北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
专题五 三角函数
5.2 三角恒等变换
应用创新题组
1.(2020豫、赣、湘部分重点中学4月联考,7 数学文化)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名
著,书中有一个“引葭赴岸”问题:“今有池方一丈,葭生其中央.出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深、葭长
各几何?”其意思为“今有水池1丈见方(即CD=10尺),芦苇生长在水的中央,长出水面的部分为1尺.
将芦苇向池岸牵引,恰巧与水岸齐接(如图所示).试问水深、芦苇的长度各是多少?”设θ=∠BAC,现有下述四
个结论:
①水深为12尺;②芦苇长为15尺;
③tanθ=2;④tan( π)=-17.
θ+
2 3 4 7
其中所有正确结论的编号是( )
A.①③ B.①③④
C.①④ D.②③④
答案 B 设BC=x尺,则AC=(x+1)尺,在Rt△ABC中,
∵AB=5尺,∴52+x2=(x+1)2,∴x=12.
θ
2tan
12 2 12 θ 2 12 ( π) 1+tanθ
∴tan θ= ,即tan θ= = ,解得tan = (负根舍去).∵tan θ= ,∴tan θ+ = =-
5 θ 5 2 3 5 4 1-tanθ
1-tan2
2
17
,故正确结论的编号为①③④.选B.
7
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2.(2022届河南六市联考,20 实际生活)某市为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神,大力开展“青
山绿水”工程,造福于民.为此,当地政府决定将一块扇形荒地改造成市民休闲中心,如图,扇形OAB的半径为
2π
200 m,圆心角∠AOB= .
3
(1)如图1,将扇形的内切圆E及内部区域作为市民健身活动场所,其余区域种植各种花草,改造为景观绿地,求
内切圆的半径r;
(2)如图2,扇形内有一矩形MNOP(边OP在半径OA上,点M在 ⏜ 上)区域为市民健身活动场所,其余区域种
AB
植各种花草,改造为景观绿地,设∠MOA=θ,求市民健身活动场所(矩形MNOP区域)面积的最大值.
解析 (1)连接OE并延长交 ⏜ 于点C,设OA与圆E相切于点D,连接ED.如图,由题设知EC=ED=r
AB
π π √3
m,OE=(200-r)m,∠EOD= ,所以在Rt△ODE中,ED=OEsin ,即r= (200-r),解得r=400√3-600.
3 3 2
(2) 在Rt△OPM中,OP=OMcos θ=200cos θ,MP=OMsin θ=200sin θ,
π π
(3) 所以S =OP·MP=40 000sin θcos θ=20 000sin 2θ,故当2θ= ,即θ= 时,市民健身活动场所(矩形
矩形MNOP
2 4
MNOP区域)的面积最大,最大值为20 000 m2.
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