文档内容
2025版新教材高考数学第二轮复习
专题二 函数及其性质
2.1 函数的概念和基本性质
五年高考
高考新风向
{−x2−2ax−a,x<0,
1.(概念深度理解)(2024新课标Ⅰ,6,5分,中)已知函数f(x)= 在R上单调
ex+ln(x+1),x≥0
递增,则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,0] B.[-1,0]
C.[-1,1] D.[0,+∞)
2.(创新考法)(2024新课标Ⅱ,8,5分,中)设函数f(x)=(x+a)·ln(x+b).若f(x)≥0,则a2+b2的最小
值为 ( )
1 1 1
A. B. C. D.1
8 4 2
3.(创新考法)(2024新课标Ⅱ,6,5分,中)设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax.当x∈(-1,1)时,
曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点.则a= ( )
1
A.-1 B.
2
C.1 D.2
4.(创新考法)(2024新课标Ⅰ,8,5分,中)已知函数f(x)的定义域为R, f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当
x<3时, f(x)=x,则下列结论中一定正确的是 ( )
A. f(10)>100 B. f(20)>1 000
C. f(10)<1 000 D. f(20)<10 000
考点1 函数的单调性与最值
1.(2021全国甲文,4,5分,易)下列函数中是增函数的为( )
(2) x
A. f(x)=-x B. f(x)=
3
C. f(x)=x2 D. f(x)=√3 x
2.(2023新课标Ⅰ,4,5分,易)设函数f(x)=2 x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是 (
)
A.(-∞,-2] B.[-2,0)
C.(0,2] D.[2,+∞)3.(2020新高考Ⅱ,7,5分,中)已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)单调递增,则a的取值范围是
( )
A.(-∞,-1] B.(-∞,2]
C.[2,+∞) D.[5,+∞)
4.(2023全国甲文,11,5分,中)已知函数f(x)= .记a=f (√2),b=f (√3),c=f (√6),则(
e−(x−1)2
2 2 2
)
A.b>c>a B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
5.(2020新高考Ⅰ,8,5分,难)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足
xf(x-1)≥0的x的取值范围是 ( )
A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]
考点2 函数的奇偶性
1.(2023全国乙,文5,理4,5分,中)已知f(x)= xex 是偶函数,则a= ( )
eax−1
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2x−1
2.(2023新课标Ⅱ,4,5分,易)若f(x)=(x+a)·ln 为偶函数,则a= ( )
2x+1
1
A.-1 B.0 C. D.1
2
1−x
3.(2021全国乙理,4,5分,中)设函数f(x)= ,则下列函数中为奇函数的是 ( )
1+x
A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1
C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1
1
4.(2020课标Ⅱ文,10,5分,中)设函数f(x)=x3- ,则f(x) ( )
x3
A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增
B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减
C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增
D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减
5.(2020课标Ⅱ理,9,5分,中)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x) ( )A.是偶函数,且在 (1 ) 单调递增
,+∞
2
B.是奇函数,且在 ( 1 1) 单调递减
− ,
2 2
C.是偶函数,且在 ( 1) 单调递增
−∞,−
2
D.是奇函数,且在 ( 1) 单调递减
−∞,−
2
6.(2023全国甲,文14,理13,5分,易)若f(x)=(x-1)2+ax+sin( π) 为偶函数,则a= .
x+
2
7.(2021新高考Ⅰ,13,5分,易)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a= .
8.(2022全国乙文,16,5分,中)若f(x)=ln| 1 |+b是奇函数,则a= ,b= .
a+
1−x
9.(2021新高考Ⅱ,14,5分,中)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x): .
①f(x x )=f(x )f(x );②当x∈(0,+∞)时, f '(x)>0;③f '(x)是奇函数.
1 2 1 2
考点3 函数的周期性和对称性
1.(2021新高考Ⅱ,8,5分,中)设函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数, f(2x+1)为奇函数,
则 ( )
A.f ( 1)=0 B.f(-1)=0
−
2
C.f(2)=0 D.f(4)=0
2.(2021全国甲理,12,5分,难)设函数f(x)的定义域为R, f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,当
x∈[1,2]时, f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f(9)=( )
2
9 3 7 5
A.- B.- C. D.
4 2 4 2
3.(2022新高考Ⅱ,8,5分,难)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), f(1)=1,则
22
∑❑f(k)= ( )
k=1A.-3 B.-2 C.0 D.1
4.(2022 全国乙理,12,5 分,难)已知函数 f(x),g(x)的定义域均为 R,且 f(x)+g(2-x)=5,g(x)-
22
f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则∑❑f(k)= ( )
k=1
A.-21 B.-22 C.-23 D.-24
5.(多选)(2023新课标Ⅰ,11,5分,中)已知函数f(x)的定义域为R, f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则 (
)
A.f(0)=0
B.f(1)=0
C.f(x)是偶函数
D.x=0为f(x)的极小值点
6.(多选)(2022新高考Ⅰ,12,5分,难)已知函数f(x)及其导函数f '(x)的定义域均为R,记g(x)=
f '(x).若f(3 ),g(2+x)均为偶函数,则( )
−2x
2
A. f(0)=0 B.g( 1)=0
−
2
C. f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)三年模拟
练速度
1.(2024东北三省三校第一次联合模拟,3)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0
a
时, f(x)=x2+ ,若f(3)=-8,则a= ( )
x
1 1
A.-3 B.3 C. D.-
3 3
x
2.(2024河北唐山一模,4)已知函数f(x)= ,则f(x)的最小值为 ( )
√x−2
A.0 B.2 C.2√2 D.3
{2x+2−x,x≤3,
3.(2024江苏南通第二次调研,4)已知函数f(x)= 则f(log 9)= ( )
(x) 2
f ,x>3,
2
8 10 80 82
A. B. C. D.
3 3 9 9
4.(2024浙江金丽衢十二校第二次联考,3)若函数f(x)=ln(ex+1)+ax为偶函数,则实数a的值
为 ( )
1 1
A.- B.0 C. D.1
2 2
x+b
5.(2024湖北T8联盟模拟,6)已知函数f(x)=xlg (a≠b)为偶函数,若b>1,则a不可能为
x+a
( )
A.-2 024 B.-2 C.-√2 D.-1
6.(2024福建福州质检,5)若函数f(x)=3|a-2x|在区间(1,2)上单调递减,则a的取值范围是 (
)
A.(-∞,2] B.(-∞,4]
C.[2,+∞) D.[4,+∞)
7.(2024江苏宿迁调研测试,7)已知定义在 R上的奇函数 f(x)满足 f(2-x)=f(x),当0≤x≤1时,
f(x)=2x-1,则f(log 12)= ( )
2
1 1 1 1
A.- B.- C. D.
3 4 3 2
8.(2024湖南常德模拟,3)已知奇函数y=f(x)是定义域为R的连续函数,且在区间(0,+∞)上单
调递增,则下列说法正确的是 ( )
A.函数y=f(x)+x2在R上单调递增B.函数y=f(x)-x2在(0,+∞)上单调递增
C.函数y=x2f(x)在R上单调递增
D.函数y=f(x)在(0,+∞)上单调递增
x2
9.(2024广东茂名一模,6)函数y=f(x)和y=f(x-2)均为R上的奇函数,若f(1)=2,则f(2 023)=(
)
A.-2 B.-1 C.0 D.2
10.(2024山东菏泽一模,6)已知f(x)=xh(x),其中h(x)是奇函数且在R上为增函数,则 ( )
A. f( 1)>f( 3)>f( 2)
log − −
23 2 2 2 3
B. f( 3)>f( 2)>f( 1)
− − log
2 2 2 3 23
C. f( 1)>f( 2)>f( 3)
log − −
23 2 3 2 2
D. f( 2)>f( 3)>f( 1)
− − log
2 3 2 2 23
11.(2024 辽宁沈阳育才中学模拟,7)函数 y=xf(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x)在区间
[0,+∞)上单调递增,若关于实数t的不等式f(log t)+f(log t)>2f(2)恒成立,则t的取值范围是
3 1
3
( )
A.( 1)∪(3,+∞) B.( 1)
0, 0,
3 3
C.(9,+∞) D.( 1)∪(9,+∞)
0,
9
12.(2024 安徽皖江名校联盟二模,8)已知函数 y=f(x)(x≠0)满足 f(xy)=f(x)+f(y)-1,当 x>1 时,
f(x)<1,则 ( )
A. f(x)为奇函数
B.若f(2x+1)>1,则-10,
f(x)≤1的解集为 .
15.(2024山东聊城一模,13)若函数f(x)={6a−x,x≤4,的值域为(2,+∞),则实数a的取值范围
log x,x>4
2
为 .
练思维
1.(2024广西柳州三模,8)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对于任意不相等的x,y∈R,
都有|f(x)-f(y)|<|x-y|.若函数g(x)-f(x)=x,则不等式g(2x-x2)+g(x-2)<0的解集是( )
A.(-1,2)
B.(1,2)
C.(-∞,-1)∪(2,+∞)
D.(-∞,1)∪(2,+∞)
2.(2024安徽A10联盟质量检测,8)若定义在R上的函数f(x),满足2f(x+y)f(x-y)=f(2x)+f(2y),
且f(1)=-1,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 024)= ( )
A.0 B.-1 C.2 D.1
3.(2024浙江温州二模,8)
{1 m
已知定义在(0,1)上的函数f(x)= ,x是有理数 (m,n是互质的正整数),则下列结论正确
n n
1,x是无理数,
的是 ( )
1
A. f(x)的图象关于x= 对称
2
B. f(x)的图象关于 (1 1) 对称
,
2 2
C. f(x)在(0,1)单调递增
D. f(x)有最小值4.(多选)(2024 广东一模,10)已知偶函数 f(x)的定义域为 R, f(1 ) 为奇函数,且 f(x)在
x+1
2
[0,1]上单调递增,则下列结论正确的是 ( )
A. f( 3)<0 B. f(4)>0
−
2 3
C. f(3)<0 D. f(2024)>0
3
5.(多选)(2024 山东齐鲁名校联盟联考,9)已知函数 f(x)的定义域为 R, f(2x+1)为奇函数,
f(4-x)=f(x), f(0)=2,且f(x)在[0,2]上单调递减,则 ( )
A. f(1)=0
B. f(8)=2
C. f(x)在[6,8]上单调递减
D. f(x)在[0,100]上有50个零点
6.(多选)(2024湖北新高考联考协作体模拟(五),10)已知函数f(x)在R上可导,且f(x)的导函
数为g(x).若f(1)=1, f(x)+f(4-x)=0,g(2x+1)为奇函数,则下列说法正确的有 ( )
A. f(x)是奇函数
B.g(x)的图象关于点 ( 1 ) 对称
− ,0
2
C. f(2x+1)+f(1-2x)=0
2024
D.∑ ❑f(k)=0
k=1
7.(多选)(2024福建厦门第三次质量检测,10)定义在R上的函数f(x)的值域为(-∞,0),且f(2x)
+f(x+y)f(x-y)=0,则 ( )
A. f(0)=-1 B. f(4)+f2(1)=0
C. f(x)f(-x)=1 D. f(x)+f(-x)≤-2
8.(多选)(2024浙江杭州二模,10)已知函数f(x)对任意实数x均满足2f(x)+f(x2-1)=1,则 (
)
A. f(-x)=f(x)
B. f(√2)=1
1
C. f(-1)=
3D.函数f(x)在区间(√2,√3)上不单调
9.(多选)(2024 浙江丽水、湖州、衢州二模,11)已知函数 f(x)的定义域为 R,且 f(x+y)f(x-
y)=f2(x)-f2(y), f(1)=2, f(x+1)为偶函数,则( )
A. f(3)=2 B. f(x)为奇函数
2024
C. f(2)=0 D.∑ ❑f(k)=0
k=1
10.(多选)(2024 福建莆田第二次教学质量检测,11)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:
f(x+y)=f(x)+f(y)-3xy(x+y),则 ( )
A.y=f(x)是奇函数
B.若f(1)=1,则f(-2)=4
C.若f(1)=-1,则y=f(x)+x3为增函数
D.若∀x>0, f(x)+x3>0,则y=f(x)+x3为增函数
11.(多选)(2024安徽黄山第一次质量检测,11)已知函数f(x)及其导函数f '(x)的定义域均为
R,记g(x)=f '(x).若f(x)满足f(2+3x)=f(-3x),g(x-2)的图象关于直线x=2对称,且g(0)=1,则 (
)
A. f(x)是奇函数 B.g(1)=0
C. f(x)=f(x+4) D.
∑
2
❑
024g(k)=0
2
k=1
12.(多选)(2024 江苏南通二调,11)已知函数 f(x),g(x)的定义域均为 R, f(x)的图象关于点
(2,0)对称,g(0)=g(2)=1,g(x+y)+g(x-y)=g(x)f(y),则 ( )
A. f(x)为偶函数
B.g(x)为偶函数
C.g(-1-x)=-g(-1+x)
D.g(1-x)=g(1+x)
练风向
(概念深度理解)(多选)(2024湖北七市州3月联考,11)我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标
原点成中心对称图形的充要条件是函数 y=f(x)为奇函数.有同学发现可以将其推广为函数
y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.已知函
4
数f(x)= ,则下列结论正确的有 ( )
2x+2
A.函数f(x)的值域为(0,2]
B.函数f(x)的图象关于点(1,1)成中心对称图形C.函数f(x)的导函数f '(x)的图象关于直线x=1对称
D.若函数g(x)满足y=g(x+1)-1为奇函数,且其图象与函数f(x)的图象有2 024个交点,记为
2024
A(x,y)(i=1,2,…,2 024),则∑ ❑(x+y)=4 048
i i i i i
i=1
专题二 函数及其性质
2.1 函数的概念和基本性质
五年高考
高考新风向
1.(概念深度理解)(2024新课标Ⅰ,6,5分,中)已知函数f(x)={−x2−2ax−a,x<0,在R上单调
ex+ln(x+1),x≥0
递增,则a的取值范围是 ( B )
A.(-∞,0] B.[-1,0]
C.[-1,1] D.[0,+∞)
2.(创新考法)(2024新课标Ⅱ,8,5分,中)设函数f(x)=(x+a)·ln(x+b).若f(x)≥0,则a2+b2的最小
值为 ( C )
1 1 1
A. B. C. D.1
8 4 2
3.(创新考法)(2024新课标Ⅱ,6,5分,中)设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax.当x∈(-1,1)时,
曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点.则a= ( D )
1
A.-1 B.
2
C.1 D.2
4.(创新考法)(2024新课标Ⅰ,8,5分,中)已知函数f(x)的定义域为R, f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当
x<3时, f(x)=x,则下列结论中一定正确的是 ( B )
A. f(10)>100 B. f(20)>1 000
C. f(10)<1 000 D. f(20)<10 000
考点1 函数的单调性与最值1.(2021全国甲文,4,5分,易)下列函数中是增函数的为( D )
A. f(x)=-x B. f(x)=(2) x
3
C. f(x)=x2 D. f(x)=√3 x
2.(2023新课标Ⅰ,4,5分,易)设函数f(x)=2 x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是 (
D )
A.(-∞,-2] B.[-2,0)
C.(0,2] D.[2,+∞)
3.(2020新高考Ⅱ,7,5分,中)已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)单调递增,则a的取值范围是
( D )
A.(-∞,-1] B.(-∞,2]
C.[2,+∞) D.[5,+∞)
4.(2023全国甲文,11,5分,中)已知函数f(x)= .记a=f (√2),b=f (√3),c=f (√6),则(
e−(x−1)2
2 2 2
A )
A.b>c>a B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
5.(2020新高考Ⅰ,8,5分,难)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足
xf(x-1)≥0的x的取值范围是 ( D )
A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]
考点2 函数的奇偶性
1.(2023全国乙,文5,理4,5分,中)已知f(x)= xex 是偶函数,则a= ( D )
eax−1
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2x−1
2.(2023新课标Ⅱ,4,5分,易)若f(x)=(x+a)·ln 为偶函数,则a= ( B )
2x+1
1
A.-1 B.0 C. D.1
2
1−x
3.(2021全国乙理,4,5分,中)设函数f(x)= ,则下列函数中为奇函数的是 ( B )
1+x
A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1
1
4.(2020课标Ⅱ文,10,5分,中)设函数f(x)=x3- ,则f(x) ( A )
x3
A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增
B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减
C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增
D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减
5.(2020课标Ⅱ理,9,5分,中)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x) ( D )
A.是偶函数,且在 (1 ) 单调递增
,+∞
2
B.是奇函数,且在 ( 1 1) 单调递减
− ,
2 2
C.是偶函数,且在 ( 1) 单调递增
−∞,−
2
D.是奇函数,且在 ( 1) 单调递减
−∞,−
2
6.(2023全国甲,文14,理13,5分,易)若f(x)=(x-1)2+ax+sin( π) 为偶函数,则a= 2 .
x+
2
7.(2021新高考Ⅰ,13,5分,易)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a= 1 .
8.(2022 全国乙文,16,5 分,中)若 f(x)=ln| 1 |+b 是奇函数,则 a= -1 ,b= ln 2
a+
1−x 2
.
9.(2021 新高考Ⅱ,14,5 分,中)写出一个同时具有下列性质①②③的函数 f(x):
f ( x )= x 4 ( x ∈R)( 答案不唯一 ) .
①f(x x )=f(x )f(x );②当x∈(0,+∞)时, f '(x)>0;③f '(x)是奇函数.
1 2 1 2
考点3 函数的周期性和对称性
1.(2021新高考Ⅱ,8,5分,中)设函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数, f(2x+1)为奇函数,
则 ( B )
A.f ( 1)=0 B.f(-1)=0
−
2C.f(2)=0 D.f(4)=0
2.(2021全国甲理,12,5分,难)设函数f(x)的定义域为R, f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,当
x∈[1,2]时, f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f(9)=( D )
2
9 3 7 5
A.- B.- C. D.
4 2 4 2
3.(2022新高考Ⅱ,8,5分,难)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), f(1)=1,则
22
∑❑f(k)= ( A )
k=1
A.-3 B.-2 C.0 D.1
4.(2022 全国乙理,12,5 分,难)已知函数 f(x),g(x)的定义域均为 R,且 f(x)+g(2-x)=5,g(x)-
22
f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则∑❑f(k)= ( D )
k=1
A.-21 B.-22 C.-23 D.-24
5.(多选)(2023新课标Ⅰ,11,5分,中)已知函数f(x)的定义域为R, f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则 (
ABC )
A.f(0)=0
B.f(1)=0
C.f(x)是偶函数
D.x=0为f(x)的极小值点
6.(多选)(2022新高考Ⅰ,12,5分,难)已知函数f(x)及其导函数f '(x)的定义域均为R,记g(x)=
f '(x).若f(3 ),g(2+x)均为偶函数,则( BC )
−2x
2
A. f(0)=0 B.g( 1)=0
−
2
C. f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)三年模拟
练速度
1.(2024东北三省三校第一次联合模拟,3)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0
a
时, f(x)=x2+ ,若f(3)=-8,则a= ( B )
x
1 1
A.-3 B.3 C. D.-
3 3
x
2.(2024河北唐山一模,4)已知函数f(x)= ,则f(x)的最小值为 ( C )
√x−2
A.0 B.2 C.2√2 D.3
{2x+2−x,x≤3,
3.(2024江苏南通第二次调研,4)已知函数f(x)= 则f(log 9)= ( B )
(x) 2
f ,x>3,
2
8 10 80 82
A. B. C. D.
3 3 9 9
4.(2024浙江金丽衢十二校第二次联考,3)若函数f(x)=ln(ex+1)+ax为偶函数,则实数a的值
为 ( A )
1 1
A.- B.0 C. D.1
2 2
x+b
5.(2024湖北T8联盟模拟,6)已知函数f(x)=xlg (a≠b)为偶函数,若b>1,则a不可能为
x+a
( D )
A.-2 024 B.-2 C.-√2 D.-1
6.(2024福建福州质检,5)若函数f(x)=3|a-2x|在区间(1,2)上单调递减,则a的取值范围是 (
D )
A.(-∞,2] B.(-∞,4]
C.[2,+∞) D.[4,+∞)
7.(2024江苏宿迁调研测试,7)已知定义在 R上的奇函数 f(x)满足 f(2-x)=f(x),当0≤x≤1时,
f(x)=2x-1,则f(log 12)= ( A )
2
1 1 1 1
A.- B.- C. D.
3 4 3 2
8.(2024湖南常德模拟,3)已知奇函数y=f(x)是定义域为R的连续函数,且在区间(0,+∞)上单
调递增,则下列说法正确的是 ( C )
A.函数y=f(x)+x2在R上单调递增B.函数y=f(x)-x2在(0,+∞)上单调递增
C.函数y=x2f(x)在R上单调递增
D.函数y=f(x)在(0,+∞)上单调递增
x2
9.(2024广东茂名一模,6)函数y=f(x)和y=f(x-2)均为R上的奇函数,若f(1)=2,则f(2 023)=(
A )
A.-2 B.-1 C.0 D.2
10.(2024山东菏泽一模,6)已知f(x)=xh(x),其中h(x)是奇函数且在R上为增函数,则 ( C
)
A. f( 1)>f( 3)>f( 2)
log − −
23 2 2 2 3
B. f( 3)>f( 2)>f( 1)
− − log
2 2 2 3 23
C. f( 1)>f( 2)>f( 3)
log − −
23 2 3 2 2
D. f( 2)>f( 3)>f( 1)
− − log
2 3 2 2 23
11.(2024 辽宁沈阳育才中学模拟,7)函数 y=xf(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x)在区间
[0,+∞)上单调递增,若关于实数t的不等式f(log t)+f(log t)>2f(2)恒成立,则t的取值范围是
3 1
3
( D )
A.( 1)∪(3,+∞) B.( 1)
0, 0,
3 3
C.(9,+∞) D.( 1)∪(9,+∞)
0,
9
12.(2024 安徽皖江名校联盟二模,8)已知函数 y=f(x)(x≠0)满足 f(xy)=f(x)+f(y)-1,当 x>1 时,
f(x)<1,则 ( C )
A. f(x)为奇函数
B.若f(2x+1)>1,则-10,
f(x)≤1的解集为 (-∞,e-1 ] .
15.(2024山东聊城一模,13)若函数f(x)={6a−x,x≤4,的值域为(2,+∞),则实数a的取值范围
log x,x>4
2
为 (1,+∞ ) .
练思维
1.(2024广西柳州三模,8)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对于任意不相等的x,y∈R,
都有|f(x)-f(y)|<|x-y|.若函数g(x)-f(x)=x,则不等式g(2x-x2)+g(x-2)<0的解集是( D )
A.(-1,2)
B.(1,2)
C.(-∞,-1)∪(2,+∞)
D.(-∞,1)∪(2,+∞)
2.(2024安徽A10联盟质量检测,8)若定义在R上的函数f(x),满足2f(x+y)f(x-y)=f(2x)+f(2y),
且f(1)=-1,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 024)= ( D )
A.0 B.-1 C.2 D.1
3.(2024浙江温州二模,8)
{1 m
已知定义在(0,1)上的函数f(x)= ,x是有理数 (m,n是互质的正整数),则下列结论正确
n n
1,x是无理数,
的是 ( A )
1
A. f(x)的图象关于x= 对称
2
B. f(x)的图象关于 (1 1) 对称
,
2 2C. f(x)在(0,1)单调递增
D. f(x)有最小值
4.(多选)(2024 广东一模,10)已知偶函数 f(x)的定义域为 R, f(1 ) 为奇函数,且 f(x)在
x+1
2
[0,1]上单调递增,则下列结论正确的是 ( BD )
A. f( 3)<0 B. f(4)>0
−
2 3
C. f(3)<0 D. f(2024)>0
3
5.(多选)(2024 山东齐鲁名校联盟联考,9)已知函数 f(x)的定义域为 R, f(2x+1)为奇函数,
f(4-x)=f(x), f(0)=2,且f(x)在[0,2]上单调递减,则 ( ABD )
A. f(1)=0
B. f(8)=2
C. f(x)在[6,8]上单调递减
D. f(x)在[0,100]上有50个零点
6.(多选)(2024湖北新高考联考协作体模拟(五),10)已知函数f(x)在R上可导,且f(x)的导函
数为g(x).若f(1)=1, f(x)+f(4-x)=0,g(2x+1)为奇函数,则下列说法正确的有 ( AD )
A. f(x)是奇函数
B.g(x)的图象关于点 ( 1 ) 对称
− ,0
2
C. f(2x+1)+f(1-2x)=0
2024
D.∑ ❑f(k)=0
k=1
7.(多选)(2024福建厦门第三次质量检测,10)定义在R上的函数f(x)的值域为(-∞,0),且f(2x)
+f(x+y)f(x-y)=0,则 ( ACD )
A. f(0)=-1 B. f(4)+f2(1)=0
C. f(x)f(-x)=1 D. f(x)+f(-x)≤-2
8.(多选)(2024浙江杭州二模,10)已知函数f(x)对任意实数x均满足2f(x)+f(x2-1)=1,则 (
ACD )
A. f(-x)=f(x)
B. f(√2)=11
C. f(-1)=
3
D.函数f(x)在区间(√2,√3)上不单调
9.(多选)(2024 浙江丽水、湖州、衢州二模,11)已知函数 f(x)的定义域为 R,且 f(x+y)f(x-
y)=f2(x)-f2(y), f(1)=2, f(x+1)为偶函数,则( BCD )
A. f(3)=2 B. f(x)为奇函数
2024
C. f(2)=0 D.∑ ❑f(k)=0
k=1
10.(多选)(2024 福建莆田第二次教学质量检测,11)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:
f(x+y)=f(x)+f(y)-3xy(x+y),则 ( ABD )
A.y=f(x)是奇函数
B.若f(1)=1,则f(-2)=4
C.若f(1)=-1,则y=f(x)+x3为增函数
D.若∀x>0, f(x)+x3>0,则y=f(x)+x3为增函数
11.(多选)(2024安徽黄山第一次质量检测,11)已知函数f(x)及其导函数f '(x)的定义域均为
R,记g(x)=f '(x).若f(x)满足f(2+3x)=f(-3x),g(x-2)的图象关于直线x=2对称,且g(0)=1,则 (
BCD )
A. f(x)是奇函数 B.g(1)=0
C. f(x)=f(x+4) D.
∑
2
❑
024g(k)=0
2
k=1
12.(多选)(2024 江苏南通二调,11)已知函数 f(x),g(x)的定义域均为 R, f(x)的图象关于点
(2,0)对称,g(0)=g(2)=1,g(x+y)+g(x-y)=g(x)f(y),则 ( ACD )
A. f(x)为偶函数
B.g(x)为偶函数
C.g(-1-x)=-g(-1+x)
D.g(1-x)=g(1+x)
练风向
(概念深度理解)(多选)(2024湖北七市州3月联考,11)我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标
原点成中心对称图形的充要条件是函数 y=f(x)为奇函数.有同学发现可以将其推广为函数
y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.已知函
4
数f(x)= ,则下列结论正确的有 ( BCD )
2x+2A.函数f(x)的值域为(0,2]
B.函数f(x)的图象关于点(1,1)成中心对称图形
C.函数f(x)的导函数f '(x)的图象关于直线x=1对称
D.若函数g(x)满足y=g(x+1)-1为奇函数,且其图象与函数f(x)的图象有2 024个交点,记为
2024
A(x,y)(i=1,2,…,2 024),则∑ ❑(x+y)=4 048
i i i i i
i=1
