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人教A版数学--高考解析几何复习专题九
知识点一 根据双曲线的渐近线求标准方程,求双曲线中的弦长,由中点弦坐标或中点弦
方程、斜率求参数,根据韦达定理求参数
典例1、已知双曲线 与 有相同的渐近线，且经过点
．
（1）求双曲线C的方程，并写出其离心率与渐近线方程；（2）已知直线 与
双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆 上，求实数m的值．
随堂练习：已知椭圆 长轴的顶点与双曲线 实轴的顶点
相同，且 的
右焦点 到 的渐近线的距离为 ．
（1）求 与 的方程；（2）若直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的 倍，且经过点 ， 与 交于 、 两点，与 交于 、 两点，求 ．
典例2、已知双曲线 的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，M
为双曲线C上的任一点，且点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为 ，
（1）求双曲线C的方程；（2）设过点F且与坐标轴不垂直的直线l与双曲线C相交于
点P，Q，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点B，求 的值．
随堂练习：已知双曲线 的右焦点为 ，过点F与x轴垂直的直线 与双曲线
C交于M，N两点，且 .
（1）求C的方程；（2）过点 的直线 与双曲线C的左､右两支分别交于D，E两
点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，若 ，求实数 的取值范
围.
典例3、已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ， 为 上的动点， 为 在动直
线 （ ）上的投影.当 为等边三角形时，其面积为 .
（1）求 的方程；（2）设 为原点，过点 的直线 与 相切，且与椭圆 交
于 ， 两点，直线 与 交于点 .试问：是否存在 ，使得 为 的中点？若存
在，求 的值；若不存在，请说明理由.随堂练习：已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，点
在双
曲线C上，TP垂直x轴于点P，且点P到双曲线C的渐近线的距离为2.
（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知过点 的直线l与双曲线C的右支交于A，B两
点，且
的外接圆圆心Q在y轴上，求满足条件的所有直线l的方程.
知识点二 根据椭圆过的点求标准方程,根据韦达定理求参数典例4、已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ，椭圆C的右顶
点到抛物线 的准线的距离为4．
（1）求椭圆C和抛物线E的方程；（2）设与两坐标轴都不垂直的直线l与抛物线E相
交于A，B两点，与椭圆C相交于M，N两点，O为坐标原点，若 ，则在x轴
上是否存在点H，使得x轴平分 ？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说
明理由．
随堂练习：已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，离心率为 ，以原
点为圆心､椭圆
短半轴长为半径的圆与直线 相切.
（1）求椭圆 的标准方程；（2）过点 作直线 交椭圆 于 两点（直线 与 轴不
重合）.在 轴上是否存在点 ，使得直线 与 的斜率之积为定值？若存在，求出
所有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由.典例5、已知椭圆 的右焦点为 ，短半轴长为 ， 为椭圆 上
一点， 的最小值为 ．
（1）求椭圆 的标准方程及离心率；（2）若过点 的直线 与椭圆相交于 ， 两
点，试问：在 轴上是否存在异于点 的定点 ，满足 ？若存在，求出点 的
坐标；若不存在，请说明理由．
随堂练习：设中心在原点，焦点在 轴上的椭圆 过点 ，且离心率为 ， 为的右焦点， 为
上一点， 轴， 的半径为 ．
（1）求椭圆 和 的方程；（2）若直线 与 交于 ， 两点，
与 交于 ， 两点，其中 ， 在第一象限，是否存在 使 ？若存在，求
的方程：若不存在，说明理由．
典例6、已知在 中，两直角边 ， 的长分别为 和 ，以 的中点 为
原点， 所在直线为 轴，以 的垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系，椭圆
以 ， 为焦点，且经过点 .
（1）求椭圆 的方程； （2）直线 ： 与 相交于 ， 两点，在 轴上是否存
在点 ，使得 为等边三角形，若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理
由.随堂练习：已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，其左、右焦点分别为 ， ，
短轴长为 ．点
在椭圆 上，且满足△ 的周长为6．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设过点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，试问在 轴上是否存在一个定点
，使得 恒为定值？若存在，求出该定值及点 的坐标；若不存在，请说明
理由．人教A版数学--高考解析几何复习专题九答案
典例 1、答案：（1）双曲线 C的方程为 ，离心率 ，渐近线方程为
（2）
解：（1）因为双曲线C与 有相同的渐近线，
所以可设双曲线C的方程为 ，
代入 ，得 ，得 ，故双曲线C的方程为 ，
所以 ， ， ，故离心率 ， 渐近线方程为 ．
（2）联立直线AB与双曲线C的方程，得 ，
整理得 ， ．
设 ， ，则AB的中点坐标为 ，
由根与系数的关系得， ， ，
所以AB的中点坐标为 ，
又点 在圆 上，所以 ， 所以 ．
随堂练习：答案： （1） ， （2）
解：（1）由题意可得 ，则 ． 因为 的渐近线方程为 ，即
，
椭圆 的右焦点为 ，由题意可得 ， ，解得
，故椭圆 的方程为 ，双曲线 的方程为 ．
（2）设直线 的倾斜角为 ， 所以，直线 的斜率为
，
所以直线 的方程为 ， 联立 得 ，则
，
设 、 ，则 ， ， 所以
,
联立 可得 ， ，
设点 、 ，则 ， ，
所以， ，故 ．
典例2、答案： （1） （2）1
解：（1）由题意可得，渐近线的方程为 ， 设 ，则有 ，即
，
因为点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为 ，
所以 ，
又离心率 ，即 ，所以 ，所以 ， ，所以双曲线的方程为 ；
（2）由（1）知， ，设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ， 所以
，
若 ， ，则 ， ，
所以 |， 所以
，
所以 的中点坐标为 ，
所以线段 的垂直平分线的方程为 ，
整理得 ，所以 ， 则 ，所以
．
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）由题意得 ，解得 故C的方程为 .
（2）显然直线 率存在，设直线 的方程为 ， ， ，
联立 ，得 ，
因为 与双曲线C的左，右两支分别交于D，E两点，故 ， 解得 ， 此时有 .
， ，
由 ，解得 ，同理可得 ，所以
.
因为 ，故 . 因为 ，故 ，
故实数 的取值范围是 .
典例3、答案： （1） ； （2）存在， ，理由见解析.
解：（1）设 ， ， 因为 为等边三角形时，其面积为 ，
所以 ，解得 ，即 ，
由抛物线定义可知，y=t为抛物线的准线，
由题意可知 ，所以 ， 所以 的
方程 ；
（2）设 ，则 在动直线 上的投影 ， 当 时， ，
由 可得 ，所以切线 的斜率为 ，
设 ， ，线段 的中点 ，由 ，可得 ， 所以
，
整理可得： ，即 ，所以 ，
可得 ，又因为 ，
所以当 时， ，此时 三点共线，满足 为 的中点，
综上，存在 ，使得点 为 的中点恒成立， .
随堂练习：答案： （1） （2） 或
解：（1）由 在双曲线C上，得 ， 由TP垂直x轴于点P，得
，
则由 到双曲线C的渐近线 的距离为2， 得 ，得
，
联立 和 ， 解得 ， ， 即双曲线C的标准方程为
.
（2）由题意， ， 当直线 无斜率时，直线方程为 ，则 、
，
则 为等腰三角形，若 的外接圆的圆心Q在y轴上，
则 ，而 ， ， ， 不符合题意（舍）；当直线 存在斜率时，设直线方程为 ，
联立 ，得 ， 即
设直线l与双曲线C的右支相交于 、 ，
则 ， 解得 ，即 或 ；
则 ， ， 从而 ，
则线段AB的中点 ， 且
.
由题意设 ， 易知Q在线段AB的垂直平分线上，因此 ，
得 ，即 ， 连接QP，QA，QM，因此 .
由勾股定理可得， ，
又 ，则 ，
化简得 ，得 （ 舍去），
因此直线l的方程为 ， 即 或 .
典例4、答案： （1） ； （2）存在；解：（1）由已知得 ，∴ ， ． ∴椭圆 的方程为 ．
∴椭圆 的右顶点为 ． ∴ ，解得 ． ∴抛物线 的方程为
．
（2）由题意知直线l的斜率存在且不为0．
设直线 的方程为 ， ， ．
由 消去y，得 ．
∴ ，∴ ． ∴ ， ．
∴ ．
∴ ． ∴ ，∴ ．∴ ，此时
．
∴直线l的方程为 ． 假设在 轴上存在点 ，使得 轴平分
，
则直线 的斜率与直线 的斜率之和为 ，
设 ， ， 由 消去 ，得 ．∴ ，即 恒成立． ∴ ，
．
∵ ， ∴ ．
∴ ． ∴ ．
∴ ．解得 ． ∴在 轴上存在点 ，使得 轴平分 ．
随堂练习：答案： （1） ； （2）存在，点 的坐标为 和 .
解：（1）由题意知，直线 与圆 相切，
所以圆心 到直线 的距离 ，即 .
因为 ，所以 .
故椭圆 的标准方程为 .
（2）因为直线 过点 且与 轴不重合，所以可设直线 的方程为 .
联立方程，得 化简并整理得
设 ，则 .所以
设存在点 ，则直线 与 的斜率分别为 ，
所以
令 ，解得 或 . 当 时， ；
当 时， . 因此，满足条件的点 的坐标为 和
.
典例 5、答案：（1）椭圆 的标准方程为 ，离心率 ；（2）存在点
，使得 ．
解：（1）由题知， ， 又 ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程为 ， 椭圆 的离心率 ．
（2）当直线 的斜率存在时，设 ， ．联立 ，消去 并整理得 ， 由 ，得
或
则 ，
若存在异于点 的定点 ，使得 ，则 的平分线与 轴平行，即
．
设 ， 则
解得 ，即 ；
当直线 斜率的不存在时，由对称性，显然有 ．
综上，存在点 ，使得 ．
随堂练习：答案： （1） ， . （2）不存在，理由见解析
解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为 ， 椭圆的离心率 ， ，， ， 将点 代入椭圆的方程得： ，
联立 解得： ， 椭圆 的方程为： ， ，
轴， ， 的方程为： ；
（2）由 、 在圆上得 ，
设 ， ， ， 同理： ，
若 ，则 ，即 ， ，
由 得 ，
得 ，无解，故不存在．
典例6、答案： （1） ；（2）存在， 或
解:（1）由题意，根据椭圆的定义，可得 ， 所以 ，又，
又 ，又焦点在x轴上， 故所求椭圆方程为 .
（2）假设在 轴上存在点 ，使得 为正三角形.
设 ，线段AB的中点为 ，则 .
又 ，整理得 ， 则 ，解得
，
又
所以 ， ，
即 ，则 ，
令 ，则 ，即 ， ， 所以
，
解得 ，满足条件 所以在 轴上存在点 ，使得 为正三角形.
直线方程为 或 .
随堂练习：答案： （1） （2）存在，解：（1）由题意知： ，解得 ， 椭圆 方程为： .
（2）设 ， ， ， ， ，
当直线斜率存在时，设直线 的方程为： ，联立 ，
得 ，则 ， ，
又 ，
而
为定值．
只需 ，解得： ，从而 ．
当 不存在时， ，
当 时， ，
综上所述：存在 ，使得 ．
