文档内容
专题六 平面向量与复数
6.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示
五年高考
考点1 平面向量的概念及线性运算
1.(2022新高考Ⅰ,3,5分,易)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记⃗CA=m,⃗CD=n,则⃗CB=(
)
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
2.(2020新高考Ⅱ,3,5分,易)若D为△ABC的边AB的中点,则⃗CB= ( )
A.2⃗CD−⃗CAB.2⃗CA−⃗CD
C.2⃗CD+⃗CAD.2⃗CA+⃗CD
3.(2017课标Ⅱ文,4,5分,易)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则 ( )
A.a⊥b B.|a|=|b|
C.a∥b D.|a|>|b|
4.(2015课标Ⅰ理,7,5分,易)设D为△ABC所在平面内一点,⃗BC=3⃗CD,则 ( )
1 4 1 4
A.⃗AD=− ⃗AB+ ⃗ACB.⃗AD= ⃗AB− ⃗AC
3 3 3 3
4 1 4 1
C.⃗AD= ⃗AB+ ⃗ACD.⃗AD= ⃗AB− ⃗AC
3 3 3 3
5.(2014课标Ⅰ,6,5分,易)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则⃗EB+⃗FC=(
)
1
A.⃗ADB. ⃗AD
2
1
C.⃗BCD. ⃗BC
2
6.(2017北京理,6,5分,易)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的
( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
7.(2015 北 京 理 ,13,5 分 , 中 ) 在 △ ABC 中 , 点 M,N 满 足 ⃗AM=2⃗MC,
,则x= ;y= .
⃗BN=⃗NC.若⃗MN=x⃗AB+ y⃗AC考点2 平面向量基本定理及坐标运算
1.(2014福建,8,5分,易)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是 ( )
A.e =(0,0),e =(1,2)
1 2
B.e =(-1,2),e =(5,-2)
1 2
C.e =(3,5),e =(6,10)
1 2
D.e =(2,-3),e =(-2,3)
1 2
2.(2018课标Ⅲ文,13,5分,易)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= .
3.(2013北京理,13,5分,易)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),
λ
则 = .
μ
三年模拟
综合基础练
1.(2023广东茂名一模)已知△ABC,⃗AB=c,⃗AC=b,若点M满足⃗MC=2⃗BM,则⃗AM= ( )
1 2 2 1
A. b+ c B. b- c
3 3 3 3
5 2 2 1
C. c- b D. b+ c
3 3 3 3
2.(2024届天津第五十五中学阶段测试,4)下列各式中不能化简为⃗AD的是 ( )
A.-(⃗CB+⃗MC)-(⃗DA+⃗BM)
B.-⃗BM−⃗DA+⃗MB
C.(⃗AB−⃗DC)-⃗CB
D.⃗AD-(⃗CD+⃗DC)
3.(2024 届福建厦门国祺中学第一次月考,6)如图,正方形 ABCD 中,E 为 DC 的中点,若
⃗AD=λ⃗AC+μ⃗AE,则λ-μ的值为 ( )
A.3 B.2 C.1 D.-34.(2023江苏南通二模,3)已知向量a=(2,1),b=(x,2),若(a+3b)∥(a-b),则实数x= ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
5.(2023 浙江嘉兴基础测试,3)在平行四边形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 BC,CD 上,且
⃗BE=2⃗EC,⃗CF=3⃗FD,记⃗AB=a,⃗AD=b,则⃗EF= ( )
3 1 3 1
A.- a+ b B. a+ b
4 3 4 3
3 1 1 1
C. a- b D.- a+ b
4 3 4 3
6.(2023四川绵阳模拟,4)已知平面向量 a,b不共线,⃗AB=4a+6b,⃗BC=-a+3b,⃗CD=a+3b,则(
)
A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线
C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线
7.(2023 福建漳州二模,6)如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别为边 BC、CD 的中点,若
2 5
⃗AG= ⃗AB+ ⃗AD,⃗EG=λ⃗EF,则λ= ( )
3 6
1 1 2 3
A. B. C. D.
4 3 3 4
8.(2024届广东普宁二中第一次月考,13)已知向量 a=(2,-3),b=(-1,2),c=(t-2,3t).若向量 c与
2a+b平行,则实数t的值为 .
综合拔高练
1.(2024届湖北部分名校新起点联考,3)已知向量a=(1,2),b=(1,1),向量c满足a∥c,(a+c)∥b,
则|c|= ( )
A.3√5B.4√3C.√10D.√5
2.(2023河北石家庄一模,5)△ABC中,点M是BC的中点,点N为AB上一点,AM与CN交于
4
点D,且⃗AD= ⃗AM,⃗AN=λ⃗AB,则λ=( )
5
2 3 4 5
A. B. C. D.
3 4 5 6
3.(2024届湖南师大附中摸底考,5)八卦是中国古老文化中用以解释自然,推演事物关系的工具,太极八卦示意图如图.现将一副八卦简化为正八边形ABCDEFGH,设其边长为a,中心
为O,则下列选项中不正确的是 ( )
A.⃗AB·⃗AC=⃗AB·⃗AD
B.⃗OA·⃗OB+⃗OC·⃗OF=0
C.⃗EG和⃗HD是一对相反向量
D.|⃗AB−⃗BC+⃗CD+⃗EF−⃗FG|=a
4.(2023广西南宁模考,6)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给
出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小
正方形拼成的一个大正方形,如图所示.在“赵爽弦图”中,若⃗BC=a,⃗BA=b,⃗BE=3⃗EF,则⃗AE
= ( )
12 16 16 12
A. a- b B. a+ b
25 25 25 25
12 9 9 12
C. a+ b D. a- b
25 25 25 25
5.(2024届山东菏泽一中月考,3)若非零向量a,b满足|a+b|=|b|,则 ( )
A.|2a|>|2a+b| B.|2a|<|2a+b|
C.|2b|<|a+2b| D.|2b|>|a+2b|
6.(2024届河北保定唐县一中月考,7)如图所示,△ABC内有一点G满足⃗GA+⃗GB+⃗GC=0,过
1 1
点G作一直线分别交AB,AC于点D,E.若⃗AD=x⃗AB,⃗AE= y⃗AC(xy≠0),则 + = ( )
x yA.4 B.3 C.2 D.1
7.(2023安徽淮南一模,5)在△ABC中,AB=4,AC=6,点D,E分别在线段AB,AC上,且D为AB
1
中点,⃗AE= ⃗EC,若⃗AP=⃗AD+⃗AE,则直线AP经过△ABC的 ( )
2
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
8.(2023湖北十一校第一次联考,6)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,
AE=3ED,DF=FC,AF与BE相交于点G,记⃗AB=a,⃗AD=b,则⃗AG=( )
3 4 6 3
A. a+ b B. a+ b
11 11 11 11
4 5 3 6
C. a+ b D. a+ b
11 11 11 11
1 1
9.(2024届山东滕州一中阶段练,19)在△OPQ中,⃗OA= ⃗OP,⃗OB= ⃗OQ,QA与PB相交于点
2 4
C,设⃗OP=a,⃗OQ=b.
(1)用a,b表示⃗OC;
(2)过 C 点作直线 l 分别与线段 OQ,OP 交于点 M,N(不与端点重合),设⃗OM=λ⃗OQ,
,求μ+3λ的最小值.
⃗ON=μ⃗OP专题六 平面向量与复数
6.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示
五年高考
考点1 平面向量的概念及线性运算
1.(2022新高考Ⅰ,3,5分,易)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记⃗CA=m,⃗CD=n,则⃗CB=(
)
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
答案 B
2.(2020新高考Ⅱ,3,5分,易)若D为△ABC的边AB的中点,则⃗CB= ( )
A.2⃗CD−⃗CAB.2⃗CA−⃗CD
C.2⃗CD+⃗CAD.2⃗CA+⃗CD
答案 A
3.(2017课标Ⅱ文,4,5分,易)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则 ( )
A.a⊥b B.|a|=|b|
C.a∥b D.|a|>|b|
答案 A
4.(2015课标Ⅰ理,7,5分,易)设D为△ABC所在平面内一点,⃗BC=3⃗CD,则 ( )
1 4 1 4
A.⃗AD=− ⃗AB+ ⃗ACB.⃗AD= ⃗AB− ⃗AC
3 3 3 3
4 1 4 1
C.⃗AD= ⃗AB+ ⃗ACD.⃗AD= ⃗AB− ⃗AC
3 3 3 3
答案 A
5.(2014课标Ⅰ,6,5分,易)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则⃗EB+⃗FC=(
)1
A.⃗ADB. ⃗AD
2
1
C.⃗BCD. ⃗BC
2
答案 A
6.(2017北京理,6,5分,易)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的
( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
7.(2015 北 京 理 ,13,5 分 , 中 ) 在 △ ABC 中 , 点 M,N 满 足 ⃗AM=2⃗MC,
,则x= ;y= .
⃗BN=⃗NC.若⃗MN=x⃗AB+ y⃗AC
1 1
答案 ;-
2 6
考点2 平面向量基本定理及坐标运算
1.(2014福建,8,5分,易)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是 ( )
A.e =(0,0),e =(1,2)
1 2
B.e =(-1,2),e =(5,-2)
1 2
C.e =(3,5),e =(6,10)
1 2
D.e =(2,-3),e =(-2,3)
1 2
答案 B
2.(2018课标Ⅲ文,13,5分,易)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= .
1
答案
2
3.(2013北京理,13,5分,易)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),
λ
则 = .
μ
答案 4三年模拟
综合基础练
1.(2023广东茂名一模)已知△ABC,⃗AB=c,⃗AC=b,若点M满足⃗MC=2⃗BM,则⃗AM= ( )
1 2 2 1
A. b+ c B. b- c
3 3 3 3
5 2 2 1
C. c- b D. b+ c
3 3 3 3
答案 A
2.(2024届天津第五十五中学阶段测试,4)下列各式中不能化简为⃗AD的是 ( )
A.-(⃗CB+⃗MC)-(⃗DA+⃗BM)
B.-⃗BM−⃗DA+⃗MB
C.(⃗AB−⃗DC)-⃗CB
D.⃗AD-(⃗CD+⃗DC)
答案 B
3.(2024 届福建厦门国祺中学第一次月考,6)如图,正方形 ABCD 中,E 为 DC 的中点,若
⃗AD=λ⃗AC+μ⃗AE,则λ-μ的值为 ( )
A.3 B.2 C.1 D.-3
答案 D
4.(2023江苏南通二模,3)已知向量a=(2,1),b=(x,2),若(a+3b)∥(a-b),则实数x= ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
答案 B
5.(2023 浙江嘉兴基础测试,3)在平行四边形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 BC,CD 上,且
⃗BE=2⃗EC,⃗CF=3⃗FD,记⃗AB=a,⃗AD=b,则⃗EF= ( )
3 1 3 1
A.- a+ b B. a+ b
4 3 4 3
3 1 1 1
C. a- b D.- a+ b
4 3 4 3
答案 A6.(2023四川绵阳模拟,4)已知平面向量 a,b不共线,⃗AB=4a+6b,⃗BC=-a+3b,⃗CD=a+3b,则(
)
A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线
C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线
答案 D
7.(2023 福建漳州二模,6)如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别为边 BC、CD 的中点,若
2 5
⃗AG= ⃗AB+ ⃗AD,⃗EG=λ⃗EF,则λ= ( )
3 6
1 1 2 3
A. B. C. D.
4 3 3 4
答案 C
8.(2024届广东普宁二中第一次月考,13)已知向量 a=(2,-3),b=(-1,2),c=(t-2,3t).若向量 c与
2a+b平行,则实数t的值为 .
8
答案
13
综合拔高练
1.(2024届湖北部分名校新起点联考,3)已知向量a=(1,2),b=(1,1),向量c满足a∥c,(a+c)∥b,
则|c|= ( )
A.3√5B.4√3C.√10D.√5
答案 D
2.(2023河北石家庄一模,5)△ABC中,点M是BC的中点,点N为AB上一点,AM与CN交于
4
点D,且⃗AD= ⃗AM,⃗AN=λ⃗AB,则λ=( )
5
2 3 4 5
A. B. C. D.
3 4 5 6
答案 A
3.(2024届湖南师大附中摸底考,5)八卦是中国古老文化中用以解释自然,推演事物关系的
工具,太极八卦示意图如图.现将一副八卦简化为正八边形ABCDEFGH,设其边长为a,中心
为O,则下列选项中不正确的是 ( )A.⃗AB·⃗AC=⃗AB·⃗AD
B.⃗OA·⃗OB+⃗OC·⃗OF=0
C.⃗EG和⃗HD是一对相反向量
D.|⃗AB−⃗BC+⃗CD+⃗EF−⃗FG|=a
答案 C
4.(2023广西南宁模考,6)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给
出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小
正方形拼成的一个大正方形,如图所示.在“赵爽弦图”中,若⃗BC=a,⃗BA=b,⃗BE=3⃗EF,则⃗AE
= ( )
12 16 16 12
A. a- b B. a+ b
25 25 25 25
12 9 9 12
C. a+ b D. a- b
25 25 25 25
答案 A
5.(2024届山东菏泽一中月考,3)若非零向量a,b满足|a+b|=|b|,则 ( )
A.|2a|>|2a+b| B.|2a|<|2a+b|
C.|2b|<|a+2b| D.|2b|>|a+2b|
答案 D
6.(2024届河北保定唐县一中月考,7)如图所示,△ABC内有一点G满足⃗GA+⃗GB+⃗GC=0,过
1 1
点G作一直线分别交AB,AC于点D,E.若⃗AD=x⃗AB,⃗AE= y⃗AC(xy≠0),则 + = ( )
x yA.4 B.3 C.2 D.1
答案 B
7.(2023安徽淮南一模,5)在△ABC中,AB=4,AC=6,点D,E分别在线段AB,AC上,且D为AB
1
中点,⃗AE= ⃗EC,若⃗AP=⃗AD+⃗AE,则直线AP经过△ABC的 ( )
2
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
答案 A
8.(2023湖北十一校第一次联考,6)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,
AE=3ED,DF=FC,AF与BE相交于点G,记⃗AB=a,⃗AD=b,则⃗AG=( )
3 4 6 3
A. a+ b B. a+ b
11 11 11 11
4 5 3 6
C. a+ b D. a+ b
11 11 11 11
答案 D
1 1
9.(2024届山东滕州一中阶段练,19)在△OPQ中,⃗OA= ⃗OP,⃗OB= ⃗OQ,QA与PB相交于点
2 4
C,设⃗OP=a,⃗OQ=b.
(1)用a,b表示⃗OC;
(2)过 C 点作直线 l 分别与线段 OQ,OP 交于点 M,N(不与端点重合),设⃗OM=λ⃗OQ,
,求μ+3λ的最小值.
⃗ON=μ⃗OP
1 1
解析 (1)∵A,C,Q三点共线,∴设⃗AC=k⃗AQ,k∈R,即⃗OC−⃗OA=k(⃗OQ−⃗OA),∵⃗OA= ⃗OP= a,
2 2
⃗OQ=b,(1−k)
∴⃗OC=k⃗OQ+(1-k)⃗OA=kb+ a.
2
(1−t)
由P,C,B三点共线可设⃗OC=t⃗OP+(1-t)⃗OB=ta+ b,t∈R,
4
1−k
{t= ,
根据平面向量基本定理知: 2 1,t=3.
解得k=
1−t 7 7
k= ,
4
3 1
∴⃗OC= a+ b.
7 7
(2)由N,C,M三点共线,设⃗OC=x⃗OM+(1-x)⃗ON,
则⃗OC=x⃗OM+(1-x)⃗ON=xλb+(1-x)μa.
1
{ xλ= ,
又由(1)知 3a+1b,所以 7 3 1 =1.
⃗OC= 故有 +
7 7 3 7μ 7λ
(1−x)μ= ,
7
因为0<λ,μ<1,
所以(μ+3λ)( 3 1 ) 6 9λ μ 6 √ 9 12,当且仅当λ=2,μ=6时等号成立,
+ = + + ≥ +2 =
7μ 7λ 7 7μ 7λ 7 49 7 7 7
12
从而可得μ+3λ的最小值为 .
7
