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专题十二 应用与创新
应用创新1 数学与实际生活
1.(2024届辽宁锦州月考,5)一台冷轧机的示意图如图.冷轧机由若干对轧辊组成,厚度为
α(单位:mm)的带钢从一端输入,经过各对轧辊逐步减薄后输出,厚度变为β(单位:mm).若
α=10,β=5,每对轧辊的减薄率r不超过4%,则冷轧机至少需要安装轧辊的对数为 一对轧
α−β
辊减薄率r= α ×100%,lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1 ( )
A.14 B.15 C.16 D.17
答案 D
2.(2021北京,8,4分)某一时段内,从天空降落到地面上的雨水,未经蒸发、渗漏、流失而在
水平面上积聚的深度,称为这个时段的降雨量(单位:mm).24 h降雨量的等级划分如下:
24 h降雨量
等级
(精确到0.1)
…… ……
小雨 0.1~9.9
中雨 10.0~24.9
大雨 25.0~49.9
暴雨 50.0~99.9
…… ……
在综合实践活动中,某小组自制了一个底面直径为200 mm,高为300 mm的圆锥形雨量器.
若一次降雨过程中,该雨量器收集的24 h的雨水高度是150 mm(如图所示),则这24 h降
雨量的等级是 ( )
A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨北京曲一线图书策划有限公司
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答案 B
3.(2020新高考Ⅰ,15,5分)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所
示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB
3
与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C,tan∠ODC=
5
,BH∥DG,EF=12 cm,DE=2 cm,A到直线DE和EF的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图
中阴影部分的面积为 cm2.
( 5π)
答案 4+
2
应用创新2 数学文化
1.(2023广东韶关月考,8)我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位(1533年—
1606年)所著.程大位少年时,读书极为广博,对书法和数学颇感兴趣.20岁起便在长江中下
游一带经商,因商业计算的需要,他随时留心数学,遍访名师,搜集了很多数学书籍,刻苦钻
研,时有心得,终于在他60岁时,完成了《算法统宗》这本著作.该书中有如下问题:“远望
巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”根据诗词的意思,可得塔
的最底层共有灯 ( )
A.192盏 B.128盏 C.3盏 D.1盏
答案 A
2.(2023山东日照校际联考)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,它是中国古老的传统民
间艺术之一.在2022年虎年新春来临之际,人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆
和中间正方形所构成的剪纸窗花(如图1).已知正方形ABCD的边长为2,中心为O,四个半
圆的圆心均在正方形ABCD各边的中点(如图2),若点P在四个半圆的圆弧上运动,则
⃗AB·⃗OP的取值范围是 ( )北京曲一线图书策划有限公司
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A.[-2,2] B.[-2√2,2√2]
C.[-3√2,3√2] D.[-4,4]
答案 D
3.(2020新高考Ⅰ,4,5分)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投
射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指
OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A
处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处
的水平面所成角为 ( )
A.20° B.40° C.50° D.90°
答案 B
4.(2020课标Ⅰ,3,5分)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正
四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其
侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ( )
√5−1 √5−1 √5+1 √5+1
A. B. C. D.
4 2 4 2
答案 C
5.(多选)(2023江西南昌外国语学校月考,9)《张丘建算经》是中国古代众多数学名著之
一.书中有如下问题:“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈,问日益几
何?”其大意为:“有一女子擅长织布,织布的速度一天比一天快,从第二天起,每天比前一天
多织相同数量的布,第一天织5尺,一个月共织了9匹3丈,问从第二天起,每天比前一天多北京曲一线图书策划有限公司
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织多少尺布?”已知1匹=4丈,1丈=10尺,若这个月有30天,记该女子这个月中第n天所织
布的尺数为a
n
,b
n
=2a n,则( )
A.b =8b
10 5
B.数列{b }是等比数列
n
C.a b =105
1 30
a +a +a 209
D.
3 5 7=
a +a +a 193
2 4 6
答案 BD
应用创新3 跨学科交汇
1.(2022全国乙理,4,5分)嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第
一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数
1
1
1 1
列{b }:b =1+ ,b =1+ 1 ,b =1+α + ,……,依此类推,其中α∈N*(k=1,2,…).则
n 1 α 2 α + 3 1 1 k
1 1 α α +
2 2 α
3
( )
A.b <b B.b <b C.b <b D.b <b
1 5 3 8 6 2 4 7
答案 D
2.(2017北京,8,5分)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙
M
中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与 最接近的是 ( )
N
(参考数据:lg 3≈0.48)
A.1033 B.1053
C.1073 D.1093
答案 D
3.(2019课标Ⅱ理,4,5分)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球
背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键
技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,
鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 点的轨道运行.L 点是平衡点,位于地月连线的延长线上.
2 2
设地球质量为M ,月球质量为M ,地月距离为R,L 点到月球的距离为r,根据牛顿运动定
1 2 2
律和万有引力定律,r满足方程:
M M M
1 + 2 =(R+r) 1 .
(R+r) 2 r2 R3北京曲一线图书策划有限公司
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r 3α3+3α4+α5
设α= .由于α的值很小,因此在近似计算中 ≈3α3,则r的近似值为 (
R (1+α) 2
)
√M √ M
A. 2 RB. 2 R
M 2M
1 1
√3M √ M
C.3 2 RD.3 2 R
M 3M
1 1
答案 D
4.(多选)(2023江苏常州期中,12)平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼
卵形线,它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角
坐标系xOy中,M(-2,0),N(2,0),动点P满足|PM|·|PN|=5,其轨迹为一条连续的封闭曲线C.则
下列结论正确的是 ( )
A.曲线C与y轴的交点为(0,-1),(0,1)
B.曲线C关于x轴对称
C. PMN面积的最大值为2
D.|OP|的取值范围是[1,3]
△
答案 ABD
应用创新4 数学中的新定义问题
1.(2023黑龙江大庆重点中学开学考试,7)已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x),如果对
于任意给定的等比数列{a },{f(a )}仍是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”.下列定
n n
义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的四个函数中,是“保等比数列函数”的是 ( )
A. f(x)=x2 B. f(x)=2x
C. f(x)=3x+x D. f(x)=ln|x|
答案 A
a a
2.(2023山东济宁期中,6)定义:在数列{a }中,若满足 n+2− n+1 =d(n∈N*,d为常数),称{a }为
n a a n
n+1 n
a
“等差比数列”,已知在“等差比数列”{a }中,a =a =1,a =3,则 2 023等于 ( )
n 1 2 3 a
2 021
A.4×2 0222-1 B.4×2 0212-1
C.4×2 0202-1 D.4×2 0192-1
答案 B北京曲一线图书策划有限公司
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3.(2023山东潍坊期中)对于函数f(x)(x∈D),若存在常数T(T>0),使得对任意的x∈D,都有
π
f(x+T)≤f(x)成立,我们称函数f(x)为“T同比不增函数”.若函数f(x)=kx+cos x是“ 同比不
3
增函数”,则实数k的取值范围是 ( )
[3 ) ( 3]
A. ,+∞ B. −∞,−
π π
[ 3 ) ( 3]
C. − ,+∞ D. −∞,
π π
答案 B
4.(多选)(2021新高考Ⅱ,12,5分)设正整数n=a ·20+a ·21+…+a ·2k-1+a·2k,其中a∈{0,1},记
0 1 k-1 k i
ω(n)=a +a +…+a,则 ( )
0 1 k
A.ω(2n)=ω(n)
B.ω(2n+3)=ω(n)+1
C.ω(8n+5)=ω(4n+3)
D.ω(2n-1)=n
答案 ACD
应用创新5 与高等数学交汇
1.(2024届山东枣庄三中月考,6)取一条长度为1的直线段,将它三等分,去掉中间一段,留
剩下的两段,再将剩下的两段分别三等分,各去掉中间一段,留剩下的更短的四段,……,将
这样的操作一直继续下去,直至无穷,由于在不断分割舍弃过程中,所形成的线段数目越来
越多,长度越来越小,在极限的情况下,得到一个离散的点集,称为康托尔三分集.若在第n
1
次操作中去掉的线段长度之和不小于 ,则n的最大值为(已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
60
( )
A.6 B.7
C.8 D.9
答案 C
2.(2024届河北石家庄月考,8)连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点,拐点在统计
学、物理学、经济学等领域都有重要应用.若f(x)的图象是一条连续不断的曲线,
x∈(a,b), f(x)的导函数f '(x)都存在,且f '(x)的导函数f ″(x)也都存在.若∃x ∈(a,b),使得f ″
0
(x )=0,且在x 的左、右附近, f ″(x)异号,则称点(x , f(x ))为曲线y=f(x)的拐点,根据上述定义,
∀0 0 0 0
k 1
若(2, f(2))是曲线f(x)=(x-4)ex- x5+ kx4(x>0)唯一的拐点,则实数k的取值范围是 (
20 6
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(
e2
) (
e2]
A. −∞, B. −∞,
4 4
(
e2
) (
e2]
C. −∞, D. −∞,
2 2
答案 B
3.(2024届广东四校第一次联考,15)对于二元函数z=f(x,y),若
lim f(x +Δx,y )−f(x ,y ) lim f(x +Δx,y )−f(x ,y )
0 0 0 0 0 0 0 0
Δx→0 存在,则称Δx→0 为f(x,y)在点
Δx Δx
lim f(x ,y +Δy)−f(x ,y )
0 0 0 0
(x ,y )处对x的偏导数,记为f '(x ,y );若Δy→0 存在,则称
0 0 x 0 0
Δy
lim f(x ,y +Δy)−f(x ,y )
0 0 0 0
Δy→0 为f(x,y)在点(x ,y )处对y的偏导数,记为f '(x ,y ).已知二
0 0 y 0 0
Δy
元函数z=f(x,y)=x2-2xy+y3(x>0,y>0),则f '(x ,y )+f '(x ,y )的最小值为 .
x 0 0 y 0 0
1
答案 -
3
4.(2024届江苏南京金陵中学检测,16)用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.
现代建筑讲究线条感,曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率,曲线的曲
率定义如下:若f '(x)是f(x)的导函数, f ″(x)是f '(x)的导函数,则曲线y=f(x)在点(x, f(x))处的曲
|f ″(x)|
率K= 3,则曲线f(x)=√x在(1,1)处的曲率为 ;正弦曲线g(x)=sin
[1+(f '(x)) 2 ]2
x(x∈R)曲率的平方K2的最大值为 .
2√5
答案 ;1
25
