文档内容
2025版新教材高考数学第二轮复习
专题五 平面向量与复数
5.1 平面向量
五年高考
高考新风向
1.(2024新课标Ⅰ,3,5分,易)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.(2024新课标Ⅱ,3,5分,易)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|=( )
1 √2 √3
A. B. C. D.1
2 2 2
3.(2024全国甲理,9,5分,中)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则 ( )
A.x=-3是a⊥b的必要条件
B.x=1+√3是a∥b的必要条件
C.x=0是a⊥b的充分条件
D.x=-1+√3是a∥b的充分条件
考点1 平面向量的概念及运算
1.(2020新高考Ⅱ,3,5分,易)若D为△ABC的边AB的中点,则⃗CB= ( )
A.2⃗CD-⃗CA B.2⃗CA-⃗CD
C.2⃗CD+⃗CA D.2⃗CA+⃗CD
2.(2022新高考Ⅰ,3,5分,易)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记⃗CA=m,⃗CD=n,则⃗CB=(
)
A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n
3.(2021全国乙文,13,5分,易)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ= .
考点2 平面向量的夹角与模
1.(2022全国乙文,3,5分,易)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|= ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.(2023全国甲文,3,5分,易)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos=( )
1 √17 √5 2√5
A. B. C. D.
17 17 5 5
3.(2020课标Ⅲ理,6,5分,易)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos=( )
31 19 17 19
A.- B.- C. D.
35 35 35 35
4.(2022新高考Ⅱ,4,5分,易)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,则t=( )A.-6 B.-5 C.5 D.6
5.(2023 全国甲理,4,5分,中)已知向量 a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=√2,且a+b+c=0,则cos=( )
4 2 2 4
A.- B.- C. D.
5 5 5 5
6.(2023新课标Ⅱ,13,5分,易)已知向量a,b满足|a-b|=√3,|a+b|=|2a-b|,则|b|= .
7.(2021新高考Ⅱ,15,5分,中)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a= .
考点3 平面向量的数量积及其应用
1.(2023新课标Ⅰ,3,5分,易)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则 ( )
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1
2.(2023北京,3,4分,易)已知向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),则|a|2-|b|2=( B )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
3.(2020课标Ⅱ文,5,5分,易)已知单位向量 a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的
是( )
A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b
4.(2023全国乙文,6,5分,易)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则⃗EC·⃗ED= ( )
A.√5 B.3 C.2√5 D.5
5.(2020新高考Ⅰ,7,5分,中)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则⃗AP·⃗AB的
取值范围是( )
A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6)
6.(多选)(2021新高考Ⅰ,10,5分,中)已知O为坐标原点,点P (cos α,sin α),P (cos β,-sinβ),
1 2
P (cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则 ( )
3
A.| |=| |
⃗OP ⃗OP
1 2
B.| |=| |
⃗AP ⃗AP
1 2
C. · = ·
⃗OA ⃗OP ⃗OP ⃗OP
3 1 2
D. · = ·
⃗OA ⃗OP ⃗OP ⃗OP
1 2 3
7.(2021全国乙理,14,5分,易)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ= .
8.(2020课标Ⅱ理,13,5分,易)已知单位向量a,b的夹角为45°,ka-b与a垂直,则k= .
三年模拟练速度
1.(2024辽宁抚顺模拟,3)已知向量a=(2,1),b=(1,2),若向量c满足a·c=8,且b∥c,则|c|= (
)
A.2√5 B.12 C.20 D.2√3
2.(2024江苏苏锡常镇调研一,3)已知平面向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=|b|=1,|c|=√3,则a与b
的夹角为 ( )
π π 2 3
A. B. C. π D. π
4 3 3 4
3.(2024山东青岛二模,5)已知平面向量a=(-1,1),b=(2,0),则a在b上的投影向量为( )
A.(-1,0) B.(1,0) C.(-√2,0) D.(√2,0)
3 2
4.(2024湖南长沙雅礼中学月考(七),4)已知D是△ABC所在平面内一点,⃗AD= ⃗AB+ ⃗AC,
5 5
则 ( )
2 3
A.⃗BD= ⃗BC B.⃗BD= ⃗BC
5 5
3 2
C.⃗BD= ⃗BC D.⃗BD= ⃗BC
2 3
5.(2024福建漳州第三次质量检测,6)在△ABC中,D是边BC上一点,且BD=2DC,E是AC
的中点,记⃗AC=m,⃗AD=n,则⃗BE= ( )
5 7
A. n-3m B. n-3m
3 2
7 5
C. m-3n D. m-3n
2 2
6.(2024湖北七市州3月联考,3)已知正方形ABCD的边长为2,若⃗BP=⃗PC,则⃗AP·⃗BD= (
)
A.2 B.-2 C.4 D.-4
7.(2024北京清华附中统练二,5)如图,在▱OACB中,E是AC的中点,F是BC上的一点,且
BC=3BF,若⃗OC=m⃗OE+n⃗OF,其中m,n∈R,则m+n的值为 ( )
3 7 7
A.1 B. C. D.
2 5 3
8.(2024东北三省三校第二次联考,5)已知|a|=5,b=(-1,2),a在b上的投影向量为m=(-2,4),则向量a与b夹角余弦值为 ( )
2√5 √5 2 √5
A. B. C. D.-
5 5 5 5
9.(2024广西南宁3月第一次适应性测试,5)已知△ABC的外接圆圆心为O,且2⃗AO=⃗AB+
,| |=| |,则向量 在向量 上的投影向量为 ( )
⃗AC ⃗OA ⃗AC ⃗CA ⃗CB
1 √3 1 1
A. ⃗CB B. ⃗CB C.- ⃗CB D. ⃗CA
4 4 4 2
1
10.(2024浙江杭州二模,3)已知a,b是两个单位向量,若向量a在向量b上的投影向量为 b,
2
则向量a与向量a-b的夹角为 ( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
11.(2024山东淄博一模,6)在平面直角坐标系xOy中,已知向量⃗OA与⃗OB关于x轴对称,向量
a=(0,1),若满足⃗OA2+a·⃗AB=0的点A的轨迹为E,则 ( )
A.E是一条垂直于x轴的直线
B.E是一个半径为1的圆
C.E是两条平行直线
D.E是椭圆
12.(多选)(2024湖北武汉调研,9)已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(-3,4),则 ( )
4
A.若a∥b,则tan θ=-
3
3
B.若a⊥b,则sin θ=
5
C.|a-b|的最大值为6
D.若a·(a-b)=0,则|a-b|=2√6
13.(多选)(2024福建厦门毕业班第四次质量检测,10)已知等边△ABC的边长为4,点D,E满
足⃗BD=2⃗DA,⃗BE=⃗EC,AE与CD交于点O,则 ( )
2 1
A.⃗CD= ⃗CA+ ⃗CB
3 3
B.⃗BO·⃗BC=8
C.⃗CO=2⃗OD
D.|⃗OA+⃗OB+⃗OC|=√3
14.(2024 浙江嘉兴调研,12)已知平面向量 a,b,c,a=(-1,√3),b=(√3,-1),c 是非零向量,且 c 与
a,b的夹角相等,则c的坐标可以为 .(只需写出一个符合要求的答案)15.(2024黑龙江哈六中二模,12)已知不共线的三个单位向量a,b,c满足a+λb+c=0,a与b的
π
夹角为 ,则实数λ= .
3
练思维
1.(2024江西重点中学协作体联考,6)如图,正六边形的边长为2√2,半径为1的圆O的圆心
为正六边形的中心,若点M在正六边形的边上运动,动点A,B在圆O上运动且关于圆心O
对称,则⃗MA·⃗MB的取值范围为 ( )
A.[4,5] B.[5,7]
C.[4,6] D.[5,8]
2.(2024 湖南新高考教学教研联盟第二次联考,5)设⃗OA=(1,0),⃗OB=(0,2),对满足条件|⃗OC-
- |=2| - |的点C(x,y),O为坐标原点,|x-2y+m|+|x-2y-7|的值与x,y无关,则实数m的
⃗OA ⃗OB ⃗OA ⃗OB
取值范围为( )
A.(-∞,-7)
B.[13,+∞)
C.(13,+∞)
D.(-∞,-7)∪[13,+∞)
3.(2024河北石家庄质检(二),6)在平行四边形ABCD中, ⃗AB + 3⃗AD = λ⃗AC ,λ∈[ ,3],则
√7
|⃗AB| |⃗AD| |⃗AC|
cos∠BAD的取值范围是 ( )
A.[ 1 1] B.[ 1 1]
− ,− − ,
2 6 2 3
C.[ 2 1] D.[ 2 1]
− , − ,−
3 3 3 6
4.(2024 山东烟台、德州二模,7)在△ABC 中,AB=3,AC=2,∠BAC=60°,⃗AB=3⃗AF,⃗BE=⃗EC
,AE,CF交于点D,则|⃗CD|= ( )√3 √3
A. B.
3 2
3√3
C. D.√3
4
5.(2024山西晋城三模,8)如图,圆O 和圆O 外切于点P,A,B分别为圆O 和圆O 上的动点,
1 2 1 2
已知圆O 和圆O 的半径都为1,且⃗PA·⃗PB=-1,则|⃗PA+⃗PB|2的最大值为 ( )
1 2
A.2 B.4 C.2√2 D.2√3
6.(多选)(2024 江苏苏锡常镇调研二,11)在长方形 ABCD 中,AB=8,AD=6,点E,F分别为边
BC和CD上两个动点(含端点),且EF=5,设⃗BE=λ⃗BC,⃗DF=μ⃗DC,则 ( )
1 3
A. ≤λ≤1, ≤μ≤1
6 8
B.λ+μ为定值
C.⃗AE·⃗AF的最小值为50
D.|⃗AE+⃗AF|的最大值为√265
7.( 多 选 )(2024 湖 南 长 沙 一 中 一 模 ,10) 在 梯 形 ABCD 中 ,
AD∥BC,AB=AD=CD=2,∠ABC=60°,AC与BD交于点M,点N在线段CD上,则 ( )
2 1
A.⃗AM= ⃗AD+ ⃗AB
3 3
B.2S =3S
△ACD △BCM
C.⃗BM·⃗BN为定值8
3 3 7√3
D.若⃗BN=λ⃗BM+μ⃗BC,则 + 的最小值为
λ 2μ 2
8.(2024广东深圳第一次调研,13)设点A(-2,0),B( 1 ),C(0,1),若动点P满足|PA|=2|PB|,且
− ,0
2
⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AC,则λ+2μ的最大值为 .
9.(2024安徽六校教育研究会第二次素养测试,13)已知正方形ABCD的边长为2,中心为O,四个半圆的圆心均为正方形 ABCD各边的中点(如图),若P在B´C上,且⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AD,则
λ+μ的最大值为 .
练风向
(新定义理解)(2024 北京人大附中统练,15)定义平面向量的一种运算 a☉b=|a+b|×|a-b|
×sin,其中是a与b的夹角,给出下列命题:①若=90°,则a☉b=a2+b2;②若|a|
=|b|,则(a+b)☉(a-b)=4a·b;③若|a|=|b|,则a☉b≤2|a|2;④若a=(1,2),b=(-2,2),则(a+b)☉b=√10.其
中真命题的序号是 .
专题五 平面向量与复数
5.1 平面向量
五年高考
高考新风向
1.(2024新课标Ⅰ,3,5分,易)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= ( D )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.(2024新课标Ⅱ,3,5分,易)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|=( B )
1 √2 √3
A. B. C. D.1
2 2 2
3.(2024全国甲理,9,5分,中)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则 ( C )
A.x=-3是a⊥b的必要条件
B.x=1+√3是a∥b的必要条件C.x=0是a⊥b的充分条件
D.x=-1+√3是a∥b的充分条件
考点1 平面向量的概念及运算
1.(2020新高考Ⅱ,3,5分,易)若D为△ABC的边AB的中点,则⃗CB= ( A )
A.2⃗CD-⃗CA B.2⃗CA-⃗CD
C.2⃗CD+⃗CA D.2⃗CA+⃗CD
2.(2022新高考Ⅰ,3,5分,易)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记⃗CA=m,⃗CD=n,则⃗CB=(
B )
A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n
8
3.(2021全国乙文,13,5分,易)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ= .
5
考点2 平面向量的夹角与模
1.(2022全国乙文,3,5分,易)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|= ( D )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.(2023全国甲文,3,5分,易)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos=( B )
1 √17 √5 2√5
A. B. C. D.
17 17 5 5
3.(2020课标Ⅲ理,6,5分,易)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos=( D )
31 19 17 19
A.- B.- C. D.
35 35 35 35
4.(2022新高考Ⅱ,4,5分,易)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,则t=( C )
A.-6 B.-5 C.5 D.6
5.(2023 全国甲理,4,5分,中)已知向量 a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=√2,且a+b+c=0,则cos=( D )
4 2 2 4
A.- B.- C. D.
5 5 5 5
6.(2023新课标Ⅱ,13,5分,易)已知向量a,b满足|a-b|=√3,|a+b|=|2a-b|,则|b|= √3 .
9
7.(2021新高考Ⅱ,15,5分,中)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a= - .
2
考点3 平面向量的数量积及其应用
1.(2023新课标Ⅰ,3,5分,易)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则 ( D )
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1
2.(2023北京,3,4分,易)已知向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),则|a|2-|b|2=( B )
A.-2 B.-1 C.0 D.13.(2020课标Ⅱ文,5,5分,易)已知单位向量 a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的
是( D )
A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b
4.(2023全国乙文,6,5分,易)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则⃗EC·⃗ED= ( B
)
A.√5 B.3 C.2√5 D.5
5.(2020新高考Ⅰ,7,5分,中)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则⃗AP·⃗AB的
取值范围是( A )
A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6)
6.(多选)(2021新高考Ⅰ,10,5分,中)已知O为坐标原点,点P (cos α,sin α),P (cos β,-sinβ),
1 2
P (cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则 ( AC )
3
A.| |=| |
⃗OP ⃗OP
1 2
B.| |=| |
⃗AP ⃗AP
1 2
C. · = ·
⃗OA ⃗OP ⃗OP ⃗OP
3 1 2
D. · = ·
⃗OA ⃗OP ⃗OP ⃗OP
1 2 3
3
7.(2021全国乙理,14,5分,易)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ= .
5
√2
8.(2020课标Ⅱ理,13,5分,易)已知单位向量 a,b的夹角为45°,ka-b与a垂直,则k=
2
.
三年模拟
练速度
1.(2024辽宁抚顺模拟,3)已知向量a=(2,1),b=(1,2),若向量c满足a·c=8,且b∥c,则|c|= (
A )
A.2√5 B.12 C.20 D.2√3
2.(2024江苏苏锡常镇调研一,3)已知平面向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=|b|=1,|c|=√3,则a与b
的夹角为 ( B )
π π 2 3
A. B. C. π D. π
4 3 3 43.(2024山东青岛二模,5)已知平面向量a=(-1,1),b=(2,0),则a在b上的投影向量为( A )
A.(-1,0) B.(1,0) C.(-√2,0) D.(√2,0)
3 2
4.(2024湖南长沙雅礼中学月考(七),4)已知D是△ABC所在平面内一点,⃗AD= ⃗AB+ ⃗AC,
5 5
则 ( A )
2 3
A.⃗BD= ⃗BC B.⃗BD= ⃗BC
5 5
3 2
C.⃗BD= ⃗BC D.⃗BD= ⃗BC
2 3
5.(2024福建漳州第三次质量检测,6)在△ABC中,D是边BC上一点,且BD=2DC,E是AC
的中点,记⃗AC=m,⃗AD=n,则⃗BE= ( D )
5 7
A. n-3m B. n-3m
3 2
7 5
C. m-3n D. m-3n
2 2
6.(2024湖北七市州3月联考,3)已知正方形ABCD的边长为2,若⃗BP=⃗PC,则⃗AP·⃗BD= (
B )
A.2 B.-2 C.4 D.-4
7.(2024北京清华附中统练二,5)如图,在▱OACB中,E是AC的中点,F是BC上的一点,且
BC=3BF,若⃗OC=m⃗OE+n⃗OF,其中m,n∈R,则m+n的值为 ( C )
3 7 7
A.1 B. C. D.
2 5 3
8.(2024东北三省三校第二次联考,5)已知|a|=5,b=(-1,2),a在b上的投影向量为m=(-2,4),则
向量a与b夹角余弦值为 ( A )
2√5 √5 2 √5
A. B. C. D.-
5 5 5 5
9.(2024广西南宁3月第一次适应性测试,5)已知△ABC的外接圆圆心为O,且2⃗AO=⃗AB+
,| |=| |,则向量 在向量 上的投影向量为 ( A )
⃗AC ⃗OA ⃗AC ⃗CA ⃗CB
1 √3 1 1
A. ⃗CB B. ⃗CB C.- ⃗CB D. ⃗CA
4 4 4 21
10.(2024浙江杭州二模,3)已知a,b是两个单位向量,若向量a在向量b上的投影向量为 b,
2
则向量a与向量a-b的夹角为 ( B )
A.30° B.60° C.90° D.120°
11.(2024山东淄博一模,6)在平面直角坐标系xOy中,已知向量⃗OA与⃗OB关于x轴对称,向量
a=(0,1),若满足⃗OA2+a·⃗AB=0的点A的轨迹为E,则 ( B )
A.E是一条垂直于x轴的直线
B.E是一个半径为1的圆
C.E是两条平行直线
D.E是椭圆
12.(多选)(2024湖北武汉调研,9)已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(-3,4),则 ( ACD )
4
A.若a∥b,则tan θ=-
3
3
B.若a⊥b,则sin θ=
5
C.|a-b|的最大值为6
D.若a·(a-b)=0,则|a-b|=2√6
13.(多选)(2024福建厦门毕业班第四次质量检测,10)已知等边△ABC的边长为4,点D,E满
足⃗BD=2⃗DA,⃗BE=⃗EC,AE与CD交于点O,则 ( ABD )
2 1
A.⃗CD= ⃗CA+ ⃗CB
3 3
B.⃗BO·⃗BC=8
C.⃗CO=2⃗OD
D.|⃗OA+⃗OB+⃗OC|=√3
14.(2024 浙江嘉兴调研,12)已知平面向量 a,b,c,a=(-1,√3),b=(√3,-1),c 是非零向量,且 c 与
a,b的夹角相等,则c的坐标可以为 (1,1) ( 答案不唯一 , 满足横、纵坐标相等且都不为 0
即可 ) .(只需写出一个符合要求的答案)
15.(2024黑龙江哈六中二模,12)已知不共线的三个单位向量a,b,c满足a+λb+c=0,a与b的
π
夹角为 ,则实数λ= - 1 .
3
练思维
1.(2024江西重点中学协作体联考,6)如图,正六边形的边长为2√2,半径为1的圆O的圆心
为正六边形的中心,若点M在正六边形的边上运动,动点A,B在圆O上运动且关于圆心O对称,则⃗MA·⃗MB的取值范围为 ( B )
A.[4,5] B.[5,7]
C.[4,6] D.[5,8]
2.(2024 湖南新高考教学教研联盟第二次联考,5)设⃗OA=(1,0),⃗OB=(0,2),对满足条件|⃗OC-
- |=2| - |的点C(x,y),O为坐标原点,|x-2y+m|+|x-2y-7|的值与x,y无关,则实数m的
⃗OA ⃗OB ⃗OA ⃗OB
取值范围为( B )
A.(-∞,-7)
B.[13,+∞)
C.(13,+∞)
D.(-∞,-7)∪[13,+∞)
3.(2024河北石家庄质检(二),6)在平行四边形ABCD中, ⃗AB + 3⃗AD = λ⃗AC ,λ∈[ ,3],则
√7
|⃗AB| |⃗AD| |⃗AC|
cos∠BAD的取值范围是 ( A )
A.[ 1 1] B.[ 1 1]
− ,− − ,
2 6 2 3
C.[ 2 1] D.[ 2 1]
− , − ,−
3 3 3 6
4.(2024 山东烟台、德州二模,7)在△ABC 中,AB=3,AC=2,∠BAC=60°,⃗AB=3⃗AF,⃗BE=⃗EC
,AE,CF交于点D,则|⃗CD|= ( C )
√3 √3
A. B.
3 2
3√3
C. D.√3
4
5.(2024山西晋城三模,8)如图,圆O 和圆O 外切于点P,A,B分别为圆O 和圆O 上的动点,
1 2 1 2
已知圆O 和圆O 的半径都为1,且⃗PA·⃗PB=-1,则|⃗PA+⃗PB|2的最大值为 ( D )
1 2A.2 B.4 C.2√2 D.2√3
6.(多选)(2024 江苏苏锡常镇调研二,11)在长方形 ABCD 中,AB=8,AD=6,点E,F分别为边
BC和CD上两个动点(含端点),且EF=5,设⃗BE=λ⃗BC,⃗DF=μ⃗DC,则 ( AC )
1 3
A. ≤λ≤1, ≤μ≤1
6 8
B.λ+μ为定值
C.⃗AE·⃗AF的最小值为50
D.|⃗AE+⃗AF|的最大值为√265
7.( 多 选 )(2024 湖 南 长 沙 一 中 一 模 ,10) 在 梯 形 ABCD 中 ,
AD∥BC,AB=AD=CD=2,∠ABC=60°,AC与BD交于点M,点N在线段CD上,则 ( AC
)
2 1
A.⃗AM= ⃗AD+ ⃗AB
3 3
B.2S =3S
△ACD △BCM
C.⃗BM·⃗BN为定值8
3 3 7√3
D.若⃗BN=λ⃗BM+μ⃗BC,则 + 的最小值为
λ 2μ 2
8.(2024广东深圳第一次调研,13)设点A(-2,0),B( 1 ),C(0,1),若动点P满足|PA|=2|PB|,且
− ,0
2
2√2+4
⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AC,则λ+2μ的最大值为 .
3
9.(2024安徽六校教育研究会第二次素养测试,13)已知正方形ABCD的边长为2,中心为O,
四个半圆的圆心均为正方形 ABCD各边的中点(如图),若P在B´C上,且⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AD,则
3+√2
λ+μ的最大值为 .
2练风向
(新定义理解)(2024 北京人大附中统练,15)定义平面向量的一种运算 a☉b=|a+b|×|a-b|
×sin,其中是a与b的夹角,给出下列命题:①若=90°,则a☉b=a2+b2;②若|a|
=|b|,则(a+b)☉(a-b)=4a·b;③若|a|=|b|,则a☉b≤2|a|2;④若a=(1,2),b=(-2,2),则(a+b)☉b=√10.其
中真命题的序号是 ①③ .
