文档内容
第1讲 数列的概念及简单表示法
最新考纲 考向预测
1.通过日常生活和数学中 命
以考查S 与a 的关系为主，简单的递推关系
n n
的实例，了解数列的概念 题
也是考查的热点．在高考中以选择、填空的
和表示方法(列表、图象、 趋
形式进行考查，难度为低档.
通项公式). 势
核
2.了解数列是一种特殊函 心
数学抽象、逻辑推理
数. 素
养
1．数列的有关概念
(1)数列的定义
按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项
(2)数列的分类
分类标准 类型 满足条件
按项数 有穷数列 项数有限
分类 无穷数列 项数无限
按项与项 递增数列 a ＞a
n＋1 n
间的大小 递减数列 a ＜a 其中n∈N*
n＋1 n
关系分类 常数列 a ＝a
n＋1 n
有界数列 存在正数M，使|a |≤M
n
从第二项起，有些项大于它的前一项，
按其他标准分 摆动数列
有些项小于它的前一项
类
对n∈N*，存在正整数常数k，使a
n＋k
周期数列
＝a
n(3)数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．
2．数列的通项公式
(1)数列的通项公式
如果数列{a }的第n项与 序号 n 之间的关系可以用一个式子来表达，那么这
n
个公式叫做这个数列的通项公式．
(2)已知数列{a }的前n项和S ，则a ＝
n n n
3．数列的递推公式
如果已知数列{a }的首项(或前几项)，且 任一项 a 与它的 前一项 a (n≥2)
n n n－1
(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．
常用结论
1．数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集或其子集{1，2，
3，…，n}上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值．
2．在数列{a }中，若a 最大，则若a 最小，则
n n n
常见误区
1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有
关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．
2．易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数
列的项对应的位置序号．
3．由S 求a 时，利用a ＝求出a 后，要注意验证a 是否适合求出的a 的关系
n n n n 1 n
式．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( )
(2)所有数列的第n项都能使用通项公式表示．( )
(3)数列{a }和集合{a ，a ，a ，…，a }是一回事．( )
n 1 2 3 n
(4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．( )
(5)一个确定的数列，它的通项公式只有一个．( )
(6)若数列{a }的前n项和为S ，则对∀n∈N*，都有a ＝S －S .( )
n n n n n－1
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)×
2．已知在数列{a }中，a ＝1，a ＝1＋(n≥2)，则a ＝( )
n 1 n 5A. B.
C. D.
解析：选D.a ＝1＋＝2，a ＝1＋＝，a ＝1＋＝3，a ＝1＋＝.
2 3 4 5
3．数列{a }的前几项为，3，，8，，…，则此数列的通项公式可能是( )
n
A．a ＝ B．a ＝
n n
C．a ＝ D．a ＝
n n
解析：选A.数列为，，，，，…，其分母为2，分子是首项为1，公差为5的等差数
列，故通项公式为a ＝.
n
4．在数列－1，0，，，…，中，0.08是它的第________项．
解析：依题意得＝(n∈N*)，解得n＝10或n＝(舍去)．
答案：10
5．(易错题)已知S ＝2n＋3，则a ＝________．
n n
解析：因为S ＝2n＋3，那么当n＝1时，a ＝S ＝21＋3＝5；当n≥2时，a ＝S
n 1 1 n n
－S ＝2n＋3－(2n－1＋3)＝2n－1(*)．由于a ＝5不满足(*)式，所以a ＝
n－1 1 n
答案：
由a 与S 的关系求a
n n n
(1)设S 为数列{a }的前n项和，若2S ＝3a －3，则a ＝( )
n n n n 4
A．27 B．81
C．93 D．243
(2)已知数列{a }满足a ＋2a ＋3a ＋…＋na ＝2n，则a ＝________．
n 1 2 3 n n
【解析】 (1)根据2S ＝3a －3，可得2S ＝3a －3，
n n n＋1 n＋1
两式相减得2a ＝3a －3a ，即a ＝3a ，
n＋1 n＋1 n n＋1 n
当n＝1时，2S ＝3a －3，解得a ＝3，
1 1 1
所以数列{a }是以3为首项，3为公比的等比数列，
n
所以a ＝a q3＝34＝81.
4 1
故选B.
(2)当n＝1时，由已知，可得a ＝21＝2，
1
因为a ＋2a ＋3a ＋…＋na ＝2n，①
1 2 3 n
故a ＋2a ＋3a ＋…＋(n－1)a ＝2n－1(n≥2)，②
1 2 3 n－1由①－②，得na ＝2n－2n－1＝2n－1，
n
所以a ＝(n≥2)．
n
显然当n＝1时不满足上式，
所以a ＝
n
【答案】 (1)B (2)
(1)已知S 求a 的三个步骤
n n
①先利用a ＝S 求出a ；
1 1 1
②用n－1替换S 中的n得到一个新的关系，利用a ＝S －S (n≥2)便可求
n n n n－1
出当n≥2时a 的表达式；
n
③注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并．
(2)S 与a 关系问题的求解思路
n n
根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化．
①利用a ＝S －S (n≥2)转化为只含S ，S 的关系式，再求解；
n n n－1 n n－1
②利用S －S ＝a (n≥2)转化为只含a ，a 的关系式，再求解．
n n－1 n n n－1
已知数列{a }的前 n 项和 S ＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则 a ＝
n n n
________．
解析：当n≥2时，a ＝S －S ＝2n＋1；当n＝1时，a ＝S ＝4≠2×1＋1.所以
n n n－1 1 1
a ＝
n
答案：
由递推关系求通项公式
分别求出满足下列条件的数列的通项公式．
(1)a ＝0，a ＝a ＋(2n－1)(n∈N*)；
1 n＋1 n
(2)a ＝1，a ＝2na (n∈N*)；
1 n＋1 n
(3)a ＝1，a ＝3a ＋2(n∈N*)．
1 n＋1 n
【解】 (1)a ＝a ＋(a －a )＋…＋(a －a )＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－
n 1 2 1 n n－1
3)＝(n－1)2，
所以数列的通项公式为a ＝(n－1)2.
n
(2)由于＝2n，故＝21，＝22，…，＝2n－1，
将这n－1个等式叠乘，
得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，故a ＝2，
n所以数列的通项公式为a ＝2.
n
(3)因为a ＝3a ＋2，所以a ＋1＝3(a ＋1)，所以＝3，所以数列{a ＋1}为
n＋1 n n＋1 n n
等比数列，公比q＝3，又a ＋1＝2，所以a ＋1＝2·3n－1，所以该数列的通项公式为
1 n
a ＝2·3n－1－1.
n
由递推关系求数列的通项公式的常用方法
1．已知数列{a }中，a ＝1，a ＝a ＋2n，则a ＝__________．
n 1 n＋1 n n
解析：a ＝(a －a )＋(a －a )＋…＋(a －a )＋a ＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1
n n n－1 n－1 n－2 2 1 1
＝＝2n－1.
答案：2n－1
2．设数列{a }中，a ＝2，a ＝a ，则a ＝________．
n 1 n＋1 n n
解析：因为a ＝a ，a ＝2，所以a ≠0，
n＋1 n 1 n
所以＝，
所以当n≥2时，a ＝···…···a
n 1
＝···…··2＝.a ＝2也符合上式，则a ＝.
1 n
答案：
数列的函数特征
角度一 数列的单调性
已知数列{a }的通项公式为a ＝，若数列{a }为递减数列，则实数k的
n n n
取值范围为( )
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
【解析】 因为a －a ＝－＝，由数列{a }为递减数列知，对任意n∈N*，a
n＋1 n n n＋1
－a ＝＜0，所以k＞3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．故选D.
n
【答案】 D(1)解决数列单调性问题的三种方法
①用作差比较法，根据a －a 的符号判断数列{a }是递增数列、递减数列还
n＋1 n n
是常数列；
②用作商比较法，根据(a >0或a <0)与1的大小关系进行判断；
n n
③结合相应函数的图象直观判断．
(2)求数列最大项或最小项的方法
①可以利用不等式组(n ≥2)找到数列的最大项；
②利用不等式组(n≥2)找到数列的最小项．
角度二 数列的周期性
若数列{a }满足a ＝2，a ＝，则a 的值为( )
n 1 n＋1 2 022
A．2 B．－3
C．－ D.
【解析】 因为a ＝2，a ＝，所以a ＝＝－3，同理可得a ＝－，a ＝，a ＝2，
1 n＋1 2 3 4 5
a ＝－3，a ＝－，a ＝，…，可得a ＝a ，则a ＝a ＝a ＝－3.
6 7 8 n＋4 n 2 022 505×4＋2 2
【答案】 B
解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
1．已知数列{a }中，a ＝1，a ＝2，且a ·a ＝a (n∈N )，则a 的值为(
n 1 2 n n＋2 n＋1 ＋ 2 020
)
A．2 B．1
C. D.
解析：选B.因为a ·a ＝a (n∈N )，
n n＋2 n＋1 ＋
由a ＝1，a ＝2，得a ＝2，
1 2 3
由a ＝2，a ＝2，得a ＝1，
2 3 4
由a ＝2，a ＝1，得a ＝，
3 4 5
由a ＝1，a ＝，得a ＝，
4 5 6
由a ＝，a ＝，得a ＝1，
5 6 7
由a ＝，a ＝1，得a ＝2，
6 7 8
由此推理可得数列{a }是周期为6的数列，
n
所以a ＝a ＝1，故选B.
2 020 42．数列{a }的通项公式为a ＝(n∈N*)，若a 是{a }中的最大值，则a的取值
n n 5 n
范围是________．
解析：当n≤4时，a ＝2n－1单调递增，因此n＝4时取最大值，a ＝24－1＝15.
n 4
当n≥5时，a ＝－n2＋(a－1)n
n
＝－＋.
因为a 是{a }中的最大值，
5 n
所以
解得9≤a≤12，所以a的取值范围是[9，12]．
答案：[9，12]
核心素养系列5 逻辑推理——推断数列的通项公式
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过
程，主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一
类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎．
已知数列{a }的前n项和S ＝n2a (n≥2)，且a ＝1，通过计算a ，a ，猜想
n n n 1 2 3
a ＝( )
n
A. B.
C. D.
【解析】 因为S ＝n2a ，所以a ＝S －S ＝(n＋1)2a －n2a ，
n n n＋1 n＋1 n n＋1 n
故a ＝a ，
n＋1 n
当n＝2时，a ＋a ＝4a ，a ＝1，
1 2 2 1
所以a ＝，
2
所以a ＝1＝，
1
a ＝＝，
2
a ＝a ＝×＝＝，
3 2
a ＝a ＝×＝＝，
4 3
a ＝a ＝×＝＝，
5 4
…
由此可猜想a ＝.
n
【答案】 B本题是从特殊到一般的归纳，是不完全归纳，解答此类问题的具体策略：(1)
分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符
号特征和绝对值特征；(5)化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，
或寻找分子、分母之间的关系；(6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋
1，k∈N*处理．
1．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是( )
A．a ＝n2－(n－1) B．a ＝n2－1
n n
C．a ＝ D．a ＝
n n
解析：选C.观察数列1，3，6，10，…可以发现
第n项为1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
所以a ＝.
n
2．已知数列{a }为，，－，，－，，…，则数列{a }的一个通项公式是________．
n n
解析：各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子
数比分母少3，且第1项可变为－，故原数列可变为－，，－，，…，故其通项公式
可以为a ＝(－1)n·.
n
答案：a ＝(－1)n·
n
[A级 基础练]
1．(2020·陕西榆林二中期中)数列3，6，12，21，x，48，…中的x＝( )
A．29 B．33
C．34 D．28
解析：选B.因为6－3＝3＝1×3，12－6＝6＝2×3，21－12＝9＝3×3，所以根
据规律可得x－21＝4×3，所以x＝21＋12＝33.同时也满足48－33＝15＝5×3.故
选B.
2．已知数列{a }满足：∀m，n∈N*，都有a ·a ＝a ，且a ＝，那么a ＝( )
n n m n＋m 1 5
A. B. C. D.
解析：选A.因为数列{a }满足：∀m，n∈N*，都有a ·a ＝a ，且a ＝，所以a
n n m n＋m 1 2
＝a a ＝，a ＝a ·a ＝.那么a ＝a ·a ＝.故选A.
1 1 3 1 2 5 3 2
3．在数列{a }中，“|a |>a ”是“数列{a }为递增数列”的( )
n n＋1 n nA．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.“|a |>a ”⇔a >a 或－a >a ，充分性不成立，数列{a }为递
n＋1 n n＋1 n n＋1 n n
增数列⇔|a |≥a >a 成立，必要性成立，所以“|a |>a ”是“数列{a }为递增
n＋1 n＋1 n n＋1 n n
数列”的必要不充分条件．故选B.
4．已知递增数列{a }，a ≥0，a ＝0.对于任意的正整数n，不等式t2－a－3t－
n n 1
3a ≤0恒成立，则正数t的最大值为( )
n
A．1 B．2
C．3 D．6
解析：选 C.因为数列{a }是递增数列，又 t2－a－3t－3a ＝(t－a －3)(t＋
n n n
a )≤0，t＋a ＞0，所以t≤a ＋3恒成立，t≤(a ＋3) ＝a ＋3＝3，所以t ＝3.
n n n n min 1 max
5．(多选)已知数列{a }满足a ＝1－(n∈N*)，且a ＝2，则( )
n n＋1 1
A．a ＝－1 B．a ＝
3 2 022
C．S ＝ D．S ＝1 011
3 2 022
解析：选ACD.数列{a }满足a ＝2，a ＝1－(n∈N*)，可得a ＝，a ＝－1，a
n 1 n＋1 2 3 4
＝2，a ＝，…，所以a ＝a ，数列的周期为3.a ＝a ＝a ＝－1.S ＝，S
5 n＋3 n 2 022 673×3＋3 3 3 2 022
＝1 011.
6．已知数列，，，，，…，根据前3项给出的规律，实数对(m，n)为________．
解析：由数列的前3项的规律可知解得故实数对(m，n)为.
答案：
7．已知数列{a }的第一项a ＝1，且a ＝(n＝1，2，…)，则这个数列的通项公
n 1 n＋1
式a ＝________．
n
解析：两边取倒数得＝＋1，故是以1为首项，公差为1的等差数列，故＝n，a
n
＝.
答案：
8．已知数列{a }满足a ＝(n∈N*)，则数列{a }的最小项是第__________项．
n n n
解析：因为a ＝，所以数列{a }的最小项必为a ＜0，即＜0，3n－16＜0，从而n
n n n
＜.又n∈N*，所以当n＝5时，a 的值最小．
n
答案：5
9．已知数列{a }的前n项和为S .
n n(1)若S ＝(－1)n＋1·n，求a ＋a 及a ；
n 5 6 n
(2)若S ＝3n＋2n＋1，求a .
n n
解：(1)因为a ＋a ＝S －S ＝(－6)－(－4)＝－2.
5 6 6 4
当n＝1时，a ＝S ＝1，当n≥2时，
1 1
a ＝S －S ＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝
n n n－1
(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)，
又a 也适合此式，所以a ＝(－1)n＋1·(2n－1)．
1 n
(2)因为当n＝1时，a ＝S ＝6；
1 1
当n≥2时，a ＝S －S ＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2×3n－1＋2，
n n n－1
由于a 不适合此式，所以a ＝
1 n
10．(2020·衡阳四校联考)已知数列{a }满足a ＝3，a ＝4a ＋3.
n 1 n＋1 n
(1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{a }的通项公式；
n
(2)证明：＝4.
解：(1)a ＝3，a ＝15，a ＝63，a ＝255.因为a ＝41－1，a ＝42－1，a ＝43－1，
1 2 3 4 1 2 3
a ＝44－1，…，所以归纳得a ＝4n－1.
4 n
(2)证明：因为a ＝4a ＋3，所以＝＝＝4.
n＋1 n
[B级 综合练]
11．(多选)(2020·山东“百师联盟”)对于数列{a }，令b ＝a －，则下列说法
n n n
正确的是( )
A．若数列{a }是单调递增数列，则数列{b }也是单调递增数列
n n
B．若数列{a }是单调递减数列，则数列{b }也是单调递减数列
n n
C．若a ＝3n－1，则数列{b }有最小值
n n
D．若a ＝1－，则数列{b }有最大值
n n
解析：选CD.若a ＝－1，a ＝1，则b ＝a －＝－1＋1＝0，b ＝a －＝1－1＝
1 2 1 1 2 2
0，所以b ＝b ，所以A不正确．若a ＝1，a ＝－1，则b ＝a －＝1－1＝0，b ＝a －
1 2 1 2 1 1 2 2
＝－1＋1＝0，所以b ＝b ，所以B不正确．若a ＝3n－1，则数列{a }为单调递增
1 2 n n
数列，所以当n＝1时，a 取最小值a ＝2＞0.又函数f(x)＝x－在(0，＋∞)上为增函
n 1
数，所以当n＝1时，数列{b }取得最小值，所以C正确．若a ＝1－，则b ＝1－
n n n
－，由于函数y＝x－在(0，＋∞)上是增函数．当n为偶数时，a ＝1－∈(0，1)，所以
n
b ＝a －＜0，当n为奇数时，a ＝1＋＞1，显然a 是单调递减的，因此b ＝a －也
n n n n n n
是单调递减的，即b ＞b ＞b ＞…，所以{b }的奇数项中有最大值为b ＝－＝＞0，
1 3 5 n 1
所以b ＝是数列{b }(n∈N*)中的最大值，D正确．
1 n12．(2020·昆明模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，
如图所示．
他们研究过图中的1，5，12，22，…，由于这些数能够表示成五角形，将其称为
五角形数，若按此规律继续下去，第n个五角形数a ＝__________．
n
解析：观察题图，发现a ＝1，a ＝a ＋4，a ＝a ＋7，a ＝a ＋10，猜测当n≥2
1 2 1 3 2 4 3
时，a ＝a ＋3n－2，所以a －a ＝3n－2，所以a ＝(a －a )＋(a －a )
n n－1 n n－1 n n n－1 n－1 n－2
＋…＋(a －a )＋a ＝(3n－2)＋[3(n－1)－2]＋…＋(3×2－2)＋1＝n2－n.
2 1 1
答案：n2－n
13．已知S 为正项数列{a }的前n项和，且满足S ＝a＋a (n∈N*)．
n n n n
(1)求a ，a ，a ，a 的值；
1 2 3 4
(2)求数列{a }的通项公式．
n
解：(1)由S ＝a＋a (n∈N*)，可得a ＝a＋a ，解得a ＝1；
n n 1 1 1
S ＝a ＋a ＝a＋a ，解得a ＝2；
2 1 2 2 2
同理得a ＝3，a ＝4.
3 4
(2)S ＝a＋a ，①
n n
当n≥2时，S ＝a＋a ，②
n－1 n－1
①－②得(a －a －1)(a ＋a )＝0.
n n－1 n n－1
由于a ＋a ≠0，
n n－1
所以a －a ＝1，
n n－1
又由(1)知a ＝1，
1
故数列{a }是首项为1，公差为1的等差数列，故a ＝n.
n n
14．(2020·石家庄模拟)已知数列{a }中，a ＝1，其前n项和为S ，且满足2S ＝
n 1 n n
(n＋1)a (n∈N )．
n ＋
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)记b ＝3n－λa，若数列{b }为递增数列，求λ的取值范围．
n n
解：(1)因为2S ＝(n＋1)a ，
n n
所以2S ＝(n＋2)a ，
n＋1 n＋1
所以2a ＝(n＋2)a －(n＋1)a ，
n＋1 n＋1 n即na ＝(n＋1)a ，
n＋1 n
所以＝，
所以＝＝…＝＝1，
所以a ＝n(n∈N )．
n ＋
(2)由(1)得，b ＝3n－λn2.
n
b －b ＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)
n＋1 n
＝2·3n－λ(2n＋1)．
因为数列{b }为递增数列，
n
所以2·3n－λ(2n＋1)＞0，即λ＜.
令c ＝，
n
则＝·＝＞1.
所以{c }为递增数列，所以λ＜c ＝2，
n 1
即λ的取值范围为(－∞，2)．
[C级 创新练]
15．(多选)若数列{a }满足：对于任意正整数n，{a －a }为单调递减数列，则
n n＋1 n
称数列{a }为“差递减数列”．给出下列{a }(n∈N*)，其中是“差递减数列”的
n n
有( )
A．a ＝3n B．a ＝n2＋1
n n
C．a ＝ D．a ＝ln
n n
解析：选CD.对于A，苦a ＝3n，则a －a ＝3(n＋1)－3n＝3，所以{a －a }
n n＋1 n n＋1 n
不是单调递减数列，故A错误；对于B，若a ＝n2＋1，则a －a ＝(n＋1)2＋1－n2
n n＋1 n
－1＝2n＋1，所以{a －a }是单调递增数列，不是单调递减数列，故B错误；对
n＋1 n
于C，若a ＝，则a －a ＝－＝，所以{a －a }为单调递减数列，故C正确；对
n n＋1 n n＋1 n
于D，若a ＝ln，则a －a ＝ln－ln＝ln＝ln，由函数y＝ln在(0，＋∞)上单调递减，
n n＋1 n
可知数列{a －a }为单调递减数列，故D正确．故选CD.
n＋1 n
16．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，
1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，
n∈N*)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．若此数
列被2整除后的余数构成一个新数列{a }，则数列{a }的前2 020项的和为( )
n n
A．672 B．673
C．1 347 D．2 020
解析：选C.由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以2的余数，可得{a }为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，…，
n
所以{a }是周期为3的周期数列，
n
一个周期中的三项之和为1＋1＋0＝2，
因为2 020＝673×3＋1，
所以数列{a }的前2 020项的和为673×2＋1＝1 347，
n
故选C.
