文档内容
2025版新教材高考数学第二轮复习
4.2 三角函数的图象与性质
五年高考
高考新风向
1.(多想少算、回归教材)(2024新课标Ⅰ,7,5分,中)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin
( π)
3x− 的 交 点 个 数 为
6
( )
A.3 B.4 C.6 D.8
( π)
2.(多想少算)(多选)(2024新课标Ⅱ,9,6分,易)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin 2x− ,下
4
列说法中正确的有 ( )
A. f(x)与g(x)有相同的零点
B. f(x)与g(x)有相同的最大值
C. f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D. f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
考点1 三角函数的图象及其变换
1
1.(2021全国乙理,7,5分,中)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标
2
π ( π)
不变,再把所得曲线向右平移 个单位长度,得到函数y=sin x− 的图象,则f(x)= (
3 4
)
(x 7π) (x π )
A.sin − B.sin +
2 12 2 12
( 7π) ( π )
C.sin 2x− D.sin 2x+
12 12
2.(2023全国甲,文12,理10,5分,中)函数y=f(x)的图象由函数y=cos( π) 的图象向左平
2x+
6π 1 1
移 个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y= x- 的交点个数为 ( )
6 2 2
A.1 B.2 C.3 D.4
3.(多选)(2020新高考Ⅰ,10,5分,中)函数y=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则sin(ωx+φ)=
( )
A.sin( π) B.sin(π )
x+ −2x
3 3
C.cos( π) D.cos(5π )
2x+ −2x
6 6
1
4.(2023新课标Ⅱ,16,5分,中)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y= 与曲线y=f(x)的
2
π
两个交点,若|AB|= ,则f(π)= .
6
考点2 三角函数的性质及其应用
x x
1.(2021全国乙文,4,5分,易)函数f(x)=sin +cos 的最小正周期和最大值分别是 ( )
3 3
A.3π和√2 B.3π和2
C.6π和√2 D.6π和2
2.(2021新高考Ⅰ,4,5分,易)下列区间中,函数f(x)=7sin( π) 单调递增的区间是 ( )
x−
6
A.( π) B.(π )
0, ,π
2 2C.( 3π) D.(3π )
π, ,2π
2 2
3.(2023全国乙,文10,理6,5分,易)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间 (π 2π) 单调递增,直线
,
6 3
x=π和x=2π为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f ( 5π)=( )
−
6 3 12
√3 1 1 √3
A.- B.- C. D.
2 2 2 2
4.(2020天津,8,5分,易)已知函数f(x)=sin( π).给出下列结论:
x+
3
①f(x)的最小正周期为2π;
②f(π) 是f(x)的最大值;
2
π
③把函数y=sin x的图象上所有点向左平移 个单位长度,可得到函数y=f(x)的图象.
3
其中所有正确结论的序号是( )
A.① B.①③ C.②③ D.①②③
5.(2022新高考Ⅰ,6,5分,中)记函数f(x)=sin( π)+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,
则ω的取值范围是 .
9.(2022全国乙理,15,5分,中)记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)=
√3 π
,x= 为f(x)的零点,则ω的最小值为 .
2 9
10.(2021全国甲理,16,5分,难)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则满足条件
7π 4π
f(x)-f - f(x)-f >0的最小正整数x为 .
4 3
1
11.(2020课标Ⅲ理,16,5分,难)关于函数f(x)=sin x+ 有如下四个命题:
sinx
①f(x)的图象关于y轴对称.
②f(x)的图象关于原点对称.
π
③f(x)的图象关于直线x= 对称.
2
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是 .三年模拟
练速度
1
1.(2024广东揭阳二模,4)把函数f(x)=3sin 3x的图象向左平移 个最小正周期后,所得图象
4
对应的函数为 ( )
A.y=3sin( 3) B.y=3sin( 3)
3x+ 3x−
4 4
C.y=3cos 3x D.y=-3cos 3x
2.(2024辽宁八市八校第二次联考,3)已知函数f(x)=sin( π)(ω>0)图象相邻两条对称轴
ωx+
4
之间的距离为2π,若f(x)在(-m,m)上是增函数,则m的取值范围是 ( )
A.( π] B.( π] C.( 3π] D.( 3π]
0, 0, 0, 0,
4 2 4 2
3.(2024黑龙江部分重点中学第二次联考,7)函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图
象如图所示,则函数y=f(x)-1在区间[0,2π]内的零点个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4.(多选)(2024福建莆田二模,9)已知函数f(x)=sin xcos x,则 ( )
A. f(π)=1
4 2
B. f(x)的最大值为1
C. f(x)在 ( π) 上单调递增
0,
2
D.将函数f(x)的图象向右平移π个单位长度后与f(x)的图象重合
5.(2024湖北四调,12)设函数f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)对任意的x(x∈R)均满足f(-x)=f(x),则tan
φ= .练思维
π
1.(2024江苏南京、盐城一模,5)关于函数f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,0<φ< ,有下列四个
2
说法:
①f(x)的最大值为3
②f(x)的图象可由y=3sin x的图象平移得到
π
③f(x)的图象上相邻两个对称中心间的距离为
2
π
④f(x)的图象关于直线x= 对称
3
若有且仅有一个说法是错误的,则f(π)= ( )
2
3√3 3 3 3√3
A.- B.- C. D.
2 2 2 2
2.(2024 湖南长沙长郡中学、浙江杭州二中、江苏南京师大附中三校联考,7)已知函数
f(x)=(sin x- cos x)cos x,若f(x)在区间[ π ]上是单调函数,则实数θ的取值范围是 (
√3 − ,θ
3
)
A.[π π) B.[ π π)
, − ,
6 3 6 3
C.( π π ] D.( π π ]
− ,− − ,
3 12 3 12
3.(2024广东广州二模,7)已知函数f(x)= sin(ωx+φ)( π) 的部分图象如图所示,若
√2 ω>0,|φ|<
2
将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位长度后所得曲线关于 y轴对称,则θ的最小值为
( )π π 3π π
A. B. C. D.
8 4 8 2
4.(2024浙江省镇海中学适应性测试,6)已知函数f(x)=2cos2ωx+sin 2ωx-1(ω>0), f(x )=f(x )=
1 2
√2 2π
,|x -x |的最小值为 ,则ω= ( )
1 2
2 3
1
A. B.1 C.2 D.3
2
5.(多选)(2024黑龙江齐齐哈尔二模,9)已知函数f(x)=sin( π)+cos( 5π),则 ( )
x− x−
3 6
A. f( 2π) 为偶函数
x−
3
B.曲线y=f(x)的对称中心为 ( π ),k∈Z
kπ+ ,0
3
C. f(x)在区间 (π 4π) 上单调递减
,
3 3
D. f(x)在区间 (π 4π) 上有一条对称轴
,
3 3
π
6.(多选)(2024河南五市联考,10)函数f(x)=2sin(ωx+φ) ω>0,|φ|< 的部分图象如图所示,
2
则 ( )
π
A.ω=2,φ=
6
π π
B.不等式f(x)>1的解集为 kπ+ ,kπ+ (k∈Z)
6 2
7π
C. 为f(x)的一个零点
12π
D.若A,B,C为△ABC内角,且f(A)=f(B),则A=B或C=
3
7.(多选)(2024广东深圳二模,10)已知函数f(x)=sin ωx+acos ωx(x∈R,ω>0)的最大值为2,其
部分图象如图所示,则 ( )
A.a=√3
B.函数f( π) 为偶函数
x−
6
C.满足条件的正实数ω存在且唯一
D. f(x)是周期函数,且最小正周期为π
1
8.(2024山东济宁一模,15)已知函数f(x)= (sin2x-cos2x)-√3sin xcos(π-x).
2
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(A π)=√3,b=2c- a.求角B的大小.
+ √2
2 4 29.(2024重庆第六次质量检测,16)设函数f(x)=cos ωxsin( π)-1(ω>0),且函数f(x)的图
ωx+
6 4
π
象相邻两条对称轴之间的距离为 .
2
(1)若x∈[ π],求f(x)的值域;
0,
2
1
(2)把函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变),再将所得图象向左平移
2
π
个单位长度,得到函数g(x)的图象,讨论函数g(x)的单调性;
6
1
(3)在△ABC中,记A,B,C所对的边分别为a,b,c, f(A)=- ,外接圆面积为4π,tan B=(2-√3)tan
2
C,△ABC的内角∠BAC的平分线与外角平分线分别交直线BC于D,E两点,求DE的长度.
10.(2024福建三明质量检测,16)已知函数f(x)=sin ωx+cos( π)(其中ω>0)图象的两条
ωx+
6
π
相邻对称轴间的距离为 .
2
(1)若f(x)在(0,m)上有最大值无最小值,求实数m的取值范围;
π
(2)将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度;再将图象上所有点的横坐标变为原来的 2倍
6
1
(纵坐标不变),得到g(x)的图象,设h(x)=g(x)+ x,求h(x)在(-2π,π)上的极大值点.
2练风向
1.(创新考法)(2024广东广州一模,6)已知函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可
能是 ( )
A. f(x)=sin(tan x) B. f(x)=tan(sin x)
C. f(x)=cos(tan x) D. f(x)=tan(cos x)
2.(创新知识交汇)(2024湖北武汉二调,7)函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图,若⃗TA=⃗AB,则
点A的纵坐标为 ( )
2−√2 √3−1
A. B. C.√3-√2 D.2-√3
2 24.2 三角函数的图象与性质
五年高考
高考新风向
1.(多想少算、回归教材)(2024新课标Ⅰ,7,5分,中)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin
( π) 的 交 点 个 数 为
3x−
6
( C )
A.3 B.4 C.6 D.8
2.(多想少算)(多选)(2024新课标Ⅱ,9,6分,易)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin( π),下
2x−
4
列说法中正确的有 ( BC )
A. f(x)与g(x)有相同的零点
B. f(x)与g(x)有相同的最大值
C. f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D. f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
考点1 三角函数的图象及其变换
1
1.(2021全国乙理,7,5分,中)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标
2
不变,再把所得曲线向右平移 π个单位长度,得到函数 y=sin( π) 的图象,则 f(x)=
x−
3 4
( B )
A.sin(x 7π) B.sin(x π )
− +
2 12 2 12C.sin( 7π) D.sin( π )
2x− 2x+
12 12
2.(2023全国甲,文12,理10,5分,中)函数y=f(x)的图象由函数y=cos( π) 的图象向左平
2x+
6
π 1 1
移 个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y= x- 的交点个数为 ( C )
6 2 2
A.1 B.2 C.3 D.4
3.(多选)(2020新高考Ⅰ,10,5分,中)函数y=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则sin(ωx+φ)=
( BC )
A.sin( π) B.sin(π )
x+ −2x
3 3
C.cos( π) D.cos(5π )
2x+ −2x
6 6
1
4.(2023新课标Ⅱ,16,5分,中)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y= 与曲线y=f(x)的
2
π √3
两个交点,若|AB|= ,则f(π)= - .
6 2
考点2 三角函数的性质及其应用
x x
1.(2021全国乙文,4,5分,易)函数f(x)=sin +cos 的最小正周期和最大值分别是 ( C
3 3
)
A.3π和√2 B.3π和2
C.6π和√2 D.6π和22.(2021新高考Ⅰ,4,5分,易)下列区间中,函数f(x)=7sin( π) 单调递增的区间是 ( A
x−
6
)
A.( π) B.(π )
0, ,π
2 2
C.( 3π) D.(3π )
π, ,2π
2 2
3.(2023全国乙,文10,理6,5分,易)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间 (π 2π) 单调递增,直线
,
6 3
x=π和x=2π为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f ( 5π)=( D )
−
6 3 12
√3 1 1 √3
A.- B.- C. D.
2 2 2 2
4.(2020天津,8,5分,易)已知函数f(x)=sin( π).给出下列结论:
x+
3
①f(x)的最小正周期为2π;
②f(π) 是f(x)的最大值;
2
π
③把函数y=sin x的图象上所有点向左平移 个单位长度,可得到函数y=f(x)的图象.
3
其中所有正确结论的序号是( B )
A.① B.①③ C.②③ D.①②③
5.(2022新高考Ⅰ,6,5分,中)记函数f(x)=sin( π)+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,
则ω的取值范围是 [2,3 ) .
9.(2022全国乙理,15,5分,中)记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)=
√3 π
,x= 为f(x)的零点,则ω的最小值为 3 .
2 9
10.(2021全国甲理,16,5分,难)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则满足条件
7π 4π
f(x)-f - f(x)-f >0的最小正整数x为 2 .
4 3
1
11.(2020课标Ⅲ理,16,5分,难)关于函数f(x)=sin x+ 有如下四个命题:
sinx
①f(x)的图象关于y轴对称.
②f(x)的图象关于原点对称.π
③f(x)的图象关于直线x= 对称.
2
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是 ②③ .三年模拟
练速度
1
1.(2024广东揭阳二模,4)把函数f(x)=3sin 3x的图象向左平移 个最小正周期后,所得图象
4
对应的函数为 ( C )
A.y=3sin( 3) B.y=3sin( 3)
3x+ 3x−
4 4
C.y=3cos 3x D.y=-3cos 3x
2.(2024辽宁八市八校第二次联考,3)已知函数f(x)=sin( π)(ω>0)图象相邻两条对称轴
ωx+
4
之间的距离为2π,若f(x)在(-m,m)上是增函数,则m的取值范围是 ( B )
A.( π] B.( π] C.( 3π] D.( 3π]
0, 0, 0, 0,
4 2 4 2
3.(2024黑龙江部分重点中学第二次联考,7)函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图
象如图所示,则函数y=f(x)-1在区间[0,2π]内的零点个数为( C )
A.3 B.4 C.5 D.6
4.(多选)(2024福建莆田二模,9)已知函数f(x)=sin xcos x,则 ( AD )
A. f(π)=1
4 2
B. f(x)的最大值为1
C. f(x)在 ( π) 上单调递增
0,
2
D.将函数f(x)的图象向右平移π个单位长度后与f(x)的图象重合
5.(2024湖北四调,12)设函数f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)对任意的x(x∈R)均满足f(-x)=f(x),则tan
φ= 1 .练思维
π
1.(2024江苏南京、盐城一模,5)关于函数f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,0<φ< ,有下列四个
2
说法:
①f(x)的最大值为3
②f(x)的图象可由y=3sin x的图象平移得到
π
③f(x)的图象上相邻两个对称中心间的距离为
2
π
④f(x)的图象关于直线x= 对称
3
若有且仅有一个说法是错误的,则f(π)= ( D )
2
3√3 3 3 3√3
A.- B.- C. D.
2 2 2 2
2.(2024 湖南长沙长郡中学、浙江杭州二中、江苏南京师大附中三校联考,7)已知函数
f(x)=(sin x- cos x)cos x,若f(x)在区间[ π ]上是单调函数,则实数θ的取值范围是 (
√3 − ,θ
3
C )
A.[π π) B.[ π π)
, − ,
6 3 6 3
C.( π π ] D.( π π ]
− ,− − ,
3 12 3 12
3.(2024广东广州二模,7)已知函数f(x)= sin(ωx+φ)( π) 的部分图象如图所示,若
√2 ω>0,|φ|<
2
将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位长度后所得曲线关于 y轴对称,则θ的最小值为
( A )π π 3π π
A. B. C. D.
8 4 8 2
4.(2024浙江省镇海中学适应性测试,6)已知函数f(x)=2cos2ωx+sin 2ωx-1(ω>0), f(x )=f(x )=
1 2
√2 2π
,|x -x |的最小值为 ,则ω= ( A )
1 2
2 3
1
A. B.1 C.2 D.3
2
5.(多选)(2024黑龙江齐齐哈尔二模,9)已知函数f(x)=sin( π)+cos( 5π),则 ( BD
x− x−
3 6
)
A. f( 2π) 为偶函数
x−
3
B.曲线y=f(x)的对称中心为 ( π ),k∈Z
kπ+ ,0
3
C. f(x)在区间 (π 4π) 上单调递减
,
3 3
D. f(x)在区间 (π 4π) 上有一条对称轴
,
3 3
π
6.(多选)(2024河南五市联考,10)函数f(x)=2sin(ωx+φ) ω>0,|φ|< 的部分图象如图所示,
2
则 ( BCD )
π
A.ω=2,φ=
6
π π
B.不等式f(x)>1的解集为 kπ+ ,kπ+ (k∈Z)
6 2
7π
C. 为f(x)的一个零点
12π
D.若A,B,C为△ABC内角,且f(A)=f(B),则A=B或C=
3
7.(多选)(2024广东深圳二模,10)已知函数f(x)=sin ωx+acos ωx(x∈R,ω>0)的最大值为2,其
部分图象如图所示,则 ( ACD )
A.a=√3
B.函数f( π) 为偶函数
x−
6
C.满足条件的正实数ω存在且唯一
D. f(x)是周期函数,且最小正周期为π
1
8.(2024山东济宁一模,15)已知函数f(x)= (sin2x-cos2x)-√3sin xcos(π-x).
2
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(A π)=√3,b=2c- a.求角B的大小.
+ √2
2 4 2
1
解析 (1)f(x)=- cos 2x+√3sin xcos x
2
√3 1
= sin 2x- cos 2x
2 2
=sin( π). (4分)
2x−
6
π π π
令- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z,
2 6 2
π π
得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, (5分)
6 3
π π
所以f(x)的单调递增区间为 - +kπ, +kπ (k∈Z).(6分)
6 3(2)由(1)知, f(A π)=sin( π)=√3,
+ A+
2 4 3 2
又A∈(0,π),所以A+π∈(π 4π),所以A=π, (8分)
,
3 3 3 3
由正弦定理及b=2c-√2a得sin B=2sin C-√2sin A, (9分)
因为A+B+C=π,
所以sin B=2sin(2π )-√6, (10分)
−B
3 2
√2
整理得cos B= , (12分)
2
又B∈( 2π),所以B=π,
0,
3 4
π
故角B的大小为 . (13分)
4
9.(2024重庆第六次质量检测,16)设函数f(x)=cos ωxsin( π)-1(ω>0),且函数f(x)的图
ωx+
6 4
π
象相邻两条对称轴之间的距离为 .
2
(1)若x∈[ π],求f(x)的值域;
0,
2
1
(2)把函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变),再将所得图象向左平移
2
π
个单位长度,得到函数g(x)的图象,讨论函数g(x)的单调性;
6
1
(3)在△ABC中,记A,B,C所对的边分别为a,b,c, f(A)=- ,外接圆面积为4π,tan B=(2-√3)tan
2
C,△ABC的内角∠BAC的平分线与外角平分线分别交直线BC于D,E两点,求DE的长度.
解析 (1)f(x)=cos ωxsin( π)-1
ωx+
6 4
√3 1 1
= cos ωxsin ωx+ cos2ωx-
2 2 4=√3sin 2ωx+1cos 2ωx=1sin( π),
2ωx+
4 4 2 6
T π 2π
由题意得 = ,又T= ,ω>0,
2 2 |2ω|
∴ω=1,则f(x)=1sin( π).
2x+
2 6
若x∈[ π],则2x+π∈[π 7π],∴f(x)∈[ 1 1].
0, , − ,
2 6 6 6 4 2
(2)由题意得g(x)=1sin( 5π),
4x+
2 6
π 5π π π 1 π 1
由- +2kπ≤4x+ ≤ +2kπ(k∈Z),得- + kπ≤x≤- + kπ(k∈Z);
2 6 2 3 2 12 2
π 5π 3π π 1 π 1
由 +2kπ≤4x+ ≤ +2kπ(k∈Z),得- + kπ≤x≤ + kπ(k∈Z).
2 6 2 12 2 6 2
[ π 1 π 1 ] π 1 π 1
∴g(x)在 − + kπ,− + kπ (k∈Z)上单调递增,在 - + kπ, + kπ (k∈Z)上单调递
3 2 12 2 12 2 6 2
减.
(3)f(A)=1sin( π)=-1⇔sin( π)=-1,
2A+ 2A+
2 6 2 6
2
∵00)图象的两条
ωx+
6
π
相邻对称轴间的距离为 .
2
(1)若f(x)在(0,m)上有最大值无最小值,求实数m的取值范围;
π
(2)将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度;再将图象上所有点的横坐标变为原来的 2倍
6
1
(纵坐标不变),得到g(x)的图象,设h(x)=g(x)+ x,求h(x)在(-2π,π)上的极大值点.
2
解析 (1)f(x)=1sin ωx+√3cos ωx=sin( π),
ωx+
2 2 3
π
因为图象相邻两条对称轴间的距离为 ,
2
π 2π
所以周期T=2× =π,即ω= =2,
2 T
因此f(x)=sin( π),
2x+
3
当x∈(0,m)时,2x+π∈(π π),
,2m+
3 3 3
π π 3π π 7π
若f(x)在(0,m)有最大值无最小值,则由正弦函数图象得 <2m+ ≤ ,解得 0,h(x)单调递增,
−2π,−
3
当x∈( 4π 2π) 时,h'(x)<0,h(x)单调递减,
− ,−
3 3
当x∈( 2π 2π) 时,h'(x)>0,h(x)单调递增,
− ,
3 3
当x∈(2π
)
时,h'(x)<0,h(x)单调递减,
,π
3
4π 2π
所以h(x)的极大值点为- 和 .
3 3
练风向
1.(创新考法)(2024广东广州一模,6)已知函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可
能是 ( D )
A. f(x)=sin(tan x) B. f(x)=tan(sin x)
C. f(x)=cos(tan x) D. f(x)=tan(cos x)
2.(创新知识交汇)(2024湖北武汉二调,7)函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图,若⃗TA=⃗AB,则
点A的纵坐标为 ( B )2−√2 √3−1
A. B. C.√3-√2 D.2-√3
2 2
