文档文本内容
A
版
高
考
数
学
／
５４
５．２ 三角恒等变换
§
其他常用变形
（４）
α α α
α ２ｓｉｎ ｃｏｓ ２ｔａｎ
ｓｉｎ２ ＝ ２α ２α＝ ２α ；
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ｔａｎ ＋１
考点 三角函数式的求值和化简
２α ２α ２α
α ｃｏｓ －ｓｉｎ １－ｔａｎ
１．两角和与差的三角函数公式 ｃｏｓ２ ＝ ２α ２α＝ ２α；
ｃｏｓ ＋ｓｉｎ １＋ｔａｎ
ｓｉｎ（ α ＋ β ）＝ｓｉｎ α ｃｏｓ β ＋ｃｏｓ α ｓｉｎ β ； （Ｓα ＋ β） α ( α α ) ２
α β α β α β １±ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ ±ｃｏｓ ；
ｓｉｎ（ － ）＝① ｓｉｎ ｃｏｓ －ｃｏｓ ｓｉｎ ； （Ｓα － β） ２ ２
α β α β α β α α α
ｃｏｓ（ ＋ ）＝ｃｏｓ ｃｏｓ －ｓｉｎ ｓｉｎ ； （Ｃα ＋ β） ｓｉｎ １－ｃｏｓ ．
α β α β α β ｔａｎ ＝ α＝ α
ｃｏｓ（ － ）＝② ｃ α ｏｓ ｃｏｓ β ＋ｓｉｎ ｓｉｎ ； （Ｃα － β） ４．辅 ２ 助角 １ 公 ＋ｃ 式 ｏｓ ｓｉｎ
α β ｔａｎ ＋ｔａｎ
ｔａｎ（ ＋ ）＝
１－ｔａｎ
α
ｔａｎ
β； （Ｔα ＋ β） ａ
ｓｉｎ
α
＋
ｂ
ｃｏｓ
α
＝④
ａ２
＋
ｂ２
ｓｉｎ
（α
＋
φ）
，
α β ａ ｂ ｂ
ｔａｎ（ α － β ）＝ １ ｔ ＋ ａｎ ｔａｎ － α ｔ ｔ ａ ａ ｎ ｎ β ． （Ｔα － β） 其中 ｃｏｓ φ ＝ ａ２ ｂ２ ，ｓｉｎ φ ＝ ａ２ ｂ２ ，ｔａｎ φ ＝ ａ ．
２．二倍角公式 ＋ ＋
５．角的拆分与组合
α α α
ｓｉｎ２ ＝２ｓｉｎ ｃｏｓ ； （Ｓ２ α） 用已知角表示未知角
ｃｏｓ２
α
＝ｃｏｓ
２α
－
α
ｓｉｎ
２α
＝③ ２ｃｏｓ
２α
－１ ＝１－２ｓｉｎ
２α
； （Ｃ２ α）
（
例
１
如
）
，２
α
＝（
α
＋
β
）＋（
α
－
β
），２
β
＝（
α
＋
β
）－（
α
－
β
），
α ２ｔａｎ ． α α β β α β β
ｔａｎ２ ＝ １－ｔａｎ ２α （Ｔ２ α） ＝（ ( ＋ ）－ ) ＝（ － ( ）＋ ， )
３．公式的变形与应用 α π α π α π π．
＝ ＋ － ＝ － ＋
４ ４ ３ ３
两角和与差的正切公式的变形
（１） 互余与互补关系
（２）
α β α β α β ( ) ( )
ｔａｎ ＋ｔａｎ ＝ｔａｎ（ ＋ ）（１－ｔａｎ ｔａｎ ）；
例如 π α ３π α
α β α β α β ． ， ＋ ＋ － ＝π，
ｔａｎ －ｔａｎ ＝ｔａｎ（ － ）（１＋ｔａｎ ｔａｎ ） ４ ４
升幂公式 ( ) ( )
（２） π α π α π．
α α ＋ ＋ － ＝
α ２ α ２ ． ３ ６ ２
１＋ｃｏｓ ＝２ｃｏｓ ；１－ｃｏｓ ＝２ｓｉｎ 非特殊角转化为特殊角
２ ２ （３）
降幂公式 例如 ° ° ° ° ° °．
（３） ，１５ ＝４５ －３０ ，７５ ＝４５ ＋３０
α α
２α １－ｃｏｓ２ ２α １＋ｃｏｓ２ ．
ｓｉｎ ＝ ；ｃｏｓ ＝
２ ２
α （ α）２ （ α）２
因为 １－ｓｉｎ １－ｓｉｎ １－ｓｉｎ
α ＝ （ α）（ α）＝ ＝
１＋ｓｉｎ １＋ｓｉｎ １－ｓｉｎ ２α
ｃｏｓ
考法一 三角函数式的化简方法 α α α （ α）２
｜１－ｓｉｎ ｜ １－ｓｉｎ ， １－ｃｏｓ １－ｃｏｓ
α ＝ α α ＝ （ α）（ α） ＝
｜ｃｏｓ ｜ －ｃｏｓ １＋ｃｏｓ １＋ｃｏｓ １－ｃｏｓ
α
例１
（１）
已知α为第二象限角
，
则
ｃｏｓ
α １－ｓｉｎ
α＋ｓｉｎ
α （
１－ｃｏｓ
α）２
｜１－ｃｏｓ
α
｜ １－ｃｏｓ
α
，所以原式 α ·
α
１＋ｓｉｎ
ｓｉｎ
２α ＝
｜ｓｉｎ
α
｜
＝
ｓｉｎ
α ＝ ｃｏｓ
１－ｃｏｓ ． ( α) α
· α＝ １－ｓｉｎ α·１－ｃｏｓ α α．
１＋ｃｏｓ － α ＋ｓｉｎ α ＝ｓｉｎ －ｃｏｓ
( θ θ ) ｃｏｓ ｓｉｎ
θ θ ( θ θ θ ) ( θ θ )
化简 （１＋ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ）· ｓｉｎ ２ －ｃｏｓ ２ θ ２ｓｉｎ ｃｏｓ ＋２ｃｏｓ ２ · ｓｉｎ －ｃｏｓ
（２） ： θ （０＜ ＜π）＝ （ ）原式 ２ ２ ２ ２ ２
２＋２ｃｏｓ ２ ＝ θ
． ２
４ｃｏｓ
化简 æ １ α ö ( α α ) ． ( θ θ ) ２ θ
（３） ：ç ç α－ｔａｎ ２ ÷ ÷· １＋ｔａｎ ｔａｎ ２ ＝ θ ｓｉｎ ２ －ｃｏｓ ２ －ｃｏｓ · ｃｏｓ θ
èｔａｎ ø · ２ ２ ２ ．
２ ＝ｃｏｓ θ ＝ θ
２ 解析 （ ）因为α为第二象限角，所以 α ， α ． ｃｏｓ ｃｏｓ
１ ｓｉｎ ＞０ ｃｏｓ ＜０ ２ ２
专
题
五
三
角
函
数
／
５５
θ θ °
θ ， π， ， 原式 θ． ２ ° １ １－ｃｏｓ７０ １ １ °
∵０＜ ＜π ∴０＜ ＜ ∴ ｃｏｓ ＞０ ∴ ＝－ｃｏｓ ｓｉｎ ３５ － － － ｃｏｓ７０
２ ２ ２ （ ） ２ ２ ２ ２ ．
α α æ α ö ２ ° °＝ ° °＝ ＝－１
ｃｏｓ１０ ｃｏｓ８０ ｃｏｓ１０ ｓｉｎ１０ １ °
ｃｏｓ ２ －ｓｉｎ ２ ç α ｓｉｎ ÷ ｓｉｎ２０
（ ）原式 ２ ２ ·ç ｓｉｎ · ２ ÷ ２
３ ＝ α α ç１＋ α α ÷ ° （ °） ° °
· ｃｏｓ （ ）２ｃｏｓ１０ －２ ３ｃｏｓ －１００ ２ｃｏｓ１０ ＋２ ３ｓｉｎ１０
ｓｉｎ ２ ｃｏｓ ２ è ｃｏｓ ２ ø ３ １－ｓｉｎ１０ ° ＝ １－ｓｉｎ１０ °
α α α α æ ö
ｃｏｓ ２ －ｓｉｎ ２ ｃｏｓ α ｃｏｓ ＋ｓｉｎ α ｓｉｎ ç １ ° ３ °÷
２ ２ · ２ ２ ４è ｃｏｓ１０ ＋ ｓｉｎ１０ ø °
＝ α α α ２ ２ ４ｃｏｓ５０
· α· ＝ ° ° ＝ ° °
ｓｉｎ ｃｏｓ ｃｏｓ ｃｏｓ １－２ｓｉｎ５ ｃｏｓ５ ｃｏｓ５ －ｓｉｎ５
２ ２ ２ ° °
α ４ｃｏｓ５０ ４ｃｏｓ５０ ．
＝ æ ö ＝ °＝２ ２
α ｃｏｓ ç ２ ° ２ °÷ ２ｃｏｓ５０
２ｃｏｓ · ２ ２ ． ２è ｃｏｓ５ － ｓｉｎ５ ø
＝ α α ＝ α ２ ２
ｓｉｎ α· ｓｉｎ
ｃｏｓ ｃｏｓ ° ° ° °
２ （ ）原式 ｃｏｓ２０ ｃｏｓ１０ ３ｓｉｎ１０ ｓｉｎ７０ °
４ ＝ ° ＋ ° －２ｃｏｓ４０
答案 （ ） α α （ ） θ （ ） ２ ｓｉｎ２０ ｃｏｓ７０
１ ｓｉｎ －ｃｏｓ ２ －ｃｏｓ ３ α ° ° ° °
ｓｉｎ ｃｏｓ２０ ｃｏｓ１０ ３ｓｉｎ１０ ｃｏｓ２０ °
＝ ° ＋ ° －２ｃｏｓ４０
方法总结 １．三角函数式的化简原则
ｓｉｎ２０ ｓｉｎ２０
°（ ° °）
ｃｏｓ２０ ｃｏｓ１０ ＋ ３ｃｏｓ１０ °
＝ ° －２ｃｏｓ４０
ｓｉｎ２０
°· （ ° °）
ｃｏｓ２０ ２ｓｉｎ １０ ＋３０ °
＝ ° －２ｃｏｓ４０
ｓｉｎ２０
°· ° °
ｃｏｓ２０ ４ｓｉｎ２０ ｃｏｓ２０ °
＝ ° －２ｃｏｓ４０
ｓｉｎ２０
２ ° （ ２ ° ） ．
＝４ｃｏｓ ２０ －２ ２ｃｏｓ ２０ －１ ＝２
２．三角函数式化简的方法 经典例题教师用书
化简三角函数式的常见方法有弦切互化 异名化同名 异角
例 （２０１７ 豫 北 名 校 ４ 月 联 考， １４） 计 算
：
， ，
化同角 降幂与升幂等． ° °
， ｃｏｓ１０ － ３ｃｏｓ（－１００ ） ． 用数字作答
３．三角函数式化简的要求 ° ＝ （ ）
１－ｓｉｎ１０
使三角函数式的项数最少 次数最低 角与函数名称的 ° （ °） ° °
（１） 、 、 解析 ｃｏｓ１０ － ３ｃｏｓ －１００ ｃｏｓ１０ ＋ ３ｃｏｓ８０
种类最少 ° ＝ ° ＝
； １－ｓｉｎ１０ １－ｃｏｓ８０
尽量使分母不含三角函数
（２） ； ° ° （ ° °）
（３） 尽量使被开方数不含三角函数． ｃｏｓ１０ · ＋ ３ｓｉｎ ° １０ ＝ ２ｓｉｎ · １０ ＋３０ ° ＝ ２ ．
２ ｓｉｎ４０ ２ ｓｉｎ４０
例２ 求下列各式的值
： 答案
２
２ ° １
° ｓｉｎ ３５ － 考法二 三角函数式的求值方法
ｓｉｎ１０ ２
（１） °；（２） ° °；
１－ ３ｔａｎ１０ ｃｏｓ１０ ｃｏｓ８０ 例３ （２０１９山西康杰中学等名校９月联考，１２）已
（１）
° °
２ｃｏｓ１０ －２ ３ｃｏｓ（－１００ ） 知α β π α β 则 α β 的值为
（３） ° ； － ＝ ，ｔａｎ －ｔａｎ ＝３， ｃｏｓ（ ＋ ） （ ）
１－ｓｉｎ１０ ６
°
ｃｏｓ２０ ° ° ° °． １ ３ １ ３
（４） °·ｃｏｓ１０ ＋ ３ｓｉｎ１０ ｔａｎ７０ －２ｃｏｓ４０ Ａ． ＋ Ｂ． －
ｓｉｎ２０ ２ ３ ２ ３
解题导引 将分母中的切函数化成弦函数形式 再用
（１） ， １ ３ １ ３
二倍角公式及两角差的正弦公式化简求值 Ｃ． ＋ Ｄ． －
３ ２ ３ ２
； ( )
将分子中 次幂逆用二倍角余弦公式 将其降幂升倍 （２０２０ 山东潍坊开学考，７） 设 α π β
（２） ２ ， ， （２） ∈ ０， ， ∈
分母利用两角互余 逆用二倍角正弦公式化简后求值 ２
、 ； ( ) β
利用诱导公式将 ° 写成 ° °形 π 且 α １＋ｓｉｎ 则
（３） ｃｏｓ（－１００ ） －ｃｏｓ ８０ ＝－ｓｉｎ １０ ０， ， ｔａｎ ＝ β ， （ ）
式 利用 ° ° ° ° ° ２ 将分母开 ２ ｃｏｓ
； １－ｓｉｎ１０ ＝１－２ｓｉｎ５ ｃｏｓ５ ＝（ｓｉｎ５ －ｃｏｓ５ ） ，
方 注意比较 °正 余弦值的大小 α β π α β π
， ５ 、 ； Ａ．３ － ＝ Ｂ．３ ＋ ＝
根据已知条件中代数式的结构特征 多个分式相加减形 ２ ２
（４） ，
式 确定变形的方向 即 遇到分式要通分 遇到切函数化成弦 Ｃ．２ α － β ＝ π Ｄ．２ α ＋ β ＝ π
， ， “ ”“ ２ ２
函数 找到公因式 通分化简求值即可． ( ) [ ] α α
”， ， 已知 α π α π ７π 则
° ° ° （３） ｔａｎ － ＝２， ∈ ， ， ｓｉｎ ｃｏｓ ＋
解析 （ ） ｓｉｎ１０ ｓｉｎ１０ ｃｏｓ１０ ６ ６ ６ ２ ２
１ °＝ ° ° α １－ ３ｔａｎ１０ ｃｏｓ１０ － ３ｓｉｎ１０ ２ ３ ．
° ° ° ３ｃｏｓ － ＝
２ｓｉｎ１０ ｃｏｓ１０ ｓｉｎ２０ １ ． ２ ２
＝ æ ö ＝ （ ° °）＝
ç １ ° ３ °÷ ４ｓｉｎ ３０ －１０ ４ 已知 α ５ α β １０ α β均为锐角 则β ４è ｃｏｓ１０ － ｓｉｎ１０ ø （４） ｓｉｎ ＝ ，ｓｉｎ（ － ）＝－ ， ， ，
２ ２ ５ １０
A
版
高
考
数
学
／
５６
． ( ) ( )
＝ （ ） α π ， π α ，
解题导引 把切化为弦 逆用两角差的正弦公式得 ３ ∵ ｔａｎ － ＝２ ∴ ｔａｎ － ＝－２
（１） 、 ６ ( ) ６ ( )
α β α β 先求出 α β的值 再求出 α β π α π α
ｓｉｎ（ － ）＝３ｃｏｓ ｃｏｓ ， ｃｏｓ ｃｏｓ ， ｓｉｎ ｓｉｎ ( ) ｓｉｎ － ｃｏｓ ＋
的值 从而求得 α β 的值． 即 π α ６ ３ ，
， ｃｏｓ（ ＋ ） ｔａｎ － ＝ ( ) ＝ ( ) ＝－２
先将 α切化弦 再将分式化成整式 逆用两角差的正 ６ π α π α
（２） ｔａｎ ， ， ｃｏｓ － ｓｉｎ ＋
弦公式 转化为两个三角函数值相等的形式 根据已知角的范 ６ ３
， ， ( ) ( )
围 确定角之间的关系 最后得出答案． α π α π ．
， ， ∴ ｃｏｓ ＋ ＝－２ｓｉｎ ＋
( ) ( ) ３ ３
[ ] [ ]
把切化为弦 得 α π α π 由平方关
（３） ， ｃｏｓ ＋ ＝－２ｓｉｎ ＋ ， α π，７ ， α π π，３ ．
３ ３ ∵ ∈ π ∴ ＋ ∈ π
( ) ( ) ６ ６ ３ ２ ２
( ) ( )
系得 α π α π 的值 把所求式子化为
ｃｏｓ ＋ ，ｓｉｎ ＋ ， 又知 ２ α π ２ α π ，
３ ３ ｃｏｓ ＋ ＋ｓｉｎ ＋ ＝１
( ) ３ ３
α π 求解． ( ) ( )
ｓｉｎ ＋ 所以 α π ２ ５， α π ５．
３ ｃｏｓ ＋ ＝－ ｓｉｎ ＋ ＝
先根据已知条件 将所求角β写成两个 已知角 α与 ３ ５ ３ ５
（４） ， “ ” α α α
则 ２ ３ １ α ３ α
α β 之差的形式 即β α α β 由 α β １０确 ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ ３ｃｏｓ － ＝ ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＝
（ － ） ， ＝［ －（ － ）］， ｓｉｎ（ － ）＝－ ２ ２ ２ ２ ２ ２
１０ ( )
α π ５．
定 π α β π 求出 α β ３ １０ 再求出 β α α ｓｉｎ ＋ ＝
－ ＜ － ＜ ， ｃｏｓ（ － ）＝ ， ＝［ －（ － ３ ５
２ ２ １０
β 的一个三角函数值 从而确定角β的值． （ ）因为α，β均为锐角，所以 π α β π．
）］ ， ４ － ＜ － ＜
α β ２ ２
解析 （ ）由 α β ，得ｓｉｎ ｓｉｎ ，
１ ｔａｎ －ｔａｎ ＝３ α－ β＝３ 又 （α β） １０，
ｃｏｓ ｃｏｓ ｓｉｎ － ＝－
α β α β １０
即ｓｉｎ ｃｏｓ －ｃｏｓ ｓｉｎ ．
ｃｏｓ α ｃｏｓ β ＝３ 所以 （α β） ３ １０．
ｃｏｓ － ＝
∴ ｓｉｎ （α － β） ＝３ｃｏｓ α ｃｏｓ β． １０
又α β π， α β １ ． 又 α ５，所以 α ２ ５，
－ ＝ ∴ ｃｏｓ ｃｏｓ ＝ ｓｉｎ ＝ ｃｏｓ ＝
６ ６ ５ ５
所以 β ［α （α β）］ α （α β） α （α β）
又 （α β） α β α β ３， ｓｉｎ ＝ｓｉｎ － － ＝ｓｉｎ ｃｏｓ － －ｃｏｓ ｓｉｎ －
ｃｏｓ － ＝ｃｏｓ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ｓｉｎ ＝ æ ö
２ ５ ３ １０ ２ ５ ç １０÷ ２．所以β π．
＝ × － ×è－ ø＝ ＝
α β ３ １ ． ５ １０ ５ １０ ２ ４
∴ ｓｉｎ ｓｉｎ ＝ －
２ ６ 答案 （ ）Ｄ （ ）Ｃ （ ） ５ （ ） π
æ ö １ ２ ３ ４
（α β） α β α β １ ç ３ １ ÷ １ ５ ４
∴ ｃｏｓ ＋ ＝ｃｏｓ ｃｏｓ －ｓｉｎ ｓｉｎ ＝ －è － ø ＝ － 方法总结 １．给角求值 一般所给出的角都是非特殊角 要
６ ２ ６ ３ ： ，
观察所给角与特殊角间的关系 利用三角恒等变换转化为求特
３．故选 ． ，
Ｄ 殊角的三角函数值问题 另外此类问题也常通过代数变形 比
２ ， （
α β 如 正负项相消 分子 分母约分等 的方式来求值．
（ ）由已知得， α ｓｉｎ １＋ｓｉｎ ， ： ， 、 ）
２ ｔａｎ ＝ α＝ β ２．给值求值 给出某些角的三角函数值 求另外一些角的三
ｃｏｓ ｃｏｓ ： ，
去分母得， α β α α β， 角函数值 解题的关键在于 变角 如α α β β α α β
ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ， “ ”， ＝（ ＋ ）－ ，２ ＝（ ＋ ）
所以 α β α β α， （α β） α α β 等 把待求三角函数值的角用含已知角的式子表示 求
ｓｉｎ ｃｏｓ －ｃｏｓ ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ｓｉｎ － ＝ ｃｏｓ ＝ ＋（ － ） ， ，
( )
解时要注意对角的范围的讨论．
π α ，
ｓｉｎ
２
－ ３．给值求角 实质上可转化为 给值求值 问题 先求所求角
： “ ” ，
又因为 π α β π， π α π， 的某一三角函数值 再结合所求角的范围及三角函数的单调性
－ ＜ － ＜ ０＜ － ＜ ，
２ ２ ２ ２ 求角．
所以α β π α，即 α β π，故选 ．
－ ＝ － ２ － ＝ Ｃ
２ ２
