文档内容
2025版新教材高考数学第二轮复习
6.4 数列求和
五年高考
高考新风向
(2024全国甲理,18,12分,易)记S 为数列{a }的前n项和,已知4S =3a +4.
n n n n
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)设b =(-1)n-1na ,求数列{b }的前n项和T .
n n n n
考点 数列求和
1.(多选)(2021新高考Ⅱ,12,5分,难)设正整数n=a ·20+a ·21+…+a ·2k-1+a ·2k,其中a∈{0,1},
0 1 k-1 k i
记ω(n)=a +a +…+a ,则( )
0 1 k
A.ω(2n)=ω(n)
B.ω(2n+3)=ω(n)+1
C.ω(8n+5)=ω(4n+3)
D.ω(2n-1)=n
2.(2021新高考Ⅰ,16,5分,难)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的
某条对称轴把纸对折.规格为20 dm×12 dm的长方形纸,对折1次共可以得到10 dm×12
dm,20 dm×6 dm 两种规格的图形,它们的面积之和 S =240 dm2,对折 2 次共可以得到 5
1
dm×12 dm,10 dm×6 dm,20 dm×3 dm 三种规格的图形,它们的面积之和S =180 dm2,以此类
2n
推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ;如果对折n次,那么∑❑S =
k
k=1
dm2.
3.(2021新高考Ⅰ,17,10分,易)已知数列{a }满足a =1,a ={a +1,n为奇数,
n 1 n+1 n
a +2,n为偶数.
n
(1)记b =a ,写出b ,b ,并求数列{b }的通项公式;
n 2n 1 2 n
(2)求{a }的前20项和.
n
4.(2020新高考Ⅰ,18,12分,中)已知公比大于1的等比数列{a }满足a +a =20,a =8.
n 2 4 3
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)记b 为{a }在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{b }的前100项和S .
m n m 100三年模拟
练速度
1.(2024 浙江杭州二模,5)设数列{a },{b }满足 a =b =1,a +b =2n,a +b =2n.设 S 为数列
n n 1 1 n n+1 n+1 n n
{a +b }的前n项的和,则S = ( )
n n 7
A.110 B.120 C.288 D.306
2.(2024 浙江金丽衢十二校第二次联考,15)已知等差数列{a }的前 n 项和为 S ,且
n n
2S =2a +n2-1.
n n
(1)求a ;
n
(2)求数列{ 1 }的前n项和T .
n
a a
n n+1
3.(2024江苏南通、徐州大联考,15)已知正项数列{a }的前n项和为S ,且4S =(a +1)2.
n n n n
(1)求数列{a }的通项公式;
n
(2)若b =a · ,求数列{b }的前n项和T .
n n a n n
2n练思维
1.(2024广东汕头一模,15)已知数列{a
n
}和{b
n
},其中b
n
=2a n,n∈N*,数列{a
n
+b
n
}的前n项和为
S .
n
(1)若a =2n,求S ;
n n
(2)若S =3n,求数列{a }和{b }的通项公式.
n n n
2.(2024山东日照一模,16)已知各项均为正数的数列{a }的前n项和为S ,且a ,S , 为等差
n n n n a2
n
数列.
(1)求a 及{a }的通项公式;
1 n
4
(2)记集合 a a + ≤2k,k∈N* 的元素个数为b ,求数列{b }的前50项和.
n n k k
a
n3.(2024山东聊城二模,17)已知数列{a },{b }满足a =b +12m,a =mb ,m为常数,若{a }
n n 2n-1 2n-1 2n 2n n
为等差数列,且b -b =2(b -b )=2(a +b )=8.
4 2 3 1 1 1
(1)求m的值及{a }的通项公式;
n
(2)求{b }的前2n项和S .
n 2n
练风向
(新定义理解)(2024湖南长沙雅礼中学一模,19)约数,又称因数.它的定义如下:若整数a除
以整数m(m≠0)除得的商正好是整数而没有余数,我们就称a为m的倍数,m为a的约数.设
正整数a共有k个正约数,即为a ,a ,…,a ,a (a 1),依题意有
n
{a 1 q+a 1 q3=20, 解得a =2,q=2或a =32,q= 1 (舍)(注意:不要忽略公比大于1这一条件),
1 1
a q2=8, 2
1
所以a =2n,所以数列{a }的通项公式为a =2n.
n n n
(2)由于21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,
所以b 对应的区间为(0,1],则b =0;
1 1
b ,b 对应的区间分别为(0,2],(0,3],则b =b =1,即有2个1;
2 3 2 3
b ,b ,b ,b 对应的区间分别为(0,4],(0,5],(0,6],(0,7],则b =b =b =b =2,即有22个2;
4 5 6 7 4 5 6 7
b ,b ,…,b 对应的区间分别为(0,8],(0,9],…,(0,15],则b =b =…=b =3,即有23个3;
8 9 15 8 9 15
b ,b ,…,b 对应的区间分别为(0,16],(0,17],…,(0,31],则b =b =…=b =4,即有24个4;
16 17 31 16 17 31
b ,b ,…,b 对应的区间分别为(0,32],(0,33],…,(0,63],则b =b =…=b =5,即有25个5;
32 33 63 32 33 63
b ,b ,…,b 对应的区间分别为(0,64],(0,65],…,(0,100],则b =b =…=b =6,即有37个6.
64 65 100 64 65 100
所以S =1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×37=480.
100三年模拟
练速度
1.(2024 浙江杭州二模,5)设数列{a },{b }满足 a =b =1,a +b =2n,a +b =2n.设 S 为数列
n n 1 1 n n+1 n+1 n n
{a +b }的前n项的和,则S = ( A )
n n 7
A.110 B.120 C.288 D.306
2.(2024 浙江金丽衢十二校第二次联考,15)已知等差数列{a }的前 n 项和为 S ,且
n n
2S =2a +n2-1.
n n
(1)求a ;
n
(2)求数列{ 1 }的前n项和T .
n
a a
n n+1
解析 (1)因为2S =2a +n2-1,①
n n
所以当n≥2时,2S =2a +(n-1)2-1,②
n-1 n-1
1
①-②得2a =2a -2a +2n-1,整理得a =n- ,n≥2,
n n n-1 n-1
2
1
所以a =n+ ,n∈N*.
n
2
1
(2)由(1)知a =n+ ,
n
2
1 1 1
1 2 2
所以 =( 1)( 3)= 1- 3= - ,
a a n+ n+ n+ n+ 2n+1 2n+3
n n+1 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2
所以T = + +…+ = - + - +…+ - = - .
n a a a a a a 3 5 5 7 2n+1 2n+3 3 2n+3
1 2 2 3 n n+1
3.(2024江苏南通、徐州大联考,15)已知正项数列{a }的前n项和为S ,且4S =(a +1)2.
n n n n
(1)求数列{a }的通项公式;
n
(2)若b =a · ,求数列{b }的前n项和T .
n n a n n
2n
解析 (1)因为4S = ,
n (a +1) 2
n
所以当n≥2时,4S = ,
n-1 (a +1) 2
n−1
所以4a = - = - +2a -2a ,
n (a +1) 2 (a +1) 2 a2 a2 n n-1
n n−1 n n−1
整理,得2a +2a =(a -a )(a +a ),
n n-1 n n-1 n n-1
因为a >0,
n所以a -a =2,
n n-1
所以数列{a }是公差为2的等差数列.
n
当n=1时,4S =4a = ,
1 1 (a +1) 2
1
解得a =1,
1
所以数列{a }的通项公式为a =2n-1.
n n
(2)由(1)得b =a · =(2n-1)(2n+1-1)=(2n-1)2n+1-(2n-1),
n n a
2n
n n
记A =∑❑(2i-1)2i+1,B =∑❑(2i-1),
n n
i=1 i=1
n
则B =∑❑(2i-1)=n2,
n
i=1
n n
因为A =∑❑(2i-1)2i+1,2A =∑❑(2i-1)2i+2,
n n
i=1 i=1
所以-A =22+2(23+24+…+2n+1)-(2n-1)2n+2
n
=-(2n-3)2n+2-12,
所以A =(2n-3)2n+2+12,
n
所以T =A -B =(2n-3)2n+2+12-n2.
n n n
练思维
1.(2024广东汕头一模,15)已知数列{a
n
}和{b
n
},其中b
n
=2a n,n∈N*,数列{a
n
+b
n
}的前n项和为
S .
n
(1)若a =2n,求S ;
n n
(2)若S =3n,求数列{a }和{b }的通项公式.
n n n
解析 (1)当a =2n时,{a }是首项为2,公差为2的等差数列. (1分)
n n
又b =22n=4n,所以{b }是首项为4,公比为4的等比数列, (2分)
n n
从而S =(a +a +…+a )+(b +b +…+b )(3分)
n 1 2 n 1 2 n
n(2+2n) 4×(1−4n )
= +
2 1−4
4n+1 4
= +n2+n- . (6分)
3 3
(2)当n≥2时,a +b =S -S =3, (7分)
n n n n-1
当n=1时,a +b =S =3,满足上式, (8分)
1 1 1
故a
n
+b
n
=3(n∈N*),即a
n
+2a n=3, (9分)
令f(x)=x+2x,则f(x)在R上单调递增,且f(1)=3, (11分)
从而a =1, (12分)
n则b =3-a =2. (13分)
n n
2.(2024山东日照一模,16)已知各项均为正数的数列{a }的前n项和为S ,且a ,S , 为等差
n n n n a2
n
数列.
(1)求a 及{a }的通项公式;
1 n
4
(2)记集合 a a + ≤2k,k∈N* 的元素个数为b ,求数列{b }的前50项和.
n n k k
a
n
解析 (1)因为a ,S , 为等差数列,
n n a2
n
所以2S =a + ,且a >0,
n n a2 n
n
当n=1时,2S =2a =a + ,可得a =1. (2分)
1 1 1 a2 1
1
当n≥2时,2(S -S )=2a =a + -a - , (4分)
n n-1 n n a2 n-1 a2
n n−1
则a +a = - =(a +a )(a -a ),
n n-1 a2 a2 n n-1 n n-1
n n−1
由a +a >0,得a -a =1, (6分)
n n-1 n n-1
所以{a }是首项为1,公差为1的等差数列,故a =n. (7分)
n n
(2)原式等价于1( 4) ≤k,
n+
2 n
因为1( 4)≥2,当且仅当n=2时“=”成立,
n+
2 n
所以b =0,b =1, (9分)
1 2
2k−1 2 1 2 2k 2 1
当k≥3时,因为 + =k- + k,
2 2k−1 2 2k−1 2 2k k
n 2
所以能使 + ≤k成立的n的最大值为2k-1,
2 n
所以b =2k-1(k≥3), (13分)
k
(5+99)×48
所以{b }的前50项和为0+1+5+7+…+99=0+1+ =2 497. (15分)
k
2
3.(2024山东聊城二模,17)已知数列{a },{b }满足a =b +12m,a =mb ,m为常数,若{a }
n n 2n-1 2n-1 2n 2n n
为等差数列,且b -b =2(b -b )=2(a +b )=8.
4 2 3 1 1 1
(1)求m的值及{a }的通项公式;
n(2)求{b }的前2n项和S .
n 2n
解析 (1)由题意知b -b =8,b -b =4,a +b =4, (1分)
4 2 3 1 1 1
a =b +12m,
{ 1 1
a =mb ,
2 2
因为a =b +12m,a =mb ,所以 a =b +12m, (2分)
2n-1 2n-1 2n 2n
3 3
a =mb ,
4 4
a +b =2a −12m,
1 1 1
设等差数列{a }的公差为d,
n
d=2,
{
{ a −a =b −b =4=2d, 1
3 1 3 1 m= ,
则
a −a =m(b −b )=8m=2d,
解得
2
(5分)
4 2 4 2
a +b =2a −12m=4, b =−1,
1 1 1 1
a =5.
1
所以a =5+(n-1)×2=2n+3,
n
1
所以m的值为 ,{a }的通项公式为a =2n+3. (7分)
n n
2
(2)由(1)知,a =2n+3,b =a -6,b =2a , (8分)
n 2n-1 2n-1 2n 2n
所以S =(b +b +b +…+b )+(b +b +b +…+b )
2n 1 3 5 2n-1 2 4 6 2n
=(a +a +a +…+a -6n)+2(a +a +a +…+a )
1 3 5 2n-1 2 4 6 2n
n(a +a ) n(a +a ) n(5+4n+1)
= 1 2n−1 -6n+2× 2 2n = -6n+n(7+4n+3)=6n2+7n.
2 2 2
所以{b }的前2n项和S =6n2+7n. (15分)
n 2n
练风向
(新定义理解)(2024湖南长沙雅礼中学一模,19)约数,又称因数.它的定义如下:若整数a除
以整数m(m≠0)除得的商正好是整数而没有余数,我们就称a为m的倍数,m为a的约数.设
正整数a共有k个正约数,即为a ,a ,…,a ,a (a a ,所以a = ,所以a -a ,a -a ,…,a -
2 3 3 2 3 a2 2 1 3 2 k
2
a 为a -a , -a ,…, - ,所以a= (k≥4).
k-1 2 1 a2 2 ak−1 ak−2 ak−1
2 2 2 2
(3)证明:由题意知a a =a,a a =a,…,aa =a,…,(1≤i≤k)所以A= a2 + a2 +…+ a2 ,
1 k 2 k-1 i k+1-i
a a a a a a
k−1 k k−2 k−1 1 2
因为 1 ≤a −a = 1 - 1 ,…, 1 ≤a −a = 1 - 1 ,
2 1 k k−1
a a a a a a a a a a a a
1 2 1 2 1 2 k−1 k k−1 k k−1 k
a2 a2 a2 1 1 1
所 以 A= + +…+ =a2 + +…+ ≤a2
a a a a a a a a a a a a
k−1 k k−2 k−1 1 2 k−1 k k−2 k−1 1 2
( 1 1 1 1 1 1 )=a2( 1 1 ),
− + − +…+ − −
a a a a a a a a
1 2 2 3 k−1 k 1 k
1 1
因为a =1,a =a,所以 - <1,
1 k a a
1 k
所以A≤a2( 1 1 )
