2025版新教材高考数学第二轮复习
9.2 随机事件、古典概型与条件概率
五年高考
高考新风向
(创新考法)(2024全国甲理,16,5分,难)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中无放
回地随机取3次,每次取1个球.设m为前两次取出的球上数字的平均值,n为取出的三个
1
球上数字的平均值,则m与n之差的绝对值不大于 的概率为 .
2
考点1 随机事件和古典概型
1.(2022新高考Ⅰ,5,5分,易)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质
的概率为 ( )
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 2 3
2.(2023全国甲文,4,5分,易)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名
学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为 ( )
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 2 3
3.(2022全国甲文,6,5分,中)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取 2张,则
抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为 ( )
1 1 2 2
A. B. C. D.
5 3 5 3
4.(2020江苏,4,5分,易)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2次,观察向上的点数,则点
数和为5的概率是 .
5.(2022全国乙,文14,理13,5分,易)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,
则甲、乙都入选的概率为 .
6.(2022全国甲理,15,5分,中)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的
概率为 .
7.(2023天津,13,5分,中)把若干个黑球和白球(这些球除颜色外没有其他差异)放进三个空
箱子中.三个箱子中的球数之比为5∶4∶6,且其中的黑球比例依次为40%,25%,50%.若从每个
箱子中各随机摸出一球,则三个球都是黑球的概率为 ;若把所有球放在一起,然后随
机摸出一球,则该球是白球的概率为 .考点2 事件的相互独立性
1.(2021新高考Ⅰ,8,5分,中)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机
取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”,乙表示事件“第二次取
出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 8”,丁表示事件“两次取出
的球的数字之和是7”,则( )
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
2.(2022全国乙理,10,5分,中)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相
互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 p ,p ,p ,且p >p >p >0.记该棋手
1 2 3 3 2 1
连胜两盘的概率为p,则 ( )
A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大
C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大
D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大
3.(多选)(2023新课标Ⅱ,12,5分,难)在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立,发送0时,
收到1的概率为α(0<α<1),收到0的概率为1-α;发送1时,收到0的概率为β(0<β<1),收到1
的概率为1-β.考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送 1
次;三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,
收到的信号即为译码;三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到
1,0,1,则译码为1) ( )
A.采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-α)(1-β)2
B.采用三次传输方案,若发送1,则依次收到1,0,1的概率为β(1-β)2
C.采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为β(1-β)2+(1-β)3
D.当0<α<0.5时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译
码为0的概率
4.(2022全国甲理,19,12分,中)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目
胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知
甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率;
(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.考点3 条件概率与全概率公式
1.(2023全国甲理,6,5分,中)某地的中学生中有 60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑
雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好
滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为 ( )
A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4
2.(2022新高考Ⅱ,19,12分,中)在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患
者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图:
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率;
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总
人口的16%.从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概
率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确
到0.000 1).3.(2022新高考Ⅰ,20,12分,中)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫
生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了
100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100人(称为对照组),得到如
下数据:
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?
(2)从该地的人群中任选一人,A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B 表示事件
P(B|A) P(B|A)
“选到的人患有该疾病”, 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病
P(B|A) P(B|A)
风险程度的一项度量指标,记该指标为R.
P(A|B) P(A|B)
(i)证明:R= · ;
P(A|B) P( A|B)
(ii)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|B)的估计值,并利用(i)的结果给出R的估计值.
附:K2= n(ad−bc) 2 ,
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
.三年模拟
练速度
1.(2024山东济南一模,3)某公司现有员工120人,在荣获“优秀员工”称号的85人中,有
75人是高级工程师.既没有荣获“优秀员工”称号又不是高级工程师的员工共有 14人,公
司将随机选择一名员工接受电视新闻节目的采访,被选中的员工是高级工程师的概率为
( )
3 17 4 33
A. B. C. D.
8 24 5 40
2.(2024河北唐山一模,5)从正方体的8个顶点中任取3个连接构成三角形,则能构成正三
角形的概率为 ( )
1 1 2 4
A. B. C. D.
7 14 7 35
3.(2024浙江温州三模,3)设A,B为同一试验中的两个随机事件,则“P(A)+P(B)=1”是“事
件A,B互为对立事件”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(2024安徽合肥二模,4)甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛,采用7局4胜制(先胜4
1
局者胜,比赛结束),已知每局比赛甲获胜的概率均为 ,则甲以4比2获胜的概率为( )
2
1 3 5 15
A. B. C. D.
64 32 32 64
5.(2024 T8第二次联考,5)甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活
动,每人只能报其中一项活动,每项活动至少有一个人参加,则甲、乙、丙三位同学所报活
动各不相同的概率为 ( )
5 6 9 8
A. B. C. D.
18 25 25 9
6.(2024河南郑州二模,6)在某次测试中,若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是
0.5,0.6和0.7,且三人的测试结果相互独立,测试结束后,在甲、乙、丙三人中恰有两人没有
达到优秀等级的条件下,乙达到优秀等级的概率为 ( )
5 7
A. B.
8 89 20
C. D.
29 29
7.(2024东北三省四市联考质量检测二,6)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变
化,每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“ ”和阴爻“
”,下图就是一重卦,在所有重卦中随机取一重卦,记事件A=“取出的重卦中
至少有1个阴爻”,事件B=“取出的重卦中至少有3个阳爻”.则P(B|A)= ( )
5 11
A. B.
16 32
41 15
C. D.
63 64
8.(2024湘豫联考二模,5)某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛,现有“初心”“使
命”两支预备队.选哪支队是随机的,其中选“初心”队获胜的概率为0.8,选“使命”队
获胜的概率为0.7,单位在比赛中获胜的条件下,选“使命”队参加比赛的概率为 ( )
2 2
A. B.
9 5
8 7
C. D.
15 15
9.(2024广东湛江一模,8)在一次考试中有一道 4个选项的双选题,其中B和C是正确选
项,A和D是错误选项,甲、乙两名同学都完全不会这道题目,只能在4个选项中随机选取
两个选项.设事件M=“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”,事件N=“甲、乙两人所选选
项完全不同”,事件X=“甲、乙两人所选选项完全相同”,事件Y=“甲、乙两人均未选择B
选项”,则 ( )
A.事件M与事件N相互独立
B.事件X与事件Y相互独立
C.事件M与事件Y相互独立
D.事件N与事件Y相互独立
10.(多选)(2024湖南师大附中月考七,9)一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个
白球,从中无放回地随机取两次,每次取1个球,记事件A :第一次取出的是红球;事件A :第
1 2
一次取出的是白球;事件B:取出的两球同色;事件C:取出的两球中至少有一个红球,则 (
)
A.事件A ,A 互斥
1 2B.事件B,C相互独立
2
C.P(B)=
5
3
D.P(C|A )=
2 4
11.(2024山东枣庄3月模拟,14)盒子内装有编号为1,2,3,…,10的10个除编号外完全相同
的玻璃球.从中任取三球,则其编号之和能被3整除的概率为 .
12.(2024江苏、浙江部分学校大联考,13)有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的
次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%.加工出来的零件混放在一起,已知第1,2,3台
车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.任取一个零件,如果取到的零件是次品,则
它是第2台车床加工的概率为 .
13.(2024湖北黄冈中学三模,17)某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会 100
m跑项目.比赛分为初赛和决赛,其中初赛有两轮,只有两轮都获胜才能进入决赛,已知甲在
3 2 3
每轮比赛中获胜的概率均为 ;乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为 和 ;丙在
4 3 4
3 1 3
第一轮和第二轮获胜的概率分别为p和 -p,其中 <p< .
2 2 4
(1)甲、乙、丙三人中,谁进入决赛的可能性最大;
29
(2)若甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为 ,求p的值;
72
(3)在(2)的条件下,设进入决赛的人数为ξ,求ξ的分布列.
练思维1.(2024山东菏泽一模,8)若数列{a }的通项公式为a =(-1)n-1n,记在数列{a }的前n+2(n∈N*)
n n n
项中任取两数都是正数的概率为P ,则( )
n
2
A.P = B.P <P C.P <P D.P <P
1 3 9 10 10 11 11 12
2.(2024浙江杭州学军中学适应性测试,6)小蒋同学喜欢吃饺子.某日他前往食堂购买16个
1
饺子,其中有X个为香菇肉馅,其余为玉米肉馅,且P(X=i)= ,i=0,1,…,16.在小蒋吃到的前
17
13个饺子均为玉米肉馅的条件下,这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为 ( )
4 13 14 5
A. B. C. D.
5 16 17 6
3.(多选)(2024广东广州一模,10)甲箱中有3个红球和2个白球,乙箱中有2个红球和2个
白球(两箱中的球除颜色外,没有其他区别).先从甲箱中随机取出一球放入乙箱,分别用事
件A 和A 表示从甲箱中取出的球是红球和白球;再从乙箱中随机取出两球,用事件B表示
1 2
从乙箱中取出的两球都是红球,则 ( )
3 11
A.P(A )= B.P(B)=
1 5 50
9 2
C.P(B|A )= D.P(A |B)=
1 50 2 11
4.(多选)(2024 福建九地市质量检测,11)投掷一枚质地均匀的硬币三次,设随机变量 X =
n
{ 1,第n次投出正面,
(n=1,2,3).记A表示事件“X +X =0”,B表示事件“X =1”,C表示事件
−1,第n次投出反面, 1 2 2
“X +X +X =-1”,则 ( )
1 2 3
A.B和C互为对立事件 B.事件A和C不互斥
C.事件A和B相互独立 D.事件B和C相互独立
5.(多选)(2024湖南长沙一中月考七,11)甲、乙两同学参加普法知识对抗赛,规则是每人每
次从题库中随机抽取一题回答.若回答正确,得1分,答题继续;若回答错误,得0分,同时换
1 2
成对方进行下一轮答题.据经验统计,甲、乙每次答题正确的概率分别是 和 ,且第1题的
2 3
顺序由抛掷硬币决定,设第i次答题者是甲的概率为P,第i次回答问题结束后甲的得分是
i
K,则 ( )
i
1
A.P =
2 4
5
B.P(K =1)=
2 241 1
C.P = P+
i+1 6 i 3
1
D.E(K)= P+K (i≥2)
i 2 i i-1
6.(多选)(2024江苏南京、盐城一模,10)有n(n∈N*,n≥10)个编号分别为1,2,3,…,n的盒子,1
号盒子中有2个白球和1个黑球,其余盒子中均有1个白球和1个黑球.现从1号盒子任取
一球放入2号盒子;再从2号盒子任取一球放入3号盒子;……;以此类推,记“从i号盒子
取出的球是白球”为事件A(i=1,2,3,…,n),则 ( )
i
1 4
A.P(A A )= B.P(A |A )=
1 2 3 1 2 5
7 1
C.P(A +A )= D.P(A )=
1 2 9 10 2
7.(2024湖北武汉二调,14)“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动,在如图
所示的试验容器中,容器由三个仓组成,某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中
随机选择一个到达相邻仓或者容器外,一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获,
此时试验结束.已知该粒子初始位置在1号仓,则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器
外的概率为 .
8.(2024福建高中毕业班适应性考试,17)11分制乒乓球比赛规则如下:在一局比赛中,每两
球交换发球权,每赢一球得1分,先得11分且至少领先2分者胜,该局比赛结束;当某局比
分打成10∶10后,每球交换发球权,领先2分者胜,该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场
五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛,比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定
2 1
谁先发球,假设甲发球时甲得分的概率为 ,乙发球时甲得分的概率为 ,各球的比赛结果
3 2
相互独立,且各局的比赛结果也相互独立,已知第一局目前比分为10∶10.
(1)求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值;
(2)求第一局比赛甲获胜的概率p ;
0
(3)现用p 估计每局比赛甲获胜的概率,求该场比赛甲获胜的概率.
09.(2024浙江丽水、湖州、衢州二模,19)为保护森林公园中的珍稀动物,采用某型号红外相
机监测器对指定区域进行监测识别.若该区域有珍稀动物活动,该型号监测器能正确识别
的概率(即检出概率)为p ;若该区域没有珍稀动物活动,但监测器认为有珍稀动物活动的概
1
率(即虚警概率)为p .已知该指定区域有珍稀动物活动的概率为0.2,现用2台该型号的监
2
测器组成监测系统,每台监测器(功能一致)进行独立监测识别,若任意一台监测器识别到珍
稀动物活动,则该监测系统就判定指定区域有珍稀动物活动.
(1)若p =0.8,p =0.02.
1 2
(i)在该区域有珍稀动物活动的条件下,求该监测系统判定指定区域有珍稀动物活动的概
率;
(ii)在判定指定区域有珍稀动物活动的条件下,求指定区域实际没有珍稀动物活动的概率
(精确到0.001).
(2)若监测系统在监测识别中,当0.8≤p ≤0.9时,恒满足以下两个条件:①若判定有珍稀动物
1
活动时,该区域确有珍稀动物活动的概率至少为 0.9;②若判定没有珍稀动物活动时,该区
域确实没有珍稀动物活动的概率至少为0.9.求p 的范围(精确到0.001).
2
√35.04 √35.01
参考数据: =0.986 6, =0.986 1,0.982=0.960 4
6 6
练风向
(创新知识交汇)(2024湖北新高考联考协作体模拟(五),12)甲、乙两同学玩掷骰子游戏,规则如下:
(1)甲、乙各抛掷质地均匀的骰子一次,甲得到的点数为n ,乙得到的点数为n ;
1 2
( 4) n 1 +n 2
(2)若n +n 的值能使 2x+ 的展开式中只有第4项的二项式系数最大,则甲胜,否则乙
1 2 x
胜.那么甲胜的概率为 .
9.2 随机事件、古典概型与条件概率
五年高考
高考新风向
(创新考法)(2024全国甲理,16,5分,难)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中无放
回地随机取3次,每次取1个球.设m为前两次取出的球上数字的平均值,n为取出的三个
1 7
球上数字的平均值,则m与n之差的绝对值不大于 的概率为 .
2 15
考点1 随机事件和古典概型
1.(2022新高考Ⅰ,5,5分,易)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质
的概率为 ( D )
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 2 3
2.(2023全国甲文,4,5分,易)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名
学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为 ( D )
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 2 3
3.(2022全国甲文,6,5分,中)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取 2张,则
抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为 ( C )
1 1 2 2
A. B. C. D.
5 3 5 3
4.(2020江苏,4,5分,易)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2次,观察向上的点数,则点1
数和为5的概率是 .
9
5.(2022全国乙,文14,理13,5分,易)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,
3
则甲、乙都入选的概率为 .
10
6.(2022全国甲理,15,5分,中)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的
6
概率为 .
35
7.(2023天津,13,5分,中)把若干个黑球和白球(这些球除颜色外没有其他差异)放进三个空
箱子中.三个箱子中的球数之比为5∶4∶6,且其中的黑球比例依次为40%,25%,50%.若从每个
1
箱子中各随机摸出一球,则三个球都是黑球的概率为 ;若把所有球放在一起,然
20
3
后随机摸出一球,则该球是白球的概率为 .
5
考点2 事件的相互独立性
1.(2021新高考Ⅰ,8,5分,中)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机
取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”,乙表示事件“第二次取
出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 8”,丁表示事件“两次取出
的球的数字之和是7”,则( B )
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
2.(2022全国乙理,10,5分,中)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相
互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 p ,p ,p ,且p >p >p >0.记该棋手
1 2 3 3 2 1
连胜两盘的概率为p,则 ( D )
A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大
C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大
D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大
3.(多选)(2023新课标Ⅱ,12,5分,难)在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立,发送0时,
收到1的概率为α(0<α<1),收到0的概率为1-α;发送1时,收到0的概率为β(0<β<1),收到1的概率为1-β.考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送 1
次;三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,
收到的信号即为译码;三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到
1,0,1,则译码为1) ( ABD )
A.采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-α)(1-β)2
B.采用三次传输方案,若发送1,则依次收到1,0,1的概率为β(1-β)2
C.采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为β(1-β)2+(1-β)3
D.当0<α<0.5时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译
码为0的概率
4.(2022全国甲理,19,12分,中)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目
胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知
甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率;
(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.
解析 (1)记“甲学校在第i个项目获胜”为事件A(i=1,2,3),“甲学校获得冠军”为事件E.
i
1 2 4 1 2 1 1 3 4 1 2 4
则 P(E)=P(A A A )+P(A A A )+P(A A A )+P(A A A )= × × + × × + × × + × × =
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 5 5 2 5 5 2 5 5 2 5 5
3
.
5
3
∴甲学校获得冠军的概率为 .
5
(2)记“乙学校在第j个项目获胜”为事件B(j=1,2,3).X的所有可能取值为0,10,20,30.
j
1 2 4 4
则P(X=0)=P(B B B )= × × = ,
1 2 3 2 5 5 25
P(X=10)=P(B B B )+P(B B B )+P(B B B )
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 4 1 3 4 1 2 1 11
= × × + × × + × × = ,
2 5 5 2 5 5 2 5 5 25
P(X=20)=P(B B B )+P(B B B )+P(B B B )
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 3 4 1 2 1 1 3 1 17
= × × + × × + × × = ,
2 5 5 2 5 5 2 5 5 50
1 3 1 3
P(X=30)=P(B B B )= × × = .
1 2 3 2 5 5 50
∴X的分布列为
X 0 10 20 304 11 17 3
P
25 25 50 50
4 11 17 3
∴E(X)=0× +10× +20× +30× =13.
25 25 50 50
考点3 条件概率与全概率公式
1.(2023全国甲理,6,5分,中)某地的中学生中有 60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑
雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好
滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为 ( A )
A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4
2.(2022新高考Ⅱ,19,12分,中)在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患
者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图:
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率;
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总
人口的16%.从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概
率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确
到0.000 1).
解 析 (1) 平 均 年 龄 为
(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.00
2)×10=47.9(岁).
(2) 设 事 件 A 为 “ 该 地 区 一 位 这 种 疾 病 患 者 的 年 龄 位 于 区 间
[20,70)”,P(A)=(0.012+0.017+0.023+0.020+0.017)×10=0.89,∴估计该地区一位这种疾病患者
的年龄位于区间[20,70)的概率为0.89.
(3)设事件B=“任选一人年龄位于区间[40,50)”,事件C=“任选一人患这种疾病”,由条件概
率公式可得
P(BC) 0.1%×0.023×10 0.001×0.23
P(C|B)= = = =0.001 437 5≈0.001 4.
P(B) 16% 0.16
3.(2022新高考Ⅰ,20,12分,中)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了
100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100人(称为对照组),得到如
下数据:
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?
(2)从该地的人群中任选一人,A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B 表示事件
P(B|A) P(B|A)
“选到的人患有该疾病”, 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病
P(B|A) P(B|A)
风险程度的一项度量指标,记该指标为R.
P(A|B) P(A|B)
(i)证明:R= · ;
P(A|B) P( A|B)
(ii)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|B)的估计值,并利用(i)的结果给出R的估计值.
附:K2= n(ad−bc) 2 ,
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
.
200×(40×90−10×60) 2
解析 (1)由题中数据可知K2= =24>6.635,所以有99%的把握认为
100×100×50×150
患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
P(B|A) P(B|A) P(AB) P(A) P(BA) P(A)
(2)(i) 证 明 : 因 为 R= · = · · · =
P(B|A) P(B|A) P(A) P(BA) P(A) P(BA)
P(AB)·P(BA)
,
P(BA)·P(BA)
( P(AB))
注 意P(B|A)=
P(A)
且P(A|B)·P(A|B)=P(AB)· P(B) ·P(AB)· P(B) = P(AB)·P(AB),
P(A|B) P( A|B) P(B) P(AB) P(B) P(AB) P(AB)·P(AB)
P(A|B) P(A|B)
所以R= · .
P(A|B) P( A|B)40 2 10 1 60 3 90 9
(ii)由题表中数据可知P(A|B)= = ,P(A|B)= = ,P(A|B)= = ,P(A|B)= = ,
100 5 100 10 100 5 100 10
2 9
P(A|B) P(A|B) 5 10
所以R= · = × =6.
P(A|B) P( A|B) 3 1
5 10三年模拟
练速度
1.(2024山东济南一模,3)某公司现有员工120人,在荣获“优秀员工”称号的85人中,有
75人是高级工程师.既没有荣获“优秀员工”称号又不是高级工程师的员工共有 14人,公
司将随机选择一名员工接受电视新闻节目的采访,被选中的员工是高级工程师的概率为
( C )
3 17 4 33
A. B. C. D.
8 24 5 40
2.(2024河北唐山一模,5)从正方体的8个顶点中任取3个连接构成三角形,则能构成正三
角形的概率为 ( A )
1 1 2 4
A. B. C. D.
7 14 7 35
3.(2024浙江温州三模,3)设A,B为同一试验中的两个随机事件,则“P(A)+P(B)=1”是“事
件A,B互为对立事件”的 ( B )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(2024安徽合肥二模,4)甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛,采用7局4胜制(先胜4
1
局者胜,比赛结束),已知每局比赛甲获胜的概率均为 ,则甲以4比2获胜的概率为( C )
2
1 3 5 15
A. B. C. D.
64 32 32 64
5.(2024 T8第二次联考,5)甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活
动,每人只能报其中一项活动,每项活动至少有一个人参加,则甲、乙、丙三位同学所报活
动各不相同的概率为 ( C )
5 6 9 8
A. B. C. D.
18 25 25 9
6.(2024河南郑州二模,6)在某次测试中,若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是
0.5,0.6和0.7,且三人的测试结果相互独立,测试结束后,在甲、乙、丙三人中恰有两人没有
达到优秀等级的条件下,乙达到优秀等级的概率为 ( C )
5 7
A. B.
8 89 20
C. D.
29 29
7.(2024东北三省四市联考质量检测二,6)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变
化,每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“ ”和阴爻“
”,下图就是一重卦,在所有重卦中随机取一重卦,记事件A=“取出的重卦中
至少有1个阴爻”,事件B=“取出的重卦中至少有3个阳爻”.则P(B|A)= ( C )
5 11
A. B.
16 32
41 15
C. D.
63 64
8.(2024湘豫联考二模,5)某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛,现有“初心”“使
命”两支预备队.选哪支队是随机的,其中选“初心”队获胜的概率为0.8,选“使命”队
获胜的概率为0.7,单位在比赛中获胜的条件下,选“使命”队参加比赛的概率为 ( D
)
2 2
A. B.
9 5
8 7
C. D.
15 15
9.(2024广东湛江一模,8)在一次考试中有一道 4个选项的双选题,其中B和C是正确选
项,A和D是错误选项,甲、乙两名同学都完全不会这道题目,只能在4个选项中随机选取
两个选项.设事件M=“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”,事件N=“甲、乙两人所选选
项完全不同”,事件X=“甲、乙两人所选选项完全相同”,事件Y=“甲、乙两人均未选择B
选 项 ” , 则
( C )
A.事件M与事件N相互独立
B.事件X与事件Y相互独立
C.事件M与事件Y相互独立
D.事件N与事件Y相互独立
10.(多选)(2024湖南师大附中月考七,9)一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个
白球,从中无放回地随机取两次,每次取1个球,记事件A :第一次取出的是红球;事件A :第
1 2
一次取出的是白球;事件B:取出的两球同色;事件C:取出的两球中至少有一个红球,则 (ACD )
A.事件A ,A 互斥
1 2
B.事件B,C相互独立
2
C.P(B)=
5
3
D.P(C|A )=
2 4
11.(2024山东枣庄3月模拟,14)盒子内装有编号为1,2,3,…,10的10个除编号外完全相同
7
的玻璃球.从中任取三球,则其编号之和能被3整除的概率为 .
20
12.(2024江苏、浙江部分学校大联考,13)有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的
次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%.加工出来的零件混放在一起,已知第1,2,3台
车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.任取一个零件,如果取到的零件是次品,则
2
它是第2台车床加工的概率为 .
7
13.(2024湖北黄冈中学三模,17)某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会 100
m跑项目.比赛分为初赛和决赛,其中初赛有两轮,只有两轮都获胜才能进入决赛,已知甲在
3 2 3
每轮比赛中获胜的概率均为 ;乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为 和 ;丙在
4 3 4
3 1 3
第一轮和第二轮获胜的概率分别为p和 -p,其中 <p< .
2 2 4
(1)甲、乙、丙三人中,谁进入决赛的可能性最大;
29
(2)若甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为 ,求p的值;
72
(3)在(2)的条件下,设进入决赛的人数为ξ,求ξ的分布列.
(3) 2 9 2 3 1
解析 (1)甲进入决赛的概率为p = = ,乙进入决赛的概率为p = × = ,丙进入决赛
1 4 16 2 3 4 2
(3 ) 3 ( 3) 2 9 1 3 9
的概率为p =p −p =-p2+ p=- p− + ,而 <p< ,故p < ,所以甲进入决赛的可能
3 2 2 4 16 2 4 3 16
性最大.9 1 [ (3 )] 9 ( 1)
(2)甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为 × × 1−p −p + × 1− p
16 2 2 16 2
(3 ) ( 9 ) 1 (3 ) 29
−p + 1− × ×p −p = ,整理可得18p2-27p+10=0.
2 16 2 2 72
1 3 2
由 <p< ,解得p= .
2 4 3
9 1 5
(3)由题意可知,甲、乙、丙进入决赛的概率分别为 、 、 ,由题意可知,随机变量ξ的
16 2 9
可能取值为0、1、2、3,
7 1 4 7 29 9 1 5 5 9 ( 1) ( 5)
P(ξ=0)= × × = ,P(ξ=2)= ,P(ξ=3)= × × = ,P(ξ=1)= × 1− × 1− +
16 2 9 72 72 16 2 9 32 16 2 9
( 9 ) 1 ( 5) ( 9 ) ( 1) 5 11
1− × × 1− + 1− × 1− × = ,
16 2 9 16 2 9 32
所以随机变量ξ的分布列如表.
ξ 0 1 2 3
7 11 29 5
P
72 32 72 32
练思维
1.(2024山东菏泽一模,8)若数列{a }的通项公式为a =(-1)n-1n,记在数列{a }的前n+2(n∈N*)
n n n
项中任取两数都是正数的概率为P ,则( C )
n
2
A.P = B.P <P C.P <P D.P <P
1 3 9 10 10 11 11 12
2.(2024浙江杭州学军中学适应性测试,6)小蒋同学喜欢吃饺子.某日他前往食堂购买16个
1
饺子,其中有X个为香菇肉馅,其余为玉米肉馅,且P(X=i)= ,i=0,1,…,16.在小蒋吃到的前
17
13个饺子均为玉米肉馅的条件下,这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为 ( C )
4 13 14 5
A. B. C. D.
5 16 17 6
3.(多选)(2024广东广州一模,10)甲箱中有3个红球和2个白球,乙箱中有2个红球和2个
白球(两箱中的球除颜色外,没有其他区别).先从甲箱中随机取出一球放入乙箱,分别用事件A 和A 表示从甲箱中取出的球是红球和白球;再从乙箱中随机取出两球,用事件B表示
1 2
从乙箱中取出的两球都是红球,则 ( ABD )
3 11
A.P(A )= B.P(B)=
1 5 50
9 2
C.P(B|A )= D.P(A |B)=
1 50 2 11
4.(多选)(2024 福建九地市质量检测,11)投掷一枚质地均匀的硬币三次,设随机变量 X =
n
{ 1,第n次投出正面,
(n=1,2,3).记A表示事件“X +X =0”,B表示事件“X =1”,C表示事件
−1,第n次投出反面, 1 2 2
“X +X +X =-1”,则 ( BC )
1 2 3
A.B和C互为对立事件 B.事件A和C不互斥
C.事件A和B相互独立 D.事件B和C相互独立
5.(多选)(2024湖南长沙一中月考七,11)甲、乙两同学参加普法知识对抗赛,规则是每人每
次从题库中随机抽取一题回答.若回答正确,得1分,答题继续;若回答错误,得0分,同时换
1 2
成对方进行下一轮答题.据经验统计,甲、乙每次答题正确的概率分别是 和 ,且第1题的
2 3
顺序由抛掷硬币决定,设第i次答题者是甲的概率为P,第i次回答问题结束后甲的得分是
i
K,则 ( BCD )
i
1
A.P =
2 4
5
B.P(K =1)=
2 24
1 1
C.P = P+
i+1 6 i 3
1
D.E(K)= P+K (i≥2)
i 2 i i-1
6.(多选)(2024江苏南京、盐城一模,10)有n(n∈N*,n≥10)个编号分别为1,2,3,…,n的盒子,1
号盒子中有2个白球和1个黑球,其余盒子中均有1个白球和1个黑球.现从1号盒子任取
一球放入2号盒子;再从2号盒子任取一球放入3号盒子;……;以此类推,记“从i号盒子
取出的球是白球”为事件A(i=1,2,3,…,n),则 ( BC )
i
1 4
A.P(A A )= B.P(A |A )=
1 2 3 1 2 5
7 1
C.P(A +A )= D.P(A )=
1 2 9 10 2
7.(2024湖北武汉二调,14)“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动,在如图所示的试验容器中,容器由三个仓组成,某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中
随机选择一个到达相邻仓或者容器外,一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获,
此时试验结束.已知该粒子初始位置在1号仓,则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器
10
外的概率为 .
13
8.(2024福建高中毕业班适应性考试,17)11分制乒乓球比赛规则如下:在一局比赛中,每两
球交换发球权,每赢一球得1分,先得11分且至少领先2分者胜,该局比赛结束;当某局比
分打成10∶10后,每球交换发球权,领先2分者胜,该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场
五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛,比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定
2 1
谁先发球,假设甲发球时甲得分的概率为 ,乙发球时甲得分的概率为 ,各球的比赛结果
3 2
相互独立,且各局的比赛结果也相互独立,已知第一局目前比分为10∶10.
(1)求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值;
(2)求第一局比赛甲获胜的概率p ;
0
(3)现用p 估计每局比赛甲获胜的概率,求该场比赛甲获胜的概率.
0
解析 (1)依题意,X的所有可能取值为0,1,2. (1分)
1
设打成10∶10后甲先发球为事件A,则乙先发球为事件A,且P(A)=P(A)= ,
2
1 1 1 1 1 1 1
所以P(X=0)=P(A)·P(X=0|A)+P(A)·P(X=0|A)= × × + × × = , (2分)
2 3 2 2 2 3 6
1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1
P(X=1)=P(A)·P(X=1|A)+P( A )·P(X=1| A )= × × + × + × × + × = . (3分)
2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2
1 2 1 1 1 2 1
P(X=2)=P(A)·P(X=2|A)+P(A)·P(X=2|A)= × × + × × = . (4分)
2 3 2 2 2 3 3
所以X的分布列为
X 0 1 2
1 1 1
P
6 2 3
1 1 1 7
故X的均值为E(X)=0× +1× +2× = . (5分)
6 2 3 6(2)设第一局比赛甲获胜为事件B.
则P(B|X=0)=0,P(B|X=1)=P(B),P(B|X=2)=1. (7分)
1 1 1
由(1)知,P(X=0)= ,P(X=1)= ,P(X=2)= ,
6 2 3
1 1 1
由全概率公式,得P(B)=P(X=0)P(B|X=0)+P(X=1)P(B|X=1)+P(X=2)P(B|X=2)= ×0+ P(B)+ ,
6 2 3
(9分)
2 2
解得P(B)= ,即第一局比赛甲获胜的概率p = . (10分)
3 0 3
2 2
(3)由(2)知p = ,故估计甲每局获胜的概率均 ,
0 3 3
设甲获胜时的比赛总局数为Y,因为每局的比赛结果相互独立,
所以P(Y=3)=
(2) 3
=
8
,P(Y=4)=C1×
(2) 3
×
1
=
8
,P(Y=5)=C2×
(2) 3
×
(1) 2
=
16
. (14分)
3 27 3 3 3 27 4 3 3 81
64
故该场比赛甲获胜的概率P=P(Y=3)+P(Y=4)+P(Y=5)= . (15分)
81
9.(2024浙江丽水、湖州、衢州二模,19)为保护森林公园中的珍稀动物,采用某型号红外相
机监测器对指定区域进行监测识别.若该区域有珍稀动物活动,该型号监测器能正确识别
的概率(即检出概率)为p ;若该区域没有珍稀动物活动,但监测器认为有珍稀动物活动的概
1
率(即虚警概率)为p .已知该指定区域有珍稀动物活动的概率为0.2,现用2台该型号的监
2
测器组成监测系统,每台监测器(功能一致)进行独立监测识别,若任意一台监测器识别到珍
稀动物活动,则该监测系统就判定指定区域有珍稀动物活动.
(1)若p =0.8,p =0.02.
1 2
(i)在该区域有珍稀动物活动的条件下,求该监测系统判定指定区域有珍稀动物活动的概
率;
(ii)在判定指定区域有珍稀动物活动的条件下,求指定区域实际没有珍稀动物活动的概率
(精确到0.001).
(2)若监测系统在监测识别中,当0.8≤p ≤0.9时,恒满足以下两个条件:①若判定有珍稀动物
1
活动时,该区域确有珍稀动物活动的概率至少为 0.9;②若判定没有珍稀动物活动时,该区
域确实没有珍稀动物活动的概率至少为0.9.求p 的范围(精确到0.001).
2
√35.04 √35.01
参考数据: =0.986 6, =0.986 1,0.982=0.960 4
6 6
解析 记事件A为“检测系统判定指定区域有珍稀动物活动”,事件B为“监测区域实际上有珍稀动物活动.” (2分)
P(AB) 0.2×[1−(1−p ) 2 ]
(1)(i)P(A|B)= = 1 =0.96.
P(B) 0.2
因此在该区域有珍稀动物活动的条件下,该监测系统判定指定区域有珍稀动物活动的概
率是0.96. (4分)
(ii)由题意得P(A)=P(AB∪AB)
=P(AB)+P(AB)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)
=0.2[1-(1-p )2]+0.8[1-(1-p )2]
1 2
=0.2×[1-(1-0.8)2]+0.8×[1-(1-0.02)2]=0.223 68. (6分)
P(AB) P( A|B)·P(B)
则P(B|A)= =
P(A) P(A)
0.8×[1−(1−p ) 2 ] 0.8×(1−0.982 )
= 2 = ≈0.142.
P(A) 0.22368
因此在判定指定区域有珍稀动物活动的条件下,指定区域实际没有珍稀动物活动的概率
是0.142. (9分)
P(AB) P(A|B)·P(B)
(2)因为P(B|A)= =
P(A) P(A)
0.2[1−(1−p ) 2 ]
= 1 ,(11分)
0.2[1−(1−p ) 2 ]+0.8[1−(1−p ) 2 ]
1 2
P(AB) P(A|B)P(B)
P(B|A)= =
P(A) P(A)
0.8(1−p ) 2
= 2 (13分)
1−{0.8[1−(1−p ) 2 ]+0.2[1−(1−p ) 2 ]}
2 1
{P(B|A)≥0.9,
由题意
P(B|A)≥0.9,
{ 0.2[1−(1−p ) 2 ]
1 ≥0.9,
0.2[1−(1−p ) 2 ]+0.8[1−(1−p ) 2 ]
得 1 2
0.8(1−p ) 2
2 ≥0.9,
1−{0.8[1−(1−p ) 2 ]+0.2[1−(1−p ) 2 ]}
2 1
令1-p =x,1-p =y,得0.8≤p ≤0.9,0<p <1,
1 2 1 2
故0.1≤x≤0.2,0<y<1,{
0.2×(1−x2
)
≥0.9,
0.8×(1−y2 )+0.2×(1−x2 ) {36 y2−x2≥35,
0.8 y2 4 y2≥9x2,
≥0.9,
1−[0.8(1−y2 )+0.2(1−x2
)]
{ y2≥
x2+35
,
36
(15分)
9x2
y2≥ .
4
x2+35 9x2 x2+35
因为0.1≤x≤0.2,所以 ≥ ,所以y2≥ ,
36 4 36
√35.04 √35.04
故 ≤y<1,即 ≤1-p <1,
6 6 2
√35.04
所以0<p ≤1- .
2 6
因此p 的范围是(0,0.013]. (17分)
2
练风向
(创新知识交汇)(2024湖北新高考联考协作体模拟(五),12)甲、乙两同学玩掷骰子游戏,规
则如下:
(1)甲、乙各抛掷质地均匀的骰子一次,甲得到的点数为n ,乙得到的点数为n ;
1 2
( 4) n 1 +n 2
(2)若n +n 的值能使 2x+ 的展开式中只有第4项的二项式系数最大,则甲胜,否则乙
1 2 x
5
胜.那么甲胜的概率为 .
36
