北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
9.3 双曲线
五年高考
考点1 双曲线的定义和标准方程
x2 y2
1.(2021北京,5,4分,易)若双曲线 − =1的离心率为2,且过点(√2,√3),则双曲线的方程
a2 b2
为( )
y2
A.2x2-y2=1 B.x2- =1
3
x2 y2
C.5x2-3y2=1 D. − =1
2 6
答案 B
x2 y2 √5
2.(2017课标Ⅲ理,5,5分,易)已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=
a2 b2 2
x2 y2
x,且与椭圆 + =1有公共焦点,则C的方程为 ( )
12 3
x2 y2 x2 y2
A. − =1B. − =1
8 10 4 5
x2 y2 x2 y2
C. − =1D. − =1
5 4 4 3
答案 B
x2 y2
3.(2023天津,9,5分,中)已知双曲线 − =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 、F .过F
a2 b2 1 2 2
√2
作其中一条渐近线的垂线,垂足为P.已知|PF |=2,直线PF 的斜率为 ,则双曲线的方程
2 1
4
为 ( )
x2 y2 x2 y2
A. − =1B. − =1
8 4 4 8
x2 y2 x2 y2
C. − =1D. − =1
4 2 2 4
答案 D
x2 y2
4.(2022天津,7,5分,中)已知双曲线 − =1(a>0,b>1)的左、右焦点分别为F ,F ,抛物线
a2 b2 1 2
π
y2=4√5x的准线l经过F ,且l与双曲线的一条渐近线交于点A.若∠F F A= ,则双曲线的
1 1 2 4
方程为( )北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
x2 y2 x2 y2
A. − =1B. − =1
16 4 4 16
x2 y2
C. −y2=1D.x2− =1
4 4
答案 D
y2
5.(2020课标Ⅰ文,11,5分,中)设F ,F 是双曲线C:x2- =1的两个焦点,O为坐标原点,点P
1 2
3
在C上且|OP|=2,则△PF F 的面积为( )
1 2
7
A. B.3
2
5
C. D.2
2
答案 B
考点2 双曲线的几何性质
x2 y2
1.(2018课标Ⅱ理,5,5分,易)双曲线 − =1(a>0,b>0)的离心率为√3,则其渐近线方程为(
a2 b2
)
A.y=±√2xB.y=±√3x
√2 √3
C.y=± xD.y=± x
2 2
答案 A
x2 y2
2.(2023全国甲理,8,5分,中)已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的离心率为√5,C的一条渐
a2 b2
近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|=( )
√5 2√5
A. B.
5 5
3√5 4√5
C. D.
5 5
答案 D
x2 y2
3.(2020课标Ⅲ理,11,5分,中)设双曲线C: − =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F ,F ,离
a2 b2 1 2
心率为√5.P是C上一点,且F P⊥F P.若△PF F 的面积为4,则a= ( )
1 2 1 2
A.1 B.2
C.4 D.8
答案 A北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
x2 y2
4.(2020课标Ⅱ,文9,理8,5分,中)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C: −
a2 b2
=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值
为 ( )
A.4 B.8 C.16 D.32
答案 B
y2
5.(2023全国乙理,11,5分,中)设A,B为双曲线x2- =1上两点,下列四个点中,可以为线段
9
AB中点的是 ( )
A.(1,1) B.(-1,2)
C.(1,3) D.(-1,-4)
答案 D
x2 y2
6.(2019课标Ⅲ理,10,5分,中)双曲线C: − =1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,
4 2
O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为( )
3√2 3√2
A. B.
4 2
C.2√2D.3√2
答案 A
7.(2023北京,12,5分,易)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为√2,则C的方程为
.
x2 y2
答案 − =1
2 2
x2 y2
8.(2021全国乙文,14,5分,易)双曲线 − =1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为
4 5
.
答案 √5
x2 y2
9.(2021新高考Ⅱ,13,5分,易)已知双曲线C: − =1(a>0,b>0),离心率e=2,则双曲线C的
a2 b2
渐近线方程为 , .
答案 y=√3x;y=-√3x
x2
10.(2021全国乙理,13,5分,易)已知双曲线C: -y2=1(m>0)的一条渐近线为√3x+my=0,则C
m
的焦距为 .
答案 4北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
x2 y2
11.(2020北京,12,5分,易)已知双曲线C: − =1,则C的右焦点的坐标为 ;C的
6 3
焦点到其渐近线的距离是 .
答案 (3,0);√3
x2 y2
12.(2023新课标Ⅰ,16,5分,中)已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为
a2 b2
2
F ,F ,点A在C上,点B在y轴上,⃗F A⊥⃗F B,⃗F A=− ⃗F B,则C的离心率为 .
1 2 1 1 2 3 2
3√5
答案
5
x2 y2
13.(2022全国甲文,15,5分,中)记双曲线C: − =1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件
a2 b2
“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值: .
答案 2(答案不唯一,在(1,√5]范围内取值均可)
x2 y2
14.(2019课标Ⅰ,16,5分,难)已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F ,F ,
a2 b2 1 2
过F 的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若⃗F A=⃗AB,⃗F B·⃗F B=0,则C的离
1 1 1 2
心率为 .
答案 2
三年模拟
综合基础练
x2 y2
1.(2024届四川成都阶段测,5)已知直线y=√2x是双曲线C: − =1(a>0,b>0)的一条渐近
a2 b2
线,且点(2√3,2√3)在双曲线C上,则双曲线C的方程为( )
x2 y2 x2 y2
A. − =1B. − =1
3 4 3 6
x2 y2 x2 y2
C. − =1D. − =1
6 12 12 24
答案 C
2.(2023广东佛山一模)已知双曲线C的中心位于坐标原点,焦点在坐标轴上,且虚轴比实
轴长.若直线4x+3y-20=0与C的一条渐近线垂直,则C的离心率为 ( )
5 4 5 7
A. B. C. D.
4 3 3 4
答案 C北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
x2 y2
3.(2023山东威海一模)已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的左焦点为F ,M为C上一点,M
a2 b2 1
关于原点的对称点为N,若∠MF N=60°,且|F N|=2|F M|,则C的渐近线方程为( )
1 1 1
√3
A.y=± xB.y=±√3x
3
√6
C.y=± xD.y=±√6x
6
答案 D
4.(2024届天津四十七中期中,6)已知F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,抛物线C的准线与
x2 y2
双曲线Γ: − =1(a>0,b>0)的两条渐近线交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则Γ的
a2 b2
离心率e= ( )
√3 2√3 √21 √21
A. B. C. D.
2 3 7 3
答案 D
x2 y2
5.(2024届安徽摸底大联考,4)已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为
a2 b2
F ,F ,一条渐近线为l,过点F 且与l平行的直线交双曲线C于点M,若|MF |=3|MF |,则双曲
1 2 2 1 2
线C的离心率为 ( )
A.√2B.√3C.√5 D.3
答案 B
x2 y2
6.(2024届湖南长郡湘府中学开学检测,8)已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的离心率为
a2 b2
√5,左,右焦点分别为F ,F ,F 关于C的一条渐近线的对称点为P.若|PF |=2,则△PF F 的
1 2 2 1 1 2
面积为( )
A.2 B.√5 C.3 D.4
答案 D
y2 x2 1
7.(2024届浙江宁波专题检测,7)过双曲线C: − =1(a>0,b>0)内一点M(1,1)且斜率为
a2 b2 2
的直线交双曲线于A,B两点,弦AB恰好被M平分,则双曲线C的离心率为 ( )
√6 √5
A. B. C.√3D.√5
2 2
答案 C北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
x2 y2
8.(2024届福建漳州第一次教学质检,5)已知双曲线 − =1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆
a2 b2
(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则双曲线的离心率为 ( )
A.√3B.2C.√5D.√10
答案 B
y2 x2
9.(多选)(2023湖南长沙适应性测试)已知双曲线的方程为 − =1,则 ( )
64 16
1
A.渐近线方程为y=± x
2
B.焦距为8√5
√5
C.离心率为
2
D.焦点到渐近线的距离为8
答案 BC
x2 y2
10.(2024届山东齐鲁名校第一次质检,14)已知椭圆C : + =1(a>b>0)的左、右焦点分
1 a2 b2
别为F ,F ,M是C 上任意一点, MF F 的面积的最大值为√3,C 的焦距为2,则双曲线C :
1 2 1 1 2 1 2
y2 x2
△
− =1的实轴长为 .
a2 b2
答案 4
x2 y2
11.(2023江苏二模)设过双曲线C: − =1(a>0,b>0)的左焦点F的直线l与C交于M,N
a2 b2
两点,若⃗FN=3⃗FM,且⃗OM·⃗FN=0(O为坐标原点),则C的离心率为 .
答案 √7
12.(2024届江西新高三第一次大联考,14)已知双曲线C的中心为原点,焦点在x轴上,焦距
为8,且C的离心率与它的一条渐近线的斜率之比恰好为2,则C的标准方程为 .
x2 y2
答案 − =1
12 4
x2 y2
13.(2024届江苏南京师大附中、灌南二中联考,15)已知双曲线C: − =1(a>0,b>0),直
a2 b2
线y=a与双曲线C交于M,N两点,直线y=-b与双曲线C交于P,Q两点,若|MN|=√2|PQ|,则
双曲线C的离心率等于 .
2√3
答案
3
综合拔高练1北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
x2 y2
1.(2024届广东四校第一次联考,6)已知双曲线C: − =1(a>0,b>0),斜率为-√3的直线l
a2 b2
过原点O且与双曲线C交于P,Q两点,且以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点,则双
曲线C的离心率为 ( )
√3+1
A. B.√3+1C.2√3−1D.2√3-2
2
答案 B
x2 y2
2.(2024届福建福州四中专题检测,7)已知双曲线C: − =1(a>0,b>0),F为左焦点,A ,A
a2 b2 1 2
分别为左、右顶点,P为C右支上的点,且|OP|=|OF|(O为坐标原点).若直线PF与以线段
A A 为直径的圆相交,则C的离心率的取值范围为 ( )
1 2
A.(1,√3) B.(√3,+∞)
C.(√5,+∞) D.(1,√5)
答案 D
x2 y2
3.(2023湖北恩施4月模拟,8)已知F ,F 分别为双曲线C: − =1(b>0)的左、右焦点,且
1 2 4 b2
F 到渐近线的距离为1,过F 的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且l⊥AF ,则
1 2 1
下列说法正确的是 ( )
A. AF F 的面积为2
1 2
B.双曲线C的离心率为√2
△
C.⃗AF ·⃗BF =10+4√6
1 1
1 1
D.
+ =√6+2
|A F | |BF |
2 2
答案 D
4.(多选)(2024届广东茂名信宜摸底,11)已知曲线C:x2sin α+y2cos α=1(0≤α<π),则下列说法
正确的是 ( )
A.若曲线C表示两条平行线,则α=0
π
B.若曲线C表示双曲线,则 <α<π
2
π
C.若0<α< ,则曲线C表示椭圆
2
π
D.若0<α< ,则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆
4
答案 BD
