) D.(7 )
,+∞ ,+∞
7 8
4.(多选)(2024安徽池州期末)已知数列{a }满足a =1,a =a +√a2+1,则下列说法正确的是
n 1 n+1 n n
2
( )
A.a >a B.{1 }为递增数列
2 024 2 023
a2
n
C.4 -1=4a a D. <1 013
a2 n+1 n a2
n+1 2024
5.(2024浙江杭州模拟,14)两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学
问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子排列的形状对数进行分类.
如图中的实心点个数1,5,12,22,…,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作a =1,第2个
1
五角形数记作a =5,第3个五角形数记作a =12,第4个五角形数记作a =22,……,若按此规
2 3 4
律继续下去,则a = ,若a =145,则n= .
5 n
练风向
1.(新定义理解)(2024 河南高中毕业班适应性测试,8)对于数列{a },定义 A =a +3a +…
n n 1 2
+3n-1a 为数列{a }的“加权和”.设数列{a }的“加权和”A =n·3n,记数列{a +pn+1}的前n
n n n n n
项和为T ,若T ≤T 对任意的n∈N*恒成立,则实数p的取值范围为 ( )
n n 5
A.[ 7 16] B.[ 12 7]
− ,− − ,−
3 7 5 3
C.[ 5 12] D.[ 16 9]
− ,− − ,−
2 5 7 4
2.(新定义理解)(2024安徽安庆联考,8)若项数均为n(n≥2,n∈N*)的两个数列{a },{b }满足
n n
a -b =k(k=1,2,…,n),且集合{a ,a ,…,a ,b ,b ,…,b }={1,2,3,…,2n},则称数列{a },{b }是一对
k k 1 2 n 1 2 n n n“n项紧密数列”.设数列{a },{b }是一对“4项紧密数列”,则这样的“4项紧密数列”
n n
有 ( )
A.5对 B.6对 C.7对 D.8对
专题六 数列
6.1 数列的概念及表示
五年高考
考点 数列的概念及表示
1.(2023 天津,6,5 分,易)已知数列{a }的前 n 项和为 S .若 a =2,a =2S +2(n∈N*),则 a = (
n n 1 n+1 n 4
C )
A.16 B.32 C.54 D.162
2.(2022全国乙理,4,5分,中)嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国
第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到
1
1
1 1
数列{b }:b =1+ ,b =1+ 1 ,b =1+α + ,…,依此类推,其中α ∈N*(k=1,2,…).则(
n 1 α 2 α + 3 1 1 k
1 1 α α +
2 2 α
3
D )
A.b <b B.b <b C.b <b D.b <b
1 5 3 8 6 2 4 7
3.(2021北京,10,4分,中)已知{a }是各项均为整数的递增数列,且a ≥3.若a +a +…+a =100,
n 1 1 2 n
则n的最大值为( C )
A.9 B.10 C.11 D.124.(2021浙江,10,4分,难)已知数列{a n }满足a 1 =1,a n+1 = a n (n∈N*).记数列{a n }的前n项和
1+√a
n
为S ,则 ( A )
n
3
A. <S <3 B.3<S <4
100 100
2
9 9
C.4<S < D. <S <5
100 100
2 2
5.(2020课标Ⅱ理,12,5分,难)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a a …a …
1 2 n
满足a∈{0,1}(i=1,2,…),且存在正整数m,使得a =a(i=1,2,…)成立,则称其为0-1周期序列,
i i+m i
并称满足a =a(i=1,2,…)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列
i+m i
1 m
a a …a …,C(k)= ∑❑ aa (k=1,2,…,m-1)是描述其性质的重要指标.下列周期为5的0-
1 2 n m i i+k
i=1
1
1序列中,满足C(k)≤ (k=1,2,3,4)的序列是( C )
5
A.11010… B.11011…
C.10001… D.11001…
6.(2022 北 京 ,15,5 分 , 难 ) 已 知 数 列 {a } 的 各 项 均 为 正 数 , 其 前 n 项 和 S 满 足
n n
a ·S =9(n=1,2,…).给出下列四个结论:
n n
①{a }的第2项小于3;②{a }为等比数列;
n n
1
③{a }为递减数列;④{a }中存在小于 的项.
n n
100
其中所有正确结论的序号是 ①③④ .
7.(2023全国甲理,17,12分,中)记S 为数列{a }的前n项和,已知a =1,2S =na .
n n 2 n n
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)求数列{a n+1 }的前n项和T n .
2n
解析 (1)当n=1时,2a =a ,即a =0,
1 1 1
当n≥2时,2S =(n-1)a ,①
n-1 n-1
又2S =na ,②
n n
∴②-①得2a =na -(n-1)a ,
n n n-1
即(n-2)a =(n-1)a .
n n-1
当n=2时,上式成立.当n≥3时, a =n−1,∴a =a ·a ·a ·…· a ·a =2×3×4·…·n−1·1=n-1,即a =n-1(n≥3).
n n 3 4 5 n 2 n
a n−2 a a a a 1 2 3 n−2
n−1 2 3 4 n−1
当n=1时,a =0符合上式,当n=2时,a =1符合上式.
1 2
综上,{a }的通项公式为a =n-1,n∈N*.
n n
(2)由(1)知a
n+1
=n,设b
n
=a
n+1
= n =n·(1) n.
2n 2n 2
∴T
n
=b
1
+b
2
+b
3
+…+b
n
=1×(1) 1+2×(1) 2+3×(1) 3+…+n·(1) n,①
2 2 2 2
1T
n
=1×(1) 2+2×(1) 3+3×(1) 4+…+n·(1) n+1.②
2 2 2 2 2
1[ (1) n]
1−
①-②得1T =(1) 1 +(1) 2 +(1) 3 +…+(1) n -n·(1) n+1 =2 2 -n·(1) n+1
n
2 2 2 2 2 2 2
1
1−
2
=1-(1) n-n·(1) n+1=1-(1) n ( 1 ),
1+ n
2 2 2 2
∴T
n
=2-(n+2)·(1) n.
2
故数列{a n+1 }的前n项和T
n
=2-(n+2)·(1) n .
2n 2三年模拟
练速度
1
1.(2024江西南昌二中适应性测试(一),3)若数列{a }满足a =11,a = ,则a = ( D
n 2 n+1 1−a 985
n
)
11 1 10
A. B.11 C.- D.
10 10 11
2.(2024广东汕头金山中学调研,5)已知数列{a },a =1,a -a =2n,则a 等于 ( C )
n 1 n+1 n 10
A.511 B.1 022 C.1 023 D.2 047
3.(2024浙江宁波二模,6)已知数列{a }满足a =λn2-n,对任意n∈{1,2,3}都有a >a ,且对任
n n n n+1
意n∈{x|x≥7,x∈N}都有a <a ,则实数λ的取值范围是( C )
n n+1
A.[ 1 1] B.( 1 1)
, ,
14 8 14 7
C.( 1 1) D.( 1 1]
, ,
15 7 15 8
4.(2024湖南长沙雅礼中学月考七,5)我们把由0和1组成的数列称为0-1数列,0-1数列在
计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用,把斐波那契数列{F }(F =F =1,F =F +F )
n 1 2 n+2 n n+1
中的奇数换成0,偶数换成1可得到0-1数列{a },记数列{a }的前n项和为S ,则S 的值为
n n n 100
( B )
A.32 B.33 C.34 D.35
5.(2024河北沧州模考,4)已知数列{a }的前n项和为S ,a =2,(n-2)S +2a =nS ,n∈N*,下列
n n 1 n+1 n+1 n
说法不正确的是 ( C )
A.a =4 B.{a }为常数列
2 n
n
C.a =15 D.S =n2+n
7 n
1
6.(2024山东青岛模考,4)在数列{a }中,a = ,前n项和S =n(2n-1)a ,则数列{a }的通项公式
n 1 n n n
3
为 ( A )
1 3n−2
A.a = B.a =
n (2n−1)(2n+1) n 2n+1
n+4 n+3
C.a =2- D.a =2-
n 2n+1 n 2n
7.(2024江苏八市三模,6)设数列{a }的前n项和为S ,若S +n=2a ,则a = ( B )
n n n n 7A.65 B.127 C.129 D.255
8.(2024河北唐山二模,6)已知数列{a }满足a =a +a +2n,a =130,则a = ( D )
n n+1 n 1 10 1
A.1 B.2 C.3 D.4
9.(2024山东济南名校联盟模拟,7)已知数列{a }满足a =1,对于任意的 n∈N*且n≥2,都有
n 1
a ={a +1,n为奇数,则a =( B )
n n−1 20
2a ,n为偶数,
n−1
A.211 B.211-2 C.210 D.210-2
10.(2024 浙 江 Z20 联 盟 联 考 ,5) 已 知 数 列 {a } 满 足 (2n-3)a -(2n-1)a =4n2-
n n n-1
8n+3(n≥2,n∈N*),a =1,则a = ( B )
1 n
A.2n-2 B.2n2-n
C.2n-1 D.(2n-1)2
11.(2024 广东广州一模,12)已知数列{a }的前 n项和 S =n2+n,当S +9取最小值时,n= 3
n n n
a
n
.
练思维
1.(2024山东滨州期末,8)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商
功》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个
球,第四层有10个球,…….记第n层球的个数为a ,则数列{1 }的前20项和为 ( C )
n
a
n
10 20 40 19
A. B. C. D.
21 21 21 10
1 1 1
2.(2024广东湛江联考,8)在数列{a }中,a =1,且a a =n,当n≥2时, + +…+ ≤a +a -2λ,
n 1 n n+1 a a a n n+1
2 3 n
则实数λ的取值范围为 ( A )
A.(-∞,1] B.[1,+∞)
C.(0,1] D.(-∞,4]3.(2024 广东茂名一模,8)数列{a
n
}满足 a
1
=8,a
n+1
= a
n
(n∈N*),b
n
=( 1
+λ
)·(1) n ,若数列
na +1 a 2
n n
{b }是递减数列,则实数λ的取值范围是( D )
n
A.( 8 ) B.( 7 )
− ,+∞ − ,+∞
7 8
C.(8 ) D.(7 )
,+∞ ,+∞
7 8
4.(多选)(2024安徽池州期末)已知数列{a }满足a =1,a =a +√a2+1,则下列说法正确的是
n 1 n+1 n n
2
( ACD )
A.a >a B.{1 }为递增数列
2 024 2 023
a2
n
C.4 -1=4a a D. <1 013
a2 n+1 n a2
n+1 2024
5.(2024浙江杭州模拟,14)两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学
问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子排列的形状对数进行分类.
如图中的实心点个数1,5,12,22,…,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作a =1,第2个
1
五角形数记作a =5,第3个五角形数记作a =12,第4个五角形数记作a =22,……,若按此规
2 3 4
律继续下去,则a = 3 5 ,若a =145,则n= 1 0 .
5 n
练风向
1.(新定义理解)(2024 河南高中毕业班适应性测试,8)对于数列{a },定义 A =a +3a +…
n n 1 2
+3n-1a 为数列{a }的“加权和”.设数列{a }的“加权和”A =n·3n,记数列{a +pn+1}的前n
n n n n n
项和为T ,若T ≤T 对任意的n∈N*恒成立,则实数p的取值范围为 ( B )
n n 5
A.[ 7 16] B.[ 12 7]
− ,− − ,−
3 7 5 3
C.[ 5 12] D.[ 16 9]
− ,− − ,−
2 5 7 42.(新定义理解)(2024安徽安庆联考,8)若项数均为n(n≥2,n∈N*)的两个数列{a },{b }满足
n n
a -b =k(k=1,2,…,n),且集合{a ,a ,…,a ,b ,b ,…,b }={1,2,3,…,2n},则称数列{a },{b }是一对
k k 1 2 n 1 2 n n n
“n项紧密数列”.设数列{a },{b }是一对“4项紧密数列”,则这样的“4项紧密数列”
n n
有 ( B )
A.5对 B.6对 C.7对 D.8对
