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第 2 讲 三角恒等变换与解三角形
[考情分析] 1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主要考查求边长、角度、面积
等，三角恒等变换作为工具，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围问题.2.三角恒
等变换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度．
考点一 三角恒等变换
核心提炼
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；
(3)tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝.
例1 (1)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则( )
A．tan(α－β)＝1
B．tan(α＋β)＝1
C．tan(α－β)＝－1
D．tan(α＋β)＝－1
(2)(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α等于( )
A. B. C. D.
规律方法 三角恒等变换的“4大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等；
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；
(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂；
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
跟踪演练1 (1)(2022·张家口模拟)已知sin θcos θ＋cos2θ＝cos θ＋，θ∈，则θ＝________.
(2)已知函数f(x)＝sin x－2cos x，设当x＝θ时，f(x)取得最大值，则cos θ＝________.
考点二 正弦定理、余弦定理
核心提炼
1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sinA∶sin B∶sin C等．
2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.
3．三角形的面积公式：S＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
例2 (1)(2022·济南模拟)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin 2A
＝asin B，且c＝2b，则等于( )
A．3 B. C. D.
(2)(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝
sin Bsin(C－A)．
①证明：2a2＝b2＋c2；
②若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长．
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规律方法 正、余弦定理的适用条件
(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．
(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．
注意：应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．
跟踪演练2 (1)在△ABC中，若cos C＝，bcos A＋acos B＝2，则△ABC外接圆的面积为(
)
A. B. C. D.
(2)(2022·衡水中学模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.
①求角A的大小；
②若a＝2，求△ABC面积的最大值及此时边b，c的值．
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考点三 解三角形的实际应用
核心提炼
解三角形应用题的常考类型(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余
弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这
些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三
角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
例3 (1)滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代
诗人王勃的诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，小明同学为测量
滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为12 m，在它们的地面上的点
M(B，M，D三点共线)测得楼顶A、滕王阁顶部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得
滕王阁顶部C的仰角为30°，则小明估算滕王阁的高度为(精确到1 m)( )
A．42 m B．45 m
C．51 m D．57 m
(2)(2022·宜宾模拟)如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别
在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的
正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为 ( )
A．20海里 B．40海里
C．20(1＋)海里 D．40海里
规律方法 解三角形实际问题的步骤
跟踪演练3 (1)如图，已知A，B，C，D四点在同一条直线上，且平面PAD与地面垂直，
在山顶P点测得点A，C，D的俯角分别为30°，60°，45°，并测得AB＝200 m，CD＝100
m，现欲沿直线AD开通穿山隧道，则隧道BC的长为( )A．100(＋1)m B．200(＋1)m
C．200 m D．100 m
(2)如图是建党百年展览的展馆——国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点 P离地
面的高度OP(点O在柱楼底部)．现分别从地面上的两点A，B测得点P的仰角分别为30°，
45°，且∠ABO＝60°，AB＝60 米，则OP等于( )
A．40米 B．30米
C．30 米 D．30 米
