文档内容
第 01 讲 数列的基本知识与概念
目录
考点要求 考题统计 考情分析
（1）了解数列的概念和几种 高考对数列概念的考查相对较少，考
简单的表示方法(列表、图 2021年 北京卷第10题，4分 查内容、频率、题型、难度均变化不
象、通项公式). 2020年浙江卷第11题，4分 大．重点是数列与函数结合考查单调
（2）了解数列是自变量为正 性、周期性、最值性.
整数的一类特殊函数．
知识点一、数列的概念
（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
（2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集 （或它的有限子集
）为定义域的函数 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．
知识点二、数列的分类
（1）按照项数有限和无限分：（2）按单调性来分：
知识点三、数列的两种常用的表示方法
（1）通项公式：如果数列 的第 项与序号 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫
做这个数列的通项公式．
（2）递推公式：如果已知数列 的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与
它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
【解题方法总结】
的前 项和为 ，通项公式为 ，则
（1）若数列
注意：根据 求 时，不要忽视对 的验证．
（2）在数列 中，若 最大，则 若 最小，则
题型一：数列的周期性
例1．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中，已知 ， ， ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，可得 ，
因为 ，所以 ，整理得 ，
由于 ，解得 ，从而 ， ，
可知 ，因为 ，所以 ．
故选：C．
例2．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中， ，对所有的正整数 都有 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 得 ，
两式相加得 ，
，
是以6为周期的数列，
而 ，
.
故选：B.
例3．（2023·江西赣州·高三校联考阶段练习）斐波那契数列 可以用如下方法定义： ，
且 ，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列 ，则数列 的第100项为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】由题意有 ，且 ，
若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列 ，
则 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
则数列 是以6为周期的周期数列，
则 ，
则数列 的第100项为3，
故选： ．
变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知数列 中， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【解析】数列 中， ，可知 ， ， ，
故数列 是以3为最小正周期的周期数列，
所以 .
故选：A
变式2．（2023·全国·高三对口高考）设函数 定义如下，数列 满足 ，且对任意自然数均有
，则 的值为（ ）
x 1 2 3 4 5
4 1 3 5 2
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由对任意自然数均有 ，且 ，
可得 ， ， ，
， ， ，
所以数列 是 项为周期的周期数列，且前四项分别为 ，
所以 .
故选：B.
变式3．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）在数列 中，已知 ，当 时，
是 的个位数，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】因为 ，当 时， 是 的个位数，
所以 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
可知数列 中，从第3项开始有 ，
即当 时， 的值以6为周期呈周期性变化，
又 ，
故 .
故选：C.
变式4．（2023·北京通州·统考三模）数列 中， ，则 （ ）A． B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】因为 ，令 ，则 ，求得 ，
令 ，则 ，求得 ，令 ，则 ，求得 ，
令 ，则 ，求得 ，令 ，则 ，求得 ，
令 ，则 ，求得 ， ，
所以数列 的周期为 ，则 .
故选：C
【解题方法总结】
解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
题型二：数列的单调性
例4．（2023·北京密云·统考三模）设数列 的前n项和为 ，则“对任意 ， ”是“数列
为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不是充分也不是必要条件
【答案】A
【解析】数列 中，对任意 ， ，
则 ，
所以数列 为递增数列，充分性成立；
当数列 为递增数列时， ，
即 ，所以 ， ，
如数列 不满足题意，必要性不成立；
所以“对任意 ， ”是“数列 为递增数列”的充分不必要条件.
故选：A
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，若存在实数 ，使
单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 单调递增，得 ，由 ，得 ，
∴ .
时，得 ①，
时，得 ，即 ②，
若 ，②式不成立，不合题意；
若 ，②式等价为 ，与①式矛盾，不合题意.
综上，排除B，C，D.
故选：A
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，
若数列 为单调递增数列，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 可得 ，
两式相减可得 ，则 ，
当 时， 可得 满足上式，故 ，
所以 ，
因数列 为单调递增数列，即 ，
则
整理得 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
于是得 是数列 的最大项，即当 时， 取得最大值 ，从而得 ，
所以 的取值范围为 ．
故选：A
变式5．（2023·天津武清·高三天津市武清区杨村第一中学校考开学考试）数列 的通项公式为，则“ ”是“ 为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
【答案】B
【解析】由题意得数列 为递增数列等价于对任意
恒成立，
即 对任意 恒成立，
因为 ，且可以无限接近于0，所以 ，
所以“ ”是“ 为递增数列”的必要不充分条件，
故选：B
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的通项公式为 ，则“ ”是“数列
为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若数列 为递增数列，
则
，
即
由 ，所以有 ，
反之，当 时， ，则数列 为递增数列，
所以“ ”是“数列 为递增数列”的充要条件，
故选：C.
变式7．（2023·江苏南通·高三期末）已知数列 是递增数列，且 ，则实数t的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】因为 ， 是递增数列，
所以 ，解得 ，
所以实数t的取值范围为 ，
故选：C
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，若 是递增数列，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 是递增数列，所以 ，即 ．
如图所示，作出函数 和 的图象，
由图可知，当 时， ，且 ．
故当 时， ，且 ，
依此类推可得 ，
满足 是递增数列，即 的取值范围是 ．
故选:A.
变式9．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知数列 为递减数列，其前n项和
，则实数m的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以数列 为递减数列，
当 时， ，故可知当 时， 单调递减，
故 为递减数列，只需满足 ，即 ．
故选：A
【解题方法总结】
解决数列的单调性问题的3种方法
作差比较法
根据 的符号判断数列 是递增数列、递减数列或是常数列
作商比较法
根据 与1的大小关系进行判断
数形结合法 结合相应函数的图象直观判断
题型三：数列的最大（小）项
例7．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）数列 和数列 的公共项从小到大构成
一个新数列 ，数列 满足： ，则数列 的最大项等于______.
【答案】 /1.75
【解析】数列 和数列 的公共项从小到大构成一个新数列为：
，该数列为首项为1，公差为 的等差数列，
所以 ，
所以
因为
所以当 时， ，即 ，
又 ，
所以数列 的最大项为第二项，其值为 .
故答案为： .
例8．（2023·全国·高三专题练习）记 为数列 的前n项和，若 ，则 的最
小值为______．
【答案】【解析】依题意，数列 是首项为1，公比为2的等比数列，则 ，
于是 ，令 ，
则有 ，
显然当 时， ，即 ，因此当 时，数列 是递增的，
又 ，所以 的最小值为 .
故答案为：
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则 的最小值为_________
【答案】9
【解析】由已知可得， ，
所以当 时，有 .
则有
，
，
，
，
两边分别相加可得，
，
所以 .
当 时， 满足条件.
所以， ，
所以 .
设 ，
根据对勾函数的性质可知，当 时， 单调递减；当 时， 单调递增.
又 ， ，所以，当 或 时， 有最小值为9.
故答案为：9.
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列 满足 ， ， ，若 是
唯一的最大项，则k的取值范围为______．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，又 ， ，
所以 是首项为64，公比为k的等比数列，则 ，
则 ，
因为 是 唯一的最大项，所以 ，即 ，解得 ，
即k的取值范围为 .
故答案为： .
变式11．（2023·高三课时练习）数列 的通项公式为 若 是 中的最大项，
则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】当 时， 单调递增，
因此 时，取得最大值为 ，
当 时， ，
因为 是 中的最大项，
所以 解得 ，
故答案为: .
变式12．（2023·北京·高三北京八中校考阶段练习）数列 中， ，则此数列最大项的值是__________．
【答案】
【解析】设 ，则该数列当 时， 取最大值，
又因为 ，而 ，
故当 或 时，此数列取最大项，其值为 ， ，
故此数列最大项的值是：
故答案为：
变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，若数列 中最小项为第3
项，则 ______．
【答案】
【解析】因为 开口向上，对称轴为 ，
则由题意知 ，
所以 ．
故答案为： .
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的通项公式为 ，则 的最小值为
___________.
【答案】 /
【解析】因为 ，
易知数列 为递增数列，
所以数列 的最小项为 ，即最小值为 .
故答案为：
【解题方法总结】
求数列的最大项与最小项的常用方法
（1）将数列视为函数 当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f（x）的类型作出相应的函数图象，
或利用求函数最值的方法，求出 的最值，进而求出数列的最大（小）项．
（ 2 ） 通 过 通 项 公 式 研 究 数 列 的 单 调 性 ， 利 用 确 定 最 大 项 ， 利 用确定最小项．
（3）比较法：若有 或 时 ，则 ，则数列 是递增
数列，所以数列 的最小项为 ；若有 或 时 ，则
，则数列 是递减数列，所以数列 的最大项为 ．
题型四：数列中的规律问题
例10．（2023·全国·高三专题练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究
对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2
所示的一个树形图．若记图2中第n行黑圈的个数为 ，则 （ ）
A．110 B．128 C．144 D．89
【解析】已知 表示第n行中的黑圈个数，设 表示第n行中的白圈个数，
则由于每个白圈产生下一行的一个白圈和一个黑圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈和2个黑圈，
所以 ， ，
又因为 ， ，
所以 ， ；
， ；
， ；
， ；
， ；
．
故选：C.
例11．（2023·云南保山·统考二模）我国南宋数学家杨辉126l年所著的《详解九章算法》一书里出现了如
图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.杨辉三角也可以看做是二项式系数在三角形中的
一种几何排列，若去除所有为1的项，其余各项依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则
此数列的第56项为（ ）A．11 B．12 C．13 D．14
【解析】由题意可知：若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，...，
可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则 ，
可得当 ，所有项的个数和为55，第56项为12，
故选：B.
例12．（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1，
3，6，10，第n个三角形数为 .记第n个k边形数为 ，以下列出了部分k
边形数中第n个数的表达式：三角形数： ；正方形数： ；五边形数：
；六边形数： ，可以推测 的表达式，由此计算
（ ）
A．4020 B．4010 C．4210 D．4120
【解析】由题意可得： ， ，
， .
由此可归纳 ，
所以 ，
故选：B.
变式15．（2023·全国·高三专题练习）古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，若一定数
目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三角形数，如1，3，6，10，
15，21，…这些数量的点都可以排成等边三角形，∴都是三角形数，把三角形数按照由小到大的顺序排成
的数列叫做三角数列 类似地，数1，4，9，16，…叫做正方形数，则在三角数列 中，第二个正方
形数是（ ）
A．28 B．36 C．45 D．55【解析】由题意可得，三角数列 的通项为 ，
则三角数列的前若干项为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，….，
设正方形数按由小到大的顺序排成的数列为 ，则 ，
其前若干项为1，4，9，16，25，36，49，…，
∴在三角数列 中，第二个正方形数是36.
故选：B.
变式16．（2023·全国·高三专题练习）早在3000年前，中华民族的祖先就已经开始用数字来表达这个世界．
在《乾坤谱》中，作者对易传“大衍之数五十”进行了一系列推论，用来解释中国传统文化中的太极衍生
原理，如图．该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，72，…，若记该数列
为 ，则 （ ）
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
【解析】由题设中的数据可知数列 满足： ， ，
故 ，
故选：B．
变式17．（2023·全国·高三专题练习）观察下列各式：
；
；
；
；
；
则 （ ）A．28 B．76 C．123 D．10
【解析】设 则
通过观察不难发现： 从而
故 ，
故选：C.
变式18．（2023·全国·高三专题练习）古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，若一定数
目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三角形数，如1，3，6，10，
15，21，…这些数量的点都可以排成等边三角形，∴都是三角形数，把三角形数按照由小到大的顺序排成
的数列叫做三角数列 ．类似地，数1，4，9，16，…叫做正方形数，则在三角数列 中，第二个正
方形数是（ ）
A．36 B．25 C．49 D．64
【解析】由题意可得，三角数列 的通项为 ，则三角数列的前若干项为1，3，6，10，15，
21，28，36，45，55，…，
设正方形数按由小到大的顺序排成的数列为 ，则 ，其前若干项为1，4，9，16，25，36，
49，…，
∴在三角数列 中，第二个正方形数是36．
故选：A．
【解题方法总结】
特殊值法、列举法找规律
题型五：数列的恒成立问题
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的通项公式 ，前n项和是 ，对于 ，
都有 ，则k＝______．
【答案】5
【解析】如图，为 和 的图象，设两个交点为 ， ，
因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
结合图象可得，当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，所以当 时， 取得最大值，即 .
故答案为：5.
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，若 恒成立，则实数k
的最小值为______．
【答案】 /1.5
【解析】∵ ，
∴数列 为单调递减数列， ．从而 ，
即k的最小值为 ．
故答案为：
例15．（2023·河南郑州·高三校联考阶段练习）数列 满足 ( ，且 )， ，
对于任意 有 恒成立，则 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】从而可得
即 ， 因为 ，所以 .
故答案为：
变式19．（2023·全国·高三专题练习）数列 满足 ，若不等式 恒成立，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，
∵不等式 恒成立，
∴ ，
解得 ，
故选：B．
变式20．（2023·河北唐山·高三唐山一中校考阶段练习）数列 满足 ， ，若不等式
，对任何正整数 恒成立，则实数 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意 ，由此可知 ，所以
，所以， 对任何正整数 恒成立，即 ．
考点：数列与不等式．
【解题方法总结】
分离参数，转化为最值问题．
题型六：递推数列问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）设数列 满足 ，且 ，则数列的前
2009项之和为______.
【答案】 /
【解析】由 ，得 ，则
，
，
∴数列 是以4为周期的数列， .
由 可得 ， ，
.
故答案为： .
例17．（2023·全国·高三专题练习）正项数列 中， ， ，猜想通项公式为
_________．
【答案】
【解析】方法一:由 得 ，所以 为等差数列，且公差为3，首项为1，
故 ，故 ，
方法二：由 得 ， ，
由此可猜想故答案为：
例18．（2023·广东佛山·统考模拟预测）数列 满足 ， ，写出一个符合上述条件的
数列 的通项公式______.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】由 得： ，
则当 时， ， ，故 满足递推关系，
又 ，满足 ，
满足条件的数列 的一个通项公式为： .
故答案为： （答案不唯一）.
变式21．（2023·全国·模拟预测）斐波那契数列由意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为
“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在实际生活中，很多花朵
（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域
也有着广泛的应用．斐波那契数列 满足： ， ，则
是斐波那契数列 中的第______项．
【答案】
【解析】由 可得
.
故答案为： .
变式22．（2023·全国·高三专题练习）将一个2021边形的每个顶点染为红、蓝、绿三种颜色之一，使得相
邻顶点的颜色互不相同．问：有多少种满足条件的染色方法？
【解析】记一个n边形的每个顶点染为红、蓝、绿三种颜色之一，使得相邻顶点的颜色互不相同的方法数
为 ．易知 ， ．
对于任意一个n（ ）边形，记 顺次为这个n边形的顶点，则对它按题设要求染色，有两种
情况：
① ， 异色，共有 种方法；
② ， 同色，共有 种方法．
因此 ．
所以所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 . 适合
因此 ，∴ ．
变式23．（2023·全国·高三专题练习）已知平面上有n条直线，其中任意两条不平行，任何三条不共线．
问：这些直线把平面分成多少个部分？其中有多少个部分是无界的？
【解析】设k条直线把平面分成的部分为 个．显然 ．
第 条直线与前k条直线共有k个互不相同的交点，它被这k个交点分成 段，每段都将它所在的部
分一分为二．
因此有 ．即 .
由此递推公式，累加即得
．该式适合 .
故这些直线把平面分成 部分．
注意到n条直线中的每条都被另外的 条截成n段，其中恰有两端的两条射线是无界的，
因此共有2n条射线．被n条直线分成的诸部分中，围成每个无界区域的边界折线恰有两条是射线，
而且每条射线恰是两个无界区域的公共边界．所以共有2n个无界部分．
变式24．（2023·全国·高三专题练习）（1）学生甲手里有一枚质地均匀的硬币，他投掷10次，不连续出
现正面的可能情形有多少种？
（2）用1，2，3，4四个数字组成一个6位数，要求不允许两个1紧挨在一起，那么可以组成多少个不同
的6位数？
【解析】（1）设甲投掷 次，不连续出现正面的可能情形有 种，考虑最后一次投掷：若最后一次
呈现反面，则前 次有 种方法；若最后一次呈现正面，则倒数第二次必是反面，前 次有 种
不同的方法.由加法原理得： ，易知其初值 ， ，则
∴甲投掷 次，不连续出现正面的可能情形有 种.
（2）设用1，2，3，4四个数字组成符合条件的一个 位数，有 种方法.
若末位是1，则倒数第二位只能是2，3或4，符合条件的有 个；
若末位是2，3或4，则符合条件的有 个；
由加法原理得： ，又
∴
故用1，2，3，4四个数字可以组成符合条件的不同的6位数有3105个.
1．（2021•北京）已知 是各项为整数的递增数列，且 ，若 ，则 的最大
值为
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】
【解析】数列 是递增的整数数列，
要取最大，递增幅度尽可能为小的整数，
假设递增的幅度为1，
，
，
则 ，
当 时， ， ，
，即 可继续增大， 非最大值，
当 时， ， ，
，不满足题意，
即 为最大值．
故选： ．
2．（2018•上海）设 为数列 的前 项和，“ 是递增数列”是“ 是递增数列”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】【解析】数列 ， ， ， 是递增数列，但 不是递增数列，即充分性不成立，
数列1，1，1， ，满足 是递增数列，但数列1，1，1， ，不是递增数列，即必要性不成立，
则“ 是递增数列”是“ 是递增数列”的既不充分也不必要条件，
故选： ．
3．（2020•浙江）已知数列 满足 ，则 ．
【答案】10
【解析】数列 满足 ，
可得 ， ， ，
所以 ．
故答案为：10．
