文档内容
第 01 讲 数列的概念与简单表示法
(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：利用 与 的关系求通项公式
角度 1：利用 替换
角度 2：利用 替换
角度 3：作差法求通项
题型二：利用递推关系求通项公式
角度 1：累加法
角度 2：累乘法
角度 3：构造法
角度 4：倒数法
题型三：数列的性质及其应用
角度 1：数列的周期性
角度 2：数列的单调性
角度 3：数列的最值
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、数列的有关概念
概念 含义数列 按照一定顺序排列的一列数
数列的项 数列中的每一个数
数列的通项 数列 的第 项
如果数列 的第 项 与序号 之间的关系能用公式
通项公式
表示，这个公式叫做数列的通项公式
前n项和 数列 中， 叫做数列的前 项和
2、数列的表示方法
（1）列表法
列出表格来表示序号与项的关系．
（2）图象法
数列的图象是一系列孤立的点 ．
（3）公式法
①通项公式法：把数列的通项用公式表示的方法，如 ．
②递推公式法：使用初始值 和 或 ， 和 来表示数列的方法．
3、 与 的关系
若数列 的前 项和为 ，则 ．
4、数列的分类
分类标准 类型 满足条件
有穷数列 项数有限
项数
无穷数列 项数无限
递增数列
项与项间
的大小关 递减数列 其中
系
常数列
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·四川绵阳·高一期中）数列 ， ， ， ， 的一个通项公式 （ ）A． B．
C． D．
2．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））已知数列 满足 ， ，则
（ ）
A．30 B．31 C．32 D．33
3．（2022·海南华侨中学高二期中）数列 中， ， ， ，则 （ ）
A． B．11 C． D．12
4．（2022·甘肃酒泉·高二期中（理））已知 ， ，则 ________.
5．（2022·全国·高二课时练习）已知数列 的通项公式为 ，从第______项起各项均大于 ．
6．（2022·浙江·模拟预测）古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…．这些数量的（石
子），排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三
角形数．那么把三角形数从小到大排列，第10个三角形数是_________．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：利用 与 的关系求通项公式
角度 1：利用 替换
例题1．（2022·河南河南·一模（理））已知数列 的前 项和是 ，且 ，求 的通项
公式；
例题2．（2022·广东茂名·高二期中）已知数列 的前n项和为 ，且 .
求数列 的通项公式；例题3．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ．求
的通项公式；
例题4．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））已知正项数列 的前项和为 ，且满足
.求 的通项公式；
角度 2：利用 替换
例题1．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知正项数列 满足 ，前 项和 满足
求数列 的通项公式；
2．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二开学考试）已知数列 的前 项和为 ，且满足
( )， .
(1)求 ；
(2)求数列 的通项公式．
角度 3：作差法求通项
例题1．（2022·广东·高二阶段练习）设数列 满足 .求 的通项公式；
例题2．（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））已知数列 满足 求
的通项公式；例题3．（2022·四川·成都外国语学校高一期中（文））已知数列 是等比数列，且 ， ，
数列 满足：对于任意 ，有 ．
同类题型归类练
1．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列 的前 项和为 ．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（理））已知数列 中，对任意 ， ，
则 （ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知数列 的前 项和为 ，则 的
通项公式为______
4．（2022·辽宁·沈阳二中高二期中）已知数列 满足 ， ，则数列
的通项公式为___________.
5．（2022·山东聊城·三模）设数列 的前n项和为 ，且满足 .
求数列 的通项公式；
6．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正项数列 的首项为1，其前 项和为 ，满足
.
求证：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；7．（2022·全国·高三专题练习）设数列 的前 项和为 ， ， .
求证：数列 是等差数列；
题型二：利用递推关系求通项公式
角度 1：累加法
累加法（叠加法）(记忆累积法模型)
a −a =f(n)(n∈N¿ )
若数列 满足 ，则称数列 为“变差数列”，求变差数列 的通项时，利
{a } n+1 n {a } {a }
n n n
用恒等式
a =a +(a −a )+(a −a )+¿⋅¿+(a −a )=a +f(1)+f(2)+f(3)+¿⋅¿+f(n−1)(n≥2)求
n 1 2 1 3 2 n n−1 1
通项公式的方法称为累加法。
具体步骤：
将上述 个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得： =
例题1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））已知数列 中， ，当 时， .求
数列 的通项公式；
例题2．（2022·全国·高三专题练习）设数列 满足 ， ，则数列 的通
项公式.
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知在数列 中， .
求数列 的通项公式；角度 2：累乘法
累乘法（叠乘法）（记忆累乘法模型）
a
若数列 满足 n+1 =f(n)(n∈N¿)，则称数列 为“变比数列”，求变比数列 的通项时，利用
{a } a {a } {a }
n n n n
a a a a
a =a⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅¿⋅¿ n =a⋅f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅¿⋅¿f(n−1)(n≥2)求通项公式的方法称为累乘法。
n 1 a a a a 1
1 2 3 n−1
具体步骤：
将上述 个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
整理得：
例题1．（2022·全国·高三专题练习）在数列 中， ， ( )，求数列 的
通项公式.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）若数列 满足 ， ， ，求数列 通
项公式.
例题3．（2022·浙江·宁波市北仑中学高二开学考试）已知数列{ }满足： = ， ，
)且其前 项和为 .求 与 ；角度 3：构造法
用“待定系数法”构造等比数列
形如 a =ka+p （k,p为常数，kp≠0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为
n+1 n
p
（其中：m= ），由此构造出新的等比数列 ，先求出 的通项，从而
a +m=k(a +m) k−1 {a +m} {a +m}
n+1 n n n
{a }
求出数列 的通项公式.
n
标准模型：a =ka+p（k,p为常数，kp≠0）或 （k,p为常数，kp≠0）
n+1 n
例题1．（2022·陕西·绥德中学高一阶段练习）已知数列 满足 ， .
(1)写出该数列的前 项；
(2)求数列 的通项公式；
例题2．（2022·海南·模拟预测）设数列 的前 项和为 ， ， ．
求数列 的通项公式；
例题3．（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（理））已知数列 的前 项和 ．
求 的通项公式；
角度 4：倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
qa
类型1：形如a = n （ 为常数， ）的数列，通过两边取“倒”，变形为
n+1 pa+q p,q pq≠0
n1 1 p 1 1 p {1 } {1 }
= + ，即： − = ，从而构造出新的等差数列 ，先求出 的通项，即可求得 .
a a q a a q a a a
n+1 n n+1 n n n n
类型2：形如 （ 为常数， ， ， ）的数列，通过两边取“倒”，变
p,q
形为 ，可通过换元： ，化简为： （此类型符构造法类型1： 用
“待定系数法”构造等比数列：形如 a =ka+p （k,p为常数，kp≠0）的数列，可用“待定系数
n+1 n
p
法”将原等式变形为 （其中：m= ），由此构造出新的等比数列 ，先求出
a +m=k(a +m) k−1 {a +m}
n+1 n n
{a }
{a
n
+m}的通项，从而求出数列
n
的通项公式.）
例题1．（2022·辽宁·高二期中）已知数列 ，满足 ， .
(1)证明：数列 为等差数列.
(2)求 .
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， ，证明：数列
是等比数列
同类题型归类练
1．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A．30 B．31 C．22 D．23
2．（2022·陕西·长安一中高一阶段练习）已知数列 满足 ， ，则 的最小值
为（ ）A．0 B． C． D．3
3．（2022·浙江·杭州市富阳区实验中学高二阶段练习）已知 ，则 （ ）
A．504 B．1008 C．2016 D．4032
4．（2022·福建省永春第一中学高二期末）若数列 满足 ，则
（ ）
A．2 B．6 C．12 D．20
5．（2022·全国·高二）已知数列 满足 ，且 ，则 ( )
A． B． C． D．
6．（2022·浙江·模拟预测）数列 满足 ， ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． 是等比数列
C． D．
7．（2022·全国·高二专题练习）已知数列 满足 ， ， ，则满足 的n的
最大取值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）在数列 中，已知 ， ， .
若 ，求数列 的通项公式；
9．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{ }中， =1，前n项和 ．
（Ⅰ）求
(Ⅱ)求{ }的通项公式．10．（2022·全国·高二）已知数列 的前 项和 ，数列 中 且满足 .
(1)求 ､ 的通项公式；
题型三：数列的性质及其应用
角度 1：数列的周期性
例题1．（2022·全国·高二课时练习）在数列 中，若 ， ， ，则 等于
（ ）
A．6 B．－6 C．3 D．－3
例题2．（2021·全国·高二课时练习）已知数列 满足 若 ，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2021·河南信阳·高三阶段练习（文））在数列 中， ， ，则
（ ）
A． B．-3 C． D．2
例题4．（2022·全国·高二课时练习）已知数列 ，满足 ，若 ，则 （ ）
A． B．2 C．1 D．
例题5．（2020·江西·南昌十中高三阶段练习（文））数列 ，满足 ， （ ），
则 （ ）
A． B． C．2 D．
角度 2：数列的单调性
例题1．（2022·陕西·长安一中高二期末（文））若 ，则 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定例题2．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二期末）已知数列 的通项公式为
，且数列 是递增数列，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数 ，若
数列 满足 且 是递增数列，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2022·辽宁·建平县实验中学高二期中）已知数列 满足 ，若
， 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
角度 3：数列的最值
例题1．（2022·四川·什邡中学高一阶段练习）已知在数列 中， ，则数
列中最大项的值是（ ）
A．107 B．108 C． D．109
例题2．（2022·北京市八一中学高二期中）已知数列 的通项公式为 ．若数列
的前 项和为 ，则 取得最大值时 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例题3．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二期末）已知等差数列 的前 项和为 ， ，公
差 ， ．若 取得最大值，则 的值为（ ）
A．6或7 B．7或8 C．8或9 D．9或10
例题4．（2022·全国·高二课时练习）已知数列 的通项公式为 ，若 为该数列的最小项，
则 ______．
例题5．（2022·全国·高二课时练习）已知数列 的通项公式为 ，则 的最小值为
___________.
6．（2022·天津市新华中学高三期末）在数列 中， ，则数列 中的最大项的
________ .同类题型归类练
1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））在数列 中， ， ， ，则 的前2022
项的和为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））函数 定义如下表，数列 满足 ，且对任
意的自然数 均有 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高二课时练习）已知数列 的通项公式为 ，则数列 为（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定数列的增减性
4．（2022·北京大兴·高二期末）已知数列 的前n项和 ，若数列 中第 项最大，则 等
于（ ）
A．6 B．7
C．6或7 D．8
5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 且数列 是单调递增数列，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·甘肃武威·高二期末（理））在数列 中， ，则此数列最大项的值是
（ ）
A．102 B． C． D．108
7．（2022·四川·成都七中高二期中（理））历史上数列折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步
起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，即1，1，
2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，它满足 ，且满足递推关系
，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若将此数列的每一项除以4后的余数构成一个新数列 ， ___________.
8．（2022·河南·温县第一高级中学高二阶段练习（理））“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、
酉、戌、亥叫做“十二地支”. “天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，
组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉；甲戌、乙亥、丙子、…、癸未；甲申、
乙寅、丙戌、…、癸已；…；共得到60个组合，称为六十甲子，周而复始，无穷无尽.干支纪年在我国历
史学中广泛使用，特别是近代史中很多重要历史事件的年代常用干支纪年表示.例如甲午战争､戊戌变法､辛
亥革命等等.1911年的辛亥革命推翻了统治中国两千多年的封建君主专制制度，建立了中国历史上第一个
资产阶级共和政府，使民主共和的观念开始深入人心；1949年中华人民共和国的成立开辟了中国历史的新
纪元，从此，中国结束了一百多年来被侵略被奴役的屈辱历史，真正成为独立自主的国家，中国人民从此
站起来了，成为国家的主人. 1911年是“干支纪年法”中的辛亥年，1949年是“干支纪年法”中的己丑年，
那么2072年是“干支纪年法”中的______年.
9．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）写出一个符合下列要求的数列 的通项公式：① 是无穷数列；
② 是单调递减数列；③ .这个数列的通项可以是__________.
10．（2022·上海奉贤区致远高级中学高二期中）已知数列 的通项公式为 （其中 是常数），
若数列 为严格增数列，则 的取值范围为__________.
11．（2022·上海交大附中高一阶段练习）已知数列 的通项公式为 ，若数列
的前n项和为 ，则 取得最大值时n的值为______________．
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·全国·高考真题（理））记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．2．（2022·全国·高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
