文档内容
2025版新教材高考数学第二轮复习
8.3 双曲线
五年高考
高考新风向
1.(多想少算)(2024全国甲理,5,5分,易)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在
该双曲线上,则该双曲线的离心率为( )
A.4 B.3 C.2 D.√2
2.(多想少算)(2024新课标Ⅰ,12,5分,易)设双曲线C:x2-y2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别
a2 b2
为F ,F ,过F 作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F A|=13,|AB|=10,则C的离心率为
1 2 2 1
.
考点1 双曲线的定义和标准方程
1.(2022 天津,7,5 分,易)已知双曲线x2-y2=1(a>0,b>1)的左、右焦点分别为 F ,F ,抛物线
1 2
a2 b2
π
y2=4√5x的准线l经过F ,且l与双曲线的一条渐近线交于点 A.若∠F F A= ,则双曲线的
1 1 2
4
方程为 ( )
x2 y2 x2 y2
A. - =1 B. - =1
16 4 4 16
x2 y2
C. -y2=1 D.x2- =1
4 4
2.(2020浙江,8,4分,易)已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=3
图象上的点,则|OP|= ( )
√4−x2
√22 4√10
A. B. C.√7 D.√10
2 5
y2
3.(2020课标Ⅰ文,11,5分,中)设F ,F 是双曲线C:x2- =1的两个焦点,O为坐标原点,点P
1 2
3
在C上且|OP|=2,则△PF F 的面积为( )
1 2
7 5
A. B.3 C. D.2
2 2
4.(2020课标Ⅲ理,11,5分,中)设双曲线C:x2-y2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F ,F ,离
1 2
a2 b2心率为√5.P是C上一点,且F P⊥F P.若△PF F 的面积为4,则a= ( )
1 2 1 2
A.1 B.2 C.4 D.8
5.(2021浙江,9,4分,中)已知 a,b∈R,ab>0,函数 f(x)=ax2+b(x∈R).若f(s-t), f(s), f(s+t)成等比
数 列 , 则 平 面 上 点 (s,t) 的 轨 迹 是
( )
A.直线和圆 B.直线和椭圆
C.直线和双曲线 D.直线和抛物线
6.(2023北京,12,5分,易)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为√2,则C的方程为
.
考点2 双曲线的几何性质
x2 y2
1.(2021全国甲文,5,5分,易)点(3,0)到双曲线 - =1的一条渐近线的距离为 ( )
16 9
9 8 6 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
2.(2021 全国甲理,5,5 分,易)已知 F ,F 是双曲线 C 的两个焦点,P 为 C 上一点,且
1 2
∠F PF =60°,|PF |=3|PF |,则C的离心率为 ( )
1 2 1 2
√7 √13
A. B. C.√7 D.√13
2 2
3.(2021天津,8,5分,中)已知双曲线x2-y2=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦
a2 b2
点重合.抛物线的准线交双曲线于A,B两点,交双曲线的渐近线于C,D两点.若|CD|=√2|AB|,
则双曲线的离心率为 ( )
A.√2 B.√3 C.2 D.3
4.(2020课标Ⅱ,文9,理8,5分,中)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:x2-y2=1(a>0,b>0)
a2 b2
的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为 ( )
A.4 B.8 C.16 D.32
y2
5.(2023全国乙,文12,理11,5分,中)设A,B为双曲线x2- =1上两点,下列四个点中,可以为
9
线段AB中点的是 ( )
A.(1,1) B.(-1,2) C.(1,3) D.(-1,-4)
6.(多选)(2020新高考Ⅰ,9,5分,易)已知曲线C:mx2+ny2=1. ( )
A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上B.若m=n>0,则C是圆,其半径为√n
√ m
C.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=± − x
n
D.若m=0,n>0,则C是两条直线
7.(2022全国甲理,14,5分,易)若双曲线 y2- x2=1(m>0)的渐近线与圆 x2+y2-4y+3=0相切,则
m2
m= .
8.(2021新高考Ⅱ,13,5分,易)已知双曲线C:x2-y2=1(a>0,b>0),离心率e=2,则双曲线C的渐
a2 b2
近线方程为 , .
9.(2020课标Ⅰ理,15,5分,中)已知F为双曲线C:x2-y2=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶
a2 b2
点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为 .
10.(2022浙江,16,4分,中)已知双曲线x2-y2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过F且斜率为 b 的
a2 b2 4a
直线交双曲线于点A(x ,y ),交双曲线的渐近线于点 B(x ,y )且x <00,b>0)的离心率为e,写出满足条件
a2 b2
“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值 .
12.(2023新课标Ⅰ,16,5分,中)已知双曲线C:x2-y2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F ,F ,
1 2
a2 b2
2
点A在C上,点B在y轴上,⃗F A⊥⃗F B,⃗F A=- ⃗F B,则C的离心率为 .
1 1 2 3 2三年模拟
练速度
1.(2024浙江丽水、湖州、衢州二模,2)双曲线x2- y2=1(m>0)的渐近线方程为y=±2x,则m=
m2
( )
1 √2
A. B. C.√2 D.2
2 2
2.(2024安徽合肥一模,4)双曲线C:x2-y2=1的焦距为4,则C的渐近线方程为 ( )
b2
A.y=±√15x B.y=±√3x
√15 √3
C.y=± x D.y=± x
15 3
3.(2024湖南长沙3月调研,4)已知双曲线C:x2-y2=1(b>0)的一个焦点到一条渐近线的距
4 b2
离为2,则双曲线C的离心率为 ( )
3√3 √5
A. B.√2 C. D.√3
2 2
4.(2024甘肃兰州一诊,5)已知双曲线E :x2-y2=1(a>0,b>0)与双曲线E :x2-y2=1的离心率
1 2
a2 b2 16 9
相同,双曲线E 的顶点是双曲线E 的焦点,则双曲线E 的虚轴长为 ( )
1 2 1
15 15 24
A. B. C. D.10
4 2 5
5.(2024山东聊城一模,5)设F ,F 是双曲线C:x2-y2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是C上的
1 2
a2 b2
一点,若C的一条渐近线的倾斜角为60°,且|PF |-|PF |=2,则C的焦距等于 ( )
1 2
A.1 B.√3 C.2 D.4
6.(2024江西重点中学协作体一模,5)已知双曲线C:x2-y2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为
a2 b2
F 、F ,点M为F 关于渐近线的对称点.若|M F | =2,且△MF F 的面积为8,则C的方程为
1 2 1 1 1 2
|M F |
2( )
y2 x2
A.x2- =1 B. -y2=1
4 4
x2 y2 x2 y2
C. - =1 D. - =1
2 8 4 16
7.(2024安徽师大附中二模,5)已知F ,F 是双曲线x2-y2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲
1 2
a2 b2
线上存在点P满足 · =-2a2,则双曲线离心率的最小值为 ( )
⃗PF ⃗PF
2 1
A.√6 B.√5 C.2 D.√3
x2 y2
8.(多选)(2024河北邯郸三调,9)已知双曲线C: - =1,则 ( )
λ+6 3−λ
A.λ的取值范围是(-6,3)
B.C的焦点可在x轴上也可在y轴上
C.C的焦距为6
D.C的离心率e的取值范围为(1,3)
9.(多选)(2024福建九地市质量检测(三),9)双曲线C:x2- y2 =1(a>0)的左、右焦点分别为
a2 3a2
F ,F ,且C的两条渐近线的夹角为θ,若|F F |=2e(e为C的离心率),则 ( )
1 2 1 2
A.a=1
π
B.θ=
3
C.e=√2
D.C的一条渐近线的斜率为√3
10.(多选)(2024湖南部分学校大联考(二),10)已知θ∈R,双曲线C:x2cos θ+y2sin 2θ=1,则(
)
A.θ可能是第一象限角
B.θ可能是第四象限角
C.点(1,0)可能在C上
D.点(0,1)可能在C上
11.(2024北京清华附中统练二,12)请写出一个焦点在y轴上,且与直线y=2x没有交点的双
曲线的标准方程: .12.(2024华大新高考联盟联考,12)关于双曲线C:x2-y2=1(a>0,b>0),四位同学给出了四个
a2 b2
说法:
小明:双曲线C的实轴长为8;
小红:双曲线C的焦点到渐近线的距离为3;
3
小强:双曲线C的离心率为 ;
2
小同:双曲线C上的点到焦点距离的最小值为1.
若这4位同学中只有1位同学的说法错误,则说法错误的是 ;双曲线C的方程为
.(第一空的横线上填“小明”“小红”“小强”或“小同”)
13.(2024甘肃一诊,14)若曲线C:mx2+ny2=1(mn≠0,m≠n)经过(6,-√15),(-2,√3),(4,0)这三点中
的两点,则曲线C的离心率可能为 (写出一个即可).
14.(2024山东临沂一模,13)已知F ,F 是双曲线C:x2-y2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P(
1 2 √3
a2 b2
t,t)(t>0)在C上,tan∠F F P=2+√3,则C的离心率为 .
1 2
练思维
1.(2024广西南宁一模,6)已知双曲线E:x2-y2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过点F
a2 b2
的直线与双曲线E的一条渐近线交于点P,与其左支交于点Q,且点P与点Q不在同一象
限,直线AP与直线OQ(O为坐标原点)的交点在双曲线E上,若⃗PQ=-2⃗PF,则双曲线E的离
心率为 ( )
7
A.√3 B.2 C. D.3
3
2.(2024山东青岛一模,8)已知A(-2,0),B(2,0),设点P是圆x2+y2=1上的点,若动点Q满足⃗QP·
=0, =λ( ⃗QA ⃗QB ),则Q的轨迹方程为( )
⃗PB ⃗QP +
|⃗QA| |⃗QB|
y2 x2
A.x2- =1 B. -y2=1
3 3
x2 x2 y2
C. +y2=1 D. + =1
5 6 23.(2024广东深圳一调,8)已知双曲线E:x2-y2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F ,F ,过点
1 2
a2 b2
F 的直线与双曲线 E 的右支交于 A,B 两点,若|AB|=|AF |,且双曲线 E 的离心率为√2,则
2 1
cos∠BAF = ( )
1
3√7 3 1 1
A.- B.- C. D.-
8 4 8 8
y2
4.(2024 山东泰安一轮检测,8)已知 F 是双曲线 C:x2- =1 的右焦点,P 是 C 左支上一点,
8
A(0,6√6),当△APF周长最小时,该三角形的面积为 ( )
A.36√6 B.24√6 C.18√6 D.12√6
x2 y2
5.(2024东北三省三校第二次联考,8)双曲线C: - =1的右焦点为F,双曲线C上有两点
12 4
A,B关于直线l:3x+y-8=0对称,则|⃗FA+⃗FB|= ( )
A.2√2 B.4√2 C.2√3 D.4√3
6.(多选)(2024安徽皖江名校联盟联考,10)已知双曲线C:x2-y2=1(a>0,b>0)的左、右焦点
a2 b2
分别为F ,F ,|F F |=4√7.经过F 的直线l与C的左右两支分别交于P,Q,且△PQF 为等边
1 2 1 2 1 2
三角形,则 ( )
x2 y2
A.双曲线C的方程为 - =1
8 20
B.△PF F 的面积为8√3
1 2
C.以QF 为直径的圆与以实轴为直径的圆相交
1
D.以QF 为直径的圆与以实轴为直径的圆相切
2
7.(多选)(2024 重庆二诊,11)已知双曲线 C:x2-y2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F (-
1
a2 b2
c,0),F (c,0),直线l:bx+ay-bc=0与C相交于点M,与C的一条渐近线相交于点N.记C的离心
2
率为e,以下说法正确的是 ( )
A.若NF ⊥NF ,则e=2
1 2
B.若MF ⊥MF ,则e=2√2
1 2
C.若|NF |=2|MF |,则e=√2
2 2
D.若|MF |≥5|MF |,则e≥√2
1 28.(2024湖南长沙雅礼中学月考六,14)已知双曲线C:x2-y2=1(a>0,b>0),F为右焦点,过点F
a2 b2
作FA⊥x轴,交双曲线于第一象限内的点A,点B与点A关于原点对称,连接AB,BF,当∠ABF
取得最大值时,双曲线的离心率为 .
9.(2024湘豫名校联考模拟,18)已知O为坐标原点,双曲线C:x2-y2=1(a>0,b>0)的左、右焦
a2 b2
点分别为F ,F ,过C上一点P作C的两条渐近线的平行线,分别交y轴于M,N两点,且|OM|
1 2
·|ON|=1,△F PF 内切圆的圆心到y轴的距离为√3.
1 2
(1)求C的标准方程.
xx
(2)(i)设点Q(x ,y )为C上一点,试判断直线 0-yy =1与C的位置关系,并说明理由;
0 0 0
3
(ii)设过点F 的直线与C交于A,B两点(异于C的两顶点),C在点A,B处的切线交于点E,线
2
段AB的中点为D,证明:O,D,E三点共线.
练风向
(创新知识交汇)(2024湖北十堰调研,14)数学课本《人教A版必修第二册》第121页介绍
了“祖暅原理”:幂势既同,则积不容异.用现代语言可以描述为夹在两个平行平面之间的
两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那
么这两个几何体的体积相等.如图1,这是某细腰鼓形工艺品(上、下对称),其轴截面近似为图2中的实线图形,两段曲线是双曲线C:x2-y2=1(b>0)的一部分,内部虚线为双曲线C的
2 b2
渐近线.若该工艺品的底面圆的直径为4,高为4√2,则b= ;利用祖暅原理可求得该
工艺品的体积为 .
8.3 双曲线
五年高考
高考新风向
1.(多想少算)(2024全国甲理,5,5分,易)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在
该双曲线上,则该双曲线的离心率为( C )
A.4 B.3 C.2 D.√2
2.(多想少算)(2024新课标Ⅰ,12,5分,易)设双曲线C:x2-y2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别
a2 b2
为F ,F ,过F 作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F A|=13,|AB|=10,则C的离心率为
1 2 2 1
3
.
2
考点1 双曲线的定义和标准方程
1.(2022 天津,7,5 分,易)已知双曲线x2-y2=1(a>0,b>1)的左、右焦点分别为 F ,F ,抛物线
1 2
a2 b2π
y2=4√5x的准线l经过F ,且l与双曲线的一条渐近线交于点 A.若∠F F A= ,则双曲线的
1 1 2
4
方程为 ( D )
x2 y2 x2 y2
A. - =1 B. - =1
16 4 4 16
x2 y2
C. -y2=1 D.x2- =1
4 4
2.(2020浙江,8,4分,易)已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=3
图象上的点,则|OP|= ( D )
√4−x2
√22 4√10
A. B. C.√7 D.√10
2 5
y2
3.(2020课标Ⅰ文,11,5分,中)设F ,F 是双曲线C:x2- =1的两个焦点,O为坐标原点,点P
1 2
3
在C上且|OP|=2,则△PF F 的面积为( B )
1 2
7 5
A. B.3 C. D.2
2 2
4.(2020课标Ⅲ理,11,5分,中)设双曲线C:x2-y2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F ,F ,离
1 2
a2 b2
心率为√5.P是C上一点,且F P⊥F P.若△PF F 的面积为4,则a= ( A )
1 2 1 2
A.1 B.2 C.4 D.8
5.(2021浙江,9,4分,中)已知 a,b∈R,ab>0,函数 f(x)=ax2+b(x∈R).若f(s-t), f(s), f(s+t)成等比
数 列 , 则 平 面 上 点 (s,t) 的 轨 迹 是
( C )
A.直线和圆 B.直线和椭圆
C.直线和双曲线 D.直线和抛物线
6.(2023北京,12,5分,易)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为√2,则C的方程为
x2 y2
- =1 .
2 2
考点2 双曲线的几何性质
x2 y2
1.(2021全国甲文,5,5分,易)点(3,0)到双曲线 - =1的一条渐近线的距离为 ( A )
16 9
9 8 6 4
A. B. C. D.
5 5 5 52.(2021 全国甲理,5,5 分,易)已知 F ,F 是双曲线 C 的两个焦点,P 为 C 上一点,且
1 2
∠F PF =60°,|PF |=3|PF |,则C的离心率为 ( A )
1 2 1 2
√7 √13
A. B. C.√7 D.√13
2 2
3.(2021天津,8,5分,中)已知双曲线x2-y2=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦
a2 b2
点重合.抛物线的准线交双曲线于A,B两点,交双曲线的渐近线于C,D两点.若|CD|=√2|AB|,
则双曲线的离心率为 ( A )
A.√2 B.√3 C.2 D.3
4.(2020课标Ⅱ,文9,理8,5分,中)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:x2-y2=1(a>0,b>0)
a2 b2
的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为 ( B
)
A.4 B.8 C.16 D.32
y2
5.(2023全国乙,文12,理11,5分,中)设A,B为双曲线x2- =1上两点,下列四个点中,可以为
9
线段AB中点的是 ( D )
A.(1,1) B.(-1,2) C.(1,3) D.(-1,-4)
6.(多选)(2020新高考Ⅰ,9,5分,易)已知曲线C:mx2+ny2=1. ( ACD )
A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上
B.若m=n>0,则C是圆,其半径为√n
√ m
C.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=± − x
n
D.若m=0,n>0,则C是两条直线
7.(2022全国甲理,14,5分,易)若双曲线 y2- x2=1(m>0)的渐近线与圆 x2+y2-4y+3=0相切,则
m2
√3
m= .
3
8.(2021新高考Ⅱ,13,5分,易)已知双曲线C:x2-y2=1(a>0,b>0),离心率e=2,则双曲线C的渐
a2 b2
近线方程为 y = √3 x , y = -√3 x .9.(2020课标Ⅰ理,15,5分,中)已知F为双曲线C:x2-y2=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶
a2 b2
点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为 2 .
10.(2022浙江,16,4分,中)已知双曲线x2-y2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过F且斜率为 b 的
a2 b2 4a
直线交双曲线于点A(x ,y ),交双曲线的渐近线于点 B(x ,y )且x <00,b>0)的离心率为e,写出满足条件
a2 b2
“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值 2 ( 答案不唯一 , 在 (1 ,√5 ] 范围内取值均可 )
.
12.(2023新课标Ⅰ,16,5分,中)已知双曲线C:x2-y2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F ,F ,
1 2
a2 b2
2 3√5
点A在C上,点B在y轴上,⃗F A⊥⃗F B,⃗F A=- ⃗F B,则C的离心率为 .
1 1 2 3 2 5三年模拟
练速度
1.(2024浙江丽水、湖州、衢州二模,2)双曲线x2- y2=1(m>0)的渐近线方程为y=±2x,则m=
m2
( D )
1 √2
A. B. C.√2 D.2
2 2
2.(2024安徽合肥一模,4)双曲线C:x2-y2=1的焦距为4,则C的渐近线方程为 ( B )
b2
A.y=±√15x B.y=±√3x
√15 √3
C.y=± x D.y=± x
15 3
3.(2024湖南长沙3月调研,4)已知双曲线C:x2-y2=1(b>0)的一个焦点到一条渐近线的距
4 b2
离为2,则双曲线C的离心率为 ( B )
3√3 √5
A. B.√2 C. D.√3
2 2
4.(2024甘肃兰州一诊,5)已知双曲线E :x2-y2=1(a>0,b>0)与双曲线E :x2-y2=1的离心率
1 2
a2 b2 16 9
相同,双曲线E 的顶点是双曲线E 的焦点,则双曲线E 的虚轴长为 ( B )
1 2 1
15 15 24
A. B. C. D.10
4 2 5
5.(2024山东聊城一模,5)设F ,F 是双曲线C:x2-y2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是C上的
1 2
a2 b2
一点,若C的一条渐近线的倾斜角为60°,且|PF |-|PF |=2,则C的焦距等于 ( D )
1 2
A.1 B.√3 C.2 D.4
6.(2024江西重点中学协作体一模,5)已知双曲线C:x2-y2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为
a2 b2
F 、F ,点M为F 关于渐近线的对称点.若|M F | =2,且△MF F 的面积为8,则C的方程为
1 2 1 1 1 2
|M F |
2( C )
y2 x2
A.x2- =1 B. -y2=1
4 4
x2 y2 x2 y2
C. - =1 D. - =1
2 8 4 16
7.(2024安徽师大附中二模,5)已知F ,F 是双曲线x2-y2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲
1 2
a2 b2
线上存在点P满足 · =-2a2,则双曲线离心率的最小值为 ( D )
⃗PF ⃗PF
2 1
A.√6 B.√5 C.2 D.√3
x2 y2
8.(多选)(2024河北邯郸三调,9)已知双曲线C: - =1,则 ( AC )
λ+6 3−λ
A.λ的取值范围是(-6,3)
B.C的焦点可在x轴上也可在y轴上
C.C的焦距为6
D.C的离心率e的取值范围为(1,3)
9.(多选)(2024福建九地市质量检测(三),9)双曲线C:x2- y2 =1(a>0)的左、右焦点分别为
a2 3a2
F ,F ,且C的两条渐近线的夹角为θ,若|F F |=2e(e为C的离心率),则 ( ABD )
1 2 1 2
A.a=1
π
B.θ=
3
C.e=√2
D.C的一条渐近线的斜率为√3
10.(多选)(2024 湖南部分学校大联考(二),10)已知 θ∈R,双曲线 C:x2cos θ+y2sin 2θ=1,则(
BD )
A.θ可能是第一象限角
B.θ可能是第四象限角
C.点(1,0)可能在C上
D.点(0,1)可能在C上
11.(2024北京清华附中统练二,12)请写出一个焦点在y轴上,且与直线y=2x没有交点的双
y2
曲线的标准方程: - x 2 =1( 答案不唯一 ) .
412.(2024华大新高考联盟联考,12)关于双曲线C:x2-y2=1(a>0,b>0),四位同学给出了四个
a2 b2
说法:
小明:双曲线C的实轴长为8;
小红:双曲线C的焦点到渐近线的距离为3;
3
小强:双曲线C的离心率为 ;
2
小同:双曲线C上的点到焦点距离的最小值为1.
若这4位同学中只有1位同学的说法错误,则说法错误的是 小强 ;双曲线C的方
x2 y2
程为 - =1 .(第一空的横线上填“小明”“小红”“小强”或“小同”)
16 9
13.(2024甘肃一诊,14)若曲线C:mx2+ny2=1(mn≠0,m≠n)经过(6,-√15),(-2,√3),(4,0)这三点中
√33 √7 √3
的两点,则曲线C的离心率可能为 或 或 ( 只写一个即可 ) (写出一个即可).
3 2 2
14.(2024山东临沂一模,13)已知F ,F 是双曲线C:x2-y2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P(
1 2 √3
a2 b2
t,t)(t>0)在C上,tan∠F F P=2+√3,则C的离心率为 √2 .
1 2
练思维
1.(2024广西南宁一模,6)已知双曲线E:x2-y2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过点F
a2 b2
的直线与双曲线E的一条渐近线交于点P,与其左支交于点Q,且点P与点Q不在同一象
限,直线AP与直线OQ(O为坐标原点)的交点在双曲线E上,若⃗PQ=-2⃗PF,则双曲线E的离
心率为 ( B )
7
A.√3 B.2 C. D.3
3
2.(2024山东青岛一模,8)已知A(-2,0),B(2,0),设点P是圆x2+y2=1上的点,若动点Q满足⃗QP·
=0, =λ( ⃗QA ⃗QB ),则Q的轨迹方程为( A )
⃗PB ⃗QP +
|⃗QA| |⃗QB|
y2 x2
A.x2- =1 B. -y2=1
3 3x2 x2 y2
C. +y2=1 D. + =1
5 6 2
3.(2024广东深圳一调,8)已知双曲线E:x2-y2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F ,F ,过点
1 2
a2 b2
F 的直线与双曲线 E 的右支交于 A,B 两点,若|AB|=|AF |,且双曲线 E 的离心率为√2,则
2 1
cos∠BAF = ( D )
1
3√7 3 1 1
A.- B.- C. D.-
8 4 8 8
y2
4.(2024 山东泰安一轮检测,8)已知 F 是双曲线 C:x2- =1 的右焦点,P 是 C 左支上一点,
8
A(0,6√6),当△APF周长最小时,该三角形的面积为 ( D )
A.36√6 B.24√6 C.18√6 D.12√6
x2 y2
5.(2024东北三省三校第二次联考,8)双曲线C: - =1的右焦点为F,双曲线C上有两点
12 4
A,B关于直线l:3x+y-8=0对称,则|⃗FA+⃗FB|= ( B )
A.2√2 B.4√2 C.2√3 D.4√3
6.(多选)(2024安徽皖江名校联盟联考,10)已知双曲线C:x2-y2=1(a>0,b>0)的左、右焦点
a2 b2
分别为F ,F ,|F F |=4√7.经过F 的直线l与C的左右两支分别交于P,Q,且△PQF 为等边
1 2 1 2 1 2
三角形,则 ( BD )
x2 y2
A.双曲线C的方程为 - =1
8 20
B.△PF F 的面积为8√3
1 2
C.以QF 为直径的圆与以实轴为直径的圆相交
1
D.以QF 为直径的圆与以实轴为直径的圆相切
2
7.(多选)(2024 重庆二诊,11)已知双曲线 C:x2-y2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F (-
1
a2 b2
c,0),F (c,0),直线l:bx+ay-bc=0与C相交于点M,与C的一条渐近线相交于点N.记C的离心
2
率为e,以下说法正确的是 ( AC )
A.若NF ⊥NF ,则e=2
1 2
B.若MF ⊥MF ,则e=2√2
1 2
C.若|NF |=2|MF |,则e=√2
2 2
D.若|MF |≥5|MF |,则e≥√2
1 28.(2024湖南长沙雅礼中学月考六,14)已知双曲线C:x2-y2=1(a>0,b>0),F为右焦点,过点F
a2 b2
作FA⊥x轴,交双曲线于第一象限内的点A,点B与点A关于原点对称,连接AB,BF,当∠ABF
√6+√2
取得最大值时,双曲线的离心率为 .
2
9.(2024湘豫名校联考模拟,18)已知O为坐标原点,双曲线C:x2-y2=1(a>0,b>0)的左、右焦
a2 b2
点分别为F ,F ,过C上一点P作C的两条渐近线的平行线,分别交y轴于M,N两点,且|OM|
1 2
·|ON|=1,△F PF 内切圆的圆心到y轴的距离为√3.
1 2
(1)求C的标准方程.
xx
(2)(i)设点Q(x ,y )为C上一点,试判断直线 0-yy =1与C的位置关系,并说明理由;
0 0 0
3
(ii)设过点F 的直线与C交于A,B两点(异于C的两顶点),C在点A,B处的切线交于点E,线
2
段AB的中点为D,证明:O,D,E三点共线.
解析 (1)设P(x ,y
),则x2 -y2
=1.
P P P P
a2 b2
b b
不妨令直线PM的方程为y-y = (x-x ),直线PN的方程为y-y =- (x-x ). (1分)
P P P P
a a
令x=0,得M( b ),N( b ),
0,− x + y 0, x + y
a P P a P P
所以|OM|·|ON|=|
y −
bx
P
|·|
y +
bx
P
|=|
y2−
b2
x2
|=|b2
x2−b2−
b2
x2
|=b2=1. (3分)
P a P a P a2 P a2 P a2 P
设△F PF 的内切圆(圆心为I)分别与PF ,PF ,F F 切于点R,S,T,
1 2 1 2 1 2
则2a=||PF |-|PF ||=||PR|+|RF |-|PS|-|SF ||=||RF |-|SF ||=||TF |-|TF ||,
1 2 1 2 1 2 1 2
所以T为C的顶点,因为IT⊥x轴,所以I的横坐标为±a,
所以a=√3.
x2
故C的标准方程为 -y2=1. (6分)
3
{
x2
−y2=1,
(2)(i)由 3 得(3 y2- x2)x2+6x
0
x-9-9 y2=0,
xx 0 0 0
0−y y =1,
3 0结合 -3 =3,得x2-2x x+ =0,所以Δ=4 -4 =0. (8分)
x2 y2 0 x2 x2 x2
0 0 0 0 0
xx
所以直线 0-yy =1与C相切. (10分)
3 0
(ii)由题易得直线AB的斜率不为0,
设直线AB的方程为x=ty+2,代入x2-3y2=3,
得(t2-3)y2+4ty+1=0,
其中{ t2−3≠0,
Δ=16t2−4(t2−3)=12(t2+1)>0,
−4t 1
设A(x ,y ),B(x ,y ),则y +y = ,y y = . (11分)
1 1 2 2 1 2 t2−3 1 2 t2−3
由(i)知,C在点A,B处的切线方程分别为x x-3y y=3,x x-3y y=3.(12分)
1 1 2 2
3
3(y −y ) 3(y −y ) 3(y −y ) 3 x −3 x −2
两 式 联 立 , 得 x= 2 1 = 2 1 = 2 1 = ,y=2 1 = 1 =
x y −x y (t y +2)y −(t y +2)y 2(y −y ) 2 2y
1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 3 y 1
1
t y
1
+2−2=t ,即E(3
,
t ).
2y 2 2 2
1
t
所以直线OE的方程为y= x. (15分)
3
−6
由
{x=ty+2,
解得
{x=
t2−3
,
t
y= x, −2t
3 y= ,
t2−3
即直线AB与OE的交点为D ( −6 −2t ).
1 ,
t2−3 t2−3
y + y −2t −2t −6
又y = 1 2= ,x =ty +2=t· +2= ,
D 2 t2−3 D D t2−3 t2−3
即D( −6 −2t ).所以D与D 重合.
, 1
t2−3 t2−3
故O,D,E三点共线. (17分)
练风向
(创新知识交汇)(2024湖北十堰调研,14)数学课本《人教A版必修第二册》第121页介绍
了“祖暅原理”:幂势既同,则积不容异.用现代语言可以描述为夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那
么这两个几何体的体积相等.如图1,这是某细腰鼓形工艺品(上、下对称),其轴截面近似为
图2中的实线图形,两段曲线是双曲线C:x2-y2=1(b>0)的一部分,内部虚线为双曲线C的
2 b2
渐近线.若该工艺品的底面圆的直径为4,高为4√2,则b= 2√2 ;利用祖暅原理可求
32√2π
得该工艺品的体积为 .
3
